姓名:范金泉 单位:宿迁市马陵中学
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高中数学 必修 2. 1.2.3 直 线 与 平 面的位置关系( 1 ). 姓名:范金泉 单位:宿迁市马陵中学. 情境问题:. 前面我们认识了异面直线,就是说两条直线不同在任一平面内, 换句话说, a 与 b 是两条异面直线, a ,则 b .. 从上句话中可知,直线与平面有哪几种位置关系?. b. a. . 直线在平面内,如 a . 直线与平面的位置关系. 直线与平面相交. 直线不在平面内,如 b . 直线与平面平行. 数学建构:. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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姓名:范金泉
单位:宿迁市马陵中学
高中数学 必修高中数学 必修 22高中数学 必修高中数学 必修 22
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情境问题: 前面我们认识了异面直线,就是说两条直线不同在任一平面内,换句话说, a 与 b 是两条异面直线, a ,则 b . 从上句话中可知,直线与平面有哪几种位置关系?
a
b
直线与平面的位置关系 直线在平面内,如 a
直线不在平面内,如 b直线与平面相交
直线与平面平行
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数学建构: 在如图所示的长方体中,棱 A1B1( 或 A1D1) 所在的直线与平面 AC 没有公共点,对角线 A1C( 或棱 AA1) 所在的直线与平面 AC 有且只有一个公共点,棱 AD 所在的直线与平面 AC 有无数个公共点.
A1
A B
CD
B1
C1D1
如果一条直线 a 和一个平面没有公共点,我们就说直线 a 与平面平行,记 a∥ .
如果直线 a 与平面有且只有一个公共点,我们就说直线 a 与平面相交,记 a∩ .
如果直线 a 与平面有无数个公共点,我们就说直线 a 在平面内,记 a .
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直线与平面的位置关系:公共点个数 位置关系 图形语言 符号语言没有公共点
有且只有一个有无数个
AB∥
ABl∩ = P直线 l 与平面交于 P 点
直线 AB 与平面平行
直线 AB 在平面内图 1图 2
图 3
AP B A B
a
思考:我们利用公理 1 可以判定直线在平面内或与平面相交,
如何判定直线与平面平行呢?
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a
b a∥
a
b
a∥b
数学建构:直线与平面平行的判定定理: 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
线线平行 线面平行
注意:面外,面内,平行,三者缺一不可!
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例 1 .如图,已知 E 、 F 分别是三棱锥 A-BCD 的侧棱 AB 、 AD 的中点. 求证: EF∥平面 BCD . A
B
C
D
E F
数学应用:
思考:若 EF∥平面 BCD ,是否有 EF∥BD 呢?为什么?
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a∥l
l
a∥
数学建构:直线与平面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行.
线面平行线线平行
注意:平面不可缺失!
a
l
a
∩ = l
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例 2 .如图是一四面体 ABCD ,用平行于一组对棱 AC 、 BD 的平面截此四面体得截面 PQMN ,求证:四边形 PQMN 是平行四边形.
A
B
C
D
M Q
数学应用:
P
N
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练习:(1) 如果直线 a∥b ,且 a∥平面,则 b 与的位置关系是 .(2) 过平面外一点,与这个平面平行的直线有 条.(3)P 是异面直线 a 、 b 外一点,过点 P 可作 个平面与 a 、 b 都平行.(4) 如图, P 是 ABCD 所在平面外一点, E , F 分别在 PA , BD 上,且PE∶EA = BF∶FD. 求证: EF∥平面 PBC .
数学应用:
P
F
E
D C
BA
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M , O 分别是 PD , AC 的中点.判断 MO 与平面 PAB 的关系.
练习.如图, P为平行四边形 ABCD 所在的平面外一点.
M , N 分别是 PD , PC 的中点.试判断 MN 与四棱锥 P - ABCD 各面的位置关系.
P
AD
CB
M
N
M
O
N
L
数学应用:
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例 3 .如图,∩= CD ,∩= EF ,∩= AB , AB∥ .
求证: CD∥EF .
A
B
C
D
E
F
变式:如图,∩= CD ,∩= EF ,∩= AB , CD∥EF . 求证: AB∥ .
数学应用:
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思考.
求证:若一直线与两相交平面都平行,则这条直线与两平面的交线平行 .
a
l
数学应用:
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小结:直线与平面的位置关系
直线与平面平行的判定定理
公共点个数 位置关系 图形语言 符号语言没有公共点
有且只有一个有无数个
AB∥
ABl∩ = P直线 l 与平面交于 P 点
直线 AB 与平面平行
直线 AB 在平面内
a∥aba∥b
线线平行 线面平行
直线与平面平行的性质定理
a∥l
a∥a
∥ = l
线面平行线线平行
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作业:
P36 - 37 习题 1.2(2)1 , 3 .