國小數學—關於圖形與空間國小數學—關於圖形與空間

講師：徐惠玲講師：徐惠玲 地點：慈濟國小 地點：慈濟國小 時間：時間： 98.9.998.9.9

今日研討重點今日研討重點 一、為什麼學生找得到長和寬，但是不會做一、為什麼學生找得到長和寬，但是不會做

長方形面積？長方形面積？ 長度單位長度單位 11 公分，面積單位公分，面積單位 11 平方公分、體平方公分、體

積單位積單位 11 立方公分，立方公分，單位單位要怎麼教學生才不要怎麼教學生才不會弄錯？會弄錯？

大型面積、體積該怎麼教學生才能學會？大型面積、體積該怎麼教學生才能學會？ 複合式圖形面積、表面積、體積的教學複合式圖形面積、表面積、體積的教學 關於國中數學學習問題關於國中數學學習問題 ------ 表徵對幾何解題的表徵對幾何解題的

重要性重要性

國小數學—關於圖形與空間國小數學—關於圖形與空間

國小數學教材的五大主題國小數學教材的五大主題– 1.1. 數與量數與量– 2.2. 幾何幾何– 3.3. 代數代數– 4.4. 統計與機率統計與機率– 5.5. 連結連結

國小數學—關於圖形與空間國小數學—關於圖形與空間 課程設計課程設計

1.1. 理論依據理論依據2.2. 實作國小面積教材實作〈一〉實作國小面積教材實作〈一〉

» 長方形面積教學長方形面積教學» 正方形面積教學正方形面積教學» 平行四邊形教學—類化與內化、代平行四邊形教學—類化與內化、代數式與內在語言〈私語〉的省思數式與內在語言〈私語〉的省思

» 梯形面積教學梯形面積教學

國小數學—關於圖形與空間國小數學—關於圖形與空間– 實作國小面積教材實作〈二〉實作國小面積教材實作〈二〉

大型面積的類推與演譯大型面積的類推與演譯 V.S.V.S.11 平方公尺等於幾平方公分？平方公尺等於幾平方公分？

» 體積的教學體積的教學 長方體體積的教學長方體體積的教學 正方體體積的教學正方體體積的教學 大型體積的類推與演譯大型體積的類推與演譯 V.S.V.S.11 立方公尺等於幾立方公分？立方公尺等於幾立方公分？ 11 公升等於幾立方公分？公升等於幾立方公分？ 複合式體積的教學複合式體積的教學

關於圖形與空間教材的理論關於圖形與空間教材的理論

近年來世界先進國家近年來世界先進國家 ( ( 如美國、俄國如美國、俄國 ）大都 ）大都以荷蘭數學教育家 以荷蘭數學教育家 Van Hiele Van Hiele 夫婦夫婦的幾何學習發展理論為根據，設計的幾何學習發展理論為根據，設計幾何方面的教材。 幾何方面的教材。 ( ( 劉好，民劉好，民 8989 ））

在圖形與空間教材發展上所依據的學習在圖形與空間教材發展上所依據的學習發展理論－－發展理論－－ Van HieleVan Hiele 夫婦所提出的夫婦所提出的五個發展層次五個發展層次 ( ( 劉好，民劉好，民 8989 ；朱建正，；朱建正，民民 9191 ））

Van Hiele Van Hiele 夫婦的幾何學習發展理論夫婦的幾何學習發展理論 ——教學教學應著眼於應著眼於學生學生到到底底如何學習如何學習

Van HieleVan Hiele 夫婦認為一個人幾何概念夫婦認為一個人幾何概念思考模思考模式式可以分成五個發展層次，每個層次均有可以分成五個發展層次，每個層次均有其發展特徵。 （劉好，民其發展特徵。 （劉好，民 8989 ））– 第第 OO 層次層次－－視覺期（－－視覺期（ VisualizationVisualization ））– 第一層次第一層次－－分析期（－－分析期（ AnalysisAnalysis ））– 第二層次第二層次－－關係期（－－關係期（ RelationRelation ））或非形式演或非形式演繹期（繹期（ Informal DeductionInformal Deduction ））

– 第三層次第三層次－－形式演繹期（－－形式演繹期（ Formal Formal DeductionDeduction ））

– 第四層次第四層次－－嚴密性（－－嚴密性（ RigorRigor ））或公理性或公理性（（ AxiomaticAxiomatic ））

第第 OO 層次－－視覺期層次－－視覺期 ------ 約是國小低年級階段學生約是國小低年級階段學生

此階段學童此階段學童可以分辨、稱呼、比較及操弄可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形。幾何圖形。透過視覺觀察具體實物，以實物的整體輪廓來辨認透過視覺觀察具體實物，以實物的整體輪廓來辨認圖形，在視覺下差異不大的圖形，他們圖形，在視覺下差異不大的圖形，他們可以透過可以透過移移動旋轉動旋轉等方式辨識等方式辨識，可以使用非標準語言或標準數，可以使用非標準語言或標準數學術語描述物件的形狀，如像門的形狀為長方形，學術語描述物件的形狀，如像門的形狀為長方形，像盤子的形狀為圓形。雖然知道物件的形狀何者稱像盤子的形狀為圓形。雖然知道物件的形狀何者稱為「正方形」、「三角形」、「圓形」、「長方為「正方形」、「三角形」、「圓形」、「長方形」，但不能瞭解其真正定義。因此，這階段的學形」，但不能瞭解其真正定義。因此，這階段的學童童宜多安排宜多安排感官操作的感官操作的活動，讓兒童透過視覺進行活動，讓兒童透過視覺進行分類分類、、造型造型、、堆疊堆疊、、描繪描繪、、著色著色等活動獲得概念。等活動獲得概念。

第一層次－－分析期第一層次－－分析期約國小中年級階段學生約國小中年級階段學生

此階段的學童可以從此階段的學童可以從圖形的構成要素圖形的構成要素以及以及構成要素之構成要素之間的關係間的關係分析圖形，並且可以利用分析圖形，並且可以利用實際操作實際操作（如摺疊、（如摺疊、尺量尺量，以，以格子觀察格子觀察或設計特別的圖樣）的方式，發現或設計特別的圖樣）的方式，發現某一群圖形的共有性質或規則。他們某一群圖形的共有性質或規則。他們已具有豐富的視已具有豐富的視覺辨識經驗覺辨識經驗，能察覺到長方形有四個邊，四個角，且，能察覺到長方形有四個邊，四個角，且有兩個長邊，兩個短邊，對邊相等，但不能解釋性質有兩個長邊，兩個短邊，對邊相等，但不能解釋性質間的關係，如知道菱形是四邊相等，對角線互相垂直間的關係，如知道菱形是四邊相等，對角線互相垂直平分的四邊形，但卻不能理解兩者的推理過程。能描平分的四邊形，但卻不能理解兩者的推理過程。能描述圖形的定義，但不易精簡描述的過程。此階段的學述圖形的定義，但不易精簡描述的過程。此階段的學童，童，宜安排一些宜安排一些製作製作及及檢驗檢驗的活動，的活動，使從製作與檢驗使從製作與檢驗中中獲得獲得圖形的性質圖形的性質。。

第二層次－－關係期第二層次－－關係期（（ RelationRelation ））約國小高年級階段約國小高年級階段

此階段兒童可以透過非正式地論證此階段兒童可以透過非正式地論證把先前把先前發現的性質作邏輯地聯結發現的性質作邏輯地聯結。能進一步探索。能進一步探索圖形圖形內在屬性關係內在屬性關係及及各圖形間的包含關係各圖形間的包含關係，，如四邊形兩雙對邊相等即是平行四邊形，如四邊形兩雙對邊相等即是平行四邊形，而不必將所有屬性均描述出來才能確認其而不必將所有屬性均描述出來才能確認其圖形。在了解圖形內在關係後，可以建立圖形。在了解圖形內在關係後，可以建立長方形是平行四邊形的一種；平行四邊形長方形是平行四邊形的一種；平行四邊形中，有一個角為直角時，此四邊形即為長中，有一個角為直角時，此四邊形即為長方形；可以知道方形；可以知道 nn 邊多邊形的內角和為 邊多邊形的內角和為 （（ nn －－ 22 ）） *180*180 度等概念。度等概念。

第三層次－－形式演繹期第三層次－－形式演繹期約為國中階段約為國中階段

達此階段者，能用達此階段者，能用演繹邏輯證明演繹邏輯證明定理，並且建定理，並且建立立相關定理相關定理的網路結構。他們可以在的網路結構。他們可以在一個公設一個公設系統中建立幾何理論，他們系統中建立幾何理論，他們不只是記憶圖形的不只是記憶圖形的性質，而且能夠證明性質，而且能夠證明，並了解一個證明的可能，並了解一個證明的可能性常不只一種方法。可以理解一個定理的充分性常不只一種方法。可以理解一個定理的充分或必要條件之內在關係，發現或必要條件之內在關係，發現正逆命題正逆命題間的差間的差異性。例如：異性。例如：能了解正五邊形邊長均相等，內能了解正五邊形邊長均相等，內角亦均相等，但邊長均相等的五邊形不一定是角亦均相等，但邊長均相等的五邊形不一定是正五邊形。正五邊形。

第四層次－－嚴密性第四層次－－嚴密性（（ RigorRigor ））或公理性或公理性

（（ AxiomaticAxiomatic ）） 達此階段的人，可以達此階段的人，可以在不同的公理在不同的公理系統系統中建立定理，並且分析或比較中建立定理，並且分析或比較這些系統的特性。例如這些系統的特性。例如能區別歐幾能區別歐幾里德幾何與非歐幾何的差異里德幾何與非歐幾何的差異，也可，也可了解抽象推理幾何，甚至可自創一了解抽象推理幾何，甚至可自創一種幾何公設系統。此層次一般人很種幾何公設系統。此層次一般人很難達到，難達到，即使是以數學為專業者亦即使是以數學為專業者亦不易達成。不易達成。

各年級學生達到的發展層次各年級學生達到的發展層次 根據 根據 Van Hiele Van Hiele 研究顯示研究顯示

– 1.1. 上述五個層次有其次序性，上述五個層次有其次序性，學習者需擁有前一層學習者需擁有前一層次的各項次的各項概念與策略概念與策略，才能有效進行下一層次的教，才能有效進行下一層次的教學活動學活動。。

-- 2.-- 2.同時，亦同時，亦由於教材內容屬性的差異，會影響學習由於教材內容屬性的差異，會影響學習者落入不同層次中者落入不同層次中。。» 國小低年級學童大都均在第國小低年級學童大都均在第 OO 層次的視覺期，層次的視覺期，故其對幾何圖形的了解須藉由故其對幾何圖形的了解須藉由實物的操作、觀實物的操作、觀察、描述與比較，經過無數次具體經驗察、描述與比較，經過無數次具體經驗，使其，使其在在視覺層次具備豐富經驗視覺層次具備豐富經驗後，始能循序漸進的後，始能循序漸進的達到較高層次。達到較高層次。

» 中年級學童大約可以達到第一層。中年級學童大約可以達到第一層。» 高年級學童大約在第一層至第二層的過渡時期高年級學童大約在第一層至第二層的過渡時期

Van Hiele Van Hiele 幾何學習發展理論幾何學習發展理論的再深究的再深究（（朱建正，民朱建正，民 9191 ）） Van HieleVan Hiele （（ 1959/19841959/1984 ））進一步指出：進一步指出：

「每個階段有各自獨有的語言符號以及聯絡這「每個階段有各自獨有的語言符號以及聯絡這些符號的關係系統。些符號的關係系統。在一個層次為『正確』的在一個層次為『正確』的關係，到了另一個層次顯得不正確。關係，到了另一個層次顯得不正確。例如，考例如，考慮正方形和長方形的關係。慮正方形和長方形的關係。兩個在不同層次兩個在不同層次作作推理的學生無法推理的學生無法瞭解對方的思考歷程瞭解對方的思考歷程。」整體。」整體（具象）的結構（階段（具象）的結構（階段 00 ）到分析、關係的幾）到分析、關係的幾何結構（階段何結構（階段 1.21.2 ）到抽象結構（階段）到抽象結構（階段 3.43.4 ），），語言結構語言結構最是轉變的關鍵因素最是轉變的關鍵因素。。

Van Hiele Van Hiele 幾何學習發展理論幾何學習發展理論的再深究的再深究（（朱建正，民朱建正，民 9191 ））

Van HieleVan Hiele 指出，許多幾何教學指出，許多幾何教學的失敗皆肇因于的失敗皆肇因于教師教師使用的使用的較高階較高階段段的語言的語言無法令學生瞭解。無法令學生瞭解。

Van HieleVan Hiele （（ 1959/19841959/1984 ））認為要認為要從一階段進步到另一階段，從一階段進步到另一階段，依賴于合宜依賴于合宜的教學多的教學多，，依賴于年齡或生理上的成熟依賴于年齡或生理上的成熟少少。某種不合宜的教學也可以進行，此。某種不合宜的教學也可以進行，此時學生依賴背頌，導致階段的下滑。時學生依賴背頌，導致階段的下滑。

結論結論 圖形的圖形的抽象特質抽象特質，必須藉著，必須藉著實物實物上的結構來呈現。上的結構來呈現。

兒童必須透過可呈現各種形狀之實物豐富的拼排、兒童必須透過可呈現各種形狀之實物豐富的拼排、翻摺、疊合及製作等活動，才能領會圖形上的各種翻摺、疊合及製作等活動，才能領會圖形上的各種特徵或性質。特徵或性質。兒童對於幾何概念的瞭解有其層次性兒童對於幾何概念的瞭解有其層次性與次序性，課程之設計，除了強調兒童從操作、觀與次序性，課程之設計，除了強調兒童從操作、觀察活動中探討圖形的概念及結構的特性外，察活動中探討圖形的概念及結構的特性外，也特別也特別注意到兒童各個幾何概念發展階段注意到兒童各個幾何概念發展階段特性特性的配合的配合。在。在這樣的配合下，期使學童經由做、說、聽、看、讀、這樣的配合下，期使學童經由做、說、聽、看、讀、寫（畫）等的寫（畫）等的觀察、討論、分析及推論觀察、討論、分析及推論之過程，對之過程，對於平面圖形概念與運用，能獲得有意義的學習。於平面圖形概念與運用，能獲得有意義的學習。

參考資料參考資料劉好（劉好（民民 8989 ）：平面圖形教材的處理。）：平面圖形教材的處理。

– http://content.edu.tw/primary/math/jm_jh/math/shttp://content.edu.tw/primary/math/jm_jh/math/s3high/s303.htm3high/s303.htm

朱建正（朱建正（民民 9191 ） ：造型活動在國小幾何教學中） ：造型活動在國小幾何教學中的地位的地位

http://www.naer.edu.tw/study/math/newmath3/11http://www.naer.edu.tw/study/math/newmath3/11.htm.htm

吳德邦、鄭佳昇：由表徵觀點初探國小兒童立體吳德邦、鄭佳昇：由表徵觀點初探國小兒童立體幾何概念之研究幾何概念之研究

http://www.nknu.edu.tw/~gise/17years/17year.hthttp://www.nknu.edu.tw/~gise/17years/17year.htmm

參考資料參考資料

林文生（林文生（民民 9191 ）：比比看誰的面子）：比比看誰的面子大。大。 http://www.rges.tpc.edu.tw/profeshttp://www.rges.tpc.edu.tw/profession2/12.htmsion2/12.htm

實作—課程說明實作—課程說明

1.1. 具體操作：以具體操作：以 11 平方公分的正方形方瓦為單平方公分的正方形方瓦為單位，以無空隙的平面舖設的方式（位，以無空隙的平面舖設的方式（ 教育部，教育部，9090）判斷）判斷長方形長方形與與正方形正方形的面積的面積2.2. 請討論所給的長方形除了用點數的方式來算請討論所給的長方形除了用點數的方式來算出面積以外，有沒有其他快速的算法？出面積以外，有沒有其他快速的算法？關鍵問話：關鍵問話：--長邊可以排幾個？寬邊可以排幾個？長邊可以排幾個？寬邊可以排幾個？--要排滿整個長方形，要排滿整個長方形，一排要排幾個？要排幾排？一排要排幾個？要排幾排？共排幾個？共排幾個？

3.3. 請用乘法算式紀錄做法請用乘法算式紀錄做法

面積概念教學面積概念教學 V.S.V.S. 面積單位教學面積單位教學

4.4.與其向學生說明長方形面積是長與其向學生說明長方形面積是長 ×× 寬寬再加上平方公分這個單位，不如說：再加上平方公分這個單位，不如說：

長長 ×× 寬寬 ==長方形面積 的新詮釋？長方形面積 的新詮釋？長可以塞滿幾個？長可以塞滿幾個？寬要塞幾排？寬要塞幾排？共要塞多少個共要塞多少個 11 平方公分的小正方形？平方公分的小正方形？總面積是多少平方公分？總面積是多少平方公分？

大型面積的類推與演譯大型面積的類推與演譯 V.S.V.S.11 平方公尺等於幾平方公分？平方公尺等於幾平方公分？ 大型面積如何進行實際操作教學？大型面積如何進行實際操作教學？

11 平方公尺 平方公尺 如何換算如何換算幾平方公分？幾平方公分？– 捉住幾何教學理論基礎—捉住幾何教學理論基礎—實際操作實際操作，，豐富豐富學生經驗學生經驗，用時間換取學生的幾何概念發，用時間換取學生的幾何概念發展展

– 教學的重心，鷹架學生跨越教學的重心，鷹架學生跨越近側發展區近側發展區的的路徑路徑 ------ 長要排幾個？寬要塞幾層？共要排長要排幾個？寬要塞幾層？共要排幾個幾個 11 平方公分？平方公分？

體積的教學體積的教學 長方體體積的教學長方體體積的教學

學習遷移學習遷移與與學習的發展學習的發展– 實作長方體教學實作長方體教學

» 關鍵問話關鍵問話 長排了幾個長排了幾個 11 立方公分？立方公分？ 寬排了幾排？寬排了幾排？ 第一層共排多少第一層共排多少 11 立方公分？立方公分？高要堆幾層？高要堆幾層？共堆了多少共堆了多少 11 立方公分？立方公分？

別忘了！別忘了！ 最後長方體體積的代數式教 最後長方體體積的代數式教學學

所有的數學概念終將歸納出一般所有的數學概念終將歸納出一般性原則性原則

經過許多堆疊出長方體、正方體經過許多堆疊出長方體、正方體體積的經驗體積的經驗長長 ×× 寬寬 ×× 高高 == 長方體體積 新詮釋？長方體體積 新詮釋？

學生們，試一下？說說看，學生們，試一下？說說看，

內在私語 內在私語 V.S. V.S. 放聲思考放聲思考

大型體積的類推與演譯大型體積的類推與演譯 V.S.V.S.11 立方公尺等於幾立方公分？立方公尺等於幾立方公分？ 重點：大型體積無法操作重點：大型體積無法操作 如何從小型體積的豐富經驗，遷移到大型體如何從小型體積的豐富經驗，遷移到大型體

積的學習積的學習– 以以 11 立方公尺等於幾立方公分為例立方公尺等於幾立方公分為例

長排了幾個長排了幾個 11 立方公分？立方公分？ 寬排了幾排？寬排了幾排？ 第一層共排多少第一層共排多少 11 立方公分？立方公分？高要堆幾層？高要堆幾層？共堆了多少共堆了多少 11 立方公分？立方公分？ 所以所以 11 立方公尺和幾立方公分一樣多？立方公尺和幾立方公分一樣多？

複合式體積的教學複合式體積的教學 把握幾何教學的精神把握幾何教學的精神

------當學生無法類推思考的時候，一當學生無法類推思考的時候，一定要想辦法讓學生以定要想辦法讓學生以操作操作的方式 來的方式 來克服學習的困難克服學習的困難» 以中空水泥柱教學為例以中空水泥柱教學為例

如何讓學生克服找不到長、寬、如何讓學生克服找不到長、寬、高的困難？高的困難？

結語結語

1.1. 幾何解題活動要幾何解題活動要透過具體操作透過具體操作2.2. 在學生在學生形成了概念之後形成了概念之後，，應能抽應能抽象思考象思考，而非一直停留在必須操作，而非一直停留在必須操作才能解決的層次中。但在要求學生才能解決的層次中。但在要求學生抽象思考前，抽象思考前，仍須注意學生已發展仍須注意學生已發展到的層次為何到的層次為何。。