—— 圆视图考点分析及复习建议

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缙云县实验中学沈崇明E-mail:[email protected]

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内容提要

一、视图考点分析视图考点分析二、圆考点分析圆考点分析三、教学启示与建议

一、考查物体的视图

• 例 1 （ 07 福建龙岩）如图，一桶未启封的方便面摆放在桌面上，则它的俯视图是（）

二、考查基本几何体的视图 • 例 2( 08 丽水市 4) 左边圆锥的主视图是（

）

• 例 3 (08 绍兴 ) 将如右图所示的绕直角边旋转一周，所得几何体的主视图是（）A

BCA B C D

A B DC

·

• 例 4 （ 07 山东泰州）如图所示的几何体中，俯视图形状相同的是（）

• A ．①④； B ．②④； C ．①②④； D ．②③④。

① ② ③ ④07 绍兴市 4 ．如下图所示的四个立体图形中，主视图是四边形的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

三、考查组合几何体的视图

• 例 5(07 宁波市 11) 与如图所示的三视图对应的几何体是 ( )

四、考查由视图想象组合几何体• 例 6(2008 年杭州 8) 由大小相同的正方体木块

堆成的几何体的三视图如右图所示 , 则该几何体中正方体木块的个数是

(A) 6 个 (B) 5 个 (C) 4 个 (D) 3 个

• 例 7 （ 07 福建漳州）用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为（）

A ． 22 个； B.19 个； C.16 个； D.13 个。

（正视图）（俯视图）

内容


圆考点要求• 1 、理解圆的基本概念与性质。• 2 、求与圆有关的线段、角和弧的度数。• 3 、圆与相似三角形或全等三角形。• 4 、直线和圆的位置关系。• 5 、三角形内心、外心的概念与性质。• 6 、圆和圆的五种位置关系。• 7 、掌握弧长、扇形面积计算公式及圆柱、圆锥

的侧面积和全面积计算。• 8 、圆与综合题。

命题趋势• 圆与三角函数、直角坐标系的小综合题为考查

重点；• 直线和圆的关系作为考查重点，其中直线和圆

的位置关系的开放题、探究题是考查重点；• 对弧长、扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面

积和全面积的计算是考查的重点。• 2009 年中考将继续考查圆的有关性质，圆与

三角形有关的计算与证明。• 继续考查圆与圆的位置五种关系。

考点分析• 一 . 与三角形的有关知识（全等、相似等）相

联系• 二 . 圆与阅读理解型问题• 三 . 考查对圆与圆位置关系的掌握情况• 四 . 圆与函数和方程相联系• 五 . 圆与证明相联系• 六 . 与运动型问题• 七 . 圆与特殊多边形相联系• 八 . 方案设计型• 九 . 与圆有关的开放题、探究题• 十 . 与圆有关的尺规作图

一 . 与三角形的有关知识（全等、相似等）相联系 : 圆的有关概念和性质（重点考点）

• 1 ．与三角形有关的计算。• 07 丽水市 9 ．“两龙”高速公路是目前我省

高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面 AB宽为 10米，净高 CD 为 7米，则此隧道单心圆的半径OA 是

A. 5 B.

C. D.　 7 O

DA B

C37

737

5

2 ．证明三角形全等或相似。• （ 08辽宁十二市） 20. 如图 10 ， AB 为⊙ O 的直径， D 为弦 BE 的中点，连接 OD并延长交⊙ O于点 F ，与过 B 点的切线相交于点 C ．若点 E 为弧 AF 的中点，连接 AE ．

求证：ABE OCB△ ≌△

图 10

O

D

B

C

FE

A

二 . 圆与阅读理解型问题• 08台州市 16 ．善于归纳和总结的小明发现，“数形结

合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中．用数量关系描述图形性质和用图形描述数量关系，往往会有新的发现．小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径 AB⊥弦 CD于E ），设 AE= x ， BE= y ，他用含 x ， y 的式子表示图中的弦 CD 的长度，通过比较运动的弦 CD 和与之垂直的直径 AB 的大小关系，发现了一个关于正数 x ， y

的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式． x y

C

B

D

A O

（第 16题）

E

• （ 08广东佛山 25 题）．我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究 .

• 例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法） .

• 请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：

• (1) 如图 1 ，在圆 O 所在平面上，放置一条直线 m（ m 和圆 O 分别交于点 A 、 B ），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些（直接写出两个即可）？

• (2) 如图 2 ，在圆 O 所在平面上，请你放置与圆 O都相交且不同时经过圆心的两条直线 m 和 n （ m 与圆 O分别交于点 A 、 B ，与圆 O 分别交于点 C 、 D ） .

请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之 .• (3) 如图 3 ，其中 AB 是圆 O 的直径， AC 是弦， D 是

弧 ABC 的中点，弦 DE⊥AB于点 F. 请找出点 C 和点E 重合的条件，并说明理由 .

A

B

O

m

图 1

O

图 2

A BO

E

图 3D

C

F

G

D

C

三 . 考查对圆与圆位置关系的掌握情况

• 绍兴市15．如图，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点 A,B间距离为 80cm ，两车轮的直径分别为 136cm ， 16cm ，则此两车轮的圆心相距 cm ．

A B

• 这类问题考查的重点是相切关系的性质和判定，试题常由课本例题、习题改编而成，解答时需要合理联想课本例题、习题原型。

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• 例 .(08甘肃白银等 24 题 ) 图 15 是一盒刚打开的“兰州”牌香烟，图 16(1) 是它的横截面（矩形 ABCD ），已知每支香烟底面圆的直径是 8mm ． (1) 矩形 ABCD 的长 AB= mm ；

• （ 2 ）利用图 15(2) 求矩形 ABCD 的宽 AD ．（ ≈ 1.73 ，结果精确到 0.1mm ）3

(1)

O1

O

2

O

3

（ 2）

• （ 08 四川泸州 19 ）如图，在气象站台 A 的正西方向 240KM 的 B处有一台风中心，该台风中心以每小时 20KM 的速度沿北偏东 600 的 BD 方向移动，在距离台风中心 130KM 内的地方都要受到其影响。

• ⑴台风中心在移动过程中，与气象台 A 的最短距离是多少？

• ⑵台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的实间会持续多长？

北

60o

东

D

C

B A

四 . 圆与函数和方程相联系• 这类题需综合函数、方程、几何的相关知识，具有较强

的综合性。• 07 丽水市 23 ．（本题 12 分）如图，⊙ O 的直径 AB=

6cm ， P 是 AB延长线上的一点，过点 p 作⊙ O 的切线，切点为 C ，连接 AC ．

• (1) 若∠ CPA =30° ，求 PC 的长；• (2)若点 P 在 AB 的延长线上运动，∠ CPA 的平分线交 AC于点 M ，你认为∠ CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠ CMP 的值．

C

PA BO·

15 . 如图，大圆 O 的半径 OC 是小圆的直径，且有 OC垂直于圆 O 的直径 AB ，圆的切线 AD交 OC 的延长线于点 E ，切点为 D 。已知的半径为 r ，则 A =______ ， DE= ______ 。

1O

1O

1O

1O

1O

1O

1O

1O

08 杭州

五 . 圆与证明相联系 :切线的性质与判定（重难点考点）

• （ 2007 年北京市）已知：如图， A 是⊙ O上一点，半径 OC 的延长线与过点 A 的直线交于 B 点， OC=BC ，．

• （ 1 ）求证： AB 是⊙ O 的切线；（ 2 ）略

1

2AC OB

O

A B

C

D

• 例 . （ 08湖北宜昌 21 题） 21 ．如图，⊙ O 的半径 OD经过弦 AB(不是直径 ) 的中点 C ，过AB 的延长线上一点 P 作⊙ O 的切线 PE ， E 为切点， PE∥OD ；延长直径 AG交 PE于点 H ；直线 DG交 OE于点 F ，交 PE于点 K ．

• （ 1 ）求证：四边形 OCPE 是矩形；（ 2 ）求证： HK＝ HG ；

• （ 3 ）若 EF＝ 2 ， FO＝ 1 ，求 KE 的长．

PE

D

K H

G

C

A

BF

O

08 丽水市 10 ．如图，已知⊙ O 是以数轴的原点 O 为圆心，半径为 1 的圆，∠ AOB＝ 45°, 点 P 在数轴上运动，若过点 P且与 OA平行的直线与⊙ O 有公共点 , 设 OP= x ，则 x 的取值范围是

• A ． O≤x≤ B ． ≤ x≤ • C ．－ 1≤x≤1 D ． x＞

2 22

2P

A

O B

（ 08广东茂名 22 题）如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆，且 AB=AC ，点 D 在弧 BC 上运动，过点 D 作 DE∥BC ，DE交 AB 的延长线于点 E ，连结 AD 、 BD ．（ 1 ）求证：∠ ADB=∠E ；（ 2 ）当点 D 运动到什么位置时，DE 是⊙ O 的切线？请说明理由． O

ED

CB

A

• （ 08 新疆区卷） 18 ．（ 8 分）如图，⊙ O的半径 OC=10cm ，直线 l⊥CO ，垂足为 H ，交⊙ O于 A 、 B 两点， AB=16cm ，直线 l平移多少厘米时能与⊙ O 相切？

• 07衢州 10 ．如图，已知直线 l 的解析是，并且与 x轴、 y轴分别交于 A 、 B 两点。一个半径为 1.5 的⊙ C, 圆心 C从点（ 0 ， 1.5 ）开始以每秒 0.5 个单位的速度沿着 y轴向下运动 ,当⊙ C 与直线 l 相切时 , 则该圆运动

的速度为 (D)

A.3秒或 6秒 B.6秒 C.3秒 D.6秒或 16秒

43

4 xy

• 这类题主要是计算弧长、扇形面积、阴影部分面积及与圆有关的角等 : 弧长与扇形面积（重点考点） , 正多边形与圆（一般考点） , 与圆有关的角（重点考点）。

• （ 07无锡市）已知 P 是正方形 ABCD 内一点，连接 PA 、 PB 、 PC 。将△ PAB 绕点 B顺时针旋转 90°到△ P’CB 的位置（如图）。 ①设 AB=a ， PB=b （ b<a ），求△ PAB 旋转到△ P’CB 的过程中

线段 PA 所扫过的区域（图中的阴影部分）的面积； ②若 PA=2 ， PB=4 ， ∠APB＝ 135°, 求 PC 的长。

七 . 圆与特殊多边形相联系

• 08衢州市 10 、如图，点 O 在 Rt ABC△ 的斜边AB 上，⊙ O切 AC 边于点 E ，切 BC 边于点 D ，连结 OE ，如果由线段 CD 、 CE 及劣弧 ED围成的图形 (阴影部分 ) 面积与△ AOE 的面积相等，那么的值约为 ( 取 3.14) ( )

A 、 2.7 B 、 2.5

C 、 2.3 D 、 2.1

AC

BC

A

BD C

EO

（ 2007 年南昌市）如图 ,AB 是⊙ O 的直径，点 C,D 是圆上两点，∠ AOC＝ 100° ，则∠ D＝度．

AO

B

D

C

八 . 方案设计型• 这类题通过比较圆的面积和多边形面积的大小，选择较优方案，考查学生动手实践能力。

• 例 5. （丽水市）某公园有一个边长为 4m 的正三角形花坛，三角形的顶点 A 、 B 、 C 上各有一棵古树。现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上（设计过程中画图工具不限）。

• （ 1 ）按圆形设计，利用图 7画出你所设计的圆形花坛示意图；• （ 2 ）按平行四边形设计，利用图 8画出你所设计的平行四边形花坛示意图；（ 3 ）若使新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由。

• （ 08 年江苏南通 27 题）在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型

• 操作规则是：在一块边长为 16cm 的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）

（ 1 ）请说明方案一不可行的理由；（ 2 ）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母

线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由

方案一

AB

C D方案二

AB

C D·O1

·O2

九 . 与圆有关的开放题、探究题 :点与圆、直线与圆的位置关系（重点考点）

• (08甘肃白银等 20 题 )请你类比一条直线和一个圆的三种位置关系，在下图①、②、③中，分别各画出一条直线，使它与两个圆都相离、都相切、都相交，并在下图④中也画上一条直线，使它与两个圆具有不同于前面 3 种情况的位置关系．

• (08湖北咸宁 21 题 ) （本题满分 9 分）如图， BD 是⊙ O 的直径， AB 与⊙ O 相切于点 B ，过点 D 作 OA的平行线交⊙ O于点 C ， AC 与 BD 的延长线相交于点 E ．

• (1)试探究 A E 与⊙ O 的位置关系，并说明理由；• (2)已知 EC＝ a ， ED＝ b ， AB＝ c ，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙ O 的半径 r 的一种方案：

①你选用的已知数是　　　　　　　　； ②写出求解过程（结果用字母表示）．

A

B

C

DE O

a

b

c

• （ 08 年江苏连云港 25 题）（本小题满分 12 分）• 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．

例如线段 AB 的最小覆盖圆就是以线段 AB 为直径的圆．• （ 1 ）请分别作出图 1 中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

• （ 2 ）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）；

• （ 3 ）某地有四个村庄E,F,G,H （其位置如图 2 所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率

越小），此中转站应建在何处？请说明理由．

• （ 08 丽水市第 23 题）如图是 2008北京奥运会某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成 A 、 B 、 C 三个不同的票价区．其中与场地边缘的视角大于或等于 45° ，并且距场地边缘MN 的距离不超过 30米的区域划分为 A票区， B票区如图所示，剩下的为 C票区．

• （ 1 ）请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出 A票区所在的区域（只要求作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法）；

• （ 2 ）如果每个座位所占的平均面积是 0.8平方米，请估算 A票区有多少个座位．

内容


教学启示1 、培养良好习惯（自我整理消化知识）2 、重视教材（关注知识的生长点）3 、培养创新思维能力（揭示问题的本质）4 、加强方法引导（授之以渔）5 、具备良好心态（具备良好的应试能力）

教学建议

1 、宏观把握a 、学生把书读活 ---从知识立意转向能力立意b 、教师把书教活 ---从教会知识转向发展智慧

教学建议2 、微观研究a 、学生学习兴趣以及学习方法的培养；b 、观察、分析、迁移、反思、创新能力的培养建议教师平时要注意启发学生用运动变化的观点分析几

何图形，引导学生多进行变式题的训练。教给他们变式的方法，如题设，结论互换，或某些线点由特殊到一般的变换等，同时鼓励学生大胆探索学会逆向思维问题，鼓励他们动中求静，分析比较图形的变化，揭示图形间的内在联系。

c 、数学课堂教学设计尤其 ---- 例题教学设计

例题教学

⑵.改变题目形式； ⑶.改变条件或结论；

⑷.结论推广与引伸；⑸ .串联不同的问题；⑹.类比编题等

⑴. 一题多解；

直角梯形与圆

题 1.已知 : 如图 ,AB是⊙ O的直径 ,直线MN切⊙ O交于点 C,分别过点 A,B作直线MN的垂线，垂足分别是 E,F. 则 AE+BF ⊙O的直径 ( 填“ < 、

> 、 =”)

B●

┏

A

C┓

O

M E

F N┓

直角梯形与圆

题 2.已知 : 如图 ,AB是⊙ O的直径，直线MN分别与⊙ O交于点 E ，F，再分别过点 A,B,O作直线MN的垂线，垂足分别是M,C,N. 则下列结论正确的是 ( ) A 、 ME>NF B 、 ME<NF C 、 ME=NF D 、 ME 与 NF 的关系不能确定

A

C

●

┏B

┓

O

M E F N┓

直角梯形与圆题 3.不过圆心的直线MN分别与⊙ O交于点 C、 D两点 ,AB是⊙ O的直径 ,分别过点 A,B作直线MN的垂线 ,垂足分别是 E 、 F. (1)分别在三个圆中画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形 ;(2)请你观察 (1)中所画的图形 ,写出一个各图都具有的两条线段相等的结论 (不再标注其它字母 , 寻找结论的过程中所连的辅助线不能出现在结论中 ,不写推理过程 );请你选择 (1)中的一个图形 ,证明 (2)所得的结论 .

●O

●O

●O

直角梯形与圆

题 4. 圆心 O到直线MN的距离是 d,⊙O半径为 R,当 d,R是方程 x2-9x+20=0的两根时 .(1)判断直线MN与⊙ O的位置关系 ; (2)当 d,R是方程 x2 -4x+m=0的两根时 ,直线MN与⊙ O相切 ,求 m 的值 .

题 5. 直角梯形 ABDC中 ,AC∥BD,∠C=900,AB是⊙ O的直径 , (1)若 AB=AC+BD时 ,求证直线 CD是⊙ O的切线 ;(2)当 AB>AC+BD或 AB<AC+BD时 ,判断直线 CD与⊙ O的位置关系 ;(3)将 CD平移到与⊙ O相交于 E,F两点的位置 .CD,BD分别是方程 x2-20x+84=0的两个根 ,且 BD-AC=2. 问在线段 CD上是否存在点 P,使得以 A、 C、 P为顶点的三角形和以 B、 D、 P为顶点的三角形相似？若存在 ,这样的点有几个？并求出 CP的值 ;若不存在 ,请说明理由 .

直角梯形与圆B

A●

┏

O

C D┓

题 6.A是⊙ O1 和⊙ O2 的一个交点 ,点M是 O1O2 的中点 ,过点 A的直线 BC垂直于MA,分别交⊙ O1 、⊙ O2于 B、 C. (1)求证 :AB=AC;(2)若 O1A切⊙ O2于点 A,弦 AB、 AC的弦心距分别为 d1 、 d2 . 求证 d1+d2=O1O2(3)在 (2)的条件下 ,若 d1d2=1,设⊙ O1 、⊙O2 的半径分别为 R、 r. 求证 R2+r2 =R2r2.

直角梯形与圆

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