工程计算机图形学第三章二维基本图形生成算法

工程计算机图形学第三章二维基本图形生成算法

浙江大学工程及计算机图学所

SHU Graphics & Image Group 1

工程及计算机图形学

基本概念

所谓图元的生成，是指完成图元的参数表示形式（由图形软件包的使用者指定）到点阵表示形式（光栅显示系统刷新时所需的表示形式）的转换。通常也称扫描转换图元

工程及计算机图形学 2


课程内容

§3.1 简单的二维图形显示流程

§3.2 直线段的扫描转换

§3.3 圆弧的扫描转换

§3.4 易画曲线的正负法

§3.5 线画图元的属性控制



3.1 简单的二维图形显示流程


裁剪和扫描显示

图元

图 3-1-1 二维图形显示流程


裁剪和扫描

图形显示前需要进行扫描转换 + 裁剪，这一过程有三种方法：

● 裁剪 --- 〉扫描转换：最常用，节约计算时间。● 扫描转换 --- 〉裁剪：算法简单；● 扫描转换到画布 -- 〉位块拷贝：算法简单，但耗时耗

内存。常用于字符显示。



3.2 直线段的扫描转换

目标：求与直线段充分接近的像素集

两点假设1. 直线段的宽度为 1

2. 直线段的斜率 :


]1,1[m

像素间均匀网格整型坐标系

图 3-2-1


描绘线条图形的要求直线段要显得笔直线段端点位置要准确线段的亮度要均匀转换算法速度要快



3.2.1 DDA （ digital differential analyzer ）算法

条件：待扫描转换的直线段：斜率：，其中直线方程：


)1,1()0,0( 10 yxPyxP01,01 yyyxxx xym /

Bxmy


3.2.1DDA 算法

直接求交算法：划分区间 [x0,x1]: 计算纵坐标：取整：

复杂度：乘法 + 加法 + 取整


1,,,, 110 iin xxxxx 其中Bxmy ii

niii yx 0)},{(

nirii yx 0, )},{(

)5.0(int)()(, iiri yyroundy

图 3-2-2


3.2.1DDA 算法

DDA 算法（增量算法）复杂度：加法 + 取整算法


mymBxm

BxmBxmy

ii

iii

)1(11

图 3-2-3


3.2.1DDA 算法 DDA 算法程序：void LineDDA(int x0,int y0,int x1,int y1,int color)

/* 假定 x0<x1,-1<=k<=1 */{ int x,y ； float dx, dy, k;

dx= float(x1-x0);

dy= float(y1-y0); k=dy/dx;

y=y0;

for(x=x0; x<= x1, x++) { Putpixel(x, int(y+0.5), color); y+=k; } }



3.2.1DDA 算法举例：用 DDA 方法扫描转换连接两点 P0 （ 0,0 ）和

P1 （ 5,2 ）的直线段

X int(y+0.5) y+0.5

0 0 0

1 0 0.4+0.5

2 1 0.8+0.5

3 1 1.2+0.5

4 2 1.6+0.5


图 3-2-4


3.2.1DDA 算法

特点 1

注意上述分析的算法仅适用于 |k| ≤1 的情形。在这种情况下， x 每增加 1, y 最多增加 1 。当 |k| > 1 时，必须把 x ， y 地位互换， y 每增加 1 ， x 相应增加 1/k 。

特点 2

在这个算法中， y 与 k 必须用浮点数表示，而且每一步都要对 y 进行四舍五入后取整。这使得它不利于硬件实现



3.2.1DDA 算法

改进算法（增量 DDA ）优化点：增加斜率判断并改变循环参数



3.2.1DDA 算法 DDA 画线算法程序（改进）void LineDDA(int x0,int y0,int x1,int y1,int color){ int x,y ； float dx, dy,k,l,m;

dx= float(x1-x0); dy= float(y1-y0); k=dy/dx;

if abs(k)<1) { for(x=x0; x<= x1, x++) { Putpixel(x, int(y+0.5), color); y+=k; } }

else { for(y=y0; y<= y1, y++) { Putpixel(int(x+0.5),y,color); x+=1/k; } }

? 如果 x0> x1怎么办？



3.2.2 画线中点算法

目标：消除 DDA 算法中的浮点运算（浮点数取整运算，不利于硬件实现； DDA 算法，效率低）

条件：同 DDA 算法斜率：

直线段的隐式方程（ (x0,y0)(x1,y1) 两端点）F(x,y)=ax+by+c=0

式中 a=y0-y1,b=x1-x0,c=X0Y1-X1Y0


]1,0[m


基本原理：画直线段的过程中，当前象素点为 (xp, yp) ，一个象素点

有两种可选择点 p1(xp+1, yp) 或 p2(xp+1, yp+1) 。若M=(xp+1, yp+0.5) 为 p1 与 p2之中点， Q 为理想直线与x=xp+1 垂线的交点。当 M 在 Q 的下方，则 P2 应为下一个象素点； M 在 Q 的上方，应取 P1 为下一点。



图 3-2-5




点与直线的关系： on: F(x,y)=0; up: F(x, y)>0; down: F(x, y)<0;

图 3-2-6

直线的正负划分性



欲判断中 M 在 Q 点的上方还是下方，只要把 M 代 F（ x ， y ），并判断它的符号。

构造判别式 :

d=F(M)=F(xp+1, yp+0.5)

=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c

当 d<0 ， M 在 Q 点下方，取 P2为下一个象素；当 d>0 ， M 在 Q 点上方，取 P1为下一个象素；当 d=0 ，选 P1 或 P2均可，约定取 P1为下一个象素



问题：判断距直线最近的下一个象素点构造判别式： d=F(M)=F(Xp+1,Yp+0.5)

由 d＞ 0， d＜ 0 可判定下一个象素，


P

P2

P1


图 3-2-7


要判定再下一个象素，分两种情形考虑： 1 ）若 d≥0 ，取正右方象素 P1 ，再下一个象素判定，

由： d1=F(Xp+2,Yp+0.5)=a(Xp+2)+b(Yp+0.5)+c=d+a，d 的增量是 a

2 ）若 d＜ 0 ，取右上方象素 P2 ，再下一个象素，由： d2=F(Xp+2,Yp+1.5)=d+a+b

d 的增量为 a+b


P2

PP1


图 3-2-8


d 的初始值 d0=F(X0+1,Y0+0.5)=F(X0,Y0)+a+0.5*b 因 (X0,Y0) 在直线上， F(X0 ， Y0)=0, 所

以， d0=a+0.5*b d 的增量都是整数，只有初始值包含小数，可

以用 2d 代替 d, 2a 改写成 a+a 。算法中只有整数变量，不含乘除法，可用硬件

实现。



工程及计算机图形学工程及计算机图形学 23

中点算法程序 MidPointLine(x0,y0,x1,y1,color) {int x0,y0,x1,y1,color;

int a,b,d1,d2,x,y; a = y0-y1; b = x1 – x0; d = 2 * a +b; d1 = 2*a; d2 = 2*(a+b); x = x0; y = y0; PutPixel(x,y,color); while (x<x1) { if (d<0) { x++; y++; d +=d2;}

else { x++; d +=d1;}PutPixel(x,y,color);

} }



举例用中点画线方法扫描转换连接两点P0 （ 0,0 ）和 P1 （ 5,2 ）的直线段 :

a=y0-y1=-2; b=x1-x0=5;d0=2*a+b=1; d1=2*a=-4; d2=2*(a+b)=6x y d0 0 11 0 -3 d12 1 3 d23 1 -1 d1 4 2 5 d2 5 2 1



图 3-2-9


3.2.3 画线 Bresenham 算法 Bresenham 算法是计算机图形学领域使用最广泛的直线扫描转换算法。该方法类似于中点法，由误差项符号决定下一个象素取右边点还是右上点。

算法原理如下：过各行各列象素中心构造一组虚拟网格线。按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点，然后确定该列象素中与此交点最近的象素。该算法的巧妙之处在于采用增量计算，使得对于每一列，只要检查一个误差项的符号，就可以确定该列的所求象素。



如下图所示。设直线方程为，其中 k=dy/dx 。假设 x 列的象素已经确定为 xi，其行坐标为 yi。那么下一个象素的列坐标为 xi ＋ 1 ，而行坐标要么不变为 yi，要么递增 1 为 yi ＋ 1 。


3.2.3 画线 Bresenham 算法

图 3-2-10


是否增 1 取决于如图所示误差项 d 的值。因为直线的起始点在象素中心，所以误差项 d 的初值 d0 ＝ 0 。 X 下标每增加 1 ， d 的值相应递增直线的斜率值 k ，即 d ＝ d＋ k 。一旦 d≥1 ，就把它减去 1 ，这样保证 d 在 0 、 1 之间。当 d≥0.5 时，直线与 xi ＋ 1 列垂直网格交点最接近于当前象素（ xi ， yi ）的右上方象素（ xi ＋ 1 ， yi ＋ 1 ）；而当 d<0.5 时，更接近于右方象素（ xi ＋ 1 ， yi ）。



27

图 3-2-10


为方便计算，令 e ＝ d － 0.5 ， e 的初值为－ 0.5 ，增量为 k 。当 e≥0 时，取当前象素（ xi ， yi ）的右上方象素（ xi ＋ 1 ， yi ＋ 1 ）；而当 e<0 时，更接近于右方象素（ xi ＋ 1 ， yi ）。




Bresenham 画线算法程序void Bresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color){ int x, y, dx, dy; float k, e;

dx = x1-x0; dy = y1- y0; k=dy/dx;

e=-0.5; x=x0; y=y0; for (i=0; i<=dx; i++) { Putpixel (x, y, color); x=x+1; e=e+k; if (e>= 0) { y++, e=e-1;} }}




举例：用 Bresenham 方法扫描转换连接两点 P0（ 0,0 ）和P1（ 5,2 ）的直线段。x y e

0 0 -0.5

1 0 -0.1 0.3-1

2 1 -0.7

3 1 -0.3 0.1-1

4 2 -0.9

5 2 -0.5



图 3-2-11


上述 bresenham 算法在计算直线斜率与误差项时用到小数与除法。可以改用整数以避免除法。由于算法中只用到误差项的符号，因此可作如下替换： e=e*2dx

改进的 Bresenham 画线算法程序：void InterBresenhamline (int x0,int y0,int x1, int

y1,int color)

{ dx = x1-x0; dy = y1- y0; e=-dx; x=x0; y=y0; for (i=0; i<= dx; i++) {Putpixel (x, y, color); x++; e=e+2*dy; if (e>= 0) { y++; e=e-2*dx;} }

}




3.3 圆弧的扫描转换处理对象：圆心在原点的圆弧圆的八对称性


图 3-3-1


两种直接离散方法：离散点 :

离散角度 :

缺点：开根，三角函数运算，计算量大，不可取。

)),( ,22

222

riiiii yxxRyx

Ryx

，（

利用隐函数方程取整

))sin(),cos((

sin

cos

ii RroundRround

Ry

Rx

利用参数方程


3.3.1 角度 DDA 法转换圆弧 x = x0 + Rcos y = y0 + Rsindx =- Rsinddy = Rcosdxn+1 =x n + dxy n+1 =y n + dyxn+1 = x n + dx = x n - Rsind =x n - (y n - y 0 )dy n+1 = y n + dy = y n + Rcosd =y n + (x n - x 0 )d


显然，确定 x,y 的初值及 d 值后，即可以增量方式获得圆周上的坐标，然后取整可得象素坐标。但要采用浮点运算、乘法运算、取整运算


圆弧的正负划分性


0),( 222 RyxyxF

圆弧外的点： F(X， Y)＞ 0圆弧内的点： F(X， Y)＜ 0

3.3.1 角度 DDA 法转换圆弧

图 3-3-2


生成圆弧的中点算法考虑对象：第二个八分圆，

第一象限的八分之一圆弧


P P1

P2


图 3-3-3


问题：与直线情形类似圆弧的隐函数： F(X,Y)=X2+Y2-R2=0

切线斜率 m in [-1,0]

中点 M=(Xp+1,Yp-0.5), 当 F(M)＜ 0 时， M 在圆内，说明 P1 距离圆弧更近，取

P1 ；当 F(M)＞ 0 时， P取 P2




构造判别式 d=F(M)=F(Xp+1,Yp-0.5)=(Xp+1)2+(Yp-0.5)2-R2

1 ）若 d＜ 0 ，取 P1 ，再下一个象素的判别式为： d1=F(Xp+2,Yp-0.5)=d+2Xp+3 ，

沿正右方向， d 的增量为 2Xp+3 ； 2 ）若 d≥0 ，取 P2 ，再下一个象素的判别式为：

d2=F(Xp+2,Yp-1.5)=d+(2Xp+3)+(-2Yp+2) 沿右下方向， d 的增量为 2(Xp-Yp)+5

d 的初始值 ( 在第一个象素 (0,R)处 ),d0=F(1, R-0.5)=1.25-R, 算法中有浮点数，用e=d-0.25 代替




所以：初始化运算 d0 = 1.25 – R 对应于 e 0= 1- R判别式 d < 0 对应于 e < -0.25

又因为： e 的初值 e0 为整数，运算过程中的分量也为整数，故 e 始终为整数

所以： e < -0.25 等价于 e < 0程序如下（完全用整数实现）：

MidpointCircle(r,color)Int r, color;{ int x,y,d; x = 0; y = r; d = 1-r; putpixcel(x,y,color);

while( x < y) { if (d <0)

{ d += 2*x+3; x++; } else

{ d += 2*(x-y)+5; x++ ; y--; }

putpixcel(x,y,color); }}


3.3.2Bresenham 画圆算法

现在从 A 点开始向右下方逐点来寻找弧 AB 要用的点。如图中点 Pi-1 是已选中的一个表示圆弧上的点，根据弧AB 的走向，下一个点应该从 Hi 或者 Li中选择。显然应选离 AB 最近的点作为显示弧 AB 的点。

假设圆的半径为 R ，显然，当xHi2 + yHi2 -R2 ≥ R2 - (xLi2 + yLi2) 时，应该取 Li。否则取 Hi。

令 di = xHi2 + yHi2 + xli2 + yli2 - 2R2 显然，当 di ≥0 时应该取 Li。否则取 Hi。


Pi-1 Hi

Li

图 3-3-4


剩下的问题是如何快速的计算 di。设图中 Pi-1的坐标为 (xi-1,yi-1) ，则 Hi和 Li的坐标为 (xi,yi-1) 和 (xi,yi-1-1 )

di = xi2 + yi-12 + xi2 + (yi-1-1)2 - 2R2

=2xi2 + 2yi-12 - 2yi-1 - 2R2



di+1 = (xi + 1)2 + yi2 + (xi + 1)2 +(yi -1)2 - 2R2

=2xi2 + 4xi + 2yi2 - 2yi - 2R2 + 3

Pi-1 Hi

Li

图 3-3-4


当 di<0 时 -> 取 Hi -> yi=yi-1，则 di+1 = di + 4xi-1 + 6

当 di≥ 0 时 -> 取 Li -> yi=yi-1-1 ，则 di+1 = di + 4(xi-1-yi-1) + 10



Pi-1 Hi

Li

图 3-3-4 易知 x0=0 ， y0=R,x1=x0+1 因此 d0+1=12 + y0

2 + 12 +(y0- 1)2 - 2R2 = 3 - 2y0 = 3 - 2R


1 、求误差初值， p1=3-2R; i=1 ；画点 (0, r) ；　

2 、求下一个光栅位置： x(i+1) = x(i)+1 ；

如果 pi<0 则 y(i+1) = y(i) ，否则 y(i+1) = y(i)-1 ；

3 、画点（ x(i+1),y(i+1) ） ; 　

4 、计算下一个误差：

if pi<0 则 p(i+1) = p(i)+4x(i)+6 ；

否则 p(i+1)= p(i)+4(x(i)-y(i))+10 ；

5 、 i=i+1; if x=y 则 end ；否则返 2 。




3.3.3 椭圆的扫描转换

F(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2=0 椭圆的对称性，只考虑第一象限椭圆弧生成，分上下

两部分，以切线斜率为 -1 的点作为分界点。椭圆上一点处的法向：

N(x,y) = (F)’x i + (F)’y j = 2b2 x i + 2a2 y j


图 3-3-5


M2

在当前中点处，法向量（ 2b2 (Xp+1) ， 2a2 (Yp-0.5))的 y 分量比 x 分量大 , 即： b2 (Xp+1) < a2 (Yp-0.5), 而在下一中点，不等式改变方向，则说明椭圆弧从上部分转入下部分。

3.3.3 椭圆的扫描转换在上半部分 , 法向量的 y 分量大在下半部分 , 法向量的 x 分量大

上半部分

下半部分

法向量两分量相等M1

图 3-3-6


椭圆的中点算法与圆弧中点算法类似：确定一个象素后，接着在

两个候选象素的中点计算一个判别式的值，由判别式的符号确定更近的点。

先讨论椭圆弧的上部分(Xp， Yp) 中点 (Xp+1,Yp-0.5)d1=F(Xp+1,Yp-0.5)= b2(Xp+1)2+a2(Yp-0.5)2-

a2b2




根据 d1 的符号来决定下一像素是取正右方的那个，还是右上方的那个。

若 d1＜ 0 ，中点在椭圆内，取正右方象素，判别式更新为：

d1'=F(Xp+2,Yp-0.5)=d1+b2(2Xp+3)d1 的增量为 b2(2Xp+3)

当 d1≥0 ，中点在椭圆外，取右下方象素，更新判别式：d1'=F(Xp+2,Yp-1.5)=d1+b2(2Xp+3)+a2(-2Yp+2)d1 的增量为 b2(2Xp+3)+a2(-2Yp+2)




d1 的初始条件：椭圆弧起点为 (0， b) ，第一个中点为 (1,b-0.5) 初始判别式： d10=F(1,b-0.5)=b*b+a*a(-b+0.25)转入下一部分，下一象素可能是一正下方或右下方，此

时判别式要初始化。d2 = F(Xp+0.5,Yp-1) = b2(Xp+0.5)2+a2(Yp-1)2-a2b2 若 d2<0,则 d2’ = F(Xp+1.5,Yp-2) = d2 + b2(2Xp+2)+a2(-2Yp+3)

若 d2>=0,则 d2’ = F(Xp+0.5,Yp-2) = d2 + a2(-2Yp+3) 下半部分弧的终止条件为 y = 0




程序： MidpointEllipe(a,b, color)int a,b,color;{ int x,y; float d1,d2; x = 0; y = b; d1 = b*b +a*a*(-b+0.25); putpixel(x,y,color); while( b*b*(x+1) < a*a*(y-0.5)) { { if (d1<0)

d1 +=b*b*(2*x+3); x++; } else { d1 +=(b*b*(2*x+3)+a*a*(-2*y+2))

x++; y--; } putpixel(x,y,color);

}// 上部分



d2 = sqr(b*(x+0.5)) +sqr(a*(y-1)) – sqr(a*b); while(y >0) {

if (d2 <0) { d2 +=b*b*(2*x+2)+a*a*(-2*y+3);

x++; y--； } else {d2 += a*a*(-2*y+3); y--; } putpixel(x,y,color); }

}


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3.3.4 生成圆弧的多边形逼近法

52

用正多边形近似代替圆 , 显示多边形的边可用扫描转换直线段的中点算法来实现。

圆的正内接多边形迫近法圆的等面积正多边形迫近法


圆的正内接多边形迫近法原理

计算多边形各顶点的递推公式 Xi+1 cos a - sin a Xi =

Yi +1 sin a cosa Yi

因为 : a 是常数， sin a ， cosa 只在开始时计算一次所以，一个顶点只需 4次乘法，共 4n次乘法，外加直线段的中点算法的计算量。


圆边正内接多边形）n

n(lim


图 3-3-7


图 3-3-8


•问题：给定最大逼近误差（最大距离） DELTA ，如何确定多边形的边数 n或 a？

2

n

另外，用矢量运算可以简化计算，推出求顶点的逆推公式(p60)

d = R – Rcos(a/2) <= DELTA cos(a/2) >= (R – DELTA)/R a <= 2 arc cos (R – DELTA)/R

amax =2 arc cos (R – DELTA)/R

n = 360 /a



图 3-3-10

圆的等面积正多边形迫近法


步骤：求多边形径长，从而求所有顶点生标值由逼近误差值，确定边所对应的圆心角 α

图 3-3-9



扇形 ODCE 的面积 = 三角形 OPiPi+1 的面积 (P60页 )

图 3-3-10


3.4 易画曲线的正负法正负法简介

基本原理假定初始点 P0 G0∈ ，沿某方向 ( 假定为 X 轴）前进△ X 时，到达 G+或 G-( 假定为 G-) 中的 P1, 在沿另外一方向 (Y轴 ) 前进△ Y, 到达 P2 。若 P2 G+∈ ，则改变前进方向，否则继续向 G+ 前进。… …

易画曲线 F(x,y) 具有正负划分性 F(x,y) 二阶连续曲线上各点曲率半径足够大


图 3-4-1


初始定向确定的符号


yx ,

3.4 易画曲线的正负法


前进规则

取判别式


xPP

yPP

i

i

在异侧时，前进与当在同侧时，前进与当

1

1

)2(

)1(

),(),()()()( 001 yxxFyxFPFPFPD iiii

xPD

yPD

i

i

时，前进当时，前进当0)()2(

0)()1(



正负法生成圆弧考虑第一像限圆弧段圆弧是易画曲线取初始点 P0(x0,y0) = (0,R)

初始定向为： D = 4, X=1, y = -1△ △则 P1 为（ x0+1,y0) = (1,R); 又因为 D(Pi) = F(Pi)F(P1) = F(Pi)F(1,R)

所以由前进规则得前进点递推公式1 ）当 D(Pi) >=0 时， Xi+1 = Xi, Yi+1 = yi-1;

2 ）当 D(Pi) <0 时， Xi+1 = Xi+1, Yi+1 = yi ；判别式 D(Pi+1) 的递推公式见： P63判别式的初值 D(P1) = F(P1)= F(1,R) = 1



图 3-4-2


3.5 线画图元的属性控制（ 1/5 ）线宽控制

像素复制方法优点：

实现简单

缺点：线段两端要么为水平的，要么是竖直的折线顶点处有缺口


图 3-5-1

图 3-5-2


图元的宽度不均匀

产生宽度为偶数像素的图元效果不好


图 3-5-3

3.5 线画图元的属性控制（ 2/5 ）


移动刷子



图 3-5-4


利用填充图元

优点：生成的图形质量高

缺点计算量大有些图形的等距线难以获得


例 1： PaintBrush 例 2:PhotoShop

图 3-5-4



线型控制


1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0

•例子： PowerPoint


图 3-5-5

工程计算机图形学 第三章 二维基本图形生成算法

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