Урок обобщения и систематизации знаний учащихся по геометрии в 11

классе.

Цель: обобщить, систематизировать, закрепить полученные знания..

Общекультурная и научная задача: развитие визуального, наглядно-образного типов мышления.

Воспитательная задача:привитие аккуратности, коллективизма.

Что изучает стереометрия ?

Стереометрия знакомит с разнообразием геометрических тел, формирует необходимые пространственные представления.

Стереометрия дает метод научного познания, способствует развитию логического мышления.

Стереометрия – сама по себе очень интересна. Она имеет яркую историю, связанную с именами знаменитых ученых

"Те, кто влюбляются в практику без теории, уподобляются мореплавателю, садящемуся на корабль без руля и компаса и потому никогда не знающему, куда он плывет".        

Леонардо да Винчи

Аксиома 1.Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А

ВС

, , одной прямой

! : , ,

A B C

А В С

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Аксиома 2:

А

В

, прямая А В АВ

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Аксиома 3:

В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой

m

,

,

M

M

m М

1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Мm

! плоскость М m

2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

а

b

! плоскость a b

Две прямые лежат в одной плоскости

2. Прямые пересекаются

1. Прямые параллельны

Одна общая точкаНет общих точек

Не лежат в одной плоскости: являются скрещивающимися

Мa

m

, ,a m M M a a m

1. Прямая лежит в плоскости

2. Прямая пересекает плоскость

Бесконечно много общих точек

Одна общая точка

3. Прямая параллельна плоскости.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Нет общих точек

Признак параллельности прямой и плоскости:

По трем точкам (аксиома 1)

По прямой и не лежащей на ней точке (следствие 1)

По двум пересекающимся прямым (следствие 2)

По двум параллельным прямым (по определению параллельных прямых)

А

В

АА

В

С

Нет точек пересечения Одна точка пересечения

Пересечением является отрезок

Пересечением является плоскость

Секущей плоскостью многогранника называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

Многоугольник, полученный при пересечении многогранника и плоскости, называется сечением многогранника указанной плоскостью

Используя полученные знания, применим их к построению сечений многогранников на основе аксиоматики.

ПРОБЛЕМА!!!

Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на лыжах … : научиться этому можно лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь..

Д. Пойа

Алгоритм построения сечения

Построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника.

Полученные точки, лежащие в одной грани, соединить отрезками.

Многоугольник, ограниченный данными отрезками, и есть построенное сечение.

Замечание: если секущая плоскость пересекает противоположные грани параллелепипеда по каким – либо отрезкам, то эти отрезки параллельны.

№1. Построить сечение, определенное точками K, L, M.

K

M

L

1. Прямая КМ

2. Прямая МL

3. Прямая КL

КМL –сечение

А

В

Р

(аксиома 1)

?

N2. Построить сечение, определяемое пересекающимися прямыми АС1 и А1С.

А

А1

В1 С1

D1

D

ВС

1. Прямые А1С1 и АС

2. Прямые АА1 и СС1

АА1С1С - сечение

?(следствие 2)

А

А1 В1

С1D1

D С

N3. Определите вид сечения куба АВСДА1В1С1Д1 плоскостью, проходящей через ребро А1Д1 и середину ребра ВВ1.

В

М

К

1. Прямая А1М

3. Прямая D1K

2. Прямая МК A1D1

A1D1KM - сечение

А

А1

В1 С1

D1

D

В С

N4. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку М и прямую АС .

К

М 1. Прямая СМ

2. Прямая МК II AC

3. Прямая AK

AKМС - сечение

N5. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и параллельно плоскости основания пирамиды.

А

В С

D

К

S1. Прямая КМ II AD

2. Прямая КN II DC

N

M

3. Прямая МP II AB P

4. Прямая PN II BC

KMPN - сечение

МЕТОД СЛЕДОВ

Суть метода: построение вспомогательной прямой, являющейся линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани фигуры.

Эту линию называют следом секущей плоскости.

М

Р

Постройте сечение куба, проходящее через точки P, М, К.

К

А

1. Прямая МК В2. Прямая КР

О

Т

3. Прямая ОТ

МАВРС - сечение

С

4. Прямая МТ

M

N

P

MN

P

MN

P

M

NP

M

N

P

M

N

P

M

N

P

MN

PM

N

P

Решения варианта 1.

Решения варианта 2.

MN

P

M

NP M

N

P

ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА

Какие многоугольники могут получиться в сечении

тетраэдра?

Какие многоугольники могут получиться в сечении

параллелепипеда?

Составить две задачи на построение сечений

многогранников с использованием полученных

знаний.

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

(Д. Пойа)

N2. Построить сечение, определяемое параллельными прямыми АА1 и CC1.

А

А1

В1 С1

D1

СВ

D

1. Прямая А1С1

2. Прямая АС

АА1С1С - сечение

?

N4. Построить сечение по прямой BC и точке М.

А

В

С

Р

М

1. Прямая ВС

2. Прямая СМ

ВСМ - сечение

3. Прямая ВМ

?(следствие 1)

N7. Построить сечение правильной призмы плоскостью, проходящей через ребро АВ и точку М середину ребра В1С1.

А

В

С

А1

В1

С1

М

К

1. Прямая ВМ2. Прямая МК параллельно АВ

3. Прямая АК

АКМВ - сечение

Дана пирамида MABCD. Постройте сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R.

1) PR AB=F; 2) FQAD=E; 3)FQBC=T;4)PTMC=N;

5)PREQNP – ИСКОМОЕ СЕЧЕНИЕ

M

A

B C

D

R

P

Q

F E

T

N