数学建模和问题驱动的应用数学

谭永基 复旦大学数学学院2010/7/17 上海

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概要

• 引言• 数学建模研究与问题驱动的应用数学研究• 数模研究和问题驱动的应用数学研究的环

境与资源• 数学建模研究的实例之一—高炉内壁腐蚀

的监测

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引言

• 数学建模竞赛四大任务• 提高质量• 促进教改• 国际化• 加强数模科研

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引言

• 加强数模科研的意义• 建模研究是应用数学研究的重要组成部分• 建模研究是提高数模师资队伍水平的重要

手段• 建模研究对竞赛质量提高有关键作用 ( 题目

素材、指导水平等）

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数学建模研究与问题驱动的应用数学研究

• 什么是问题驱动的应用数学• 问题驱动应用数学的由来和发展• 研究问题驱动的应用数学效果和影响• 数模研究在问题驱动的应用数学研究中的

作用

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什么是问题驱动的应用数学

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研究应用数学的一种思想和方法论

现实问题→数学建模→新数学方法或数值方法研究→解决实际问题（预测、控制，软件）→提出新的数学问题→获得新的理论成果

石油微球形聚焦测井问题→等位面边值问题模型→等位面边值问题的有限元法→全面解决电阻率测井的预测与解释→引出全新的非局部边值问题数学理论问题( 解的存在唯一、极限性态、均匀化、数值方法的收敛性和误差估计等）→带动大量研究、产生大批成果

与文献驱动的研究有本质不同

问题驱动应用数学的由来和发展

• 建国以来数学工作者对理论联系实际的探索和反复

• 数学工作者解决实际问题的大量实践• 关于问题驱动的应用数学的双清论坛• 问题驱动的应用数学的立项

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研究问题驱动的应用数学效果和影响

• 为国家建设和社会进步作出直接贡献• 产生明显的社会和经济效益• 改善数学在公众中的形象• 改变从文献到文献，跟在洋人后面，拾人

牙慧的研究路线• 有利于理论的创新

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数模研究在问题驱动的应用数学研究中的作用

• 数学建模是问题驱动应用数学研究的第一步

• 承上启下• 贯串始终

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What is Mathematical What is Mathematical Modeling?Modeling?

• is the translation of a physical or biological/medical phenomenon into a well-formulated mathematical problem

• is taken for granted

•

• is vital to mathematical analysis and theory

• is an art and relies on “intuition”, to some extent

• can be simple or complicated, easy or difficult

• depends on the context and purpose23/4/21

The Art of Mathematical The Art of Mathematical ModelingModeling

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Physical / BiologicalPhenomena

HeuristicPhysical / Biological

Model

“Pure”Mathematics

Physical / BiologicalModel

Exact, Approximate,Numerical SolutionsQualitative Behavior

ApproximateMathematical

Model

MathematicalModel

ExistenceUniqueness

Stability

Implicit Assumptions

Explicit Assumptions Mechanisms

Physicochemical

Laws

Mathematical-Physical / Biological

Simplifications

Mathematical /Numerical Methods

Alternative

Modeling Approach

es

Generalized/Extended Mathematical Model

Analysis

COMPARISONVALIDATIONPREDICTION

数模研究和问题驱动的应用数学研究的环境与资源

• 国内外应用数学组织与活动• 应用数学大奖• 应用数学研究热点• 数学建模国际期刊• Study Group

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国内外应用数学组织与活动

• 国际工业与应用数学联合会和执委会• 四年一度的国际工业与应用数学大会（巴

黎、华盛顿、柏林、爱丁堡、悉尼、苏黎世、温哥华、 2015 北京）

• 美国 SIAM

• 中国工业与应用数学学会• 欧洲工业与应用数学论坛 和 Study Group

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应用数学大奖

• Collatz Prize

• Lagrange Prize

• Maxwell Prize

• Pioneer Prize

• Su Buchin Prize

• 中国工业与应用数学会苏步青奖• 香港城市大学刘碧如中心William Benter 应

用数学奖23/4/21

研究热点• 大规模科学计算及其在新兴科技中的应用• 数学在生命科学、金融（风险）、材料科学中的

应用• 复杂网络和其他非线性现象• 图形和图像处理中的数学• 复杂流体力学计算• 新型算法及其分析• 工业与产业中的新数学模型• 随机问题和新的随机方法

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数学建模国际期刊

• Mathematical Modelling

• Journal of Mathematical Modelling & Analysis

• Journal of Mathematical Modelling & Algorithm

• Applied Mathematical Modelling

• Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling

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数学建模国际期刊

• Mathematical and Computer Modelling

• Journal of Mathematical Modelling and Application

• Mathematical Modelling and Computing

• International Journal of Mathematical Modelling

• Case Studies in Industrial Mathematics

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STUDY GROUP

• 什么是 Study Group

• 中国 Study Group 的历史和现状• Study Group 的组织和参加者• 中国 Study Group 的问题• 效果和影响

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什么是 Study Group

• Study Group 的起源• Study Group 的活动模式• Study Group 的作用• Study Group 的巨大影响• 近期国际上的 Study Group 活动

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Study Group 的起源

• 1968 年牛津大学 A.B.Tayler, J.Ockendon 创立

• 原名 Oxford Study Group With Industry

• 后推广到全英国改名 UK Study Group With Industry

• 现成为国际用数学方法解决工业（广义）问题的一种最流行的标准模式（简称 SG ）

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Study Group 的活动模式

• 一星期有 80 数学工作者和工业界人士参加的研讨会

• 进行与课题相关的培训（研究生）• 第一天工业界代表陈述问题和目的要求（ 6个左右）

• 后续 2-3天分组讨论：建模、求解，学术界人士自由参加

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Study Group 的活动模式

• 最后一天各组代表报告各自进展和今后进一步工作方向

• 会后撰写发表各问题的书面研究报告

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Study Group 的作用

• 吸引和鼓励顶级应用数学家解决工业问题• 正确区分和清晰的归结出数学问题• 引出新观点和新概念• 头脑风暴式的机制和方法论• 找到问题的解决方法和思路

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Study Group 的作用（续）

• 工业界获得实在的好处：• 看到问题的内在本质，问题得到不同程度

的解决• 与工业应用数学家建立长期有成效的联系• 鼓励了长期研究目标的提出• 提供就业机会，公司收益于博士后研究• 使社会各界认识数学解决现实问题的力量

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Study Group 的巨大影响

• 从牛津到全英扩散到欧洲到美加到大洋洲发达国家

• 进一步推广到日本、韩国和南非、巴西、墨西哥、印度、印尼、中国等发展中国家

• 名称略有不同活动形式完全相同• SG扩展到各专门领域

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全球形成规模定期举行的 SG

• Claremont Colleges Math-in-Industry Workshops

• European Study Groups with Industry (ESGI)

• Canadian Industrial Problem Solving Workshops (IPSW)

• Australian and New Zealand Mathematics in Industry Study Groups (MISG)

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全球形成规模定期举行的 SG

• Mathematics in Industry Study Groups in South Africa (MISGSA)

• American Annual Workshops on Mathematical Problems in Industry (MPI)

• Workshops on Industrial Applications (WIA)

• Indo-UK Study Group Meetings on Industrial Problems (SGMIP)

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特定领域的 SG

• Mathematics in Medicine Study Groups (MMSG)

• Mathematics in the Plant Sciences Study Groups (MPSSG)

• VPH, Virtual Physiological Human (VPH)

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近期全球 SG 活动 2010

• Apr 26–30 74th ESGIUniversity of Aveiro (Portugal)

• Jun 14–18 26th MPI, Workshop on Mathematical Problems in Industry Rensselaer Polytechnic Institute (USA)

• Jun-Jul 27—2 75th ESGI, University of Limerick (Ireland)

• Jul 6–8 Study Group with the Steel Industry • Annaba (Algeria)

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近期全球 SG 活动 2010

• Jul 26–30 Claremont Colleges Math-in-Industry Workshop Claremont (USA)

• Aug 16–20 FMIPW 2010, Fields-MITACS Industrial Problem-Solving Workshop Fields Institute, Toronto (Canada)

• Aug 16–20 76th ESGI, Technical University of Denmark (DTU), Lyngby (Denmark)

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近期全球 SG 活动 2010

• Sep 6–10 MMSG 2010, Mathematics in Medicine Study Group University of Strathclyde (Scotland, UK)

• Sep-Oct 27—1 77th ESGI, Stefan Banach International Mathematical Center, Warsaw (Poland)

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近期全球 SG 活动 2010

• Oct 4–8 1st Euro-Asian Study Group with Industry Karadeniz Technical University, Trabzon (Turkey)

• Oct 18–22 1st Russian Interdisciplinary Study Group with Industry: Mathematical Modelling as an Industrial Resource Moscow (Russia)

• Nov 8–13 Study Group Meeting on Industrial Problems Indian Institute of Science, Bangalore (India)

•  

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近期全球 SG 活动 2010

• 12 月 13 日— 17 日 第 8 次中国 SG 重庆大学

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与 SG 有关网站、文章、报告

• www.maths-in-industry.org

• Mathematics-in-Industry Study Groups—A Global Phenomenon, H.Ockendon, SIAM NEWS,Vol.40,No.8, 2007.10

• Organisation for Economic Co-operation and Development Global Science Forum Report on Mathematics in Industry July 2008

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与 SG 有关网站、文章、报告

• Organisation for Economic Co-operation and Development Global Science Forum Report on Mechanisms for Promoting Mathematics-in-Industry Version of April 2009 .

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中国 Study Group 的历史和现状

• 87 年 J.Ockendon 访问中国，介绍 SG

• 中国学者参加英、欧 SG

• 国家 NSF 和英国皇家学会支持• 大陆香港 7 次 SG （上海 2香港 3广州南京

）• 专门领域 SG 或 Workshop(钢铁金融医药）

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Study Group 的组织和参加者

• CSIAM 数学专业委员会、香港城市大学、地方 SIAM ，牛津大学、加拿大 MITACS

• 国内著名应用数学家• 国际参加者： John Ockendon, Alistar Fitt,

Huaxion Huang (York Univ. Ca)

• C. Please, J. Hinch, Benny Hon, J. Wylie, G. Bao (Michigan State), R. Gower (Numbercraft) D. Lamper (Oxford), M.

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国际参加者（续）

• Luczak (Stat. Lab. UK), D. Panton (South Austrlia U. ）， P。 Hjorth （ Tech. U. Denmmark), C. Bohun (Onario Inst. Tech.), P. Dellar (Imperial collage London), J. Nakagawa (Nippon Steel), G.Tronel (Paris XI), A.Pitcher (Oxford), T. Tomaya , M. Yamamoto (U. Tokyo) ,

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SG 问题 (1)

• 光纤与波导问题（上海国潤通讯公司）• 工业锅炉的燃烧问题（浙江大学）• 光滑 SM网络流• 高炉管理和炉衬腐蚀问题（临汾钢铁）• 低渗透率油层石油流动问题• 钢胚切割问题（宝钢）• SARS传播• 粉末冶金

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SG 问题 (2)

• 和潮汐有关的海岸地下水• 橡胶处理问题• MT 和地震勘探数据的联合反演问题• 地下煤气管道系统的安全评估• 地下水的煤矿硫污染• 元胞自动机在气象雷达中的应用• 用地面观测对遥测数据进行校正• 客户生存时间值的计算

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SG 问题 (3)

• Risk and return performance attribution for cross border investment portfolio

• 组合投资和风险• Laminar 流温度控制• 退休后的医疗保险• 交通安全控制的风险管理• 人工智能期权定价• 用摄像机图像自动识别大气能见度

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SG 问题 (4)

• 电阻率测井和用 MT 数据重构地层参数• 输油管成像• 人体阻抗成像• 用数码相机定位问题• 违约风险计算• 保险数据的处理• 潜艇表面的降噪• 断路器连接的弹性和粘弹性应力分析

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SG 问题 (5)

• 连续铸钢冷却问题• 上海市市区交通流和交通规划• 用控制支流防汛闸门降低黄浦江污染• 变频电机的功率优化问题• 青岛地区重金属污染分析• 服务站点的优化配置问题• 用探地雷达探测地下异物 • 火灾工程的烟雾计算

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SG 问题 (6)

• Ergonomics of grab unloaders for bulk materials handing

• 离子碾磨机蚀刻速率预测• 原状土柱试验的建模• 卸载力预估• 工厂烟尘污染

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效果和影响

• 建立了一支团结在 CSIAM周围的坚强的应用数学队伍

• 解决了许多应用数学课题• 建立了学术界与工业界的紧密联系• 产生了好的社会影响 ,更多人了解数学的作

用• 在 CNSF争取到更多资助（面上和问题驱

动的应用数学专项）

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效果和影响

• 促进了真刀真枪的应用数学研究• 促进数学教学与教改，提供研究生课题、

建模竞赛题目和教材内容• 加强了与国际上著名工业应用数学家与机构的联系

• 产生了良好的国际影响

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SIAM NEWS 文章

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Enthusiasm for maths-in-industry runs high throughout the world. Shown here at the minisymposium is Tan Youngji of Fudan University, in Shanghai---the “nerve centre” of the MII programme in China

问题驱动研究的实例—高炉内壁腐蚀的监测

• 问题的提出• 研究现状• 轴对称模型的摄动方法• 三维问题的展开降维法•

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问题的提出

• 2000 ， 2001Study Group 宝钢、邯钢提出• 高炉的炉缸和炉底由于物理和化学的原因

产生腐蚀• 热传导起主要作用• 侵蚀不能直接观察• 热传感器事先安装在炉壁内测量温度

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现有工作

• 轴对称或平面假设• 重复预测校正腐蚀边界• 需频繁进行有限元求解，每次需重新作有

限元剖分• 计算量大、时间长

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轴对称模型

• 温度分布函数 u(r,z) • 边界分为 5 部分• 是待定腐蚀边界• 顶部边界 设为绝热

5

4

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反问题• 未知• 测量某些点上的温度

5

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反问题• 求 使得)),,,(( 55 zru

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• 以及• 最后的条件 (*) 可化为

• 正则化：令 (*) 变为

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反问题模型

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离散化

• 离散 ：将 用离散点 的分段三次 Spline插值来近似

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• 泛函极值化为多元函数极值

• 可用 FEM,BEM 解边值问题得到• 极小化可用牛顿法等实现 .

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迭代过程中边界不断变化，若不重新剖分网格，网格产生畸变，重新剖分网格计算量巨大。

目标函数导数计算比较困难。

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摄动方法

• 注意到侵蚀进展较慢：

• 渐近展开

• 对边界条件作 Taylor 展开

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（原边界）

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其中 是由 包围的区域，

是原来的边界。

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渐近结果

• 可以证明

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优点

• 不需重新剖分• 刚度阵只需求逆一次 • 解显式地依赖优化参数• 导数可直接计算• Newton 方法易于实现• 甚至对侵蚀较严重的情形也能得到理想结果

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数值结果(1) 用人工数据重构

最大相对误差 0.96%

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(2) 人工数据，有或无随即误差

高炉形状

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无测量误差

最大相对误差 0.41%, 平均 0.09%

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幅度 0.5%随机误差

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数值结果 :

最大相对误差 1.84%, 平均相对误差 0.36%

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Maximal relative error 5.22%

Average relative error 0.53%

测量误差 1% 无正则化

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测量误差 1% 正则化

Maximal relative error 2.04%

Average relative error 0.21%

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(3) 实际数据

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三维问题

• 实际侵蚀是三维的目前未有好的结果• 用摄动方法化为区域轴对称、边界条件非轴对称问题

• 用周期展开方法进一步化为若干完全轴对称问题

• 某些问题（如钢包）可化为一维问题求解

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三维问题提法

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摄动展开设原边界和侵蚀后边界分别为

渐近展开 得

均为固定边界、区域轴对称问题。

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富立叶展开第一个问题已经是轴对称的

作富立叶展开

得到一系列完全轴对称问题：

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反问题

代替确定 离散化为对 确定

设 可由 近似，其展开为

测量数据可表示为

反问题化为：

其中的所有边值问题均为轴对称的。

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一个化为一维问题的特例考察一钢包的上段的内壁侵蚀（对应于耐火砖脱落）

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渐近展开后化为两个问题：

第一个问题是一维的，解为：

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对问题 2 展开：

解一维问题可得

其中常数可以确定。由此可进行反问题求解。

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实例对有两个这样孔的情形，用外表面的温度进行反演。其结果如图所示。

给定的孔 反演结果

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外表面测量温度 据重构区域计算的表面温度

结论• 实际提出新的有意思的应用数学课题• 在工业中有许多问题需要用数学解决，有时数学发挥的作用是关键性的

• 新的模型、新的数学方法和新算法可以节省大量实验的支出和大大减少计算时间和花费

• 还有许多理论问题有待解决

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Thank you