北师大版数学 九年级下北师大版数学 九年级下

第三章 圆第三章 圆

试一试试一试 00 挑战自我挑战自我试一试试一试

如图如图 ,, 圆圆 OO 与矩形与矩形 ABCDABCD 交于交于 EE 、、 FF 、、 GG 、、 H,H,

AH=4,HG=6,EF=10.AH=4,HG=6,EF=10. 求求 BEBE 的长的长 ..

·

A

B C

D

0E F

GH N

M

圆的对称性及圆的对称性及特性特性 圆是轴对称图形圆是轴对称图形 ,, 圆的对称轴是任意一条经过圆圆的对称轴是任意一条经过圆

心的直线心的直线 ,, 它有无数条对称轴它有无数条对称轴 ..

想一想11

●OO

圆的对称性及圆的对称性及特性特性 想一想22

圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形 ,, 它的对称中心就是圆心它的对称中心就是圆心 ..

用旋转的方法可以得到用旋转的方法可以得到 ::

一个圆绕着它的圆心旋转任意一一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度个角度 ,, 都能与原来的图形重合都能与原来的图形重合 ..

这是圆特有的一个性质这是圆特有的一个性质 :: 圆的旋转不变性圆的旋转不变性

●OO

圆心角圆心角圆心角圆心角————顶点在圆心的角顶点在圆心的角 (( 如∠如∠ AOB).AOB).弦心距弦心距————过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线 ,, 圆心与垂足之间的距离圆心与垂足之间的距离 (( 如线段如线段 OD).OD).

认一认33

OAA

BB弦弦———— ABABDD

请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。 请回答： 请回答：

它们能重合吗？它们能重合吗？如果能重合，请将它们的圆心固定在一起。 如果能重合，请将它们的圆心固定在一起。

O′

然后将其中一个圆旋转任意一个角度，然后将其中一个圆旋转任意一个角度，这时两个圆还重合吗 这时两个圆还重合吗 ??

O

猜一猜44

11 、在两个半径相等的圆⊙、在两个半径相等的圆⊙ O O 和⊙和⊙ O′O′ 上上分别作相等的圆心角∠分别作相等的圆心角∠ AOBAOB 和∠和∠ AA′′OO′′BB′′,, 然后将两然后将两圆的圆心固定在一起，将其中的一个圆旋转一个角度，圆的圆心固定在一起，将其中的一个圆旋转一个角度，使得使得 OAOA 与与 OO′′AA′′ 重合。重合。

O′

O

AA

BB AA′′

BB′′

O′

O′

O

AA

BB AA′′

BB′′

O′

2.2. 你又能发现那些等量关系你又能发现那些等量关系 ?? 说一说你的理说一说你的理

由由 ..

(( 提示：从弦、弧、弦心距等入手。提示：从弦、弧、弦心距等入手。 ))

想一想55

DD′′DD

圆心角圆心角 , , 弧弧 ,, 弦弦 ,, 弦心距之间的关系定理弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中 , 相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等 , 所对的弦的弦心距相等 .

议一议 66

●O

A

B

┓D

A′ B′D′

┏

●O

A

B

┓D

●O′

A′ B′D′

┏

由条件①由条件① ::∠∠AOB=∠A′O′B′AOB=∠A′O′B′

②②AB= A′B′AB= A′B′⌒⌒ 　 ⌒　 ⌒

③ ③ AB=A′B′AB=A′B′

④ ④ OD=O′D′OD=O′D′

可推出可推出

拓展与深化拓展与深化 在在同圆同圆或或等圆等圆中中 ,, 如果轮换下面四组条件如果轮换下面四组条件 ::

① ① 两个圆心角两个圆心角 ,②,② 两条弧两条弧 ,③,③ 两条弦两条弦 ,④,④ 两条弦心距两条弦心距 ,,

你能得出什么结论你能得出什么结论 ?? 与同伴交流你的想法和理由与同伴交流你的想法和理由 ..

猜一猜77

●O

A

B

┓D

A′ B′D′

┏

●O

A

B

┓D

●O′

A′ B′D′

┏

如由条件② : A B =A′B′⌒ 　⌒

③ ③ AB=A′B′AB=A′B′

④ ④ OD=O′D′OD=O′D′

可推出可推出 ①∠①∠AOB=∠A′O′B′AOB=∠A′O′B′

如图，在⊙如图，在⊙ OO 中，中， ABAB ，， CDCD 是两条弦，是两条弦， OE⊥ABOE⊥AB ，，

OF⊥CD,OF⊥CD,

重足分别为重足分别为 EE ，， FF 。。 CA

FB

E

OD

⑴⑴ 如果∠如果∠ AOB=∠CODAOB=∠COD ，， 那么那么 OEOE 与与 OFOF 的大小有什么关系？的大小有什么关系？ 为什么？为什么？

⑵⑵ 如果如果 OE=OF,OE=OF, 那么那么 ABAB 与与 CDCD 的大小有什么的大小有什么关系？关系？ 为什么？ ∠为什么？ ∠ AOBAOB 与∠与∠ CODCOD 呢？呢？

例题讲解

88

推论推论在在同圆同圆或或等圆等圆中中 ,, 如果如果①两个圆心角①两个圆心角 ,,②② 两条弧两条弧 ,,

③③ 两条弦两条弦 ,,④④ 两条弦心距两条弦心距中中 ,, 有一组量相等有一组量相等 ,,

那么它们所对应的其余各组量都分别相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等 ..

议一议 99

●O

A

B

┓D

A′ B′D′

┏

●O

A

B

┓D

●O′

A′ B′D′

┏

如由条件③ : ②②AB=A′B′AB=A′B′⌒⌒ 　⌒　⌒AB=A′B′

④ ④ OD=O′D′OD=O′D′

可推出①∠①∠AOB= A′O′B′∠AOB= A′O′B′∠

抢答题 抢答题 已知： AB 、 CD 是⊙ O 的两条弦，OE ， OF 为 AB 、 CD 的弦心距，根据这节课所学的定理及推论填空：

A

B

C

F

D

E

O

（ 2 ）如果 OE=OF ，那么 ， ， ；

⌒ ⌒（ 3 ）如果 AB=CD ，那么 ， ， ；

（ 4 ）如果 AB=CD ，那么 ， ， 。

(1) 如果∠ AOB= COD∠ ，那么 ， ， ;OE=OF AB=CD AB=CD⌒ ⌒

∠AOB= COD AB=CD AB=CD∠⌒ ⌒

∠AOB= COD AB=CD OE=OF∠

∠AOB= COD OE=OF AB=CD∠ ⌒⌒

辩一辩1010

O

AB

A B

下面的说法正确吗下面的说法正确吗 ?? 为什么为什么 ??

如图如图 ,, 因为因为 BOAAOB ，根据根据圆心角、弧、弦、圆心角、弧、弦、

弦心距的关系定理弦心距的关系定理可知：可知： ⌒⌒

BAAB

在在同圆同圆或或等圆等圆中中

议一议：议一议：在得出本节结论的过程中你用到了哪些方法？在得出本节结论的过程中你用到了哪些方法？讨论归纳出：讨论归纳出：利用折叠法研究了圆是轴对称图形；利用折叠法研究了圆是轴对称图形；利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，探究了由圆的旋转不变性，探究了圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理。。

A

B

O

B′′

A′′

O′′

如图所示：(1)∵⊙O (1)∵⊙O 和⊙和⊙ O′O′ 是等圆是等圆 ,, 且且 A O B= A′O′B′,A O B= A′O′B′,

∴∴A B=A′B′A B=A′B′ ，， A B= A′B′.A B= A′B′.

∵⊙∵⊙O O 和⊙和⊙ O′O′ 是等圆是等圆 ,, 且且 A B= A′B′, A B= A′B′,

∴ ∴ A B=A′B′A B=A′B′ ， ， A O B= A′O′B′.A O B= A′O′B′.

(2)(2)

∵⊙∵⊙O O 和⊙和⊙ O′O′ 是等圆是等圆 ,, 且且 A B= A′B′, A B= A′B′,

∴ ∴ A B=A′B′A B=A′B′ ， ， A O B= A′O′B′.A O B= A′O′B′.

(3)(3)

定理： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧、两条弦、两条弦的弦心距 中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

化化心心动为动为行行动动1.1. 已知已知 A,BA,B 是⊙是⊙ OO 上的两点上的两点 ,∠AOB=120,∠AOB=12000,C,C 是 的是 的 中点中点 ,, 试确定四边形试确定四边形 OACBOACB 的形状的形状 ,, 并说明理由并说明理由 ..

随堂练习

1111

2.2. 利用一个圆及若干条弦分别设计出利用一个圆及若干条弦分别设计出 符合下列条件的图案符合下列条件的图案 :: (1)(1) 是轴对称图形但不是中心对称图形是轴对称图形但不是中心对称图形 ;; (2)(2) 即是轴对称图形又是中心对称图形即是轴对称图形又是中心对称图形 ..3.3. 日常生活中的许多图案或现象都与日常生活中的许多图案或现象都与 圆的对称性有关圆的对称性有关 ,, 试举几例试举几例 ..

⌒AB

习题 习题 3.33.3

第第 11 、、 22 、、 33 题题

作 业作 业

如图，⊙如图，⊙ OO 中，弦中，弦 AB=CDAB=CD ，， ABAB 的延的延长线与长线与 CDCD 的延长线相交于点的延长线相交于点 PP ，直线，直线 OPOP

交⊙交⊙ OO 于点于点 EE 、、 F.F. 你以为∠你以为∠ APEAPE 与与∠∠ CPECPE 有什么大小关系？有什么大小关系？

为什么？ 为什么？ AA

EE

CC

NN

MM

BB

DD

PPOO FF