کاربرد موجک در تقریب توابع یک بعدی و حل معادلات...
DESCRIPTION
سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايران. کاربرد موجک در تقریب توابع یک بعدی و حل معادلات دیفرانسیل معمولی. سیدمحسن موسوی و دانیال خشابی دانشکده مهندسی برق، دانشگاه صنعتی امیرکبیر {moosavi.sm,d.khashabi}@gmail.com. سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايران. سرفصل ها. مقدمه ای بر موجک - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
سیدمحسن موسوی و دانیال خشابیدانشکده مهندسی برق، دانشگاه صنعتی امیرکبیر
{moosavi.sm,d.khashabi}@gmail.com
سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايران
1
مقدمه ای بر موجک تقریب توابع یک متغیره با موجکHaar چگونگی حل معادله ی دیفرانسیل معمولی با موجک
Haarنتایج
سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايران
2
موجک ها ◀ مجموعه ای از توابع متعامد پایه کاربردهای زیادی در زمینه ی ریاضیات، فیزیک، علوم کامپیوتر و
مهندسی ،برای مثال فشرده سازی اطالعات اعم از تصویر، حذف نویز اطالعات
[1]پردازش سیگنال اعم از تصویر یا صدا، آنالیزهای عددیاستفاده از موجک در آنالیز های عددی معادالت دیفرانسیل
معمولی یا پاره ای◦ی های عملی، نتیجه های طبیعی و آزمایش ی پدیده در مطالعه◦
شود. آزمایش به حل یک معادله ی دیفرانسیل منجر می
سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايران
3
[1] A.W.Galli, G.T.Heydt and P.F.Ribeiro, “Exploring the Power of Wavelet Analysis”, IEEE Computer Application in Power, Oct 1996, pp.37 – 41.
[1] A.W.Galli, G.T.Heydt and P.F.Ribeiro, “Exploring the Power of Wavelet Analysis”, IEEE Computer Application in Power, Oct 1996, pp.37 – 41.
موجکHaar به علت سادگی◀ محبوبیت بیشتری نسبت به سایر [1]موجک ها
.موجک توانایی همگرایی دقیق تری در مقیاس محلی دارد یکی از دالیلی برتری آنالیز موجک بر سایرتقریب ها ◀ میل سریع
ضرایب حقیقی توابع پایه آن به ازای کالس های مختلف از سیگنال ها
خانواده ی موجکHaar:با مقیاس دودویی
انتقال:◦
تغییر مقیاس:◦
انتقال و مقیاس:◦
سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايران
4
0, ( ) ( )k x x k
,0 ( ) (2 )jj x x
, ( ) (2 )jj k x x k
P.Chang, P.PiauSimple, “Procedure for the Designation of Haar Wavelet Matrices for Differential Equations”, International Multi-Conference of Engineers and Computer Scientists, 2008
P.Chang, P.PiauSimple, “Procedure for the Designation of Haar Wavelet Matrices for Differential Equations”, International Multi-Conference of Engineers and Computer Scientists, 2008
خانواده ی موجک مادرHaar:
سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايران
5
,
0.51
0.5 1( ) 1
0
m k
k kt
m mk k
x tm m
else
2 ; 0,1,2,3,...,
0,1,2,..., 1
jm j J
k m
, ( ) (2 )jj k x x k
J!بیشتر، دقت بیشتر
سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايران
6
1 2
0 , ,0 1
( ) ( ), ( ) . ( )jJ
J j k j kj k
f t c f t
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
Fourier Series: 500 iterations
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
Approximation Level: pow( 2, 9 )
تقریب سری فوریهتقریب با موجکو پدیده گیبس
[1] S.Mallat, “a Wavelet Tour of Signal Processing, The Sparse Way”, 3 rd Edition, 2009, Elsevier Pub.[1] S.Mallat, “a Wavelet Tour of Signal Processing, The Sparse Way”, 3 rd Edition, 2009, Elsevier Pub.
عدم امکان استفاده مستقیم از موجکHaar !به علت ناپیوستگی چاره؟
◀ موجب پیچیدگی زیاد.[1] با استفاده از درون یابیHaarهموارکردن موجک ◦ ◀ انتگرال گرفتن )به جای مشتق( ◀ از بین [2]تبدیل مشتق ها به انتگرال ها◦
رفتن مشکل ناپیوستگی تبدیل کرد. معادله ی جبریلذا میتوان یک معادله ی دیفرانسیل را به یک
در اینجا(با مشخص بودن دسته توابع پایهHaar میتوان ◀ )ساختارهایی ایجاد کرد که در هر محاسبه با پیش فرض مشخص بودن
آنها به حل معادله پرداخت! ◀ افزایش سرعت محاسبات نیاز به گسسته سازی روی زمان:◀ برای انجام آنالیز
سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايران
7
[1] C.Cattani, “Haar wavelet spline”, Journal of Interdisciplinary Math.4 (2001) 35-47.[2] C.F.Chen, C.H.Hsiao, “Haar Wavelet Method for Solving Lumped and Distributed-Parameter Systems”,IEEEProc.Pt.D144 (1)(1997) 87-94.
[1] C.Cattani, “Haar wavelet spline”, Journal of Interdisciplinary Math.4 (2001) 35-47.[2] C.F.Chen, C.H.Hsiao, “Haar Wavelet Method for Solving Lumped and Distributed-Parameter Systems”,IEEEProc.Pt.D144 (1)(1997) 87-94.
0.5; 1,2,3,..., 2
2l
lt l M
M
های موجک دو ماتریس به عنوان ابزار حل معادالت با پایهHaar :[3]معرفی میشود
: برای خود توابع موجک Hماتریس ◦ H : برای ایجاد انتگرال توابع از روی تقریب با ماتریس Pماتریس ◦
: ماتریس:چند خانواده ی اول
سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايران
8
[1] U.Lepik, “Numerical Solution of Differential Equations Using Haar Wavelets”, Mathematics and Computers in Simulation 68 (2005) 127–143.
[1] U.Lepik, “Numerical Solution of Differential Equations Using Haar Wavelets”, Mathematics and Computers in Simulation 68 (2005) 127–143.
( , ) ( )i lH i l h t 2 2M MH
2
1 1H =
1 1
4
1 1 1 1
1 1 1 1H =
1 1 0 0
0 0 1 1
8
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1 1H =
1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1
[1]ماتریس :چند خانواده ی اول:◦
سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايران
9
[1] U.Lepik, “Numerical Solution of Differential Equations Using Haar Wavelets”, Mathematics and Computers in Simulation 68 (2005) 127–143.
[1] U.Lepik, “Numerical Solution of Differential Equations Using Haar Wavelets”, Mathematics and Computers in Simulation 68 (2005) 127–143.
2 2M MP
0
[( ) ] [ ( ) ]lt
li iPH h t dt
2
2 1=
1 0P
4
8 4 2 2
4 0 2 21=
1 1 0 016
1 1 0 0
P
داده شده است که می توان ماتریس [1]در نشان P را از رابطه ی بازگشتی زیر بدست آورد:
ی ماتریس محاسبهP و H![2] تنها برای بار اول کافی است با یکبار محاسبه، می توان آنها را برای هر معادله ی دلخواه بکار برد.◦
سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايران
10
[1] C.F.Chen, C.H.Hsiao, “Haar Wavelet Method for Solving Lumped and Distributed-Parameter Systems”,IEEEProc.Pt.D144 (1)(1997) 87-94.U.Lepik, “Numerical Solution of Differential Equations Using Haar Wavelets”, Mathematics and Computers in Simulation 68 (2005) 127–143
[1] C.F.Chen, C.H.Hsiao, “Haar Wavelet Method for Solving Lumped and Distributed-Parameter Systems”,IEEEProc.Pt.D144 (1)(1997) 87-94.U.Lepik, “Numerical Solution of Differential Equations Using Haar Wavelets”, Mathematics and Computers in Simulation 68 (2005) 127–143
اگر تقریبی از بر اساس ماتریس ضرایب مجهولباشد:
H.ماتریس پایه های موجک : X.ماتریس ضرایب :
هدف: بدست آوردن به صورت یک عبارت ماتریسی بر اساس :◦
سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايران
11
( ) ( )my t( )
2 1 2 2 2 1mM M M MY H X ( )
2 1mMY
( 1)2 1
mMY
X2
( ) ( )2 1 2 2 2 1 ,1 , ,1
1
Mm mM M M M l l i i
i
Y H X Y H X
( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1)
,1 ,110
( ) ( ) (0) (0)t l
m m m m m ml l
l
y t y d y Y Y y
2
( 1), ,1
1 1
(0)l M
ml i i
l i
H X y
2
( 1),1 ,
1 1
(0) (*)M l
mi l i
i l
X H y
, , ,10
( ) ( ) ( )lt l
l i i l i l il
PH h t dt PH H
2
( 1) ( 1) ( 1), ,1 2 1 2 2 2 1 2 1
1
(*) ( ) (0) ( ) [ (0)]M
m m ml i i M M M M M
i
PH X y Y PH X y
:در حالت کلی داریم
:اگر را به عنوان مبدا آنالیز در نظر بگیریم
با توجه به رابطه فوق ◀ بدیهی است هرODE را می توان بصورت جبری حل کرد.
◦X !مجهول است
سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايران
12
( ): ( )mif y t HX( )1
( ) (.)
0
(0): ; : ( )
!
n im nn m n i
i
yst m n then Y P H X T
i
0t t
( )1( ) (.)0
0
( )( )
!
n im nn m n i
i
y tY P H X T
i
:معادله ی زیر را در نظر می گیریم:داریم
:مقادیر مقابل را در نظر بگیرید
:جواب دقیق به این صورت است
سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايران
13
( )y ay by cy i t 2 3
(.)0
(.)1
(.)2
( ) ( ) ( )
-[ (0) (0) (0) ]
-[ (0) (0)]
(0)-( )
2
HX a PH X b P H X c P H X
I ay by cy T
by cy T
cyT
1, 0, 2, ( ) sin(5 )
(0) 0, (0) 0, (0) 0
a b c i t t
y y y
25 25 sin(5 )y y y y t
- 125 -5 25 13 cos 5 38 -325 sin 5( )
16900
t te e t t t ty t
:جواب نهایی به اینصورت است
:نتیجه ی محاسبه ی ماتریسی با استفاده از موجک بصورت زیر است
سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايران
14
2M=1282M=512
3 (.)2 (.)1 (.)0 (0)( ) (0) (0)
2!
yY P H X T y T y T
ها◀موجک معرفی کلی موجکHaar استفاده برای تقریب توابع◀حل ◀ODE سریع روشی حال عین در و ساده روشی
امکان استفاده از ساختار های محاسباتی اسپارس◦ برای دقت های باالH و Pامکان ذخیره سازی ماتریس های ◦قابلیت استفاده برای حل معادله خطی با ضرایب متغیر با زمان◦
نیازمند آنالیز پایداری برای مرتبه های باال است ◀به علت خطی [1[]2]سازی محلی
گستردگی معادالت انتگرال-دیفرانسیل ◀بررسی دقیق موردی روش ها:امکان ترکیب چنین روشی با سایر روش های عددی وجود دارد
◦Wavelet-Galerkin ◀[3] PDE◦Wavelet Finite Element Method ◀PDE◦…
سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايران
15
[1] U.Lepik, “Numerical Solution of Differential Equations Using Haar Wavelets”, Mathematics and Computers in Simulation 68 (2005) 127–143[2] U.Lepik, “Haar Wavelet Method for Solving Stiff Differential Equations”, Mathematical Modeling and Analysis, Vol.14, No. 4, 2009, pp. 467-481.[3] H.Akca, M.H.Ali-Lail, “Survey on Wavelet Transform and Application on ODE and Wavelet Network”, Advances in Dynamical Systems and Applications, Vol.1-Number 2(2006), pp.129-162.
[1] U.Lepik, “Numerical Solution of Differential Equations Using Haar Wavelets”, Mathematics and Computers in Simulation 68 (2005) 127–143[2] U.Lepik, “Haar Wavelet Method for Solving Stiff Differential Equations”, Mathematical Modeling and Analysis, Vol.14, No. 4, 2009, pp. 467-481.[3] H.Akca, M.H.Ali-Lail, “Survey on Wavelet Transform and Application on ODE and Wavelet Network”, Advances in Dynamical Systems and Applications, Vol.1-Number 2(2006), pp.129-162.
16
17