第三章 证明 ( 三 )

1.平行四边形 ( 二 )

平行四边形的性质定理 : 平行四边形的对边相等 .

′

证明后的结论 , 以后可以直接运用 .

B

D

C

A

∵四边形 ABCD是平行四边形 .∴AB=CD,BC=DA.定理 : 平行四边形的对角相等 .∵四边形 ABCD是平行四边形 .∴∠A= C, B= D∠ ∠ ∠ .定理 : 平行四边形的对角线互相平分 .∵四边形 ABCD是平行四边形 .∴CO=AO,BO=DO.

B

D

C

A

O

定理 : 夹在两条平等线间的平等线段相等 .∵MN PQ,AB CD,∥ ∥∴AB=CD.

B

D

C

AM N

P Q

回顾 思考

等腰梯形的性质定理 : 等腰梯形同一底上的两个角相等 .

定理 : 等腰梯形的两条对角线相等 .

在梯形 ABCD中 ,AD BC,∥∵AB=DC,∴AC=DB..

在梯形 ABCD中 ,AD BC,∥∵AB=DC,∴∠A= D, B= C∠ ∠ ∠ .

B

D

C

A

B

D

C

A

证明后的结论 , 以后可以直接运用 .

回顾 思考

等腰梯形的判定定理 : 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 .

在梯形 ABCD中 ,AD BC,∥∵∠A= D∠ 或∠ B= C∠ ,∴AB=DC.定理 : 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 .在梯形 ABCD中 ,AD BC,∥∵AC=DB.∴AB=DC.

B

D

C

A

B

D

C

A

证明后的结论 , 以后可以直接运用 .

回顾 思考

平行四边形的判定 我思 ,我进步

11

定理 : 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .

B

D

C

A

已知 : 如图 , 在四边形 ABCD中 ,AB=CD,BC=DA..求证 : 四边形 ABCD是平行四边形 .分析 : 要证明四边形 ABCD是平行四边形 . 可转化证明两组对边分别平行 , 从而作辅助线 , 用全等三角形来证明相应的角相等 .证明 : 连接 AC.∵ AB=CD,BC=DA,AC=CA,∴ △ABC≌△CDA(SSS).∴∠1=∠2, ∠3=∠4.

∴AB CD,CB AD.∥ ∥∴四边形 ABCD是平行四边形 .

123

4

平行四边形的判定定理 : 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .

′

我思 ,我进步

22

已知 : 如图 , 在四边形 ABCD中 ,AB CD,AB=CD.∥求证 : 四边形 ABCD是平行四边形 .分析 : 要证明四边形 ABCD是平行四边形 . 可转化证明两级对边分别相等 , 从而作辅助线 , 用全等三角形来证明相应的边相等 .证明 : 连接 AC.∵ AB CD,∥∴ ∠1=∠2.∵AB=CD,AC=CA,∴△ABC≌△CDA(SAS)..

∴四边形 ABCD是平行四边形 .∴BC=DA.

B

D

C

A1

2

你还有几种不同的证法

平行四边形的判定 我思 ,我进步

33

定理 : 对角线互相平分的四边形是平行四边形的 .已知 : 如图 , 在四边形 ABCD中 , 对角线AC,BD相交于点 O,CO=AO,BO=DO.求证 : 四边形 ABCD是平行四边形 .

证明 :∵CO=AO,BO=DO,∠1=∠2,∴△AOD≌△COB(SAS).

∴∠3=∠4.

∴AD CB.∥同理 ,AB CD.∥∴四边形 ABCD是平行四边形 .

B

D

C

A

O分析 : 要证明四边形 ABCD是平行四边形 . 可转化证明两级对边分别平行 , 从而用全等三角形来证明相应的角相等 .

你还有几种不同的证法

4

3

2

1

平行四边形的判定

′

我思 ,我进步

44

定理 : 两组对角分别相等的四边形是平行四边形的 .已知 : 如图 , 在四边形 ABCD中 ,∠A=∠C,∠B=∠D.

求证 : 四边形 ABCD是平行四边形 .分析 : 要证明四边形 ABCD是平行四边形 . 可转化证明两组对边分别平行 . 从而转化为相关的角关系来证明 .证明 :∵∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠C+∠B+∠D=3600.

∴∠A+∠B=1800.

∴AD BC.∥

B

D

C

A

∴ 2∠A+2∠B=3600.

同理 ,AB CD.∥∴四边形 ABCD是平行四边形 .

做一做 ,想一想 我思 ,我进步

55

′

已知 : 如图 .

求证 : 四边形 MNOP是平行四边形 .分析 : 这是一道综合性题目 ,利用勾股定理 , 方程和平行四边形的判定进行计算性推理可获证 .证明 : O

M

N

P

45x-3

11-x

x-5

.453 222 xx.8 x

.5 POMN .3 ONPM

∴四边形 MNPO是平行四边形 .

随堂练习 我思 ,我进步

66

′

已知 : 如图 , 在□　ABCD中 ,BF=DE.求证 : 四边形 AFCE是平行四边形 .分析 : 由已知的平行四边形和 BF=DE可知 ,CE=AF,则转化为利用一组对应边平行且相等来证明 .证明 :

∴DC AB,DC=AB.∥∵ DE=CF,

∴CE=AF,

∴四边形 AFCE是平行四边形 .

∵四边形 ABCD是平行四边形 ,

A B

CD E

F

你还有几种不同的证法

随堂练习 我思 ,我进步

77

′

已知 : 如图 , 在□ ABCD中 ,∠ABC的平分线与 AD相交于点 P. 求证 :PD+CD=BC.

分析 : 要证明两条线段的和等于另一条线段 , 可以将 BC分割为两部分 , 来证明相应的线段相等 . 如将 CD平移 ( 过 P 作CD的平行线 ) 到 PE的位置 , 则可利用等角对等边来证明PE=BE,从而问题得证 .证明 : 过点 P 作 PE CD,∥ 交 BC于点 E.∵四边形 ABCD是平行四边形 ,

∴PE CD AB,∥ ∥∴ 四边形 PDCE是平行四边形 ,∠1＝∠ 3..

∵ ∠1 ＝∠ 2.

∴∠3 ＝∠ 2.∴PE=BE.

∴AB CD,AD BC.∥ ∥

∴PD+CD=BE+EC=BC.

D

B

C

A

P 3

1

E

12

∴ PD=EC,PE=CD.

平行四边形的判定

′

定理 : 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .

定理 : 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .

定理 : 对角线互相平分的四边形是平行四边形 .

定理 : 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 .

小结 拓展∵AB=CD,AD=BC,∴四边形 ABCD是平行四边形 . B

D

C

A

B

D

C

A

O

∵AB CD,AB=CD,∥∴四边形 ABCD是平行四边形 .∵AO=CO,BO=DO,∴四边形 ABCD是平行四边形 .

∵∠A=∠C,∠B=∠D.∴四边形 ABCD是平行四边形 .

P76 习题 3.1 2 题

1.已知 : 如图 , AC,BD是□ ABCD的两条对角线 , AE⊥BD,CF⊥BD垂足分别是 E,F.求证 :AE=CF.

证明 :

∴AD=CB,AD BC.∥∴ ∠1=∠2.

∵∠AED=∠CFB=900,

∴△AED≌△CFB(AAS).

∴AE=CF.

∵四边形 ABCD是平行四边形 ,

独立作业

分析 : 要证明 AE=CF,可转化全等三角形 (△AED≌△CFB)的对应边来证明 . B

D

C

AF

E1

2

你还有几种不同的证法