第三章 证明（三）

3.1.3 三角形的中位线

创设情境，导入新课 有一张三角形纸片，只剪一刀，如何拼接成

一个平行四边形？ 你能证明四边形 DBCF 为 平行四边形吗？

B C

A

D E F

三角形的中位线

连接三角形两边中点的线段

叫做三角形的中位线。

一个三角形有三条中位线 .

B C

A

D E

猜一猜：三角形的中位线有何性质？ 小组讨论，互相交流

B C

A

D E

已知：如图，DE是△ ABC 的中位线求证：DE∥BC，DE ＝ BC

12

B C

A

D E 证明（ 1）：延长DE至 F，使 EF＝DE，连接 CF

∵AE＝ CE，∠ AED＝∠ CEF，∴△ADE≌△CFE∴AD＝ CF，∠ ADE＝∠ F∴BD∥CF∵AD＝ BD

∴BD＝ CF∴四边形 BCFD是平行四边形

∴DF∥BC，DF＝ BC∴DE∥BC，DE＝BC

12

F

证明（ 2 ）：∵AD ＝ BD ， AE ＝ CE

∴ = =

∵ ∠A ＝∠ A

∴△ADE∽ ABC△ ∴ = , ADE∠ ＝∠ B

∴DE BC∥ ， DE ＝ BC

B C

A

D E ADAB

DEBC

12

AEAC

12

12

三角形中位线的性质 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第

三边的一半。

几何语言： ∵ DE 是△ ABC 的 ABC BC B C

A

D E

∴DE∥BC，DE＝12

如图： A 、 B 两地被池塘隔开，现要测量出 A,B两地的距离，给你的工具只有皮尺，你能想办法测量出来吗？

A .

B.

C

D

O

在空地上取一点 O ，分别连接 AO 、BO ，并延长 , 使 A0 ＝ DO ， BO ＝CO ，量出 CD 的长即为 A,B 两地的距离。

小明是这样做的：先在 AB 外选一点 C ，然后测出AC ， BC 的中点 M ， N ，再测出 MN 的长，由此他就知道了 AB 间的距离。你知道他是怎么算的吗？你能设法验证吗 ?

A .

B.

M

C N

结论 : 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

运用巩固

①已知三角形三边长分别为 6， 8， 10，顺次连接各边中点所得的三角形周长是多少？

如果三边的长分别为 a、 b、 c，那么顺次连接各边中点所得的三角形周长是多少？

周长是 12

周长是(a+b+c)

12

② 已知三角形的面积是 S, 顺次连接各边中点所得的三角形面积是多少？

4

1面积是 S

② 你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗 ? 已知 : 如图 ,D,E,F 分别是△ ABC 各边的中点

.FCBFDE

求证 : △ABC≌△ABC≌△ABC

证明 :∵ D,E,F 分别是△ ABC 各边的中点 .

.DBADEF .EACEFD

( 三角形的中位线平行于第三边 , 且等于第三边的一半 ).

∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).

B C

A

D E

F

已知：在四边形 ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H 分别是AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点。猜想：四边形 EFGH 的形状有什么特征？证明你的结论。

运用巩固

G

C

A

E

B F

DH

课堂小结

知识方面：三角线的中位线 , 三角线中位线定理

技能方面： 中位线定理证明过程中辅助线的添加

证明 “中点四边形”的辅助线的方法，连接对角线。

运用巩固

思考1. 四边形 ABCD 是平行四边形时 , 四边形 EFGH 是什么特殊图形 ?

A E

B

G CF

DH

运用巩固

思考2. 四边形 ABCD 是矩形时，四边形 EFGH 是什么特殊图形 ?

AE

B

G CF

DH

运用巩固

思考3. 四边形 ABCD 是菱形时，四边形 EFGH 是什么特殊图形 ?

E

B

A

CF

DH

G

布置作业

教科书 85 页 习题 3.3 1.2.3.4