Схемы расщепления в смешанном методе конечных...

Схемы расщепления в смешанном методе конечных элементов для решения задач

теплопереноса

Ю.М. Лаевский

1. Предварительные сведения

2. Исходная задача и смешанная формулировка

3. Схемы расщепления

3.1. Схема с попеременно-треугольной факторизацией

3.2. Схема с факторизацией типа SSOR

3.3. Схема расщепления в двумерном случае

3.4. Схема расщепления в трехмерном случае

4. Численные результаты (точность, экономичность)

5. Некоторые приложения из области термохронологии литосферы

Содержание:

2

3


Пример:

fpk )( в

0p на

pku

f u

0p на

в

01

xvxvu dpdk

)(div Hv

xxu dqfdq )(2 Lq

Найти )(div Hu и )(2 Lp такие, что

})(),(|{)( 22div LvLvvH 2)(

2)( 22

|||||||| Luu L

4


F. Brezzi, M. Fortin. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. New-York, Springer-Verlag, 1991.

К.В. Воронин, Ю.М. Лаевский. О схемах расщепления в смешанном методе конечных элементов. Сибирский Журн. Вычисл. Матем., 2012, т.15, №2, с. 101-107.

К.В. Воронин, Ю.М. Лаевский. Схемы расщепления в смешанном методе конечных элементов решения задач теплопереноса. Математическое моделирование, 2012 (в печати).

5


ft

Tc p

w Tw 0t

)(),0( 0 xx TT ),,( zyxx

),(),( 0 xx tgtT 0t 0x

),(),( 1 xx tgtn

T

0t 1x

xxwx dqfdqdqt

Tc p

0

01

dgdTd vnxvxvw

),,( zyxx

)(2 Lq ),( 1div Hv 0nv 1x

, , , ,, ,

i j k i j ki j k

T T

, ,, ,

i j ki j k

K

, , 1, ,

1 ( ) / ( ) ( ) / ( )

0 , 0

0 0

i x i xx x

i j k i j k

x x h i x x h i

��

0x ix n 1x x

y

0y

jy

m 1y

xh

yh

1

xi

x

y

12

,i jx y


)(tfdt

dTM hh

Th wB

hhh T gBwA

z

y

x

A

A

A

0

0

A

z

y

x

B

B

B

B

)(]0[ KRTw

7



Tzz

Tyz

Txz

Tyy

Txy

Txx

BMBBMBBMB

BMBBMB

BMB

111

11

1

2

12

1

02

1

RTRRH

)()( 1 TRAARAG

,00 gBAw T

,11

nnnn

M

BHw

wwG

,...2,1,0,)1(11

n

TTM nnTnT

nn

wBwB

8



nnn M 12/1)( BHwwRA

HRRAHAG 5.0)( 12 T

Устойчивость:

Реализация:

2/11

)(

nnn

T Awww

RA

Обращение матриц

Txxx BMBA 1

2

Tyyy BMBA 1

2

Tzzz BMBA 1

2

9


3.2. Схема с типа SSOR

Tzz

Tyy

Txx

BMB

BMB

BMB

1

1

1

0

0

D

0

0

00

11

1

Tyz

Txz

Txy

BMBBMB

BMBL

DAA ˆ )ˆ(ˆ)ˆ(ˆ 1 TLAALAG

,00 gBAw T

,ˆ 11

nnnn

M

BHw

wwG

,...2,1,0,)1(11

n

TTM nnTnT

nn

wBwB

)(ˆ TLLAHA

10


3.2. Схема с типа SSOR


HLALHAG 5.0ˆ)(ˆ 12 T

Реализация: nnn M 12/1)ˆ( BHwwLA

2/11

ˆ)ˆ(

nnn

T wAww

LA

2/11

n

z

nz

nz w

ww

2/1112/11

ˆ

nz

Tzyy

ny

ny

ny

wBMBAwww

2/11

1112/1

1ˆ n

zTzx

ny

nyT

yxxnx

nx

nx wBMB

wwBMBAw

ww

11



,0

00,

00

0

yy

xx E

EPP

,00 gBAw T

,2/

12/12/1

nny

nx

nn

M

BHwPHwPww

A

,2/

112/12/11

nny

nx

nn

M

BHwPHwP

wwA

,....2,1,0,)(2

1 11

n

TTM nnnT

nn

wwB

12



nx

ny

Tyx

nx

Txx

nx

nx

x MBwBMBwBMBww

A

12/112/112/1

2/

Блочно-покомпонентная форма:

ny

ny

Tyy

nx

Txy

ny

ny

y MBwBMBwBMBww

A

1112/1

2/

nx

ny

Tyx

nx

Txx

nx

nx

x MBwBMBwBMBww

A

12/112/112/11

2/

ny

ny

Tyy

nx

Txy

ny

ny

y MBwBMBwBMBww

A

111112/11

2/

13




nny

nx

nn

CC

2/12/1

2/

nny

nx

nn

CC

12/12.11

2/

2/112/1 MBABMC xxTxx

2/112/1 MBABMC yyTyy

wBTM 2/1 nn M 2/1

14



11

1/3 1/31

1

2/3 1/3 2 /3 11

1 2/3 1 11

1 11

2

2

2 2

2 2

1( )

2 2

n n

xn n n n

n n nx y z y

nz

n n n n n n

y y

n n n n n n

z z

n n n nT n n

B M

B M

B M

M

M

T TM

w w w wA P H P Hw P Hw

w w w wA P H P B

w w w wA P H P B

B w w

0 0

0 , , 0

0 0

x

x y y z

z

E

E

E

P P P

15



1/3 1/3 1

2/3 1/3 2/3 1

1 2/3 1 1

2 2

2 2

2 2

n n n n n nn n n n

x y z x y z

n n n n n n

y y

n n n n n n

z z

C C C C C C

C C

C C

Устойчивость: wBTM 2/1

2/112/1 MBABMC xxTxx

2/112/1 MBABMC yyTyy

2/112/1 MBABMC zzTzz

Схема Дугласа-Гана

nn M 2/1

Температура,

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

Кр-НикПоперем-трРасщ-2DSSORЯвная

( , , ) cos 2 sin 2 1tT t x y x y e y

2)1,0( 1,, pc

0 11, 2

y yT T

0 10x xx x

w w

52 62 72 82 92

Тепловой поток,

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

Кр-НикПоперем-трРасщ.2DSSORЯвная

52 62 72 82 92

2 100h

ок!


17


h CT , 2,LT Cw,

2,Lw

52 1.0e-1 1.0766e-3 7.5986e-4 1.0847e-3 1.3274e-3 62 2.5e-2 2.7553e-4 1.9320e-4 2.8783e-4 3.5187e-4 72 6.25e-3 6.9021e-5 4.8315e-5 7.1898e-5 8.7871e-5 82 1.5625e-3 1.7263e-5 1.2080e-5 1.7971e-5 2.1962e-5 92 3.90625e-4 4.3163e-6 3.0200e-6 4.4925e-6 5.4900e-6

Схема Кранка-Николсона, 4.102/ 2 h

h CT , 2,LT Cw,

2,Lw

52 1.0e-1 8.3979e-1 5.9275e-1 1.1951e+0 1.4319e+0 62 2.5e-2 8.4749e-2 5.9426e-2 1.4014e-1 1.6854e-1 72 6.25e-3 5.5965e-3 3.9176e-3 9.1973e-3 1.1122e-2 82 1.5625e-3 3.6373e-4 2.5451e-4 5.7777e-4 6.9715e-4 92 3.90625e-4 2.5974e-5 1.8173e-5 3.9483e-5 4.3814e-5

Схема I, 5.0 , 4.102/ 2 h

18


h CT , 2,LT Cw,

2,Lw


Схема II, 5.0 , 4.102/ 2 h

h CT , 2,LT Cw,

2,Lw


Схема III, 4.102/ 2 h

Тепловой поток,

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01


Температура,

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00


52

( , , , ) sin 2 cos 2 cos 2 1tT x y z t x y z e x

3(0,1) 1,, pc

0 11, 2

x xT T

0 10y yy y

w w

62 72 82 52 62 72 82

2 100h

0 10z zz z

w w

4. Сравнение численных результатов (точность, экономичность)

20


82 , 1.5625 3h e

21


3.0 5e

22

Моделирование Nb-рудника


23


Моделирование Nb-рудника

24

Q & A

Схемы расщепления в смешанном методе конечных...

Documents