羅惠瓊淡江大學企管系

可控制前置時間下部分允許可控制前置時間下部分允許欠撥之存貨系統訂購策略欠撥之存貨系統訂購策略

Optimal Ordering Strategies of Inventory Systems with Controllable Lead time and Variable

Backorder Rate

羅惠瓊淡江大學企管系　

可控制前置時間下部分允許欠撥之存貨系統訂購策略

前言前言

數值分析數值分析

最適策略最適策略

成本模式成本模式

結論結論

報告大綱

系統描述系統描述


　　前言　研究背景

訂購策略

-- 何時訂 ( 請購點 )

-- 訂多少 ( 訂購量 )


請購點安全存量前置時間、需求量的變異程度

存貨出貨

倉庫

缺貨 2人員

老闆，我的貨呢 ?

　　前言　研究背景


前言　相關文獻探討

Naddor(1966) ， Liberatore(1977) ，

Magson(1979) ， Kim and Park(1985) ，

Silver and Petersin(1985) ， Foote et al.(1988) ，

Azoury and Brill(1994) ， Ravichandran(1995) 等

uncontrollable 　 constant

Lead time


前置時間內各成分之關係圖 (Tersine(1982))

訂單準備時間

訂單遞送時間

供應商之前置時間

貨品運送時間

貨品整備時間

需求發生

訂單遞送

供應商收到訂單

貨品運送

收到貨品

貨品可以提供服務

Tersine (1982) 指出前置時間是由下列成份所構成

　前言　　相關文獻探討


Controllable variable

首先提出訂購量為事前決定而前置時間為決策變數的機率性存貨模式，其趕工成本函數為一分段線性函數。

推廣 Liao and Shyu(1991) 模式，除了前置時間外，並將訂購量視為決策變數，以計量方法求出使全年期望總成本為最小時之最適前置時間與最適訂購量。同時亦指出趕工成本為前置時間之負指數函數之存貨模式。

Liao and Shyu (1991)

Ben-Daya and Raouf (1994)

uncontrollable constant

Lead time

　前言


- 缺貨不可避免

缺貨

我要去別處買 !

我願意等缺貨的補足

　　前言　相關文獻探討






Lead time

　前言

推廣 Ben-Daya and Raouf (1994) 模式，以前置時間及訂購量為決策變數，並引入 Montgomery 等學者 (1973) 所建構缺貨期間缺貨數量允許部分欠撥（回補）及部分銷售損失的觀念，建構前置時間內需求量服從常態分配之混合存貨模式。

Ouyang et al.(1996)


　研究背景及相關文獻探討

　前言

缺貨

部分欠撥

部分銷售損失

部分欠撥量

部分銷售損失

backorder discount


　前言



Lead time


Ouyang et al.(1996)


推廣 Ouyang et al.(1996) 及沿用其假設，並且首先提出部分欠撥量（回補）是可經由協議的，亦即可以利用給予消費者欠撥價格折扣以提高欠撥之比率

Pan and Hsiao. (2001)


前言　研究背景及相關文獻探討安全因子安全因子會影響安全存量及請購點之訂定，進而影響整體存貨策略安全存量 ( 請購點 ) = 前置時間內之平均需求量

+ k 前置時間內需求量之標準差

安全因子

- 安全因子之決定廠商對產品缺貨風險的容忍度而自訂 ?

或納入決策變數中 ?


•以趕工縮短前置時間 + 考慮安全因子之設定

適當的安全存量•藉由欠撥價格折扣

降低缺貨所造成的損失建構期望總相關成本尋求此成本為最低之最適策略，包含訂購量、欠撥價格折扣、安全因子及前置時間。

　　前言　研究目的


D = 全年的需求量

A

= 每次設置之設置成本 h = 每單位貨品每年的持有成本

= 缺貨期間缺貨數量允許欠撥的比例，則為銷售損失的比例= 部分欠撥率的上限

　符號說明

0

0

x

= 每單位貨品的邊際利潤

= 廠商提供的每單位價格折扣

1

系統描述


　　符號說明

r = 請購點 Q = 訂購量 L = 前置時間的長度

= 單位時間內之平均需求量= 單位時間內需求量的標準差

X = 前置時間內的隨機需求量，其平均數為且標準差為=X 的累積分配函數= 期望值

)(xF

)(E

LL

系統描述


基本假設

2. 請購點 r ＝前置時間內的平均需求量 + 安全存量（ safety stock, SS ），且，即，其中 k 稱為安全因子 (safety factor) 。

)( LkSS LkLr

1. 以連續盤存（ continuously reviewed ）的方式盤查存貨水準

（ inventory level ），則每當存貨量低於請購點 r 時，就發出訂

單。

系統描述


基本假設

3. 前置時間內的作業由 n個互相獨立的成份所組成。第 i個成分有充分趕工下的最小作業時間，正常的作業時間，與單位時間的趕工成本。並假設。因此，前置時間內的充分趕工時，優先考慮第一個成份，接著是第二個成份，依此類推。

ia ib

icnccc 21

系統描述


基本假設4.令，並且以表示成份 1,2,…..,i 均為充分趕工情況下

之前置時間的長度，因此的數學式：

。在一個已知的前置時間，每一個訂購週期的趕工

成本為：

n

jjbL

10

n

j

i

jjjji niabbL

1 1

,....,2,1),(

],[ 1 ii LLL

iL

iL

1

11 )()()(

i

jjjjii abcLLcLR

系統描述


基本假設

5. 貨品的單位成本視為固定、且與訂購量無關。

6. 部分欠撥率，為一變數，且由廠商提供每單位的價格

折扣，因此，，其中。

00 x

x

00,10 x

系統描述


Q

r

L

淨存貨

時間

系統描述


　　　成本模式本研究所考慮的存貨模式為連續性盤查系統，其全年期望總成本（ Total Expected Annual Cost, EAC ）為

EAC= 全年的訂購成本 (ordering cost)

+ 全年的期望持有成本 (holding cost)

+ 全年的期望缺貨成本 (stockout cost)

+ 前置時間內的全年趕工成本 (lead

time crashing cost) 。


假設每次訂購成本為 A ，全年需求量為 D ，每次訂購

量為 Q ，因此，全年的訂購成本為

Q

DAOC

　　　成本模式全年的訂購成本 (Ordering Cost; OC)


　　　成本模式全年的期望持有成本 (Holding Cost; HC)

根據假設 1 的條件，當時，如果　　，就不會發生缺貨﹔當　　時，便產生　　的缺貨，故每一週期之期望缺貨數量為　　

r

dxxfrxrXE )()()(

xX rx rx rx

期望缺貨數量


成本模式

])()1(2

[ rXELrQ

hHC

訂購週期中一旦發生缺貨，缺貨期間之缺貨數量允許欠撥的比例為

因此，每一週期期末之期望淨存貨為

期初之期望淨存貨為

故全年之平均存貨量為 )()1(2

rXELrQ

)()1( rXELr

)()1( rXELrQ

全年的期望持有成本 (Holding Cost; HC)


成本模式全年的期望缺貨成本 (Shortage Cost; SC)

　每一週期期望欠撥數量為　每一週期期望銷售損失為　　因此全年的期望缺貨成本為

)()]1([ 0 rXE

Q

DSC x

)( rXE

)()1( rXE


])()([)(1

11

i

jjjjii abcLLc

Q

DLR

Q

DCC

成本模式全年的趕工成本 (Crashing Cost;CC)

　根據假設 4


],,[,)(

)()]1([

])()1(2

[),,,(

1

0

ii

x

x

LLLLRQ

D

rXEQ

D

rXELrQ

hQ

ADLrQEAC

(1)

成本模式建構

成本模式


Case 1:當前置時間內之隨機需求量 X 服從平均數且標準差之常態分配

LL

最適存貨策略

Case 2:

當前置時間內之隨機需求量 X 之平均數且標準差，但其分配不知

LL


Case 1:當前置時間內之需求量 X 服從平均數且標準差之常態分配時

LL

最適存貨策略 ( 一 )

)()()()( kLdxxfrxrXEr

其中　　　　　　　　　　　　)](1[)()( kkkk

: 標準常態分配的機率密度函數: 標準常態分配的累積機率分配函數


],[),()(

)]()1(2

[),,,(

1

0

0

ii

xx

LLLLRQ

DkL

Q

D

kLLkQ

hQ

DALkQEAC

(2)

xx 00

2

0

0 其中




0)}(])1([{4

1

),,,(

2

3

2

2

kQ

DhhkL

L

LkQEAC x

(3)

【性質一】

對任意給定而言，全年期望總成本的最小值必發生在區間的端點上。

),,( xkQ ],[ 1ii LL



)](2

1[

)]()4

1()([2

0

0

00

*

kLD

hh

kLLRADQ

])1([

11)(

0

0

*

QD

hk

x

220*

D

Qhx

(4)

(5)

(6)

【性質二】


【演算法一】

步驟 1 針對每一個前置時間，依次運用下列各程序：a. 令，經查表得知b. 將之值代入式（ 4 ），求算c. 再將之值代入式（ 6 ）中，獲得之值d. 將值、值代入式（ 5 ），求出e. 再經由標準常態分配表找出對應的值，並進一步得知之值f. 重複 b~e四程序，直到的值收斂為止，並假設該收斂值分別為

niLi ,....,1,0, 3989.0)( ik

)( ik iQiQ xi

iQ xi )( ik

ik )( ik

xiii kQ ,,*** ,, xiii kQ


0ik


步驟 2 針對每一組，計算其全年期望總成本

步驟 3 比較步驟 2 所獲得之 n+1組最小的全年期望總成本，

，並令那麼為此模型的最適解（ optim

al solution ），因此最適請購點為。

),,,( ****ixiii LkQ

niLkQEAC ixiii ,,1,0,),,,( ****

),,,(min),,( ****,.....,1,0

****ixiiinix LkQEACLkQEAC

),,( **** LkQ x**** LkLr



：前置時間內需求量具有相同平均數和標準差

之所有累積分配函數 F 所形成的集合

L L

Case 2:

當前置時間內之隨機需求量 X 之平均數且標準差，但其分配不知

LL

最適存貨策略 (二 )



大中取小分配不拘原則

在所有具有相同分配函數所形成的集合中，找出具有最大全年期望總相關成本的分配函數 F ，然後在此分配函數下，求出使全年期望總相關成本為最小之訂購量、請購點、欠撥折扣及前置時間，若以數學式表示，則此模型可以表示為求解

　　　　　),,,(maxmin

0,0,0,0LrQEAC x

FLrQ x

(7)



【命題一】對任意的 F

)]()([2

1)( 22 LrLrLrXE

　　　 (8)


(9)

xx 00

2

0

0 其中


],,[),(

])1()[1(2

1

)2

(),,,(

1

0

02

ii

x

xu

LLLLRQ

D

Q

DhkkL

LkQ

hQ

ADLkQEAC

LkLr

之上界函數),,,( LkQEAC x


最適存貨策略 (二 )【性質三】

對任意給定而言，全年期望總成本的最小值必發生在區間的端點上。

),,( xkQ ],[ 1ii LL

(10)0])1()[1(

8

14

1),,,(

0

022

3

2

3

2

2

Q

DhkkL

LhL

LkQEAC

x

x

u


最適存貨策略 (二 )【性質四】在給定 L 時

(11)

(12)

(13)

)]1(42

1[

)]()1()4

1([2

2

0

20

200

*

kkLD

hh

LRkkLADQu

])1([21

)(10

02*

*

Q

Dh

h

k

k

xu

u

220*

D

Qhux



【演算法二】

步驟 1 針對每一個前置時間，依次運用下列各程序：

a. 令 b. 將之值代入式（ 11 ），求算c. 再將之值代入式（ 13 ）中，獲得之值d. 將值、值代入式（ 12 ），求出e. 重複 b~d四程序，直到的值收斂為止，並假設該收斂值

分別為

niLi ,....,1,0,

iQiQ xi

iQxi ik

xiii kQ ,,

0ik

ik

uxi

ui

ui kQ ,,


步驟 2 針對每一組，計算其全年期望總成本

步驟 3 比較步驟 2 所獲得之 n+1組最小的全年期望總成本，

，並令那麼為此模型的最適解（ opti

mal solution ），因此最適請購點為。


， i=0,1,…,n

),,,( i

u

xi

u

i

u

i LkQ ),,,( i

uxi

ui

ui

u LkQEAC

),,,( **** uux

uuu LkQEAC ),,,(min ,,1,0 iuxi

ui

ui

uni LkQEAC

),,,( **** uux

uu LkQ **** uuuu LkLr


數值範例

D = 600 單位 / 年

A = $200/ 每次訂購

h = $20 單位 / 年

= $150/ 單位

= 7 單位 /週0

數值分析


表 1 　前置時間內各成分之相關資料前置時間組成成分

i

正常作業時間

bi(天 )

充分趕工作業時間

ai (天 )

單位時間趕工成本ci ($/天 )

1 20 6 0.4

2 20 6 1.2

3 16 9 5.0

數值分析數值範例


數值分析數值範例 (Case 1)

0.2 120.86 70.64 77.01 4 2968.51

0.35 120.9 70.5 77.01 4 2973.23

0.5 120.93 70.22 77.02 4 2978.07

0.65 120.98 70.08 77.01 4 2984.22

0.8 121.03 69.8 77.02 4 2991.78

0.95 121.08 69.52 77.02 4 3000.81

0 *L*Q *

x*r ),,,( **** LrQEAC x

表 2 　最適訂購策略


2500

3000

3500

4000

4500

5000

0 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3 3. 5

k

EAC

EAC

Pan. and Hsiao. (13) k=0.85給定 EAC= 3347

本研究 =1. 83EAC=2969

可節省成本約 11%( )%1003347

29693347

*k

與 Pan and Hsiao(2001) 比較


數值分析數值範例 (Case 2)

表 3 　最適訂購策略

0.2 172.64 77.42 77.88 3 3821.91

0.35 171.80 76.54 77.86 3 3808.86

0.5 170.95 75.64 77.85 3 3795.90

0.65 170.07 74.71 77.83 3 3783.04

0.8 169.18 73.76 77.82 3 3770.34

0.95 168.27 72.77 77.80 3 3757.85

0 *uQ *ur*u

x *uL ),,,( **** uux

uuu LrQEAC


數值分析數值範例

不同下之 EVPI0

0 ),,,( **** uu

x

uuN LkQEAC EVPI Cost

Penalty

0.95 3367.7 3000.81 366.88 1.12

0.8 3391.1 2991.78 399.32 1.13

0.65 3414 2984.22 429.78 1.14

0.5 3436.41 2978.07 458.34 1.15

0.35 3458.33 2973.23 485.1 1.16

0.2 3479.78 2968.51 511.27 1.17

),,,( **** LkQEAC x

N


結論本研究探討在可控制前置時間且欠撥率可協議

之前提下的存貨模式，尋求使全年期望總相關成本為最小之最適訂購量、請購點、欠撥折扣、前置時間。本研究推廣 Pan and Hsiao(2001) 所建構之模式，

並將安全因子視為決策變數。當需求量之分配未知時，以大中取小分配不拘大中取小分配不拘原則獲得近似最佳策略原則獲得近似最佳策略。根據數值範例求出完整情報價值之期望價值後，

結果發現前置時間內，大中取小分配不拘原則大中取小分配不拘原則不失為求得最適近似解的有效方法。

THE END

Thanks for your attention!!

羅惠瓊 淡江大學企管系

Documents

羅惠瓊淡江大學企管系