機率的意義 機率運算法則 機率分佈 二項分佈 卜瓦松分佈

第四章 . 分立機率分佈

P

機率就是長期下來事件自然發生的結果，其所佔的比例 (相對次數 )。

機率是介於 0與 1之間，其結果之機率和為 1。擲一質地均勻的骰子，若擲很多次時，則每面出現的機率為 1/6 。男女出生的比例約為 1/2 ，即為性別出現的機率。

4.1 機率的意義

11

.5 .5

00

必然發生 Certain

不會發生 Impossible

P (Event)P (A)

試驗 (experiment) ：獲得一個結果 (outcome) 或簡單事件 (event) 之觀測值的過程。試驗結論的推定，主要看資料的可信度，如果可信度高其結論可靠，如果低其結論就不可靠了。機率論 (probability theory) ：決定可信度高低的方法。如進行 A、 B兩種療效比較試驗，各選取 50位病人，結果 A療法有 45人治癒， B療法有 42人治癒，若說 A法比 B法好，則此推論是否可靠？

機率的意義

各種形式的統計問題，都是以機率論的原理來解釋所發生的現象。

如擲硬幣，有正面及反面兩種，若擲很多次，則可得一隨機序列 (random series) 隨機試驗。

機率的意義

HHTHTTHHTTTHHTHTT… H 或 T之 比例為 1/2 ( 機率 )

H 或 T ：事件 (event) 、結果 (outcome)

Cumulative coin tosses (Cumulative coin tosses ( 累積投擲次數累積投擲次數 ))

Total headsTotal headsNumber of tossesNumber of tosses

0.000.00

0.250.25

0.500.50

0.750.75

1.001.00

00 5050 150150 200200100100

== 出現人頭的機率出現人頭的機率

隨機試驗 (random experiment) ：試驗前已知所有可能發生的結果，但卻無法預知會發生何種試驗結果。而在相同情況下，試驗可重複進行。 樣品空間 (sample space) ：隨機試驗之所有樣品點所形成的集合，通常以 S 表示之。

擲骰子的試驗，其樣品空間為 {1， 2， 3， 4， 5，6}，而其中的 1、 2、 3、 4、 5、 6為樣品點。

事件 (event) ：樣品空間的部分集合稱為事件。 如 {1， 6}為一事件。

機率基本觀念補充

SS

2244

11

66

Sample spaceSample space 樣品空樣品空間間

S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Venn Diagram 范氏圖

Experiment: Experiment: 擲骰子的試驗

eventevent 事事件件

樣品點樣品點

集合的呈列

補充

55

33{1, 6}{1, 6}

加法法則 (addition rule) ：a) 互斥事件 (exclusive events) ：如果事件沒有共

同的樣本點，則稱為互斥事件。

4.1.1 機率運算法則

例子：丟擲一個均勻的骰子一次，出現 1或 3的機率為何？解：丟擲一個均勻的骰子，每一樣品點出現的機率皆為相等，假設 為出現 1的事件， 為出現 3的事件，則其發生的機率為：

)(AP )(BP

SS

Venn Diagram 范氏圖互斥事件 (exclusive events)

Experiment: Experiment: 擲骰子的試驗

3/16/16/1)()( BPAP

33 11

b) 非互斥事件：

機率運算法則

例子 4.1 ：某班學生 50人，其中 20 歲的學生有 35人，女性學生有 30人，而女性學生中 20歲的有 21 人，則此班學生年齡為 20歲或是女性的機率有多少？ 解：

42.05021)&(

6.05030):(

7.05035)20:(

BAP

BP

AP

女性歲

88.042.06.07.0

)()()()(

BAPBPAPBAP

SS

Venn Diagram 范氏圖非互斥事件

SS

SS

SS

P(A B)∪ ＝ P(A)+P(B)-P(A∩B)

A B

A∩B A∪B

乘法法則 (multiplication rule) ：• 當兩試驗同時進行，而各試驗之某事件同時發

生的機率，為兩事件獨立發生機率之相乘積。

機率運算法則

例子：某地區男女性別比為男性 0.51 ，女性則為 1-0.51=0.49 ，試問若一個家庭四個小孩皆為女性的機率為何？又若一個家庭四個小孩一個為男性的機率為何？

機率運算法則

解：設四個皆為女性的機率為 0576.0)49.0()( 4 GGGGP

而四個當中有一個為男性，則有下列幾種現象： BGGG 、 GBGG 、 GGBG 、 GGGB ，其每種現象之機率皆為

06.0)51.0()49.0( 3

所以四種現象之機率和為 4(0.06)=0.24

令 A、 B為定義於樣品空間的事件，在已知事件 B發生的條件下，事件 A發生的機率，即稱為事件 A的條件機率，其可表示為

4.1.2 條件機率Condition Probability

0)( BP)(

)()(

BP

BAP

NN

NNBAP

B

AB

)(

)()(

AP

BAP

NN

NNABP

A

AB 0)( AP

條件機率

B( 大於 3500 克 ) Bc( 小於 3500克 )

和

產婦 A ( 大於 30歲 )產婦 Ac ( 小於 30歲 )

80 20

90 10

100

100

170 30 200產婦大於 30歲，嬰兒體重超過 3500 克之機率 ?產婦小於 30歲，嬰兒體重超過 3500 克之機率 ?

例4.3 調查產婦年齡與初生嬰兒體重之現象：

隨機變數 (random variable) ：隨機試驗中，出現不同結果之對應的實數值，即稱為隨機變數。

4.2 機率分佈Probability Distribution

機率分佈

擲兩枚硬幣

變數：出現正面的次數

隨機試驗

反反正反反正正正

X=0X=1X=2

1/42/41/4

隨機變數 X 機率 f(x)

隨機變數 X

隨機變數 (X) 是以整數出現，而將不同隨機變數出現的次數除以試驗總次數，即得各隨機變數唯一對應的機率。例 4.4 ：同時擲三枚質地均勻的硬幣，若以正面 (H) 數為隨機變數 X ，則 X 機率分佈如下：

4.3 分立隨機變數機率分佈

Event X 機率｛ TTT｝ 0 1/8

｛ HTT,THT,TTH｝

1 3/8

｛ HHT,HTH,THH｝

2 3/8

｛ HHH｝ 3 1/8

表4.2

1)(0 ixf

k

iixf

1

1)(

機率分佈與相對次數不同，前者是在整個族群中穩定不變的理論，而後者隨樣品的不同而異，當樣品很大時，相對次數可能接近理論機率分佈。

分立隨機變數機率分佈

0

1/8

2/8

3/8

0 1 2 3 X

f (x)

分立隨機變數 X 之平均值 (未知資料的平均值 )即稱為期望值。定義如下：

分立隨機變數期望值為該變數可能值的加權平均，其權數為該數值出現的機率。如擲骰子很多次，每一點出現的機率應為 1/6 ，其族群平均值為：

4.4 期望值與標準偏差

k

iii xfxXE

1

)()(

1 1 1 211( ) 2( ) 6( ) 3.5

6 6 6 6

例 4.5 ：設 X 為同時擲三個質地均勻的硬幣，其出現正面之次數，試求 X 之期望值 (平均值 )？

期望值與標準偏差

)( ixfx x

0123

1/83/83/81/8

03/86/83/8

合計 1

)( ixf

1

( ) ( ) 12 / 8 1.5k

i ii

E X x f x

因 為隨機變數 X 之中心值，以 表示其偏差，則變數 X 之變方，可以偏差平方的期望值求得。 隨機變數 X 之變方為：

期望值與標準偏差

X

2

2

1

2

1

222

)(

)(

)()()(

XSD

xfx

xfxXEXV

k

iii

k

iii

例 4.7：求例子 4.5 同時擲三個質地均勻的硬幣，其出現正面之次數 (X) 之變方及標準偏差？

期望值與標準偏差

75.025.23

)5.1(8/138/32

8/318/10

)(

222

22

1

222

n

iii xfx

8660.075.0)( XSD

二項分布 (Binomial distribution)

試驗結果僅有二種結果 小孩性別：男，女 擲硬幣：正，反 種子發芽：發芽，不發芽 殺蟲劑成效：死亡，存活 政策：贊成；反對 進入商店：購買；不購買 一般：成功 (S)；失敗 (F)

二項分佈 (Binomial distribution)

•問題：根據過去經驗一個顧客進入 某一家商店會購買商品的機率為 0.4(40％ ) ，請問三位顧客中 有二位會購買商品之機率為何？ 隨機變數 X：購買商品的顧客 可能出現的值： 0,1,2,3

問題 :p(x=2)=?

補充

二項分佈 (Binomial distribution)

問題特性：1.本試驗包括三個相同的小試驗 每一小試驗是顧客購買商品2.每一小試驗只有二種結果 購買 (S) 或不購買 (F)3.P(S)=0.4； P(F)=1-P(S)=0.64. 每一個顧客買的機率均為 0.45. 每一個顧客均獨立購買商品 (不受他人影響 )

二項分佈 (Binomial distribution)

樣品空間

X=2 之事件包含的結果為 ｛ SSF,SFS,FSS｝

SSS FFS

SSF FSF

SFS SFF

FSS FFF

二項分佈 (Binomial distribution)

P(SSF)=P(S)P(S)P(F)=(0.4)(0.4)(0.6)=(0.4)20.6

P(SFS)=P(S)P(F)P(S)=(0.4)(0.6)(0.4)=(0.4)20.6

P(FSS)=P(F)P(S)P(S)=(0.6)(0.4)(0.4)=(0.4)20.6

P(X=2)=P(SSF)+P(SFS)+P(FSS)

=(0.4)20.6+(0.4)20.6+(0.4)20.6

=3(0.4)20.6=0.288

1. 0.4 為顧客購買商品之機率＝ p2. 0.6 為顧客不購買商品之機率＝ q＝ (1-p)3. 3 為 X=2 事件包含結果之個數 即 3位顧客中有兩位顧客會 購買商品的可能組合 SSF→第一位，第二位 SFS→第一位，第三位 FSS→第二位，第三位4.

2 2( 2) (0.4) (0.6) 3(0.4) (0.6) 0.288P x

3

2

二項分布 (Binomial Distribution)

1. 試驗包括 n個相同小試驗2. 每個小試驗包括二個結果成功 (S) 或失敗 (F)3. 成功機率為 p, 失敗機率為 q=1-p4. 小試驗間為互相獨立5. X為成功次數6. !

( )!( )!

x n x x n xn nP x p q p q

x x n x

二項族群之平均值與變方

例如一個二項族群觀測值僅有五個如下 0,1,0,1,1( 如 1代表贊成 ,0代表反對 ) N=5

族群平均值 :

族群變方 :

(0 1 ... 1) / 5 3/ 5 0.6 p

2 2 2 2 2(0 1 ... 1 3 / 5) / 5 1.2 / 5 0.24 0.6 0.4

(1 )p p p q

二項族群之樣品平均值與變方如從一個二項族群 0,1,0,1,1,0,1,… 中隨機抽取四個觀測值為一樣品如下 :

0,1,0,1( 如 1代表贊成 ,0代表反對 ) n=4樣品平均值 : 樣品平均值變方 : (注意 :0.6 在前 ,0.4 在後 )

樣品平均值變方估值 :(注意 :0.4 在前 ,0.6 在後 )

_

(0 1 0 1) / 4 2 / 5 0.4x p

_

2_2 0.6 0.4

( ) 0.064x

pqV x

n n

_

22 0.4 0.6

0.064x

p q

n n

二項分佈 (Binomial Distribution)

二項分布樣品和 (T= ) 之期望值與變方 成功機率為 p,其二項分立隨機變數，記以 X~B(n,p ）

若 p 未知 ,則以其估值 代替

ix

2

4 0.6 2.4

4 0.6 0.4 0.96

0.96 0.98

T

T

T

np

npq

npq

p

[例 ]有一醫學試驗進行某新藥品對某疾病的治療效果，我們希望新藥品治癒率達 90％，（無效率為 10％）。今試驗 20位病人，若其治癒率可靠，則應有多少病人治癒？而最多有 15位病人治癒之機率為多少？

由二項分布期望值公式，其治癒人數為： E(X)=np=20(0.9)=18人

而最多有 15位病人治癒之機率可利用二項分布累計機率公式求得：

至少有 16位病人治癒的機率為：

15

0

1520

0

( 15) ( )

200.9 0.1

0.0432( )

x

x x

x

P X f x

x

（ ）（ ）

附表二

( 16) 1 ( 15)

1 0.0432

0.9568

P X p X

[例 4.10] 有一健保意見調查，若設 80％居民 贊成，今獨立隨機訪問 15位居民， 8 個以上居民贊成之機率為多少？有 10 個至 14 個居民贊成之機率有多 少？(1)至少有 8位居民贊成之機率為 Pr(X≧8)=1-Pr(X≦7) 今 n=15, x=7, p=0.8 查附表 2得 Pr(X ≦7)=0.0042

二項分布 (Binomial Distribution)

故至少有 8位居民贊成之機率為 1-0.0042=0.9958

(2) 有 10至 14 位居民贊成之機率為

Pr(10≦X≦14)

=P(X≦14)-P(X≦9)

=0.9648-030611=0.9037

卜瓦松分布 (Poisson Distribution)

卜瓦松分布為稀少事件個數之分布 二項分布中 n很大且 p很小時，其分布即變成 卜瓦松分布 例：十字路口車禍之次數 騎兵被馬踢死之人數 中正機場塔台發生錯誤的次數 一 c.c.血液中某種細菌之個數

卜瓦松分布 (Poisson Distribution)

機率公式

μ為卜瓦松分布之平均‧卜瓦松分布之特性 μ=σ2

( )!

xep X x

x

不同之卜瓦松分布圖

例：某醫院經過幾年的調查統計，平均一天有 2位車禍病人求診，若車禍病人屬卜瓦松分布，試求一天多於 3位車禍病人求診之機率。

μ＝ 2, 車禍病人 x ＝ 0,1,2,3 之機率如下表

卜瓦松分布機率求法

完全沒有車禍病人之機率只有 13.534％， 有一個車禍病人之機率為 27.067 ％， 有二個車禍病人之機率為 27.067 ％，而有三個車禍病人之機率為 18.045％，大於三個車禍病人之機率為： P(X ＞ 3)=1-p(X≦3)=1-0.85713 =0.14287=14.287%

例：設在高速公路上平均每天有 5次車禍發生，若 x為某天 發生車禍之隨機變數，求下列各項機率：(a) 沒有車禍發生(b) 少於 3次車禍(c) 多於 3次車禍高速公路來往車輛很多，平均一天發生 5次車禍應屬於卜瓦松分布，故上述各項機率為：

(a)

(b)

=0.00674+0.03369+0.08422+0.14037 =0.26502=26.502%(c) P(X ＞ 3)=1-P(X≦3)=1-0.26502=0.73498=73.3498%

05 5

( 0) 0.00674 0.674%! 0!

x

p X e ex

0 1 2 35 5 5 55 5 5 5

( 3)0! 1! 2! 3!

P X e e e e

The End