第八章 数字信号的最佳接收

• 1 、引言• 2 、数字信号接收的

统计表述• 3 、关于最佳接收的

准则• 4 、确知信号的最佳

接收• 5 、随相信号的最佳

接收

• 6 、起伏信号的最佳接收

• 7 、普通接收机与最佳接收机的性能比较

• 8 、匹配滤波器• 9 、最佳基带传输系

统

●● —— —— 主要内容主要内容

8.1 引言 通信系统中信道特性不理想及信道噪声

的存在，直接影响接收系统的性能，

而一个通信系统的质量优劣在很大程度上取决于接收系统的性能。

研究从噪声中如何最好地提取有用信号，且在某个准则下构成最佳接收机，使接收性能达到最佳，这就是最佳接收理论。

研究对象 接收问题

研究的问题

最佳接收或信号接收最佳化的问题

从数字信号接收统计模型出发，依据某种最佳接收准则，推导出相应的最佳接收机结构，然后再分析其性能。

前面分析的问题是

给出接收机模型然后分析其性能

现在讨论的问题是

8.2 数字信号接收的统计表述

带噪声的数字信号的接收，实质上是一个统计接收问题，

也可以说数字信号接收过程是一个统计判决过程。从统计学的观点来看，数字信号接收可以用一个统计模型来表述 .

x ys

n

判 决 规 则

消息空间 信号空间 观察空间 判决空间

噪声空间

数字信号接收的统计模型

消息空间、信号空间、噪声空间、观察空间及判决空间分别代表消息、信号、噪声、接收波形及判决的所有可能状态的集合

在数字通信系统中， 消息是离散的状态， 设消息的状态集合为 X={x1, x2, …, xm}

若消息集合中每一状态的发送是统计独立的， 第 i

个状态 xi 的出现概率为 P(xi)，

则消息 X 的一维概率分布为

X1 x2 … xm

P(x1) P(x2) … P(xm)

根据概率的性质有1

( ) 1m

ii

p x

若消息各状态 x1, x2, …, xm 出现的 概率相等，则有

1 2

1( ) ( ) ( )mP x P x P x

m

消息是各种物理量， 本身不能直接在数字通信系统中进行传输

需要将消息变换为相应的电信号 s(t) ，用参数 S 来表示。

因此

将消息变换为信号可以有各种不同的变换关系，通常最直接的方法是建立消息与信号之间一一对应的关系，即消息 xi 与信号 si(i=1, 2 … ， ， m)

相对应。

这样，信号集合 S 也由 m 个状态所组成

即S={s1, s2, …, sm}

并且信号集合各状态出现概率与消息集合各状态出现概率相等，即

1 1

2 2

( ) ( )

( ) ( )

P s P x

P s P x

=

=

( ) ( )m mP s P x=

.

.

.

同时也有

n

iisp

1

1)(

若消息各状态出现的概率相等， 则有

1 2( ) ( ) ( )mP s P s P s= = =

P(si) 是描述信号发送概率的参数

通常称为先验概率， 它是信号统计检测的第一数据

信道特性是加性高斯噪声信道，噪声空间 n 是加性高斯噪声。

在前面各章分析系统抗噪声性能时，用噪声的一维概率密度函数来描述噪声的统计特性 ,

在本章最佳接收中，为了更全面地描述噪声的统计特性，采用噪声的多维联合概率密度函数。

噪声 n的 k 维联合概率密度函数为

1 2( ) ( , , , )k kf n f n n n=

n1, n2, …, nk 为噪声 n 在各时刻的可能取值

若噪声是高斯白噪声， 则它在任意两个时刻上得到的样值都是互不相关的，同时也是统计独立的；

注意

若噪声是带限高斯型的，按抽样定理对其抽样，则它在抽样时刻上的样值也是互不相关的， 同时也是统计独立的

根据随机信号分析，若随机信号各样值是统计独立的，则其 k 维联合概率密度函数等于其 k 个一维概率密度函数的乘积，即

1 2 1 2( , , , ) ( ) ( ) ( )k k kf n n n f n f n f n =

f(ni) 是噪声 n在 ti 时刻的取值 ni 的一维概率密度函数

k

ii

nk

n

k nnf1

222

1exp

)2(

1)(

2

2

2

)(exp

2

1)(

nn

xnf

若 ni 的均值为零，方差为 σ2n ，则其一维概率密度函数为

噪声 n的 k 维联合概率密度函数为

2n 是噪声的方差，即功率

根据帕塞瓦尔定理， 当 k 很大时有

Hn

T

kn

n

k

ii

H

T

fn

dtnn

nf

nTf

dttnT

/

)(1

exp)2(

1)(

2

1)(

1

20

0

2

0

2

1

2

0

2

k

ii

H

Tn

Tfdttn

T 1

2

0

2

2

1)(

1

k

ii

H

nTf 1

2

2

1代表在观察时间（ 0,T) 内的平均功率

上式表示为：

dtn

nnf

T

kn

)(1

exp)2(

1)(

0

2

0

Hn fn /20 n0 为噪声的单边功率谱密度

信号通过信道叠加噪声后到达观察空间， 观察空间的观察波形为

( ) ( ) ( )y t n t s t= +

由于 n(t) 是均值为零， 方差为 σ2n 的高斯过程，则当

出现信号 si(t) 时 , y(t) 的概率密度函数 fsi(y) 可表示为

2

00

1 1( ) exp ( 1,2,..., )[ ( ) ( )]

( 2 )

T

si ikn

f y i my t s t dtn

fsi(y) 称为似然函数，它是信号统计检测的第二数据

根据 y(t) 的统计特性，按照某种准则，即可对 y(t) 作出判决， 判决空间中可能出现的状态 r1, r2, …, rm 与信号空间中的各状态 s1, s2, …, sm 相对应。

8.3 关于最佳接收的准则

在数字通信系统中，最直观且最合理的准则是

“最小差错概率”准则

在通信中，由于噪声和畸变的作用，使接收发生错误，我们总期望错误接收的概率越小越好

原因

由于在传输过程中，信号会受到畸变和噪声的

干扰，发送信号 si(t) 时不一定能判为 ri 出现，而是判决空间的所有状态都可能出现

以二进制数字通信系统为例分析其原理

问题

二进制数字通信系统，在噪声背景下按何种方法接收信号才能获得最小错误概率？

思路 先找出每一次判决总的平均错误概率

0

20

1)()()()( 21

y

sy se dyyfsPdyyfsPP

然后用求极值的方法，使 满足eP

00

y

Pe

找到最佳划分点，可得似然比准则为

21

2

11

2

)(

)(

)(

)()(

)(

)(

)(

2

1

2

1

判为

判为

sP

sP

yf

yfsP

sP

yf

yf

s

s

s

s

当 时，得到的最大似然准则为)()( 21 sPsP

2

1

)()(

)()(

21

21

判为判为

yfyf

yfyf

ss

ss

对于多进制情形，假定先验等概，最大似然准则可表示为

)21()()( jimjiyfyf iss ji ；，，，，判为

8.4 确知信号的最佳接收

经过信道到达接收机和输入端的信号可分为两大类：一类称为确知信号，另一类称为随参信号

确知信号是指一个信号出现后，它的所有参数 ( 如幅度、频率、 相位、到达时刻等 ) 都是确知的 , 如数字信号通过恒参信道到达接收机输入端的信号。

在随参信号中，根据信号中随机参量的不同又可细分为随机相位信号、随机振幅信号和随机振幅随机相位信号 (又称起伏信号 ) 。本节讨论确知信号的最佳接收问题。

8.4.1 二进制确知信号最佳接收机

设到达接收机输入端的两个确知信号为

和 , 它的持续时间为 ，且有相等的能量 , 噪

声 是高斯白噪声，均值为零，且单边功率谱密度为 。

设计一个接收机，能在噪声干扰下以最小的错误概率检测信号。

)(1 ts

)(2 ts ),0( T

)(tn

0n

要做的工作

在观察时间（ 0,T) 内，观察到的波形 y(t) 可以表示为：

y(t)={s1(t)或 s2(t)}+n(t)

2

00

1 1( ) exp ( 1,2,..., )[ ( ) ( )]

( 2 )

T

si ikn

f y i my t s t dtn

T

kn

s dttstyn

yf0

21

01 )()(

1exp

)2(

1)(

T

kn

s dttstyn

yf0

22

02 )()(

1exp

)2(

1)(

由判决规则知：若

T

T

dttstyn

sp

dttstyn

sp

0

22

02

0

21

01

)()(1

exp)(

)()(1

exp)(

则，判为 s1 出现

T

T

dttstyn

sp

dttstyn

sp

0

22

02

0

21

01

)()(1

exp)(

)()(1

exp)(

若

则，判为 s2 出现

P(s1),p(s2) 分别是 s1(t) ， s2(t) 的先验概率

化简上述不等式，（两边取对数）

T

T

dttstysp

n

dttstysp

n

0

22

20

0

21

10

)()()(

1ln

)()()(

1ln

判为 s1 反之判为 s2

s1(t) 、 s2(t)具有相同的能量

EdttsdttsTT

0

220

21 )()(

上式还可以化简为

20 220 11

10 220 11

)()()()(

)()()()(

sdttstyUdttstyU

sdttstyUdttstyUTT

TT

判为

判为

)(ln2 10

1 sPn

U

)(ln2 2

02 sP

nU

可得最佳接收机原理框图

相乘器

相乘器 积分器

积分器 相加器

相加器

比较器)(ty )(1 ts

)(1 ts

1U

1U

输出

二进制确知信号的最佳接收机结构

这种最佳接收机的结构是按比较 y(t) 与 s1(t) 和 s2(t) 的相关性而构成的，故称为相关检测器

图中比较器是在时刻 t=T 进行比较的，可理解为一个抽样判决电路。如果先验概率则

去掉相加器，就可以得到先验等概时最佳接收机简化结构。

)()( 21 sPsP

21 UU

8.4.2 二进制确知信号最佳接收机的性能

最佳接收机是按最佳判决规则设计的，具有最小的

错误概率 eP

eP 也表征了最佳接收机的极限性能

发送 s1(t) 却判为 s2(t) 出现的概率为 ，

发 s2(t) 却判为 s1(t) 出现的概率为 ，

则错误的概率为：

)( 21sPs

)( 12sPs

)()()()( 1221 21sPsPsPsPP sse

)()()()( 1221 21sPsPsPsPP sse

)2

1)(()

2

1)(( 2/

22/

1

22

b

z

b

z dzesPdzesP

x

z 其中

T

T

dttstsn

sPsPdttsts

nb

0

221

0

21

0

221

0 )]()([2

1

)](/)(ln[2)]()([

2

1

T

T

dttstsn

sPsPdttsts

nb

0

221

0

12

0

221

0 )]()([2

1

)](/)(ln[2)]()([

2

1

所求的最佳接收机的极限性能 Pe 与先验概率p(s1),p(s2) 、噪声功率谱密度 n0 及两信号之差的能量有关，而与 s1(t) 及 s2(t) 本身的具体结构无关

由此可以看出

在 n0 及两信号之差的能量一定时 ,Pe 和先验概率的关系如下：

(1 ）当 预先知道，就不会发生错误

（ 2）当 时，即先验等概， Pe 最大；

（ 3）当 时，即先验不等概，得到的 Pe 比等概 时略有下降。

，，或 00)(

)(

2

1 ePsP

sP

)()( 21 sPsP

)()( 21 sPsP

先验等概对于差错性能而言是一种最不利的情况，实际中常按此假设设计最佳接收机结构 .

8.4.3 二进制确知信号的最佳形式

定义信号 s1(t) 和 s2(t) 的相关系数 ρ 为

21

0 21 )()(

EE

dttstsT

E1 、 E2 分别是 s1(t) 和 s2(t) 在 0≤t ≤T 内的能量

其取值范围为 (-1,1)

当 E1 ＝ E2 ＝ Eb 时

先验等概时极限性能 Pe 可表示为

0

2/

2

)1(

2

1

2

1 2

n

EerfcdzeP b

b

ze

当 ρ＝－ 1 时， Pe 有最小值，此值为 :

02

1

n

EerfcP b

e

当 ρ＝ 0 时， Pe 为 :022

1

n

EerfcP b

e

2

1eP当 ρ＝ 1 时， Pe 有最大值，此值为 :

结论

二进制确知信号的最佳形式即为使 ρ＝－ 1 的形式

使 ρ＝－ 1 的形式，对应 2PSK 信号

使 ρ＝ 0 的形式，对应 2FSK 信号 . 将比 ρ＝－1 的形式的信号形式在信噪比性能上劣 3dB

使 ρ＝ 1 或越接近 1的信号形式，其接收性能就越差，以至通信无效

8.7 普通接收机与最佳接收机的性能比较

普通接收系统和最佳接收系统分析的 Pe 在形式上是相同的，即实际接收系统的 r (r=S/N)

r为信号功率， N为噪声功率 ，

与最佳接收系统的 Eb/n0

相对应。

Bn

S

N

Sr

0

Tn

S

n

ST

n

Eb

10

00

TB

1即、当 时，两种系统具有完全相同的性能

但普通接收机的带通滤波器带宽 B 总是大于 1/T

在同样的输入条件下，普通接收机性能总比最佳接收机的性能差。

因此

8.8 匹配滤波器

8.8.1 匹配滤波器的原理

匹配滤波器是指输出信噪比最大的最佳线性滤波器。

如果滤波器的输出端能够获得最大信噪比，则就能

最佳地判决信号的出现，从而提高系统的检测性能。

设给定输入信号 :s(t)

其频谱是； )(S

输入噪声为白噪声： n(t)2

)( 0nPn

求与之相匹配的线性滤波器

问题

（ 1）匹配滤波器在抽样时刻 t0 上有最大信噪比，即

00

2

0max0

2)(

n

E

N

tsr

E为信号 s(t) 的总能量，即

0

2)(

1

dSE

为使物理可实现， t0 是输入信号 s(t) 消失的时刻。

（ 2）确定 H（ ω）：

出现 t0max 的条件是 :

线性滤波器的传输特性 H（ ω）满足如下关系，

即 :0)()( tjeSKH

H（ ω）就是最佳线性滤波器传输特性

由于该传输特性与信号频谱的复共轭相一致，故又称其为匹配滤波器。

（ 3）匹配滤波器的单位冲激响应 h(t) 为

)()( 0 ttKsth

h(t) 是信号 s(t) 的镜象信号 s(-t) 在时间上再平移t0 。

说明

（ 4 ）匹配滤波器的输出信号 s0(t) 为：

)()( 00 ttRKts

说明

匹配滤波器的输出信号 s0(t) 是输入信号 s(t) 的自相关函数的 K 倍，所以匹配滤波器可以看成是一个相关器。

8.8.2 匹配滤波器的实现对各种可能信号相匹配的滤波器的综合是一个非常复杂的问题，只介绍对矩形包络信号相匹配的滤波器的实现

单个矩形包络信号的匹配滤波器的实现方法有以下 几种：LC谐振式动态滤波器，模拟计算式动态滤波器，数字式动态滤波器，声表面波滤波器。

8.9最佳基带传输系统

最佳基带系统的定义

接收系统的最佳化并不等于整个通信系统的最佳化。如果一基带系统能够在具有噪声的信道中以最小的差错概率传送信息，则该系统就称为最佳。确切地说，最佳基带系统可定义为消除码间干扰而抗噪声性能最理想（即 Pe 最小）的系统

8.9.1 理想信道下的最佳基带系统

基带系统的传输特性为：

)()()()( RT GCGH

理想信道时 )(1)( 或常数C

则： )()()( RT GGH

要得到消除码间干扰，同时 Pe 最小的基带系统，则需要有下列关系存在：

)()()( HGG RT

理想信道下最佳基带系统的结构如图所示，也称为最佳分配设计