第一章 复数与复变函数

By 付小宁

1. 复数的概念§1 复数及代数运算

回忆

… 复数的一般形式？Z=a+bi(a, b∈R)实部 ! 虚部 ! 一个复数由什么唯一确定？a =Re( z ) b =Im( z )

复数 z =a + bi(a,b∈R)

实数 (b=0)

虚数 (b‡0) 纯虚数 (a=0)

非纯虚数 (a‡0) 虚数集

纯虚数集

复数集实数集

复数不能比较大小的一种解释复数不能比较大小的一种解释

（（ 11 ）如果）如果 ii ＞＞ 00 ，那么，那么 i·ii·i ＞＞ 00·i·i ，，即即 -1-1 ＞＞ 00 。。 （（ 22 ）如果）如果 ii ＜＜ 00 ，那么，那么 --ii ＞＞ 00 ，， (-i)(-i)22 ＞＞ 0·(-0·(-ii))即即 -1>0.-1>0.

例如：例如： ii 与与 00 能不能比较大小？能不能比较大小？

因此，因此， ii 与与 00 不能比较大小。不能比较大小。

复数的概念复数的概念

Note ZNote Z11 =a =a1 1 + + ii bb11, Z, Z22 =a =a2 2 + + ii bb22 ZZ11 = = ZZ22 if if aa11= a= a2 2 & b& b11= b= b22

(A) 在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；(B) 在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；(C) 在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；(D) 在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。

例 1. 辨析：1 ．下列命题中的假命题是（ ）D

2 ．“ a=0” 是“复数 a+bi (a , b∈R) 是纯虚数”的（ ）。 (A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件 (C) 充要条件 (D) 不充分不必要条件

C 3 ．“ a=0” 是“复数 a+bi (a , b∈R) 所对应的点在虚轴上”的（ ）。 (A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件 (C) 充要条件 (D) 不充分不必要条件

A

D 4 ． 设 z1 、 z2 为复数，则下列结论中正确的是 ( )

(A) 若 z21+z2

2 ＞ 0 ，则 z21 ＞ -z2

2

(B)|z1-z2|=√(z1+z2) 2-4z1z2

(C)z21+z2

2=0z1=z2=0

(D)z1-z1 是纯虚数或零例 2 是否存在复数 z ，使其满足 z·z+2iz=3+ai(a R)∈ 如果存在，求出 z 的值；如果不存在，说明理由

,, 222111 iyxziyxz 设两复数

1) 两复数的和).()( 212121 yyixxzz

2) 两复数的积).()( 2112212121 yxyxiyyxxzz

3) 两复数的商.2

22

2

21122

22

2

2121

2

1

yxyxyxi

yxyyxx

zz

2. 复数的代数运算

3. 共轭复数

, zz共轭的复数记为与. , iyxziyxz 则若

实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数 .

共轭复数的性质;)1( 2121 zzzz ;2121 zzzz ;

2

1

2

1

zz

zz

;)2( zz ;)Im()Re()3( 22 zzzz

).Im(2),Re(2)4( zizzzzz

§2 复数的几何表示 1. 复平面

. .

, , , .

),(

面面叫复平这种用来表示复数的平轴叫虚轴或

纵轴轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数

yx

yxiyxz

（ 1 ）几何表示法. ),(

表示面上的点可以用复平复数

yxiyxz

),( yx

x

y

x

y

o

iyxz

.,,

,

来表示也可用向量复数因此平面向量成一一对应

的指向点与从原点复数在复平面上

OPz

iyxzz

),( yxP

x

y

x

y

o

iyxz

rz

复数的模 ( 或绝对值 ) , 的模或绝对值向量的长度称为 z

. 22 yxrz 记为

（ 2 ）向量表示法

关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：||||||)1( 2121 zzzz 、

||||||||)2( 2121 zzzz

2z

1z0

21 zz

21 zz 2z

2z

1z2z

模的性质,zx ,zy ,yxz .22 zzzz

三角不等式

复数的辐角

.,0,0 而辐角不确定时当 zz.0有无穷多个辐角任何一个复数 z

, 1是其中一个辐角如果 的全部辐角为那么 z).( π2Arg 1 为任意整数kkz

. Arg ,

, , 0

zzOPz

z

记作的辐角称为为终边的角的弧度数的向量以表示以正实轴为始边的情况下在

.arg , Arg ππ , )0(

0

00

zzz

记作的主值称为的把满足的辐角中在

.0,0,

,0,0,arctan

,0,0,2

,0,arctan

arg

yx

yxxy

yx

xxy

z辐角的主值0z

)2

arctan2

( xy其中

辐角的主值

（ 3 ）三角表示法

利用欧拉公式 ,sincos ie i

复数可以表示成 irez

称为复数 z 的指数表示式 .

（ 4 ）指数表示法

利用直角坐标与极坐标的关系

,sin,cos

ryrx

复数可以表示成 )sin(cos irz

例 3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i

(2) 满足 |z|=5(z∈C) 的 z值有几个？

思考：(1) 满足 |z|=5(z∈R) 的 z值有几个？

(4)z4=1+mi(m R) (5)z∈ 5=4a-3ai(a<0)

这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？

例 4(1) 已知复数 z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数 m 允许的取值范围。

表示复数的点所在象限的问题 复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题转化( 几何问题 ) ( 代数问题 )

一种重要的数学思想：数形结合思想

0206

2

2

mmmm

解：由

1223mm

m或

得

)2,1()2,3( m

例 4(2) 已知复数 z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i ，证明对一切 m ，此复数所对应的点不可能位于第四象限。点位于第四象限，证明：若复数所对应的

0206

2

2

mmmm

则 3 22 1

m mm

或即

不等式解集为空集所以复数所对应的点不可能位于第四象限 .

例 5   试用复数表示圆的方程 :

其中， a,b,c,d是实常数。解：利用

0)( 22 dcybxyxa

yizzxzzyxzz

2,2

,22

0 dzzzaz 得：).(

21 icb其中，

rZZ || 0

220

20 )()( ryyxx

另解：

例 6 、复数 图形为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线：

}3)arg(2|{ izz

2)arg( iz3)arg( iz

图形

2. 复球面与无穷大1. 南极、北极的定义

, 0 的球面点取一个与复平面切于原 z , 与原点重合球面上一点 S

, N

S点直线与球面相交于另一

作垂直于复平面的通过

. , 为南极为北极我们称 SN x

y

P

N

OS

球面上的点 , 除去北极 N 外 , 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系 . 我们可以用球面上的点来表示复数 .我们规定 : 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应 , 记作∞ . 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大∞的几何表示 . 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应 , 这样的球面称为复球面 .

2. 复球面的定义

称 为扩充复平面，记为 。}{C C

无穷远点 : 关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于：

它和有限复数的基本运算为： ||

aa)0( aaa

)(0 );0(0

aaaa

这些运算无意义： .0/0,/,0,

题： 证明：若 |z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0, 则 z1 ， z2 ， z3 是内接于单位圆 |z|=1 的一个正三角形的三顶点。证明： 由于 ,1321 zzz 所以 z1 ， z2 ，

z3位于单位圆上。又 0321 zzz

得 ,321 zzz 13321 zzzz

即

))((1 21212

21 zzzzzz

12212

22

12121 ||||))(( zzzzzzzzzz

11221 zzzz

习题 Ex1-19

))(( 21212

21 zzzzzz

12212

22

1 |||| zzzzzz

3)1(2

321 zz

同理可以得到.31332 zzzz

得证。

§3 复数的乘幂与方根 1) 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积 ; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和 .

,sin(cos 1111 ）若 irz

,sin(cos 2222 ） irz

)]sin()[cos( 21212121 irrzz

.ArgArg)(Arg 2121 zzzz

则有

几何意义

复数相乘就是把模相乘 , 辐角相加 .

, 2倍再把它的模扩大到 r

从几何上看 , 两复数对应的向量分别为 , , 21 zz

,

2

1

旋转一个角

按逆时针方向先把 z

. 21 zzz 就表示积所得向量

2o x

y

r

2r1r

2z

1

1z

z

两个复数的商的模等于它们的模的商 ; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差 .

,1

2

1

2

zz

zz

.ArgArgArg 121

2 zzzz

的指数形式分别为和设复数 21 zz

,111

ierz .)(

1

2

1

2 12 ierr

zz则,2

22ierz

,sin(cos 1111 ）若 irz ,sin(cos 2222 ） irz

则有

2) 幂与根(a) n 次幂 :

,

, nz

nzzn

记作

次幂的的乘积称为个相同复数

. 个n

n zzzz

.)sin(cos , ninrzn nn 有对于任何正整数

.1 , nn

zzn 有为负整数时

.ArgArg, znzzz nnn 因而有

.sincos)sin(cos nini n

. , (c) 为已知复数其中的根计算方程 zwzwn

nki

nkrzw nn π2sinπ2cos

1

)1,,2,1,0( nk

(b) 棣莫佛公式

.,,

个顶点边形的的圆的内接正为半径个值就是以原点为中心的在几何上

nnrnz nn

例 6 、求所有值：解：由于

4 )1( i

)4

sin4

(cos21 ii

所以有)]2

4(

41sin)2

4(

41[cos2)1( 84 kiki

)]216

sin()216

[cos(2)1( 84 kiki

3,2,1,0k 有四个根。问题： 4 2i 有几个根？

§4 区域（ 1 ）邻域. : )( ,

00

0

的邻域内部的点的集合称为的圆

为半径任意的正数为中心平面上以

zzzz

. 0

0

0

的去心邻域

所确定的点的集合称为不等式

z

zz

（ 2 ）内点

. , ,

. ,

0

0

0

的内点称为那末于该邻域内的所有点都属的一个邻域存在如果中任意一点为为一平面点集设

GzGz

GzG

如果 G 内每一点都是它的内点 , 那末 G 称为开集 .(4) 区域 如果平面点集 D 满足以下两个条件 , 则称它为一个区域 . (a) D 是一个开集； (b) D 是连通的 , 即 D 中任何两点都可以用完全属于 D 的一条折线连结起来 .

(3) 开集

(5) 边界点、边界 设 D 是复平面内的一个区域 , 如果点 P 不属于 D, 但在 P 的任意小的邻域内总有 D中的点 , 这样的 P 点我们称为 D 的边界点 .

(7) 有界区域和无界区域

. , ,

0, ,

界的

否则称为无称为有界的那末点都满足使区域的每一个即存在为中心的圆里面

点可以被包含在一个以原如果一个区域

DMzM

D

D 的所有边界点组成 D 的边界 . (6) 区域 D 与它的边界一起构成闭区域.

闭区域

1z

2z

区域

0z 邻域P 边界点

边界

以上基本概念的图示

(8) 简单曲线

若尔当定理 : 若尔当定理：任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。

内区域

外区域

(9) 光滑曲线

.0,])([])([ ,

, )( )( , 22

称这曲线为光滑的那末有的每一个值且对于

都是连续的和上如果在

tytxt

tytxbta

由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线 .

任意一条简单闭曲线 C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集 .

简单闭曲线的性质

(10) 单连通域与多连通域 复平面上的一个区域 B, 如果在其中任作一条简单闭曲线 , 而曲线的内部总属于 B, 就称为单连通域 . 一个区域如果不是单连通域 , 就称为多连通域 .

从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕的域 .

区域的连通性 : 设 D 是一个区域，在复平面 C 上，如果D 内任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点都属于 D，则称 D是单连通区域 ;否则称 D是多连通区域。

§5 复变函数

).( ),( ,

, , ,

.

zfwzw

ivuwzG

iyxzG

记作复变函数简称的函数是复变数那末称复变数之对应与就有一个或几个复数每一个复数中的对于集合按这个法则个确定的法则存在

如果有一的集合是一个复数设

1. 复变函数的定义 :

2. 单 ( 多 ) 值函数的定义 :

. )( ,

是单值的我们称函数那末的值的一个值对应着一个如果

zfwz

. )( ,

是多值的那末我们称函数的值两个以上的一个值对应着两个或如果

zfwz

3. 定义集合和函数值集合 :

; )( )( 定义域的定义集合称为集合 zfG

. ,*

称为函数值集合值所成的集合的一切中所有对应于 GwzG

4. 复变函数与自变量之间的关系 :

: )(

相当于两个关系式之间的关系自变量与复变函数 zfwzw

),,(),,( yxvvyxuu

. 的两个二元实变函数和它们确定了自变量为 yx

例如 , , 2zw 函数 ,, ivuwiyxz 令2)( iyxivu 则 ,222 xyiyx

: 2 数对应于两个二元实变函于是函数 zw

,22 yxu .2xyv

5.2 映射的概念1. 引入 :

. ,

,, , ,

的点集之间的对应关系上必须看成是两个复平面的几何图形表示出来

因而无法用同一平面内之间的对应关系和由于它反映了两对变量对于复变函数

yxvu

2. 映射的定义 :

).()( *

)( )( ,

,

或变换的映射函数值集合平面上的一个点集变到定义集合平面上的一个点集是把

在几何上就可以看作那末函数值的平面上的点表示函数而用另一个平面

的值平面上的点表示自变量如果用

GwGz

zfwww

zz

. ),( , * )(

的原象称为而映象的象称为那末中的点

映射成被映射中的点如果wzzwwGzfwzG

. )(

所构成的映射函数这个映射通常简称为由 zfw

. )1( 构成的映射函数 zw

x

y

o u

v

o

iz 321

iw 321 iz 212

iw 212 A B

C

A B

C

,11 wz ,22 wz .CBAABC

3. 两个特殊的映射 :

.

ibawwibazz

的点平面上映射成平面上的点将

x

y

o u

v

o

iz 321

iw 321 iz 212

iw 212 A B

C

A B

C

,11 wz ,22 wz .CBAABC

. ,

映射是关于实轴的一个对称不难看出重叠在一起

平面平面和如果把zw

wz

o

1w

2w 1z

2z

且是全同图形 .

. )2( 2构成的映射函数 zw

.1 ,43,1 1,21,

321

321

wiwwwzizizz

平面上的点映射成平面上的点显然将

x

y

o u

v

o

1z

2z

2w

3w1w3z

. )2( 2构成的映射函数 zw

根据复数的乘法公式可知 , . 2 的辐角增大一倍将映射 zzw

x

y

o u

v

o 2

. 2

的角形域平面上与实轴交角为的角形域映射成平面上与实轴交角为将

wz

. )2( 2构成的映射函数 zw

: 2 数对应于两个二元实变函函数 zw

.2,22 xyvyxu

,2,

2122 cxycyx

xyz

曲线标轴为渐近线的等轴双

和坐线平面上的两族分别以直它把

( 如下页图 ).,

21 cvcuw

平面上的两族平行直线分别映射成

. )2( 2构成的映射函数 zw

将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形 .

x

y

ox

y

o

. )2( 2构成的映射函数 zw

: 的象的参数方程为直线 x ) (.2,22 为参数yyvyu

: 得消去参数 y ),(4 222 uv

以原点为焦点 , 开口相左的抛物线 .( 图中红色曲线 ) : 的象为同理直线 y

),(4 222 uv

以原点为焦点 , 开口相右的抛物线 .( 图中蓝色曲线 )

4. 反函数的定义 :

.)( * ,*

, )(

点或几个中的一个必将对应着每一个点中的那末平面上的集合函数值集合为

平面上的集合的定义集合为设

GwGGw

Gzzfw

. )( , )( ,)(

)( *

的逆映射为映射也称的反函数它称为函数函数或多值上就确定了一个单值于是在

zfwzfwwz

G

根据反函数的定义 ,

*,Gw )],([ wfw

当反函数为单值函数时 , .)],([ Gzzfz

. * . )()

( ,)( )( )( )(

是一一对应的合与集也可称集合是一一对应的射映那末称函数都是单值的逆映射

与它的反函数映射如果函数

GGzfw

wzzfw

今后不再区别函数与映射 .

解

5.3 、典型例题例 7

: 2

上的象平面下求下列平面点集在在映射 wzw

;4π ,20 )1( r线段

,

,

i

i

ew

rez

设

,2, 2 r则

,2π ,40

4π ,20 映射为故线段 r

还是线段 .

x

y

o u

v

o

2zw

例 7:

2

上的象平面下求下列平面点集在在映射 wzw

;4 )2( 22 yx双曲线

,, ivuwiyxz 令

ivu 则 ,222 xyiyx ,22 yxu

解

,4422

uyx

. 轴的直线平行于 v

x

y

o 2zw

u

v

o22 4

例 7:

2

上的象平面下求下列平面点集在在映射 wzw

解.20 ,

4π0 )3( r扇形域

, , ii ewrez 设 ,2, 2 r则

,40,2π0

映射为

故扇形域

20

,4π0

r

2zw

仍是扇形域 .

例 8解

. 2 ,1 的象求圆周对于映射 zz

zw

,, ivuwiyxz 令

zzw 1 映射

)sinθ2(cosθ12sinθ2cosθ

ii

π20,sin2

cos2

yx

sinθ23cosθ

25

θsinθ2(cossinθcosθ2sinθ2cosθ

i

ii

)22

: 2z 圆周

π20,sin

23

cos25

v

u所以象的参数方程为

: 平面上的椭圆表示 w .1

23

25 2

2

2

2

vu

6.1 、函数的极限1. 函数极限的定义 :

. )( )(,)0(0

)( ,0 , , 0 )(

0

0

0

0

时的极限趋向于当为那末称

有时使得当相应地必有一正数对于任意给定的

存在如果有一确定的数内

的去心邻域定义在设函数

zzzfA

Azfzz

Azzzzfw

))(( .)(lim 0

0

AzfAzf zz

zz

或记作

注意 : . 0的方式是任意的定义中 zz

§6 复变函数的极限和连续性

2. 极限计算的定理定理一

.),(lim,),(lim

)(lim , , ),,(),()(

00

000

00

00

00

0

vyxvuyxu

AzfiyxzivuAyxivyxuzf

yyxx

yyxx

zz

的充要条件是那末

设

证 ,)(lim 0

Azfzz

如果

根据极限的定义 , )()(0 00 时当 iyxiyx

,)()( 00 ivuivu

(1) 必要性 .

, )()(0 20

20 时或当 yyxx

,)()( 00 vviuu , , 00 vvuu

.),(lim,),(lim 00

00

00

vyxvuyxuyyxx

yyxx

故

,),(lim,),(lim 00

00

00

vyxvuyxuyyxx

yyxx

若

, )()(0 20

20 时那么当 yyxx

(2) 充分性 .

,2

,2

00 vvuu有

)()()( 00 vviuuAzf

00 vvuu

, 0 0 时故当 zz ,)( Azf

.)(lim 0

Azfzz

所以 [ 证毕 ]

说明

. ),( ),( ,

),(),()(

的极限问题和函数转化为求两个二元实变的极限问题

该定理将求复变函数

yxvyxuyxivyxuzf

定理二

).0()()(lim (3)

;)]()([lim (2)

;)]()([lim (1)

,)(lim ,)(lim

0

0

0

00

BBA

zgzf

ABzgzf

BAzgzf

BzgAzf

zz

zz

zz

zzzz那末设

与实变函数的极限运算法则类似 .

例 1

证 ( 一 )

.

0 )Re()(

不存在

时的极限当证明函数 zz

zzf

, iyxz 令 ,)( 22 yx

xzf

则

,0),(,),(22

yxvyx

xyxu

, 趋于零时沿直线当 kxyz

2200lim),(lim

yxxyxu

kxyx

kxyx

220 )(

limkxx

xx

)1(lim

220 kxx

x

,

11

2k

, 值的变化而变化随 k

, ),(lim 00

不存在所以 yxuyyxx

,0),(lim00

yxvyyxx

根据定理一可知 , . )(lim0

不存在zfz

证 ( 二 ) ),sin(cos irz 令

rrzf cos)( 则 ,cos

, arg 趋于零时沿不同的射线当 zz

.)( 趋于不同的值zf

, 0arg 趋于零时沿正实轴例如 zz ,1)( zf

, 2πarg 趋于零时沿 z ,0)( zf

. )(lim 0

不存在故 zfz

例 2

证.

0 )0( )(

限不存在

时的极当证明函数 zzzzzf

,)(, ivuzfiyxz 令

,),( 22

22

yxyxyxu

则 ,2),( 22 yx

xyyxv

, 趋于零时沿直线当 kxyz

2200

2lim),(limyx

xyyxvkxy

xkxy

x

,1

22k

k

, 值的变化而变化随 k

, ),(lim 00

不存在所以 yxvyyxx

根据定理一可知 , . )(lim0

不存在zfz

6.2 、函数的连续性1. 连续的定义 :

. )( , )( .

)( ),()(lim

0

00

内连续在我们说内处处连续在区域如果处连续在

那末我们就说如果

DzfDzfz

zfzfzfzz

. ,)()(lim )(

0

0

0

CzzfzfzCzf

zz

处连续的意义是上在曲线函数

定理三

.) ,( ),( ),( :

),(),()(

00

000

处连续在和连续的充要条件是

在函数

yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf

例如 , ),()ln()( 2222 yxiyxzf

, )ln(),( 22

处连续在复平面内除原点外处yxyxu

, ),( 22 在复平面内处处连续yxyxv

. ),( 处连续在复平面内除原点外处故 yxf

定理四. ) (

)( )( (1)

00

0

处仍连续在不为零分母在积、商

的和、差、和连续的两个函数在

zzzgzfz

. )]([ , )(

)( , )( (2)

000

0

连续处在那末复合函数连续在函数连续在如果函数

zzgfwzghhfwzzgh

特殊的 :

,)( 2210

nnzazazaazPw

(1) 有理整函数 ( 多项式 )

; 都是连续的对复平面内的所有点 z

(2) 有理分式函数,

)()(

zQzPw , )( )( 都是多项式和其中 zQzP

在复平面内使分母不为零的点也是连续的 .

例 3.

)( , )( : 00

也连续

在那末连续在如果证明 zzfzzf

证 ),,(),()( yxivyxuzf 设

),,(),()( yxivyxuzf 则

, )( 0连续在由 zzf

,) ,( ),( ),( 00 处都连续在和知 yxyxvyxu

,) ,( ),( ),( 00 处连续也在和于是 yxyxvyxu

. )( 0连续在故 zzf

• 例 4 讨论函数 的连续性 .• 解 设 为复平面上任意一点，则• 当 时， 在 无定义，故 在 处不连续 .• 当 落在负实轴上时，由于 ，在 从实轴上方趋于 时， 趋于 ，在 从实轴下方趋于 时， 趋于 ，所以 不连续 . 当 为其它情况时，由于 所以 连续 .

zarg

0z

00 z zarg 0z zarg00 z

0z zarg z0z zarg z

0z zarg zarg 0z

0argarglim0

zzzz

zarg

6.3 、小结与思考 通过本课的学习 , 熟悉复变函数的极限、连续性的运算法则与性质 .

注意 : 复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同 , 但在实质上有很大的差异 , 它较之后者的要求苛刻得多 .

复变量影射的三种形式

?1= 线以后的曲经过求z1

=wx

uv+uiv+uy+

yi-

y+=

y+xiy-x

=iy+x

=z

=w

=⇒=1

11

1

222

222

11）正变换

1=⇒

12

22

22

v+uu

iy+=v+uiv-u

=iv+u

=w

=z11

）逆变换

1=3 22 v+uu

=w2ww+w

=w+

w=z+z

=x2

11

2）变量替换

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