多項式函數教學網頁規劃 組別：第四組

組員：499402314周佳蓉 499403148郭宇晨

499403289曾廂圓

目錄1. 多項式函數教材分析2. 學生學習切入點分析3. 教學網頁設計理念4. 教學網頁教學目標5. 網頁設計規劃流程6. 參考資料

多項式函數教材分析 -- 多項函數的定義 多項函數的定義 設 n 為自然數或零 , 則形如 f(x)= anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0  的式子 , 稱為 x 的多項式其中 an,an-1,...,a1,a0  為實數

多項式函數教材分析 -- 相關的名詞說明相關的名詞說明：設 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 為 x 的多項式★ 項： anxn,an-1xn-1 ，… ,a1x,a0 分別稱為此多項式的 n 次項 ,n-1 次

項 ,… 一次項 , 常數項。★ 係數： an,an-1,…,a1,a0 分別為此多項式的 n 次項 ,n-1 次項 ,…一次項 , 常數項的係數。★ 領導係數：多項式中最高次項之係數 ( 不為 0) 稱為此多項式之領導 係數。★ 次數：當 an¹0 時，稱此多項式為 n 次多項式，記為：deg f(x)=n 。

★ 單項式：只有一項的多項式稱為單項式。★ 常數多項式：若一多項式僅含常數項 a0 ，則稱此多項式為常數多項 式。當 a0=0 ，又稱為零多項式。★ 升羃與降羃式：若一多項式一變數 x 的次方由大而小排列者稱為降 羃式，由小而大排列者稱為升羃式。

多項式函數教材分析 - 多項式的四則運算(1)多項式的加減法：兩多項式相加減，則同次項的係數相加減(2)多項式的乘法：利用乘法對加法的分配律，再合併同類項(3)多項式的除法： 設 f(x)， g(x)為二多項式且 g(x)不是零多項式，則可找到二 多項式 q(x)及 r(x)滿足 f(x)=q(x)×g(x)+r(x)，其中 r(x)=0 或 deg r(x)<deg g(x)。 此時稱 f(x)為被除式， g(x)為除式， q(x)為商式， r(x)為餘 式。 例如：設 f(x)=2x3+5x2+x-2， g(x)=x2+2x-3

多項式函數教材分析 -- 多項式的四則運算(4)綜合除法：◆綜合除法的原理：     設 f(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0， g(x)=x-b，若存在商式    q(x)=c2x2+c1x+c0， 餘式 r(x)=d。          由除法的定義： (a3x3+a2x2+a1x+a0)=( c2x2+c1x+c0)(x-b)

+d       經比較係數可得：

上面的關係可寫成以下的形式   

多項式函數教材分析 -- 多項式的四則運算◆ 當 f(x) 除以 g(x)=ax+b 時，我們也可利用綜合除法求餘式 r(x) 、商式 q(x) 。由除法的定義： f(x)=(ax+b)×q(x)

+r(x)=(x+   )×[aq(x)]+r(x) 可先利用綜合除法求出 f(x) 除以 (x+  ) 的商式 q'(x)=aq(x) 與餘式 r(x) ， 而所要求的商式 q(x)=     ，餘式 r(x) 不變。  ◆ 多項式的係數和： f(x)= anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0， 則各項係數之和 =f(1) ，常數項 =f(0) ， 奇次項係數之和 =  偶數項的係數之和 = 

多項式函數教材分析 -- 多項式方程式如何由 n 次多項式到 n 次方程式 :

(1)f(x)= anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0  是 n 次多項式， 方程式 f(x)=0 稱為 n 次 ( 多項 ) 方程式。(2) 方程式的根： 一個數 x0若滿足 f(x0)=0 ，就稱 x0為方程式 f(x)=0 的根或解。有時特別強調 x0為複數、實數、有理數 或整數， x0又稱為複數根、實根、有理根或整數根。

多項式函數教材分析 -- 多項式方程式(3)實根的幾何解釋： 例如 : (1)y=f(x)=x2-3x-4 的圖形，如右圖所示： 圖形與 x 軸相交於兩點 (-1,0) 、 (4,0) ， 其橫坐標 -1 與 4 就是 x2-3x-4=0 的實根。

(2)y=g(x)=x2+x+1 的圖形，如右圖所示： 圖形與 x 軸沒有交點，因為 y=g(x)=       ，  所以沒有任何實數 x ，使得 g(x)=0 ，故 g(x)=0   沒有實根。方程式 x2+x+1=0  的解     x=       。

多項式函數教材分析 -- 多項式方程式 一般而言， n 次多項式 y=f(x) 的圖形是一條波浪形、平滑的連續曲線。若該曲線和 x 軸相交，那麼交點 P(x0,f(x0)) 的橫坐標 x0 必滿足 f(x0)=0 ，所以 x0 是方程式f(x)=0 的一個實根，如果該曲線與 x 軸沒有交點，此時任何實數均不是方程式 f(x)=0 的根，因此方程式 f(x)=0 無實根。

結論 : 實係數 n 次方程式 f(x)=0 的實根 α<=>n 次函數 y=f(x) 的圖形與 x 軸交於點 (α,0)

多項式函數教材分析 -- 多項式方程式 函數的定義和圖形、二次函數的極值

若 ax+bx+c 為二次函數 (1)a>0 開口向上 x= ， f(x) 有最大值 (2)a<0 開口向下 x= ， f(x) 有最小值 b-4ac>0 和 x 軸交於兩點 ( 兩個相異實數

解 )

b-4ac=0 和 x 軸交於一點 ( 重根 )

b-4ac<0 和 x 軸沒交點 ( 無實數解 )

ab2

ab2

多項式函數教材分析 -- 多項式函數的圖形與多項式不等式( 甲 )多項不等式的基礎概念(1).n次不等式： 設 y=f(x)=anxn+an-1xn-1+…..+a1x+a0是實係數 n次多項式， 那麼不等式 f(x)>0，或 f(x)<0，或 f(x)≦0，或 f(x)≧0就 叫做多項不等式或 n次多項不等式 (簡稱 n次不等式 )    例： 2x-3>0  , x2-3x+2>0  

(2)不等式的解：滿足 n次不等式的值，叫做 n次不等式的解(3)不等式的基本性質： 三一律： a>b,a=b,a<b 三式中恰有一式會成立 遞移律：若 a>b且 b>c，則 a>c  加法律：若 a>b，則 a+c > b+c (c屬於實數 )  乘法律：若 a>b，且 c >0，則 ac>bc  (不變號 )          若 a>b，且 c <0，則 ac<bc  (要變號 )

多項式函數教材分析 -- 多項式函數的圖形與多項式不等式( 乙 ) 一次與二次不等式(1) 一次不等式是形如 ax+b>0(≧0) 或 ax+b<0(≦0) 的不等式。 二次不等式是形如 ax2+bx+c>(≧)0 或 ax2+bx+c<(≦)0 ，其中 a,b,c 為實數。(2) 解二次不等式： 設不等式 ax2+bx+c(>,<,≦,≧)0 ，先將 a 調整為正 先解一元二次方程式 ax2+bx+c=0 的二根 a 、 b (a) 設 a>0 ， D=b2-4ac>0 ， a ,b (a>b) 為兩實數 因為 ax2+bx+c=a(x-a)(x-b) 

分段討論 ax2+bx+c 的正負：  

解 ax2+bx+c>0  則 x>a 或 x<b( 大於大的根或小於小的根 )

   解 ax2+bx+c<0  則 b<x<a ( 介於兩實根之間 )

x x < a a < x < b x > bx-a - + +

x-b - - +

(x-a)(x-b) + - +

多項式函數教材分析 -- 多項式函數的圖形與多項式不等式(b) 設 a>0 ， D=b2-4ac=0 ， a=b 為兩相等實數 因為 ax2+bx+c=a(x-a)2

分段討論 ax2+bx+c 的正負：

解 ax2+bx+c>0 Û x =a( 或 b) [x>a 或 x<a] 解 ax2+bx+c<0 Û 無解

x a<x x>ax-a - +

(x-a)2 + +

多項式函數教材分析 -- 多項式函數的圖形與多項式不等式 (c) 設 a>0 ， D=b2-4ac<0 ， a 、 b 均為虛數     ax2+bx+c =   

因為 a>0 且 b2-4ac<0 ，所以 故不管 x 代入那一個實數， ax2+bx+c 恆正。

解 ax2+bx+c>0  Û  所有實數均為解。 解 ax2+bx+c<0  Û  無解。

多項式函數教材分析 --   解根的方法 整係數的 n 次方程式找有理根：(a) 一次因式檢驗定理： 設 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 為一個整係數 n 次多

項式，若整係數一次式 ax-b 是 f(x) 的因式，且 a,b 互質，則 a|an 且 b|a0 。 (b) 有理根檢驗定理： 設 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0 為一個整係數 n次 方程式，若 為 f(x)=0 之一有理根， a,b 為整數 且互質，則 a|an 且 b|a0 。

多項式函數教材分析 -- 無理根之勘根定理無理根 :利用整係數一次因式檢驗定理，可解決有理根的問題，但是就一般的方程式而言，要找出解，尤其是高次的方程式，通常不是一件容易的事情。例如： f(x)=x5+3x2-7x+2=0 ，由於它是整係數的 5 次多項式，所以一定有實根，先考慮是否有理根，根據牛頓定理， x=±1 ， ±2 逐一代入多項函數 f(x) 中，去看 f(x) 值的變化：

可以看出， f(x)=0 並無有理根，因為它一定有實根，所以它的實根必為無理根。通常我們無法直接求出 f(x)=0 無理根的形式，只能求得它的近似值。推廣這個概念可得以下的定理：

多項式函數教材分析 -- 無理根之勘根定理勘根定理：設 f(x)=0 為實係數 n 次多項方程式， a,b 是兩個實數，若 f(a)f(b)<0 ，則在 a,b 之間至少有一個 f(x)=0 的實根。                                        

注意： � 從觀察圖形可知，當 f(a)f(b)<0 時，則 a,b 之間的根必有奇數個根。當 f(a)f(b)>0 時，f(x)=0 在 a,b 之間可能有根，也可能無根，但若有根一定是偶數個根。

多項式函數教材分析 -- 多項式解的共軛 多項式解的共軛 ( 複數型、有理數型 )

的一個根。必為則

的一個根為若、次方程式為實係數的設

0)(bi-a

,0)(bia0b,ba,n0)(

xf

xfxf

的一個根。必為則

的一個根為若、次方程式為有理係數的設

0)(b-a

,0)(ba0bQ,ba,n0)(

xf

xfxf

學生學習切入點分析 多項式是代數的基本成員，而代數學的中心問題─解方程式，便是我們著重的主題之一。 學習步驟 : 1.熟習多項式的四則運算 2.清楚多項式函數圖形 3. 知道任意多項式方程式是否都一定有根 4. 如何解根 5.了解多項式不等式

教學網頁設計理念希望能改變學生對於數學的刻板印象，不是枯燥乏味，而是變的有趣 簡單的流程，增加學生學習的動機運用多元的方式提高學生對於這方面的興趣透過網頁測驗 20 題，來檢驗學生的學習程度

教學網頁教學目標了解多項式函數定義與名詞意義 學習多項式函數的四則運算了解多項式函數圖形之幾何概念 解出多項式方程式之解延伸至多項式不等式運用

網頁設計規劃流程 以主題式的方式呈現數學觀念，輔以數學媒體幫助學生進入學習情境，並提高學習樂趣 利用簡單好玩的動畫以及小遊戲增強學生學習的動機藉由主題測驗 20 題，使學生立即了解自己的學習狀況並作改進透過題目讓學生實際了解到函數的幾何與代數性質

參考資料 參考資料：1. 數學一，龍騰文化2. 指考關鍵，翰林