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第七章 積分技巧

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7.1　分部積分法與現值 7.2　部分分式與有限供應成長 7.3　積分查表法 7.4　數值積分 7.5　瑕積分

P.7-1　第七章 積分技巧

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7.1　分部積分法與現值

學習目標 利用分部積分法求不定積分與定積分。 求未來收入的現值。

P.7-2　第七章 積分技巧

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分部積分法

本節將介紹的積分技巧稱為分部積分法 (integration by parts) ，這個方法在積分函數中含有代數函數與指數或對數函數的乘積時特別好用，譬如

x2ex dx 和 x|ln| x dx

P.7-2　第七章 積分技巧

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分部積分法

分部積分法的原理是根據微分的乘積律所推演而得。

P.7-2　第七章 積分技巧

[ ]

d dv duuv u v

dx dx dxdv du

uv u dx v dxdx dx

uv udv vdu

udv uv vdu

乘積律

兩邊積分

寫成微分型

改寫

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分部積分法

請注意，分部積分法的公式把原積分轉換成另一積分，而選擇適當的 u 和 dv 則可使得新的積分較容易計算。

P.7-2　第七章 積分技巧

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學習提示

P.7-2　第七章 積分技巧

在使用分部積分法時，可先選擇 dv 或先選擇 u 。一旦選定，則積分函數的另一部分也跟著決定了。而且 dv 必須含有原積分中的微分 dx。

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分部積分法

P.7-3　第七章 積分技巧

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範例 1 　分部積分法

求 xex dx。

P.7-3　第七章 積分技巧

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範例 1 　分部積分法 （解）

若要使用分部積分法，則先改寫原函數為 u dv 的形式；也就是，將 xex dx 拆成兩部分：一部分為 u ，另一部分為 dv 。顯然，這樣的做法不只一種。

P.7-3　第七章 積分技巧

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範例 1 　分部積分法 （解）

P.7-3　第七章 積分技巧

在此應該選擇準則的第一種做法，因為在積分函數中 dv ＝ ex dx 可套用基本積分公式，而且 u ＝ x 的導數也比 x 本身更簡單。

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範例 1 　分部積分法 （解）

利用這些替代，即可應用分部積分法如下。

P.7-3　第七章 積分技巧

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檢查站 1

求 xe2x dx 。

P.7-3　第七章 積分技巧

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學習提示

在範例 1 中求解 v = ex dx = ex 時，並不需要加入積分常數；若在答案中以 ex ＋ C1 取代 ex，則

xex dx = x(ex + C1) － (ex + C1) dx

積分後，含有 C1 的項會消去。

P.7-3　第七章 積分技巧

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範例 2 　分部積分法

求 x2 ln x dx 。

P.7-4　第七章 積分技巧

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範例 2 　分部積分法 （解）

在此積分中， x2 比 ln x 容易積分，並且 ln x 的導數也比 ln x 本身更簡單。所以，令 dv ＝ x2 dx ，

P.7-4　第七章 積分技巧

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範例 2 　分部積分法 （解）

利用這些替代，即可應用分部積分法如下：

P.7-4　第七章 積分技巧

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學習提示

使用以下的 Z 字形可以幫助記憶分部積分法的公式，第一列代表原積分，斜對角列代表 uv，第二列代表新積分。

P.7-4　第七章 積分技巧

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檢查站 2

求 x ln x dx 。

P.7-4　第七章 積分技巧

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範例 3 　單項式的分部積分法

求 ln x dx 。

P.7-4　第七章 積分技巧

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範例 3 　單項式的分部積分法 （解）

此積分很特別，因為其積分函數只是單項式。在此情況下，可選擇 dv ＝ dx 和 u 為單項式，即

P.7-4　第七章 積分技巧

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範例 3 　單項式的分部積分法 （解）

利用這些替代，即可應用分部積分法如下：

P.7-4　第七章 積分技巧

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檢查站 3

對 y ＝ x ln x － x ＋ C 微分來驗證其為 ln x 的反導數。

P.7-4　第七章 積分技巧

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範例 4 　重複使用分部積分法

求 x2ex dx 。

P.7-4　第七章 積分技巧

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範例 4 　重複使用分部積分法 （解）

請注意 x2 的導數比 x2 更簡單，然而 ex 的導數並不會比本身更簡單。所以根據準則，令 u ＝ x2 和 dv ＝ ex dx

P.7-5　第七章 積分技巧

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範例 4 　重複使用分部積分法 （解）

利用這些替代，再應用分部積分法如下：

再使用分部積分法第二次，可計算右邊的新積分，其替代法如下：

P.7-5　第七章 積分技巧

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範例 4 　重複使用分部積分法 （解）

利用這些替代，再應用分部積分法如下：

當然可利用微分來驗算此積分的答案。

P.7-5　第七章 積分技巧

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檢查站 4

求 x3ex dx 。

P.7-5　第七章 積分技巧

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學習提示

記住，當然可利用微分來驗算不定積分的答案。譬如在範例 4 中，對反導數 ex(x2 － 2x ＋ 2) ＋ C 微分看看是否可得原積分函數 x2ex。

P.7-5　第七章 積分技巧

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分部積分法

在重複使用分部積分法的時候，請注意在第二次使用時，不可將替代互相交換。譬如在範例 4 中，第一次的替代為 dv ＝ ex 和 u ＝ x2 ，若在第二次的替代為 dv ＝ 2x dx 和 u ＝ ex 時，就會倒反前面的積分而回到原積分。

P.7-5　第七章 積分技巧

2 2 2 2

2

x x x x

x

x e dx x e x e x e dx

x e dx

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範例 5 　求定積分值

求　　　　。

P.7-5　第七章 積分技巧

1ln

exdx

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範例 5 　求定積分值 （解）

範例 3 中曾以分部積分法求得 ln x 的反導數，利用此結果來求定積分如下：

此定積分所代表的面積如圖 7.1 所示。

P.7-5~7-6　第七章 積分技巧

11ln ln

( ln ) (1ln1 1)

( ) (0 1)

1

3

e exdx x x x

e e

e e

範例 的結果

微積分基本定理

化簡

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範例 5 　求定積分值 （解）

P.7-6　　圖 7.1　第七章 積分技巧

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檢查站 5

求　　　 。

P.7-6　第七章 積分技巧

1 2

0

xx e dx

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分部積分法

在練習本節的習題之前，請注意我們不僅該知道如何使用各種積分技巧，而且還需要知道何時去使用各技巧。求積分時的第一個也是最重要的課題就是辨識——辨識出那個公式或技巧才可求得反導數。

P.7-6　第七章 積分技巧

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分部積分法

有時，積分函數上的小小差別卻使得我們必須使用不同的積分技巧，如下列所示。

P.7-6　第七章 積分技巧

2 2

2

ln ln2 4

ln (ln )

21 1

ln lnln

n

x xx xdx x C

x du xdx u dx C

x dxdu

dx dx x Cx x u dx

積分 技巧 反導數

分部積分法

乘冪律：

對數律：

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分部積分法

在應用分部積分法時，選擇適當的 u 和 dv 的能力會隨著使用經驗的累積而增強。下列對於 u 和 dv 的選擇給予建議。

P.7-6　第七章 積分技巧

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現值

P.7-6　第七章 積分技巧

5.2 節中提到，未來支付額的現值為現在必須儲存的金額，以支付未來的付款額。一年後 $1,000 支付額的現值為多少？因為有通貨膨脹，現在的 $1,000 比一年後的 $1,000 可買更多東西。

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現值

P.7-6~7-7　第七章 積分技巧

下列的定義只考慮通貨膨脹的影響。

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現值

若不計通貨膨脹，現值的公式也可應用於年利率為 r 且連續複利的孳息帳戶，則 c 為收入函數 (美元 / 年 ) 。

P.7-7　第七章 積分技巧

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學習提示

根據現值的定義，若通貨膨脹率為 4% ，則一年後 $1,000 的現值只有 $980.26 。

P.7-7　第七章 積分技巧

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範例 6 　求現值

假設剛贏得州樂透彩金 $1,000,000 ，往後的 20 年每年可領取 $50,000 。假設年通貨膨脹率為 6% ，請問此收入的現值？

P.7-7　第七章 積分技巧

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範例 6 　求現值 （解）

獎金的收入函數為 c(t) ＝ 50,000 ，所以，

因為並不是一次領取所有彩金，分次領取的現值為

只要州政府現在存入現值的金額，即可支付將來 20 年的提領金，由此可見州政府在樂透的利潤是多麼高！

P.7-7　第七章 積分技巧

20 20

0050,000 50,000 $1,000,000dt t 實際收入

2020 0.06 0.06

00

50,00050,000 $582,338

0.06t te dt e 現值

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檢查站 6

若年通貨膨脹率為 7% ，求範例 6 分次領取的中獎彩金現值。

P.7-7　第七章 積分技巧

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範例 7 　求現值

某公司預估其 5 年內的年收入可表示為c(t) ＝ 100,000t ， 0 ≤ t ≤ 5 參見圖 7.2(a)

假設年通貨膨脹率為 5% ，請問該公司是否可宣稱此收入的現值超過 100 萬美元？

P.7-7　第七章 積分技巧

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範例 7 　求現值 （解）

現值為

P.7-7　第七章 積分技巧

5 50.05 0.05

0 0100,000 100,000t tte dt te dt 現值

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範例 7 　求現值 （解）

由分部積分法，令 dv ＝ e － 0.05t dt 。

也就是

P.7-8　第七章 積分技巧

0.05 0.05 0.05

0.05 0.05

0.05

20 20

20 400

20 ( 20)

t t t

t t

t

te dt te e dt

te e

e t

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範例 7 　求現值 （解）

所以，現值為

因此，該公司可以宣稱此收入的現值超過 100萬美元。

P.7-8　第七章 積分技巧

5 0.05

0

50.05

0

100,000

100,000 20 ( 20)

$1,

7.2(b

059,961

)t

t

te dt

e t

現 參值 見圖

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範例 7 　求現值 （解）

P.7-8　　圖 7.2　第七章 積分技巧

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檢查站 7

某公司預估其 10 年內的年收入可表示為 c(t) ＝ 20,000t ， 0 ≤ t ≤ 10 ，假設年通貨膨脹率為 5% ，請問該收入的現值為何？

P.7-\8　第七章 積分技巧