1 、已知一个三角形的三边长为 3 、 8 、 x, 则 x 的取值范围是 。

2 、已知一个三角形的三边长 3 、 a+2 、 8 ，则 a 的取值范围是 。

三角形的三边关系

5<x<11

3<a<9

3 、等腰三角形一边的长是 ， 另一边的长是 8 ，则它的周长是 。4 、一个三角形的两边长是3 、 5 ，则它周长的范围是 。

18 或 2119

大于 10 ，小于 16

53三角形的三边关系

5 、有长度为 5 、 6 、 7 、 8 、 12 五条线段，选其中的三条组成三角形，有 种。

三角形的三边关系

6 、△ ABC 的三边长分别为 a 、 b 、c ，则 |a-b+c|-|c-a-b|= .7 、一个三角形的两边长分别为 3 和 6 ，第三边长为奇数，则第三边长是 ______

7

2c-2b

5 或 7

8 、若三角形三个内角的度数之比为 ，则这三个内角的度数分别是 .

1 3 6∶ ∶180 、 540 、 1080

1 2 3∶ ∶300 、 600 、 900

2 3 4∶ ∶400 、 600 、 800

9 、在△ ABC 中，根据下列条件，求∠ C 的度数 .

①∠A=380 ，∠ B=730

∠C= 690

②AB BC⊥ ，∠ A=350

∠C=550

③∠B=400 ，∠ A C=3 4∶∠ ∶

∠C= 800

三角形的内外角关系

10 、如图 3 ，三角形被遮住的两个内角可能是（ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ） 。

图 3（ 1 ） （ 2 ） （ 3 ）

三角形的内外角关系

11、在三角形△ ABC中，若∠ A=105O，∠ B-∠C=30O，则∠ B= 。

12 、如图，已知： AD 是△ ABC的中线，△ ABC 的面积为 ,则△ ABD 的面积是 . A

B CD

50cm2

25cm2

13 、同上题图，若△ ACD 的面积为 ，则△ ABC 的面积为 .

60cm2

120cm2

三角形的中线、角平分线、高

14 、如图，在△ ABC 中， CE ，BF 是两条高，若∠ A= 75° ，∠ BCE= 40° ，则∠ EBF 的度数是 ，∠ FBC 的度数是 .

15°A

B C

E F

35°

75°

40°

三角形的中线、角平分线、高

15 、如图，在△ ABC 中，两条角平分线 BD 和 CE 相交于点 O ，若∠ BOC=1200 ，那么∠ A 的度数是 .A

B C

DEO

600

三角形的中线、角平分线、高

17 、画出图 5 中 BC边上的高， AC 边上的中线，∠ A 的平分线。

三角形的中线、角平分线、高

B

A

C

图 5

16 、已知三角形的两条边长分别为 5 和 7 ，则第三边上中线长的取值范围。

1 ．如图， PD AB⊥ ， PE AC⊥ ，垂足分别为 D 、 E ，且 AP 平分∠ BAC ，则△ APD 与△ APE 全等的理由是（ ）．

（ A ） SAS （ B ） AAS

（ C ） SSS （ D ） ASA

全等三角形的判定

B

A

C

P

D

E

B

2 ．在下列条件中，不能说明△ ABC≌△A’B’C的是（ ）．（ A ）∠ A ＝∠ A’ ，∠ C ＝∠ C’ ， AC ＝A’C’ （ B ）∠ A ＝∠ A’ ， AB ＝ A’B’ ， BC ＝B’C’（ C ）∠ B ＝∠ B’ ，∠ C ＝∠ C’ ， AB ＝A’B’ （ D ） AB ＝ A’B’ ， BC ＝ B’C ， AC ＝A’C’

全等三角形的判定

B

3 、判定两个三角形全等，给出如下四组条件：①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等；③两条边和它们的夹角对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两个三角形全等的条件（ ） A① 和② B① 和④ C② 和③ D③ 和④

全等三角形的判定

C

图3D

B

B E

A

C

4 、如图 3 ，已知 OA=OB ， OC=OD ， AD 、BC 相交于 E ，则图中全等三角形有 对。

全等三角形的判定

4

5 、如图，已知 AB=AD ， AC=AE 1= 2∠ ∠ ，求证： BC=DE

A

B

C

D

E

1 2

全等三角形的判定与性质

6 、已知： CB=DB ， AC=AD ， P 是 AB上任意一点，求证： CP=DP

C

A B

D

P

全等三角形的判定与性质

A

B

C

DE

7 ．（ 1 ）如图 1 ， AC 、 BD 交于点 E ，给出怎样的两个条件，可以说明△ ADE≌

BCE△ ？为什么？　（ 2 ）如图 2 ，在△ ABC 与△ BAD 中，给出怎样的两个条件，可以说明△ ABC

BAD≌△ ？为什么？

A B

C D

角平分线、垂直平分线的性质

C

A

DB

E

8 ．如图，点 A 是线段 BC 的垂直平分线AD 上的一点，找出图中全等的三角形，并简要说明它们为什么全等？

9. 已知 :如图 ,在△ ABC 中 ,AD 是它的角平分线 ,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分别是 E,F. 求证 :EB=FC.

B

A

E

D C

F

角平分线、垂直平分线的性质

求作三角形

1

10 、已知线段 a 及∠ 1 ，①用尺规作△ ABC ，使得 AC=a, AB=2a, A= 1;∠ ∠② 作 AC 边上的高线 BD 。

11 ．初一 (1) 班的篮球拉拉队同学，为了在明天的比赛中给同学加油助威，提前每人制作了一面同一规格的三角形彩旗．小明放学回家后，发现自己的彩旗破损了一角，他想用彩纸重新制作一面彩旗．请你帮助小明，用直尺与圆规在彩纸上作出一个与破损前完全一样的三角形。

求作三角形

通过这节课的学习活通过这节课的学习活动你有哪些收获？动你有哪些收获？

小结

已知：∠ ACB= ADB=90∠ 0 ，AC=AD ， P 是 AB 上任意一点， 求证： CP=DP

C

A B

D

P

课外作业 :

2 、如图，已知 AB=AD ， AC=AE ，∠ 1= 2∠ ，求证： BC=DE

A

B

C

D

E

1 2

轴对称垂直平分连结两个对称点之间的线段。

　把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点．

轴对称图形、轴对称变换

由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换 ,也叫反射变换，简称反射，经变换所得的新图形叫做原图形的像。

轴对称变换不改变原图形的形状和大小。

A B

mC D

如图 ,等腰梯形 ABCD 是不是轴对称图形 ?若是 ,对称轴有几条 ?如何画 ?直线 m与线段 CD,AB 有什么关系 ?

E

F

.

已知△ ABC 和直线 m，作△ ABC 经轴对称变换后的像 .

m

A

B C

A’ B’

C’

∴∴△△A’B’C’A’B’C’ 即为即为所求所求

P

作法作法 ::1.1. 作作 CP⊥CP⊥ 直线直线 mm 于于 P,P, 延长延长CPCP 至至 C’,C’, 使使 CP=C’P,CP=C’P, 则点则点C’C’ 就是点就是点 CC 关于直线关于直线 mm 的的对称点对称点 ..

类似的类似的 ,, 作点作点 BB 关于直线关于直线 mm的对称点的对称点 B’,B’, 点点 AA 关于直关于直线线 mm 的对称点的对称点 A’A’

2.2. 连接连接 A’B’,B’C’,C’A’B’,B’C’,C’A’A’

• 画出图中“箭头”图案关于直线 AB 作轴对称变换所得的像。

B

A

在下图中再添上两个阴影正方格 , 使其组成一个轴对称图形 , 并画出它的对称轴 .

由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图形上的所有的点都向同一个方向运动，且运动相等的距离，这样的图形改变叫做图形的平移变换，简称平移。

平移变换不改变图形的形状、大小和方向；连结对应点的线段平行且相等。

平移变换

A

D

B

C

C ´

A ´ B ´

D ´

分析 :要画长方形需确定点的位置 点 B ( 点 A、 D) 平移的方向和距离？

作点的平移变换的像是图形平移变换作图的基本方法

例：把长方形 ABCD （如图）沿箭头所指的方向平移，

使点 C落在点 C’。求经这一平移变换后所得的像。

由一个图形改变为另一个图形 ,在改变的过程中 ,原图形上的所有点都绕一个固定的点 ,按同一个方向 ,转动同一个角度，这样的图形改变称为图形的旋转变换 ,简称旋转，这个固定的点称为旋转中心

１、旋转变换不改变图形的形状和大小．２、图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方 向转动了相同的角度．３、任意一对对应点与旋转中心的连线所成 的角度都是旋转角．４、对应点到旋转中心的距离相等．

旋转变换

O

P

Q

如图 : 经过怎样 的变换 , 可由射线 OP 得到射线 OQ?

绕着 O点

顺时针旋转

转动 90°

旋转中心

旋转方向

旋转角度

旋转三要素将射线 OP

• 如图 , ABC△ 中 , ACB=90 °.∠ 四边形 CEDF是正方形 .AD=6,BD=4.

求图中阴影部分的面积 .

C

A BD

E

F

O

A

B

C

• 画出图中△ ABC绕点 O顺时针方向旋转 90 度后所得的像。

• 如图 , 线段 A’B’ 是线段 AB 经过一次旋转变换所得的像 , 求作旋转中心 .

A

B

A’

B’

若∠ A’OB=130 °, 则旋转角度是多少度 ?

O

由一个图形改变为另一个图形 ,在改变的过程中 ,保持形状不变 (大小可以改变 )，这样的图形改变称为图形的相似变换 .图形的放大和缩小都是相似变换 .原图形和经过相似变换后得到的像它们是相似图形 .

１、相似变换不改变图形中每一个角的大小．２、图形中的每条线段都扩大 (或缩小 )相同的倍数． 33 、若图形放大若图形放大 (( 或缩小或缩小 )a)a 倍倍 ,, 则周长扩大则周长扩大 (( 或或缩小缩小aa 倍倍 ),), 而而面积放大面积放大 (( 或缩小或缩小 ) ) 倍倍

相似变换

2a

• 用能放大 3倍的放大镜去观察一个 15 度的角 ,则在放大镜中看到的角是 度 .

• 五边形经过一次相似变换后 , 一条 1㎝的边变成 3㎝ , 那么另一条 3㎝的边变成 ㎝ .

• 如图矩形 ABCD 中 ,E,G 分别是 AB,DA 的三等分点 , 再作矩形 AEFG,问

• 1)从矩形 ABCD 到矩形 AEFG 是什么变换 ?• 2) 经过这一变换 ,矩形 ABCD 的各条边 , 周长

和面积发生怎样的变化 ?

AE B

CD

G F

必然发生的事件叫做 ;

必然不会发生的事件叫做 ;可能发生，也可能不发生的事件叫做

在一定条件下 ,

事件的可能性

事件的分类 :必然事件

不可能事件

不确定事件 ( 随机事件 ) .统计事件可能出现的结果数的方法有 : 枚举法

列表法 画树状图法

知识运用 !

(1)据天气预报，温州明天的最高气温是 35摄氏度 ;(2) 朱启南射击一次，命中 10环 ;(3)在我们班级里，总共47 个人，有两个人是同月出生的 ;(4) 掷一石块 ,石块下落 ;(5) 打开电视机，正在播广告；(6)明天的太阳从西方升起来；(7) 掷两个骰子 , 两个 6朝上；(8) 异号两数相乘，积为正数；(9) 某种电器工作时，机身发热；(10)小聪用长度为 10cm,20cm,40cm的小木条做一个三角形 .

下列事件哪些是必然事件，哪些是不确定 ( 随机 )事件，哪些是不可能事件？

知识运用 !1﹑任意抛掷一枚均匀的骰子 .骰子停止转动后 ,朝上的点数有哪些可能 ?

可以运用枚举法来统计事件可能出现的结果数 :

答 :朝上的点数可能是 : 1 点﹑ 2 点 ﹑ 3 点 ﹑

4点 ﹑ 5 点 ﹑ 6 点 ,共 6 种可能 .

可以运用列表法 画树状图法 来统计事件可能出现的结果数 :

知识运用 !2﹑任意抛掷一枚硬币 2次 ,朝上的一面共有多少种可能 ?

第一次

第二次

正面朝上

背面朝上 正面朝上

正面朝上

背面朝上

背面朝上

第一次

第二次

正面朝上

正面朝上

正面朝上

背面朝上

背面朝上

背面朝上

答 :

根据上面的分析 , 可知共有 4种不同的可能 .

或

可能性的大小1﹑不确定事件发生的可能性是有大小的 ;其大小是由发生事件的条件决定的。

0个红

10个白

2 个红8 个白

5 个红5 个白

9个红1 个白

10个红0个白

一定摸到红球 很可能摸到红球 可能摸到红球 不大可能摸到红球

不可能摸到红球

2﹑根据各个盒子装球的具体情况而进行连线 :

可能性和概率1﹑我们把事件发生的可能性的大小也称为事件发生的概率，一般用 P表示．事件 A 发生的概率记为 P(A) .

P （ A ） = 数所有可能出现的结果总

发生的可能的结果总数事件A那么事件 A 发生的概率可用以下式子表示：

必然事件发生的概率为 100% 　，即 P(必然事件 )=1 ；

不可能事件发生的概率为 0 　，即 P( 不可能事件 )=０

　　　　　 而０＜ P( 不确定事件 )＜１

请将下列事件发生的概率标在图上：

①从 6 个红球中摸出 1 个红球

②从 4 个红球中摸出 1 个白球

③从 3红 3白 6 球中摸出 1 个白球

④从红、白、蓝三个球中摸出一个白球

12

3

4

1,1 1,2 1,3

1,4 1,5 1,6

2,1 2,2 2,3

2,4 2,5 2,6

3,1 3,2 3,3

3,4 3,5 3,6

4,1 4,2 4,3

4,4 4,5 4,6

5,1 5,2 5,3

5,4 5,5 5,6

6,1 6,2 6,3

6,4 6,5 6,6

例 1　将骰子先后抛掷 2次，计算： （ 1）一共有多少种不同的结果？ （ 2）其中向上的数之和是 5的结果有多少种？（ 3）向上的数之和是5的概率是多少？

2 3 4 55 6 7

3 4 55 6 7 8

4 55 6 7 8 9

55 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

2 3 4 55 6 7

3 4 55 6 7 8

4 55 6 7 8 9

55 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

2 3 4 55 6 7

3 4 55 6 7 8

4 55 6 7 8 9

55 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

2 3 4 55 6 7

3 4 55 6 7 8

4 55 6 7 8 9

55 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6

123456

第一次抛掷

第二次抛掷

例 2 先后抛掷 3 枚均匀的一分、二分、五分硬币

(1) 一共可能出现多少种不同结果？

(2) 出现“ 2枚正面 1枚反面”的结果有几种？

(3) 出现“ 2枚正面 1枚反面”的概率是多少？

正

反

正反

正反正反

正反

正反正反

(正正正 )( 正正反 )(正反正 )(正反反 )(反正正 )(反正反 )(反反正 )(反反反 )

抛一分 二分 五分 可能出现结果

解：(1) 一共有 2x2x2=8 种不同结果 .

(2) 出现“ 2枚正面 1枚反面”的结果有 3种 .(3) 出现“ 2枚正面 1枚反面”的概率是3

8

知识运用 ! 1﹑甲产品合格率为 98%,乙产品的合格率为 80% ，你认为买哪一种产品更可靠？ 2﹑阿强在一次抽奖活动中，只抽了一张，就中了一等奖，能不能说这次抽奖活动的中奖率为百分之百？为什么？ 3﹑ 从一副扑克牌（除去大小王）中任抽一张。 P （抽到红心） = 　　 _ ；

P （抽到 5 ） = 　　 _ ； P （抽到红心 3 ） = 　　 _ ； P （抽到黑桃） = 　　 _ ；

4

1

4

1

52

1

13

1

4﹑有 5张数字卡片，它们的背面完全相同，正面分别标有 1 ， 2 ， 2 ， 3 ，4 。现将它们的背面朝上，从中任意摸到一张卡片，则： p （摸到 1号卡片）= ;p （摸到 2号卡片） = ;p （摸到 3号卡片） = ; p （摸到 4号卡片） = ;

p （摸到奇数号卡片） = ;

P （摸到偶数号卡片） = .

1－52－51－51－5

2－53－5

知识运用 !

知识运用 !5﹑任意抛掷一枚硬币 2次 , 两次都是正面朝上的概率是多少 ?

第一次

第二次

正面朝上

背面朝上 正面朝上

正面朝上

背面朝上

背面朝上

第一次

第二次

正面朝上

正面朝上

正面朝上

背面朝上

背面朝上

背面朝上

分析 :

解 : 根据列表图 ( 或树状图 ) ，所有可能性相同的结果数有 4 种：正，正；正，背；背，正；背，背 .

所以两次都是正面朝上的概率 P=4

1

　 6﹑袋子里有１个红球，３个白球和５个黄球，每一个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则Ｐ (摸到红球 )= ;Ｐ (摸到白球 )= ;Ｐ (摸到黄球 )= 。

1－91－35－9

7﹑任意翻一下 2004年 (366 天 )日历，翻出 1月 6日的概率为 ;翻出 4月 31日的概率为 。 0

366

1

8﹑如图 A 、 B 、 C 三个可以自由转动的转盘，转盘被等分成若干个扇形，转动转盘，指针停止后，指向白色区域的概率分别是（ ）、（ ）、（ ）。

BA C

0

15

2

知识运用 !

知识运用 !9﹑一个小孩将 10盒蔬菜的标签全部撕掉了。现在每个盒子看上去都一样。但是她知道有三盒玉米，两盒菠菜，四盒豆角，一盒土豆。她随机地拿出一盒并打开它。a. 盒子里面是玉米的概率是多少？

b. 盒子里面是豆角的概率是多少？

c. 盒子里面不是菠菜的概率是多少？

d. 盒子里面是豆角或土豆的概率是多少？

10

3P

2

1

10

5P

5

4

10

8P

5

2

10

4P

10﹑飞镖随机地掷在下面的靶子上。     1 、在每一个靶子中，飞镖投到区域 A 、 B 、C 的概率是多少？ 2 、在靶子 1 中，飞镖投在区域 A 或 B 中的概率是多少？ 3 、在靶子 2 中，飞镖没有投在区域 C 中的概率是多少？

A B

CA

BC

知识运用 !

11﹑一个桶里有 60个弹珠 . 一些是红色的，一些是蓝色的，一些是白色的。拿出红色弹珠的概率是 25%，拿出蓝色弹珠的概率是 35%。桶里每种颜色的弹珠各有多少？解：显然拿出白色弹珠的概率是 40%

蓝色弹珠有 60×35%=21红色弹珠有 60×25%=15

白色弹珠有 60×40%=24

知识运用 !

12﹑小猫在如图

所示的地板上自由地走来走去，它最终停留在红色方砖上的概率是 ，你试着把每块砖的颜色涂上。

4

1

动手操作 !

动手操作 !

12﹑小猫在如图

所示的地板上自由地走来走去，它最终停留在红色方砖上的概率是 ，你试着把每块砖的颜色涂上。

4

1

•小结：•图形变换 :1. 四种变换的定义，2. 四种变换的性质3. 相应的简单画图

小结：

事件的可能性1 、会判定三类事件 (必然事件、不可能事件、不确定事件 ) 及三类事件发生可能性的大小（即概率），会用列举法 (枚举 列表 画树状图 )统计事件发生的可能的结果数。

2 、理解概率的意义、 概率公式，会用列举法( 枚举 列表 画树状图 ) 计算简单事件发生的概率 。

3 、运用所学的知识，去分析、判断游戏规则的公平性。

基本知识二元一次方程

二元一次方程的解

二元一次方程组

二元一次方程组的解

解二元一次方程组

结构

实际背景

二元一次方程及二元一次方程组

求解 应用

方法思想

一般地，在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解（ ），叫做这个二元一次方程组的解。

1 、含有 未知数且未知数的次数是 的方程叫做二元一次方程。 适合一个二元一次方程的 , 叫做这个二元一次方程的一个解 .

2 、如果方程组中含有 ，且含有 未知数的 都是一次，这样的方程组 叫做二元一次方程组。

两个 一次

一对未知数的值

两个未知数项的次数

公共解

填一填：

1 、下列哪些方程是二元一次方程(1)2x+y=24 (2) 3x2-4y=5

11y

x (

3)

（ 4） xy+2y=8

2 、写出二元一次方程 2x+y=24 的二个解。

3 、求出二元一次方程 2x+y=24 的所有正整数解。

练一练

4、若 3m—2n—7=0，则 6n—9m—6= 。

5 、填表：

方 程 用含 x 的代数式表示 y

用含 y的代数式表示 x

x—y=1

2(3x+y)=x+4

222

3 yx

34

7

4

1 yx

-27

解二元一次方程组的基本思想是什么？

二元一次方程 一元一次方程消元转化

想一想

消元的方法有哪些？

代入消元法、加减消元法

用代入法解方程主要 步骤：

写解解代

分别求出两个未知数的值写出方程组的解

变 用一个未知数的代数式表示另一个未知数消去一个元

加减消元法解方程组主要步骤：

加减 消去一个元求解 分别求出两个未知数的值

变形 同一个未知数的系数相同或互为相反数

例 1.解方程组：

)2(23

)1(345

yx

yx

7

17

5

7

1)3(

7

5

7

5,3)23(45)1()3(

)3(23)2(

y

xyx

xxx

xy

得代入把

得解之得代入

得由解

例 2. m , n 为何值时， 是同类项。52232 52 yxyx nnmnm 的

2

3,

523

22

,:

n

m

nm

nnm

得解这个方程组

有根据同类项的定义解

例 3 、已知 |x+2y+5|+(x-y+1)2=0, 求 (x+y)2 的值 .解：由题意 ,得

01yx05y2x

37

y34

x9

121∴(x+y)2=

1 、用指定的方法解下列方程组

52

52

yx

xy2 、方程组 的解满足方程 x+y+a=0，那么 a 的值是　 。

)5(345

53

xy

yx（用代入法）（ 2 ）

2223

123yx

yx（ 1 ） （用加减法）

做一做

3 、已知 |x+y|+ （ x—y+3 ） 2=0 ，则 x= ， y= 。

5. 方程组 的解满足方程 x+y+a=0 ，那么 a的值是　。

52

52

yx

xy

21

yx

31

yx4、方程mx+ny=10的两个解是 、 ，

则m= , n= 。

243

yxyx6 、已知二元一次方程组 的解也是方程

7mx－4y =－ 18x 的解，那么m= 。

7 、在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组

中的 a ，而得解为 ，乙看错了方程组中的 b,而得

解为 ，

（ 1 ）甲把 a看成了什么，乙把 b看成了什么？

（ 2 ）求出原方程组的正确解。

24155

byxyax

13

yx

45

yx

的解与

ax+by=2

ax- by=48 、关于 x 、 y的二元一次方程组

2x+3y=10

4x- 5y=-2的解相同，求 a 、 b 的

值 解：根据题意，只要将方程组 的解代入方程组

，就可求出 a， b的值

ax+by=2

ax- by=4

2x+3y=10

4x- 5y=-2

2x+3y=10

4x- 5y=-2解方程组 得

x=2

y=2

ax+by=2

ax- by=4将

x=2

y=2代入方程组 得

2a+2b=2

2a- 2b=4

解得

3a=

21

b=-2

∴a= ， b=32

12

9. 己知 x , y , z 满足方程组 求 x : y : z的值。

0547

02

zyx

zyx

3:2:1:3

2:

3

1::

3

2,

3

42

23

)1(3

339)2(2)1(

)2(547

)1(2

,:

zzzzyx

zyzy

zyzz

x

zxzx

zyx

zyx

得代入把

故

则原方程组可变形为把一个字母当作己知数解

应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤 :

•理解问题 (审题 ,搞清已知和未知 , 分析数量关系 )

• 制订计划 (考虑如何根据等量关系设元 , 列出方程组 ) 。 •执行计划（列出方程组并求解，得到答案）。•回顾 (检查和反思解题过程 ,检验答案的正确性以及是否符合题意 ).

1 、已知 y=kx+m，当 x=1时， y=2 ；当 x=2时， y= - 1 ；则 k= ，m= 。

2 、小明有 5元和 2元的人民币共 50张，合计 180元，若设 5元人民币有 x张， 2元人民币有 y 张，则可列方程组 ；3 、两个数字，甲数比乙数的 4倍少 5 ，乙数比甲数的 3倍多 4，设甲数为 x ，乙数为 y, 则可列方程组

-3 5

x+y=505x +2y =180

x=4y-5 y=3x+4

4 、甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙步行，如果乙先走 20千米，那么甲用 1 小时能追上乙，如果乙先走 1 小时，那么甲共用 15 分钟就能追上乙。若甲、乙两人的速度分别为每小时 x千米，每小时 y千米，则可列出方程组为 ，

yx

yx

14

1

4

1

20

例例 11 、香蕉的售价为、香蕉的售价为 55元元 // 千克千克 ,,苹果的售价苹果的售价为为 33元元 // 千克千克 ,, 小华共买了小华共买了 99千克千克 ,,付款付款 3333元元 ..

香蕉和苹果各买了多少千克？香蕉和苹果各买了多少千克？ 设买香蕉设买香蕉 xx 千克千克 ,, 买苹果买苹果 yy 千克千克 ,, 填表：填表：

单价单价（元（元 // 千千克）克）

质量质量（千克）（千克）

付款付款（元）（元）

香蕉香蕉苹果苹果

55

33xx

yy5x5x3y3y

例 2．甲、乙两人相距 6 千米，两人同时出发，若同向而行，则甲 3 小时可追上乙；若相向而行， 1小时相遇，求两人的速度 ?

例例 33 、有大小两种货车，、有大小两种货车， 22 辆大车与辆大车与 33 辆小车辆小车一次可以运货一次可以运货 15.5015.50 吨，吨， 55 辆大车与辆大车与 66 辆小车辆小车一次可以运货一次可以运货 3535 吨。求吨。求 33 辆大车与辆大车与 55 辆小车一辆小车一次可以运货多少吨次可以运货多少吨 ??

练一练：1 ．一批机器零件共 350个，甲先做 2 天，乙加入合做，又经过 2 天，完成任务；如果乙先做 2 天，甲加入合做，需再经过 3 天完成任务．问两人每天各做多少个零件？

2 ． A 、 B 两地相距 280千米，一轮船在 A 、 B 两

地往返航行，顺流航行需 14小时，逆流航行需 20小

时，求轮船在静水中的速度和水流速度？

3 、甲乙两人分别从相距 20 千米的两地出发，相向而行。如果甲比乙早出发 30 分钟，那么在乙出发后 2 小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么 1 小时后两人还相距 11 千米。求甲、乙每小时各走多少千米？

例例 44、两个两位数的和为 、两个两位数的和为 6868 ，在较大的两位数的右边，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边接着写较小的两位数，也得到一个四位数数的左边接着写较小的两位数，也得到一个四位数 .. 已已知前一个四位数比后一个四位数大知前一个四位数比后一个四位数大 2178,2178, 求这两个两位求这两个两位数数 ..

左边左边 右边右边 四位数的代数式四位数的代数式

原数原数

新数新数

若设较大的两位数为若设较大的两位数为 xx ，较小的两位数为，较小的两位数为 yy ，则，则

xx yy 100x+y100x+y

yy xx 100y+x100y+x

小明和小亮做游戏 ，小明在一个加数的后面小明和小亮做游戏 ，小明在一个加数的后面多写了上多写了上 00，得到的和为，得到的和为 242242 ；小亮在另一个；小亮在另一个加数后面多写了一个 加数后面多写了一个 0 0 ，得到的和为，得到的和为 341341 。原。原来的两个数分别为多少？来的两个数分别为多少？

例例 55 、甲、甲 ,,乙两种商品的单价之和为乙两种商品的单价之和为 100100 元元 ,,随季节变随季节变化化 ,,甲商品降价甲商品降价 10%,10%,乙商品提价乙商品提价 5%,5%,调价后调价后 ,,甲甲 ,,乙两乙两商品的单价之和比原单价之和提高了商品的单价之和比原单价之和提高了 2%,2%, 求甲求甲 ,,乙两种乙两种商品的原来单价商品的原来单价 ??设甲种商品的原来单价设甲种商品的原来单价 xx 元元 ,,乙种商品的原来单价乙种商品的原来单价 yy 元元 .. 填表：填表：

甲种商品甲种商品 乙种商品乙种商品 合计合计

原价原价

现价现价 xx

(1-(1- 10%)x10%)x

yy

(1+(1+ 5%5% )y)y

x+yx+y (1-10%)x(1-10%)x++(1+5%(1+5% )y)y

练一练：1. 某市现有 42万人口 , 计划一年后城镇人口增加 0.8%,农村人口增加 1.1%, 这样全市人口将增加 1%, 求这个市一年后预计的城镇人口和农村人口是多少 ?

2.甲 ,乙两个商店各进洗衣机若干台 ,若甲店拨给乙店12台 ,则两店的洗衣机一样多 ;若乙店拨给甲店 12台 ,则甲店的洗衣机比乙店洗衣机数的 5倍还多 6台 ,求甲 ,乙两店各进洗衣机多少台 ?

4、某工厂第一季度生产甲 ,乙两种机器共480台 , 改进生产技术后 ,计划第二季度这两种机器共 554台 , 其中甲种机器产量比第一季度增产 10﹪,乙种机器产量比第一季度增产 20﹪,该厂第一季度生产甲 ,乙两种机器各多少台 ?

3. 有两堆小球 , 每堆小球数一样多 , 且都只有红 ,黄两种小球 , 若甲堆中红球数是乙堆中黄球数的 ,乙堆中红球数是甲堆中黄球数的 , 则乙堆中的红球数是甲堆中的红球数的多少倍 ?

5 、某商场正在热销 2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种商品 , 根据下图提供的信息 , 求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少 ?

共计 145元 共计 280元x+2y=145

2x+3y=280

解得： x=125

y=10

6 、去年 5月 27日 ,印尼中爪哇省发生强烈地震 , 给当地人民造成巨大损失 .某校积极组织捐款支援灾区 , 初一 (1)班 55名共捐款 500 元 ,捐款情况如下表 :

捐款( 元 )人数

5 8 1012

6 7

表中捐款 8 元和 10 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚 ,请你帮助确定表中数据 ,并说明理由 .

1 、北京和上海都有某种仪器可供外地使用，其中北京可提供 10台，上海可提供 4台。已知重庆需要 8台，武汉需要 6 台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示，单位：元 /台 终点

起点 武 汉 重 庆

北京 400 800

上海 300 500

终点 起点

武 汉 重 庆

北京

上海

x y

6-x 8-y

有关部门计划用 7600 元运送这批仪器，请你设计一种方案，使武汉、重庆能得到所需的仪器，而且运费正好够用。

拓展训练

2 、小明和小强非常喜欢遥控汽车，放学后 ,去超市购买 , 最后决定在 A 、 B 、 C 三款中选择两款 , 其中 A款每辆 48元 ;　 B款每辆 78元 ;　C款每辆 98元 .

问题二 :若他们选择 A款和 C款共 5辆 ,用了 340 元，你知道他分别买了几辆 A款和 C款的遥控车吗？问题三 : 小明和小强有可能选择的是 A款和 B款的遥控车吗？请说明理由。

问题一：请列出他们所有的选择可能性 .

（一）整数指数幂及其运算法则1 、 am·an=_____(m、 n为整数 )2 、 (am)n=______(m、 n为整数 )3 、 (ab)n=______(n为整数 )4、 a0=______(a≠_____)5 、 a-p=______(a≠_____, p是正整数 )6 、 am÷an=______(m,n为整数，且 a ≠0)

am+n

amn

anbn

1 0pa

1

0am-n

回顾与思考

• 单项式 ×单项式• 单项式 ×多项式• 多项式 ×多项式• 平方差公式• 完全平方公式• 单项式 ÷单项式• 多项式 ÷单项式

（二）整式的乘除

• 一、选择题1 、下列计算正确的是（ ） A a3-a2=a B (a2)3=a5

C a8÷a2=a4 D a3×a2=a5

2 、用科学记数法表示 0.00000320 得（ ） A 3.20×10-5 B 3.2×10-6

C 3.2×10-7 D 3.20×10-6

D

D

练一练

3 、 (am)3·an 等于（ ） A a3m+n B am

3+n

C a3(m+n) D a3mn

4 、计算下列各式，其结果是 4y2-1 的是（ ）

A (2y-1)2 B (2y+1)(2y-1)

C (-2y+1)(-2y+1) D (-2y-1)(2y+1)

A

B

5 、已知四个数： 3-2 ， -32 ， 30 ， -3-3 其中最大的数是（ ）

A 3-2 B -32

C 30 D -3-3

6 、如果 (x+p)(x+1) 的乘积中不含 x 的项，那么 p 等于（ ）

A 1 B -1 C 0 D -2

C

B

1 、计算 : =________.(-2a)2

2 、计算 : =__________.a. a2+a3

3 、计算： =__________.a2� (ab)3

4、计算（ -1-2a ）×（ 2a-1 ） =_________ .5 、若 ,ab=2, 则 _______.a2+b2=5 (a+b)2 =

6、已知 ,x+y=7, 且 x＞ y, 则 x-y 的值等于 .

x2+y2=25

4a2

2a3

a5b3

1-4a2

9

1

二、填空

7 、用小数表示： 1.27×10-7=____________;8 、 (3ab2)2=________;9、 0.1252006×82007=__________;10、一个单项式与 -3x3y3 的积是 12x5y4，则这个单项式为 ________;

11 、要使 (x-2)0有意义，则 x 应满足的条件是 _______;

12 、圆的半径增加了一倍，那么它的面积增加了 _____倍；

0.000000127

9a2b4

8

-4x2y

x≠2

4

二、填空

三、化简：(1) (2 )(3 ) (2 )(2 )a a a a

2(2) (2 5 )(2 5 ) (4 )x y x y x y

(3) ( 2 )( 2 3) ( 4 3)x y x y x x y 2(4) (2 1) 4( 1)( 1)m m m

2(5) ( 3) ( 2)( 3)a a a

(6) ( 2)( 2)x y x y

xyyxyx

mmm

caxa

)23)(3(

)1)(1)(1)(2(

)3

1()9)(1(

223

2

242

计算下列各式：

)104()106.5)(6(

)5)(5()3)(3)(5(

125555)5)(4(

73

03432

xxxx

1 、化简求值：2(3 )(2 ) (2 ) (2 )(2 )a b a b a b a b a b

其中 1, 2a b 2 、化简求值：

2 2(2 1) 4(2 3 )x x x 其中 2x

3 、化简求值：2( )( ) ( ) 2 ( )x y x y x y y y x

其中 1, 3x y

做一做

5 、先化简，再求值（ 2x+1)2-9(x-2)(x+2)+5(x-1)2,x=-2

3

159

3

260

4 、用简便方法计算： （ 1） 20062-2005×2007 （ 2）

6 、解方程：

21 1 1 1( ) ( )( )

4 4 4 4x x x （ 2 ）

2 2 2(4 3) (3 4) 7( 2) 21x x x （ 4）

2(2 1) 4( 1)( 1) 17x x x （ 3 ）

（ 1）（ 2x-5)2=(2x+3)(2x-3)

21 25x kx

k

、若多项式 是一个完全平方式，则 ＝ 。

22 8x x k

k

、若多项式 － 是一个完全平方式，则 ＝ 。

2 23 4x mxy y 、若多项式 是一个完全平方式，

且m+| m| =0,则m＝ 。

仔细想一想

若 的积中，不含 和

的项，求 a 、 b 的值。

2 2( 1)(2 3 1)ax bx x x 3x x

若 的积中，不含 和

的项，求 m 、 n 的值。

2 2( )( 2 5)x mx n x x 3x 2x

若 的积中，不含 项，求 m 的值。2( 6)(2 1)x mx x 2x

仔细想一想

已知 x+y=3 ， xy=1 ，求 x2+y2 的值 .

2 2 2

2 2 2

( ) 2

( ) 2

x y x xy y

x y x xy y

完全平方公式：

2 2 2

2 2 2

( ) 2

( ) 2

x y x y xy

x y x y xy

－得到：

＋

1 、已知 x+y=5 ， xy=2 ，求 x2+y2 的值 .2、已知 x－ y=5 ， xy=2 ，求 x2+y2

的值 .

2 2 2

2 2 2

( ) 2

( ) 2

x y x y xy

x y x y xy

－公式：

＋

3 、已知 x+y=5 ， xy=2 ，求 (x-y)2

的值4、已知 (x+y)2=5 ， (x-y)2=7，求 xy的值 .5 、已知 (x+y)2=11 ， xy=1 ，求 (x-y)2 的值 .

2 、我们可以用几何图形来解释一些代数恒等式，例如图甲可以用来解释（ 2a ） ²=4a ²

图乙可以用来解释 (a+b)(a+2b)=a ²+3ab+2 b ²

则图丙可以解释哪个恒等式

a aa

a

甲 乙

aa

b

bba a a

ab

bb

你能否画个图形解释 (2a+b) ²=4a ² +4ab+b ²

丙

1 、 (x-1)(x+1)=

(x-1)(x+1)(x²+1)=

(x-1)(x+1)(x²+1)(x4+1)=

(x-1)(x+1)(x²+1)(x4+1)….(x16+1)=

你能利用上述规律计算 (2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1

拓展提高：

例 1 、利用乘法公式计算（ 2a-b ） 2 （ 4a2+b2 ） 2 （ 2a+b） 2解：原式 =[（ 2a-b ）（ 2a+b ） ]2 （ 4a2+b2 ） = （ 4a2-b2 ）（ 4a2+b

2 ）=16a4-b4

1 、在整式运算中 , 任意两个二项式相乘后 ,将同类项合并得到的项数可以是 _________.2 、把 加上一个单项式 , 使其成为一个完全平方式 . 请你写出所有符合条件的单项式 __________.

4x2+1 -1 ，±4x ，

4x4,-4x2

÷

练一练：

B2a2 -2ab+b2+4a+4=0 12 、若 a ， b都是有理数且满足 ， 则 2ab

的值等于（ ）

A. -8 B. 8 C.32 D.2004

9、用简便方法计算： （ 1 ） 20062-2005×2007 （ 2 ）

16 、先化简，再求值（ 2x+1)2-9(x-2)(x+2)+5(x-1)2,x=-2

3

159

3

260

)().)((

))(())()((

))((

))((

))()()((

)())((

73

03432

223

2

242

10410656

55335

12555554

233

1112

3

191

xxxx

xyyxyx

mmm

caxa

8 、计算

整式乘法 因式分解 )( cbam ma mb mc

把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。

（一）因式分解的定义：

即：一个多项式 →几个整式的积

（二）因式分解的方法：

（ 1 ）、提取公因式法

（ 2 ）、运用公式法

⑴ x(x-1)=x²-x ； ( ) ⑵ 3a(a+b)=3a²+3ab ( ) ⑶ x²+2x=x(x+2)； ( ) ⑷ y²-4=(y+2)(y-2)； ( )

√

√

XX

X

X

⑸ x²+2x+1=x(x+2)+1 ( )

⑹ a²+1=a(a+ ). ( )1

a

下列从左边到右边的变形哪些是属于因式分解？

1.公因式确定

（ 1 ）系数：取各系数的最大公约数；

（ 2 ）字母：取各项相同的字母；

（ 3 ）相同字母的指数：取最低指数。

2. 变形规律：

（ 1 ） x-y=-(y-x) (2) -x-y=-(x+y)

(3) (x-y)2=(y-x)2 (4) (x-y)3=-(y-x)3

3. 一般步骤

（ 1 ）确定应提取的公因式；

（ 2 ）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；

（ 3 ）把多项式写成这两个因式的积的形式。

提公因式法：

用平方差公式分解因式的关键：多项式是否能看成两个数的平方的差；

用完全平方公式分解因式的关键：在于判断一个多项式是否为一个完全平方式；

平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)

完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

公式法

3 、下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ）A 、 x2＋ x＋ 2y2 B 、 x2 ＋ 4x－4C 、 x2＋ 4xy＋ y2 D 、 y2 －4xy＋ 4x2

D

1 、 p（ y － x ）－ q（ y－ x ）解： p（ y － x ）－ q（ y － x ）

= （ y － x ）（ p － q）

试一试2 、 ax2y+axy2=axy(x+y)

因式分解的一般步骤：

一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先提取公因式；

二套：再看有几项，如两项，则考虑用平方差公式；如三项，则考虑用完全平方公式；

四查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解，如能分解，应分解到不能再分解为止。

三变：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能“提”或能“套”。 [ 如 (x+y)²-x-y=(x+y)(x+y-1 ）

1 、 x3 – xy2

解 : 原式 = x ( x2 – y2 )

= x ( x + y )( x – y )

解：（ x － y） 3 － （ x －y）

分解因式 :

2 、（ x － y ） 3 －（ x － y ）

= （ x － y ） （ x － y ＋ 1 ） （ x － y － 1 ）

3 、 x3 – x

解： x( x 2 – 1) = x (x+1)(x-1)

5 、分解因式 :(4x2+1)2 – 16x2

解： (4x2+1)2 – 16x2

=(4x2+1+4x)(4x2+1-4x)

=(2x+1)2(2x-1)2

=(4x2+4x+1)(4x2-4x+1)

4、将 x – xy2 分解因式；

解： x – xy2=x(1-y2)

=x(1+y)(1-y)

解：原式 =[3(m+n)]2- (m-n)2

=[3(m+n)+ (m-n)][3(m+n)- (m-n)]

=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)

6、 9（ m+n)2-(m-n)2

=(4m+2n)(2m+4n)

=4(2m+n)(m+2n)

做一做：

(1) a²-ab ； (2) m²-n²；(3) x²+2xy+y² (4) 12am²-3an²； (5) 3x³+6x²y+3xy²

1、将下列各式分解因式：

⑴ x²y+xy² ； ⑵ 9a²-4b² ； ⑶ x²y²-4xy+4；(4) 18a²c-8b²c ； (5) m4-81n4 ；(6) x²-4x(x-y)+ 4(x-y)² ；

2 、将下列各式分解因式：

⑴ x³y-xy³； ⑵ m4-n4 ； ⑶ (x+y)² -10(x+y)+25;(4) (2a+b)²–(a–b)² ；(5) 4a²–3b(4a–3b)；

3、将下列各式分解因式：

（ 6） -8a³+8a²b²-2a4b（ 7） 72-2(13x-7)²

简化计算

(1)562+56×44 (2)1012 - 992

（ 3）若 a=99,b=-1, 则 a2-2ab+b2= ；

⑵ 9x²=(x-7)²

解方程：

⑴ x³-9x=0

(3) (2x-1)²=(x+3)²

1 、一个矩形的面积为 a3 -2ab+a ,宽为 a , 求矩形的长。

矩形的长 =(a3-2ab+a)÷a=a2–2b+1

2 、若 5x2－ 4xy ＋ y2－ 2x＋ 1=0，求 x 、 y的值。

应用练习

1.观察下面一列有规律的数： , …,9

4,

7

3,

5

2,

3

1基础回顾：

(1)根据规律可知第 5 个数应是 ,

(2)可知第 n个数应是 (n为正整数 )

(3) 是什么代数式 ? 这种代数式有什么特征 ?n2n+1

511n

2n+1

分式的特征 :①表示两个整式相除，

　　　 　　②除式中要含有字母．

1. 分式的定义 :

2. 分式有意义的条件 : B≠0

分式无意义的条件 : B = 0

3. 分式值为 0 的条件 : A=0 且 B ≠0

A

B形如 , 其中 A ,B 都是整式 , 且 B 中含有字母 .

分式的概念

基础回顾：

2. 在代数式 : ，，，yx

x③x②x

①

3

1

3

，，，x

x⑥xx

x⑤x

x④ 11123

2

2

)1)(2(

1

2

xx⑧yx⑦ ，

中是分式的有 : .①③④⑤⑥⑧

分式的基本性质 分式的分子与分母同乘以 ( 或除以 ) 一个不为零的整式 , 分式的值不变。

用式子表示 : AB

A X M( )

AB

A ÷ M( )= =

分式的符号法则 :A

B=

B

( )=

A

( )=

－ A

( )

－ A

－ B=

A

( )=

B

( )=

－ A

( )

B X M B÷M

－ A

－B

－ B

B

－ A

B

其中 M 为不为 0 的整

式

写出与分式 的值相等的分式 : , 并说明根据什么 ?

yx

x

试比较两个分式 和 的异同 , 请各找出 1 个异同点

23

2 1

xx

x

2

1

x

x

当整数 = 时 , 分式 的值是整数 .1

3

xx 0,2,-2,-4

分式的乘除法法则分式乘分式 分式除以分式 分式的乘方

( )n

nn

b b

a a

分式的加减a b a b

c c c

1. 同分母分式相加减

2.异分母分式加减时需化为同分母分式加减 . 这个相同的分母叫公分母 .(确定公分母的方法 : 一般取各分母系数的最小公倍数与各分母各个因式的最高次幂的积为公分母 )

bd

ac

d

c

b

a

bc

ad

c

d

b

a

d

c

b

a

2.当 x= - 3 时，则分式

3.当 _________ 时，则分式 有意义

4. 若分式 的值等于零，则应满

足的条件是 ；

8________

1 x

2

1

9x 2 4

2

x

x

1. 在代数式

　 中，分式共有 _____ 个。

21 3 1 2 4, , , ( ), ,

3 2 2 3 2

m x xa b

x y x

3

2

x=2

x≠3且 x ≠-3

填一填

5 、当 x 时， 分式有意义。 25.0

22.0

x

x

6 、写出下列各式中未知的分子或分母：

baab

ba2

)()1(

yx

x

xyx

2

2

)2(

7 、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：

x

x

1

2 2

2

32

1

1

aa

aa

4

a2+ab x

2

32

1

1

aa

aa

x

x

1

2 2

ba

ba

32

23

2

yx

yx

3.02.0

14.021

8 、不改变分式的值，使下列各式分子与分母中各项的系数化为整数：

9 ．化简： ＝　　　　　　　．

10 ．计算： ＝　　　　　．

44

22

aa

a

ab

b

ba

a

11.计算 : ＝　　　　　．yx

xy

xy

yx

23

43

22

12. 分式 的最简公分

母是 _______________

, ,2

2 1 1

1 2 1 1a a a a

21 1a a

)11

(113ba

、

a2

1

1

23

2

y

yx

ba

ab

2 、下列分式是最简分式的是 ( )

(A) (B) (C) (D)x

x 2

1

12

x

x1xx 2 2

4

x

x

C

C

１ . 下列变形正确的是 ( )

A B

C D

2

2

a a

b b 1 1a ab

a ab

2 2x x

x x

5 25

2 4a a

3 、如果把分式 中的 x 和 y 都扩大 5 倍，那么这个分式的值 （ ）

A. 扩大为原来的 5倍 B. 不变 C. 缩小到原来的 D. 扩大到原来的 25倍

2

2 3

y

x y

1

5

xy

BA

选一选

4 、要使分式 有意义，则 x 的取值范围是 A 、 B 、 C 、 且 D 、 或

5 、下列等式成立的是 （ ）

A. B. C. D.

2

2

n n

m m 0

n n aa

m m a

0n n a

am m a

0

n naa

m ma

3

( 1)( 3)

x

x x

1x 3x 1x 1x 3x 3x

6 、下列各分式中，与 分式的值相等的是（ ）

A. B. C. D.

1

1

y

x

1

1

y

x

1

1

y

x

1

1

y

x

1

1

y

x

C

D

C

8. 化简 : =( )

A. 1 B.xy C. D.

xxy1

xyx

xy

C

C

7. 如果公式 , 那么 b= ( )

A. B.

C. D.

)01(

axab

bax

1axx

1axx

1axa

11

axa

1 、说出 与 的公分母是 .23

2 1

xx

x

2

1

x

x )1(2 xx

化简 : ÷23

2 1

xx

x

2

1

x

x 1)1(

)1)(1( 2

2

x

x

xx

xx

1

练一练

2 、如 , 则 .31

x

x 2

2 1

xx 7

0132 xx如 , 则 .2

2 1

xx 7

)1)(2(

)2(

)1)(2(

1

xx

xA

xx

x

12

1

)1)(2(

1

x

A

xxx

3 、若 , 则 = .A12

1

)1)(2(

1

x

A

xxx

)1)(2(

21

xx

AAxx

)1)(2(

)12()1(

xx

AxA

解 :

∴ A+1=0, ∴ A=－ 1

1 、 , 则 A=_____,B=____.

2 、若关于 x 的方程 产生增根，

则m=______.

5 3 1

3 3 3

Ax B x x

x x x

2 1

1 1

x m

x x

3 、 将公式 变形成用 y表示 x,则 x＝ 。1

x

xy

4 ．已知 ，那么分式 的值等于 ；

2 24 4 0x xy y x y

x y

5 ．已知 ，那么 ＝　　　．31

a

a 22 1

aa

2 1

2

yy1

3

11

做一做

解（ 1 ）原式 =3(x-2)

(x+2)(x-2) (x+2)2

x+2=3 .

例 1. 化简（ 1 ） （ 2 ）3x-6

x2-4 x+2

x2+4x+4

x

x2-3x(x2-9)

（ 2 ）原式=x

x(x-3)(x+3)(x-3)=x+3 .

2 12 ( 1)

1

aa a

a

例 2 、请将下面的代数式尽可能化简 , 再选择一个你喜欢的数代入求值

2

2 2 2

2 ( 1) ( 1)( 1) 1:

1 1 1

2 2 ( 1) ( 1)

1

2 ( 1)

1

2

a a a a a

a a a

a a a a

a

a a

a

a

解 原式=

( 1)( 1): 2 ( 1)

1

2 ( 1) ( 1)

2

a aa a

a

a a a

a

解 原式

a 的取值保证分式有意义1a

算一算x2-y2

x2+2xy+y2 x-y

x2+xy（ 1）

(x+1

x2-4-

2x+2

) x-5x+2

x (2-x)

÷（ 2）

(a2+2a+1

a2-1-

1

a-1)

a2

a-1÷（ 3

）a-1

a+2-

a2-4

a2-2a+1 ÷

1

a2-1（ 4）

综合与拓展

先化简 , 再求值 :

⑴其中 ;

)11

(abab

ba

1,2 ba

052422 baba⑵已知 ;

(3) 已知 .32

ba

2

1 2 71.

1 1 1x x x

例

:解 方程两边乘以(x+1)(x-1),得

( 1) 2( 1) 7x x

1 2 2 7x x 2x

2x 是原方程的解经检验：

分式方程必须检验 ,若有增根 ,

要舍去

找出公分母

例例 22 、丽园”开发公司生产的、丽园”开发公司生产的 960960件新产品，需要精加工后，件新产品，需要精加工后，才能投放市场。现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲才能投放市场。现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用工厂单独加工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用 2020天，而乙工厂每天比甲工厂多加工天，而乙工厂每天比甲工厂多加工 88 件产品，公司需付甲工厂加件产品，公司需付甲工厂加工费用每天工费用每天 8080 元，乙工厂加工费用每天元，乙工厂加工费用每天 120120 元。元。 （（ 11 ）求甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品。）求甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品。

请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由。请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由。

（（ 22 ）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成；）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成；

也可以由两个厂家同时合作完成。在加工过程中，公司需派一名也可以由两个厂家同时合作完成。在加工过程中，公司需派一名

工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 55元的误餐补助费。元的误餐补助费。

解：（ 1）设甲工厂每天能加工 x件产品，则乙工厂每天能加工(x+8)件产品。根据题意，得：

整理得 :x2+8x-384=0, x1=16,x2=-24.经检验 :x1=16,x2=-24 都是原方程的根。但是每天能加工的产品数不能为负数， ∴x=-24舍去，只取 x=16.当 x=16时， x+8=24. 答：甲、乙两个工厂每天各能加工 16 件和 24 件新产品。

（ 2 ）甲工厂单独加工完这批新产品所需的时间为：　　　　　　 960÷16=60 （天） 所需要费用为： 80×60＋ 5×60 ＝ 5100 （元）　　乙工厂单独加工完这批新产品所需的时间为：　　　　　 960÷24 ＝ 40 （天）　 所需要费用为： 120×40＋ 5×40 ＝ 5000 （元） 　　

208

960960

xx

设他们合作完成这批新产品所用的时间为设他们合作完成这批新产品所用的时间为 yy天，于天，于是是

y(1

60+

1

40)=1

因为甲乙两家工厂合作所用时间和钱数都最少，所以 选择甲乙两家工厂合作加工完这批新残品比较合适。

解得： y=24 （天）

所需费用为： (80+120) ×24 +5 × 24=4920 （元）

1 、某校组织学生某校组织学生 360360名师生去参观某公园，如果租名师生去参观某公园，如果租用甲种客车客车刚好坐满；如果租用乙种客车可少用一用甲种客车客车刚好坐满；如果租用乙种客车可少用一

辆，且余辆，且余 4040个空座位个空座位 ..

(1)(1)已知甲种客车比乙种客车少已知甲种客车比乙种客车少 2020个座位个座位 ,, 求甲、乙两求甲、乙两种客车各有多少个座位。种客车各有多少个座位。

（（ 22 ）已知甲种客车的租金每辆）已知甲种客车的租金每辆 400400 元，乙种客车的元，乙种客车的租金每辆租金每辆 480480 元。这次参观同时租用这两种客车，其元。这次参观同时租用这两种客车，其中甲种客车比乙种客车少祖一辆，所用租金比单独租用中甲种客车比乙种客车少祖一辆，所用租金比单独租用任何一种客车要节省， 按这种方案需用租金多少元？任何一种客车要节省， 按这种方案需用租金多少元？

练一练

解：设甲种每辆客车有 x个座位，则乙种客车每辆有 (x+20) 个座位，根据题意，可列方程：

360

x£

360+40

x+20=1

解得 :x1=60,x2=-120.

经检验： x1=60,x2=-120 都是原方程的根 .

但 x2=-120 不合题意舍去 , 只取 x=60, 这时 x+20=80.答 :甲乙两种客车的作为分别有个个座位。

22 、、通常购买同一品种的西瓜时通常购买同一品种的西瓜时 ,,西瓜的质量越大西瓜的质量越大 ,,花花

费的钱越多费的钱越多 . . 因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越

大越好大越好 . . 假如我们把西瓜都看成球形假如我们把西瓜都看成球形 ,, 并把西瓜瓤的密并把西瓜瓤的密

度看成是均匀的度看成是均匀的 , , 西瓜的皮厚都是西瓜的皮厚都是 dd . .

(1)(1) 西瓜瓤与西瓜的体积各是多少西瓜瓤与西瓜的体积各是多少??

(( 球的体积公式是 球的体积公式是 ,R,R 为半径为半径 )) 3

34 RV

(1) (1) 西瓜瓤与西瓜的体积各是多少西瓜瓤与西瓜的体积各是多少 ??(2) (2) 西瓜瓤与西瓜的体积的比是多少西瓜瓤与西瓜的体积的比是多少 ??(3) (3) 买大西瓜合算还是买小西瓜合算买大西瓜合算还是买小西瓜合算 ??

西瓜的皮厚都是西瓜的皮厚都是 dd . .解：设西瓜的半径为解：设西瓜的半径为 R R , ,

(2)(2) 西瓜

西瓜瓤

VV

3

3

34

)(34

R

dR

3

3)(RdR 3)(

R

dR .)1( 3

R

d

RR 越大越大 , , 越越 , , 越越 , , 越越 ..

(3)(3) Rd

Rd1 3)1(

R

d

则则 : : ,

西瓜V(1)(1) 3

34 R

小小 大大大大

.

西瓜瓤V 3)(34 dR