Бийский лицей Алтайского края

Алгебра 11 классКомплексные числа

Вам поклоняюсь, вас желаю, числа!Свободные, бесплотные как тени,Вы радугой связующей повислиК раздумиям с вершины вдохновенья.

Валерий Яковлевич Брюсов(русский писатель 1873-1924)

Историческая справка

Итальянский математик Джерсламс Кардано (1501-1576), решая задачу о представлении числа 10 в видесуммы двух слагаемых так, чтобы произведение этих слагаемых равнялось 40, встретился с ситуацией, что система

не имеет действительных решений. Величины, квадраткоторых равен отрицательному числу Кардано назвал«софически отрицательными», считал, что они лишены всякого реального содержания. Писал: «Для осуществления таких действий нужна была бы новая арифметика, которая была бы настолько же утонченной, насколько бесполезной»

40

10

ху

ух

Основатели теории комплексных чисел

Бомбелли-итальянский алгебраист в 1572г. ввёл правила арифметических действий

Р. Декарт- французкий математик и философ в 1637г. Дал название «мнимые числа»

Эйлер-русский математик, щвейцарец по происхождению, ввёл символ i , а в 1748г. нашел формулу, носящую теперь его имя.

из формулы получается таинственное равенство единения арифметики, алгебры, геометрии и анализа.

К.Гаусс в 1799г. доказал основную теорему алгебры, в 1831г. предложил геометрическую интерпретацию.

Независимо от него датчанином Весселем (1797) и французом

Аргоном (1806) предложено геометрическое толкование комплексных

чисел

2 xпри ,sincos xixеix

Словарь терминов

Комплексный-лат. составной, сложный. Термин введён Гауссом

i-первая буква французского слова imaginaire, мнимый

Инверсия, inversio - лат. переворачивание

Цель занятия: повторение и обобщение знаний по теме;с выходом на ознакомление с теорией функций комплексного переменного.

План работы на уроке:1 этап - повторение вопросов теории2 этап - вычислительная работа3 этап - практическая работа, выход на новый материал4 этап – итоговый контроль

Этап 1.1

Работа в парах (устно)

1)Сформулируйте определение комплексного числа.2)Как изображается комплексное число на плоскости?3)Как вычислить модуль комплексного числа?4)Что называется аргументом?5) В каких границах заключен главный аргумент?6) Как записать число в тригонометрической форме?7) Какое число называется сопряженным? Свойство сопряженных чисел?8) Запишите теоремы о модуле и аргументе9) Формула Муавра для Z в степени n

Этап 1.2.Основные определения

Число вида z=a+bi называется комплексным, а и b-действительные числа, i-мнимая единица

Re z=a, Im z=b Модулем комплексного числа называется

Аргументом комплексного числа z называется угол между положительным направлением полуоси ОХ и радиус-вектором ОМ, М(а,b)

Главный аргумент arg z заключен в границах

Тригонометрическая форма комплексного числа

22 baz

;(

sincos izz

Этап 1.3.Основные формулы

))sin()(cos(

)sin()cos(

))sin()(cos(

)sin(cos zz ),sin(cos

21212

1

2

1

21212121

22221111

22

ninzz

iz

z

z

z

izzzz

iizz

bazz

biaz

nn

Этап 2.1.Выполните действия, ответы запишите в тетрадь

1) (3+2i)+3(-1+3i) 2) i-2-(6-5i)3) (1+i)(1-i) 4)

5) 6)

Разложите на множители в комплексных числах:

1013 i ,i

i

3 4)1( i

16 x9) ,4а 8) ,1 )7 4222 bх

Этап 2.2. Проверь себя!

1) 11i 2) -8+6i 3) 2 4) –i, I 5) -3i 6) -4 7)(x-i)(x+i) 8)(a+2bi)(a-2bi) 9) (x-2)(x+2)(x-2i)(x+2i)

Этап 2.3. Тригонометрическая форма комплексного числа

Изобразите комплексное число на плоскости z=-2+2i

Запишите данное число в тригонометрической форме---------------------------------------------------------------------

4

3arg,22

zz

Этап 2.4.Решите задачу различными способами в алгебраической и тригонометрической форме

izzеслиzНайдите 84 , 6

Этап 2.5. Указания к решению.

1 способ.Если z=x+iy, то получаем уравнение 3x+3yi-x+yi=-4+8i, x+2yi=-2+4i,Используем условие равенства комплексных чисел, получаем, что х=-2, у=2.При возведении в квадрат, получаем число -8i, которое возводим в куб.Ответ: 512i

2 способ.Представленное в тригонометрической форме число возвести по формуле Муавра в 6-ю степень.

Этап 3.1.Геометрическое место точек

Изобразить на плоскости ГМТ, удовлетворяющих условиям:

01 wуравнения Решения.5

0)Re(.4

4arg

6.3

2Im.2

5,1.1

6

2

№

z№

z№

z№

iz№

Этап 3.2.1. Полученные ГМТ.

№1. Окружность с центром (0;-1) и радиусом 1,5№2. Полуплоскость у2.№3. Угол, заключенный между заданными лучами.№4. Прямые у=х и у=-х.№5. Точки, расположенные в вершинах правильного

6-тиугольника с центром (0;0).

Модуль равен 1. Простейший аргумент

6

Этап 3.2.2. Решения задач.

i2

1-

2

3 i;- ;

2

1

2

3- ;

2

1

2

3- i; ;

2

1

2

3 :форме скойалгебраиче

.6

11 ;

2

3 ;

6

7 ;

6

5 ;

2 ;

6 иаргументам с числа Получаем

Z.k ;6

2sin

6

2cos

:имеем Тогда ).sin1(cos 1-

1- .1w

5. №

-y. xилиy x0; y-x

;)2Re(x ;2 xz ;)(

4. №

2. y -2;y- ;z Im ;

.2

2

3)1( ;

2

3)1( );1( .1

6

22

222222222

222

222

iiiВ

ki

kw

i

формерическойтригонометвчислоЗапишем

yxyxyiyxyiiyxz

yiyxz

№

yxyxyixiz№

k

Этап 3.3. Функции комплексного переменного

Задайте условиями четверть круга с центром в точке (0;0), радиусом 2.

Выполните преобразования и постройте ГМТ w, удовлетворяющее условию:

Выполните: I вариант - а, в, д II вариант - б, г, д.

zwд

zwг

izв

zwб

izwа

1)

)

)1()

2)

)3()

3

Этап 3.4.1.Решения задач.

)4

sin4

(cos2

)4

sin4

(cos2i-1 );sin(cos

)0;0( 2

; 2

)

)sin(cos2 );sin(cos

.2 )0;0( )

).1;3( )

2

2arg0

izw

iizz

центромитомкоэффициенсгомотетия

стрелкечасовойпоуголнаповоротв

izwizz

томкоэффициеницентромсгомотетияб

векторнапереносыйпараллельнa

z

z

Этап 3.4.2.Решения задач.

. называется аниепреобразов Такое

фигуры. вне штриховка

внешние, во переходят

0arg2

2

1w

).sin()(cos(1

);0sin()0(cos(1

);0sincos0(11 )

2

3arg0

8w

);3sin3(cosz w)

00

00

3

инверсией

точкиВнутренние

w

iz

w

iz

w

iд

w

iг

Этап 4.1. Итоговый тест. Проверь себя! ( «да» или «нет»)

1. Число 1+i является действительным?2. -2(cos90 0+i sin90 0)-является тригонометрической формой

комплексного числа?3. Многочлен (х+4) можно разложить на множители в

комплексных числах?4. Если комплексное число равно своему сопряженному, то

оно является действительным?5. Число имеет аргумент равный /3 ?

i2

3

2

1

Этап 4.2. Ответы.

1. Нет2. Нет3. Да4. Да5. Нет

Молодцы! Спасибо за хорошую работу на уроке!

Урок подготовлен и проведен учителем математики высшей категории КГОУ «Бийский лицей Алтайского края»

Безкишкиной Мариной Васильевной

для слушателей курсов повышения квалификации БФАКИПКРО

и студентов ФМФ БГПУ им. В.М.Шукшина

2007г.