Консультационный центр по подготовке

выпускников к Государственной

(итоговой) аттестации

Консультационный центр по подготовке

выпускников к Государственной

(итоговой) аттестации

МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования»

Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации

С2С2

МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования»

Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации

Решение задач ЕГЭ. Часть С2Задача 1: Нахождение расстояния от точки до плоскости ( в треугольной призме);Задача 2: Нахождение расстояния от точки до плоскости (в кубе);Задача 3: Нахождение угла между прямой и плоскостью ( в прямоугольном параллелепипеде) ;Задача 4: Нахождение тангенса угла между прямой и плоскостью( в прямоугольном параллелепипеде);Задача 5: Нахождение угла между прямой и плоскостью( в правильной треугольной призме);Задача 6: Нахождение тангенса угла между прямой и плоскостью( в кубе);Задача 7: Нахождение синуса угла между прямой и плоскостью( в тетраэдре).

С2С2

DD

NN

АА11DD

3344

СС22 Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, AB = АC = 5, BC = 6. Высота призмы равна 3. Найдите расстояние от середины ребра B1C1 до плоскости BCA1.

АА

ВВ

СС

СС11АА11

5

ВВ11

5

3

6

33

NN

KK

KK

44

3355

5

6342

1ANDS

NKADSAND 2

166 55

NK 52

16

4,2NK

* 2

NK512 : 5

NKNK – искомое расстояние – искомое расстояние

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Найдите расстояние от точки А до плоскости A1 BТ, где Т - середина отрезка AD.

D

А В

С

А1

D1 С1

В1

11

11

22

Опустить перпендикуляр из точки на плоскость не всегда просто. Применим другой способ для вычисления расстояния от точки А до плоскости A1 BТ. Найдем AO, выразив два раза объем пирамиды ABTA1 с основанием АВТ.

11

1122

.2

5

;4

5

;4

11

;12

1

;

:

2

22

2

222

TB

TB

TB

TB

ABATTB

ATBИз

.2

;2

;2

;11

;

:

1

1

21

2221

21

221

1

BA

BA

BA

BA

AAABBA

ABAИз

5522

T

O

D

А В

С

А1

D1 С1

В1

11

11

2211

1122

B

T

H A1

5522

T

O

5522

5522

2222

22:1HTAИз

.2

3

;4

3

;4

3

;2

2

2

5

;

2

2

2

2

21

221

HT

HT

HT

HT

HAHTTA

;2

111THBASTBA

;2

32

2

11

TBAS

.4

61TBAS

D

А В

С

А1

D1 С1

В1

11

11

2211

1122 55

22T

O

Найдем AO, выразив два раза объем пирамиды ABTA1 с основанием АВТ.

;3

111

AАSV TBAABTA

12

1

;3

111AOSV TBAABTA

12

11ABTAV

;12

11

2

1

3

11

ABTAV

;4

6

3

1

12

1AO

;61 AO

12

6

1AO

6

6

6

6AO

;3

1.. HSV оснпир ;

2

1.. baS трпр

.4

61TBAS

88

C

D A

B

D1

C1 B1

A1

66

88

Угол между наклонной и Угол между наклонной и плоскостью – это угол между плоскостью – это угол между наклонной и её проекцией на эту наклонной и её проекцией на эту плоскость. плоскость.

накл

он

ная

накл

он

ная

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой A1B и плоскостью AA1C, если AA1 = 6, AB = 8, BC = 8.

пр

оек

ци

яп

ро

екц

ия

O

661010

2244

.10

;10

;100

;86

;

:

1

1

21

2221

211

21

21

11

BA

BA

BA

BA

ABBBBA

BABИз

.28

;28

;82

;88

;

:

22

222

222

BD

BD

BD

BD

DAABBD

ABDИз

.24BOТогда

:1BООИз

;sin1BА

ВО

.5

22arcsin

5

22sin

;10

24sin

EF А1F, ,

D

А В

С

А1

D1 С1

В1

66

44

44

1. Угол между прямой EF и плоскостью АВС равен углу между EF и плоскостью А1В1С1, т.к. эти плоскости параллельны.2. Угол между прямой и плоскостью равен углу между данной прямой и её проекцией на плоскость.

F F E А1

3. Искомый угол EFA1.

Е

F

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 4, BC = 6, CC1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостью ABC и прямой EF, проходящей через середины ребер AA1 и C1D1.

наклон

ная

наклон

ная

22

22

66

.102

;40

;40

;62

;

:

1

1

21

2221

211

21

21

11

FA

FA

FA

FA

ADFDFA

FADИз

проекцияпроекция101022

1

1tFA

EAg

Находим тангенс угла Находим тангенс угла EFAEFA11. Это . Это

отношение противолежащего отношение противолежащего катета к прилежащему катету, т.е. катета к прилежащему катету, т.е. EAEA11 к к FAFA11..

Из FEA1

102

2t g

10

10

10

10t g

Точка М – середина стороны ВС основания АСВ правильной призмы АВСА1В1С1. Боковое ребро призмы равно , а сторона основания равна 12. Найти синус угла между прямой В1М и плоскостью боковой грани ABB1A1.

39

C

A

C1 B1

1212

B

39

1212

A1

H

M

накл

онна

я

накл

онна

я

66

MB1 B1HB1 B1, M H,

п

ро

екц

ия

пр

оек

ци

я

.35

;325

;75

;396

;

:

1

1

21

2221

21

221

1

MB

MB

MB

MB

BBMBMB

MBBИз

3355

606000

.33

;2

36

;62

3

;60sin

:

0

MH

MH

MH

MB

MH

MBHИз

3333 :1HMBИз

;35

33sin

;sin1

MB

MH

5

3sin

M H

B

606000

66

??

Прямая СС1 является наклонной к плоскости ВС1D. Найдем проекцию СС1 на плоскость ВС1D.

D

А В

С

А1

D1 С1

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой АА1 и плоскостью ВС1D.

.2

;2

;2

;11

;

:

2

222

222

AC

AC

AC

AC

BCABAC

ABCИз

Заменим заданную прямую АА1 на параллельную прямую СС1. Угол между АА1 и плоскостью ВС1D равен углу между параллельной прямой СС1 и плоскостью ВС1D.

С1 С1,

В1

2222

О

накл

он

на

ян

акло

нн

ая

Если в кубе не дано ребро, то можно обозначить его буквой или взять за «1»Если в кубе не дано ребро, то можно обозначить его буквой или взять за «1»

1111

11:1OCCИз

;2

2

;1

tg

CC

OCtg

K

С K, СC1 C1K,

Для нахождения более удобен , а не .

tg1ОСС 1KCС

прое

кция

прое

кция

В тетраэдре AВСT ребра AC и TB равны 12, а остальные ребра равны 10. Найдите синус угла, который составляет прямая АТ с плоскостью АМС, где М – середина ребра ТВ.

накл

онна

я

накл

онна

я

BBAA

EE

проекцияпроекция

1212 1010

MM

CC

12121010

Угол между наклонной и плоскостью равен углу между наклонной и ее проекцией. A A T ?

6666

6666

Докажем, что плоскости ACM и BET перпендикулярны.

AC ВE,

AC TE AC BTE,

AC AC перпендикулярна к двум перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим пересекающимся прямым, лежащим в плоскости в плоскости BTEBTE, значит, , значит, ACAC перпендикулярна плоскости перпендикулярна плоскости BTE.BTE. Плоскость АПлоскость АCM CM проходит через проходит через

перпендикуляр перпендикуляр ACAC к плоскости В к плоскости ВTETE.. Значит, плоскости перпендикулярныЗначит, плоскости перпендикулярныЕМЕМ –– линия пересечения плоскостейлиния пересечения плоскостей

АCM ВTE , ТN ЕМСтроим

T N AT AN

88

1010

88

72

;28

;3664

;68

;

:

2

222

222

EM

EM

EM

EM

EMECMC

EMCИз

7722

Найдем TN из MET, через площадь.

TT

NN

TT

BBAA

EE 1010

MM

CC

1010

66

66

66

66

88

88

Найдем TN из METчерез площадь.

NN

M

E

T

6688

TEMTSMTE 2

1

TNEMSMTE 2

168

2

1MTES

24MTES

24 72

TN 722

124

abS2

1 aahS

2

1

N M

E

T

7722

TN 724

7

24TN

7

7

7

724TN

AT

TNsin

10:7

724sin

107

724sin

35

712sin

7722

77242477

TM перпендикуляр к плоскости AMC, значит, TM будет перпендикулярен к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

TN AMC TM AN

Мы знаем гипотенузу и Мы знаем гипотенузу и противолежащий катет противолежащий катет треугольникатреугольника АМТ, значит, АМТ, значит, вычислим отношение синус. вычислим отношение синус.

МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования»

Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации

С2С2Используемые ресурсы:Используемые ресурсы:

•Смирнов В.А., Семенов А.А., Ященко И.В. ЕГЭ-2013. Смирнов В.А., Семенов А.А., Ященко И.В. ЕГЭ-2013. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия. Рабочая тетрадь. Издательство МЦНИО. 2013г.;Рабочая тетрадь. Издательство МЦНИО. 2013г.;•Тексты задач Стат Град и ЕГЭ- сайт Александра Ларина. Тексты задач Стат Град и ЕГЭ- сайт Александра Ларина. http://alexlarin/net/ege11.html•Сайт ЕГЭ-тренер, видеоуроки Ольги Себедаш. Сайт ЕГЭ-тренер, видеоуроки Ольги Себедаш. http://wwwwww..egetreneregetrener..ruru//view zadachi=C2view zadachi=C2