[ 引例 1]: 某一次函数的图象经过点 (-1,2), 且函数 y 的值随自变量 x 的增大而减小，请你写一个符合上述条件的函数关系式。（只写一个函数关系式，不必考虑所有的情形）

B C

A D

[ 引例 2]: 如图 1 ，∠ ABC=∠DCB, 请补充一个条件 ，使△ ABC≌△DCB.

[ 引例 3]: 已知：四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,给出下列 5 个条件：① AB//CD ②OA=OC③AB=CD ④∠BAD=∠DCB ⑤AD//BC. 从以上 5 个条件中任意选取 2 个条件，能推出四边形 ABCD 是平行四边形的有（用序号表示）：

开放探索题是近年来中考命题中的一个新方向，其解法灵活且具有一定的探索性， 这类题按解题目标的操作模式分为规律探索型、数学建模型、操作设计型、问题探索型等； 按未知的是解题假设、解题目标、解题推理来分，有条件开放题、结论开放题、策略开放题、组合开放题。

开放探索题本身具有多种开放性：包括条件的开放、问题的开放、解题策略的开放、以及答案的开放，因而在思维训练中有其独特的作用：

1 、激励作用：唤起兴趣，产生激励思维的内驱力。2 、磨砺作用：要求我们对结论作出大胆的合理猜想，在解题方法上能出奇制胜，别出心裁。

从专业角度说，课堂教学的有效性是指通过课堂教学使学生获得发展。 发展就其内涵而言，指的是知识、技能，过程、方法与情感、态度、价值观三者（三维目标）的协调发展。 通俗地说，课堂教学的有效性是指通过课堂教学活动，学生在学业上有收获，有提高，有进步。 “ 课堂教学的有效性特征（或表现）最核心的一点是看学生是否愿意学、主动学以及怎么学、会不会学”。

（一）、改造课本的例题习题，使之具有开放性 将一些条件、结论完整的例题改造成给出条件，先猜结论，再进行证明的形式；也可以改造给出多个条件，需要整理、筛选以后才能求解或证明的题目；还可以改造成要求运用多种解法或得出多个结论的题目，以加强发散式思维的训练。此外，将题目的条件、结论拓广，使其演变为一个发展性问题，或给出结论，再让学生探求条件等，都是使常规性题目变为开放题的有效方法。

8)20(510 xx

12x

【例 1 】《华东师大版》八年级（下） P62问题 2的研究解答

在科学与艺术知识竞赛的预选赛中共有 20道题，对于每一道题，答对得 10分，答错或不答扣 5分，总得分不少于 80分者通过预选赛，育才中学 25名学生通过了预选赛，他们分别可能答对了多少道题？

解：设通过预选赛的学生可能答对了 x道题，则答错或不答的题有（ 20-x）道，由题意，

得解

得：所以，这些学生可能答对的题目数是 12,13,14,15,16,17,18,19,20

除了上述解法外，你还有没有其他方法？

8020015 x8x

18015 x12x

设至少答错或不答道 x题，由题意

即得

因此可设至少答对 x道题，由题意，得解得

所以，可能答对的题目为 12,13,14,15,16,17,18,19,20道。

方法 1方法 1

即至少答对 12道题，所以答对的题目是 12,13,14,15,16,17,18,19,20道

方法 2方法 2

A B

D C

EF

【例 2】如图，在平行四边形 ABCD中，点E、 F在对角线 AC上，且 AE=CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）

1、连结 2 、猜想： 3、证明：

此题改编于《华东师大版课本》八年级上 P37例 5

【例 3】如图， AB 是⊙ O 的直径， BD=OB, CAB=3∠0°, 请根据已知条件和所给图形，写出三个正确结论（除AO=BO=BD外）① ② ③

DA B

C

O

此题改编于《华东师大版课本》九年级上 P58练习 3

（二）、利用一题多变，一题多解，多题同法拓宽学生的思维空间

解开放性问题的关键是牢固掌握基础知识，加强“一题多解”，“一题多变”，“一题多用”，“多题同法”，“多题同果”等的训练，经过归纳、类比、模拟、联想等推理的手段，得出正确的结论。开放性问题有利于激发创新意识，启迪创新思维，培养创新精神，也是中考命题的一个热点。

一题多变 一题多变

【例 4】 2

2 13

1

aa

aa ，求已知

2

24 13

1

a

aa

aa ，求已知

1

31

24

2

aa

a

aa ，求已知

a

aa

a1

111

22 ，求已知

4

4 12

1

aa

aa ，求已知

2

2 13

1

aa

aa ，求已知

1

71 24

2

2 aa

a

aa

a，求已知

4

42 1015

aaaa ，求已知

变形 1：

变形 2：

变形 3：

变形 4：

变形 5：

变形 6：

变形 7：

此题改编于《华东师大版课本》九年级上 P24 复习题 17

【例 5】已知点 E, F, G, H 分别是平行四边形 ABCD各边的中点，请判断四边形 EFGH 的形状 ?并做进一步的思考。

1.当满足什么条件时，四边形 EFGH 是菱形 ?矩形？正方形？

2. 已知点 D, E, F 分别是三角形 ABC各边的中点，那么， ①当满足什么条件时，三角形 DEF 是等腰三角形 ? ②当满足什么条件时，三角形 DEF 是等边三角形 ? ③当满足什么条件时，三角形 DEF 是直角三角形 ?

④当满足什么条件时，三角形 DEF 是等腰直角三角形 ?

变化：

此题改编于《华东师大版课本》九年级下 P62 《课题学习 : 中点四边形》

【例 6】如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上运动，AC 与 BE 交于点 F,（ 1 ）如图 1 ，当点 E运动到 DC 的中点时，求△ ABF与四边形 ADEF 的面积之比； C

F

D

A

E

B

（ 2 ）如图 2 ，当点 E运动到 CE:ED=2:1时，求△ ABF 与四边形 ADEF 的面积之比；（ 3 ）如图 3 ，当点 E运动到 CE:ED=3:1时，求△ ABF 与四边形 ADEF 的面积之比；（ 4 ）当点 E运动到 CE:ED=n:1时 (n 为正整数时 ) ，猜想△ ABF 与四边形 ADEF 的面积之比；（不用计算，只写结果）（ 5 ）请你利用上述图形，提出一个类似的问题。

变化：

一题多解 一题多解

13

2

x 132 xx【例 7】当 时，求 的值。

13 x

31 x

333)3(3)1()1(2)1(13 2222 xxxxxx

解法一：直接代入计算，这是笨拙的解法；解法二：先进行分母有理化，得 然后再代入

；解法三：条件

变为

解法四： 31 x 0222 xx两边平方得

3)1(0)1()22(13 22 xxxxxx

【例 8】有一块长 16米，宽 12米的矩形荒地，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能设计方案吗？

2

11216)212)(216( xx

2,12

0)2)(12(,02414

21

2

xx

xxxx

2x

解法 1 ：设小路的宽为 x米 则

整理得

检验：因为小路的宽度为 12米，符合所列方程，但荒地的宽度为 12米，小路的宽不可能是 12米，因此它不是实际问题的解，应舍去，取

16122

12 x

舍去负值）(5.5,96

xx

分析 2 ：其中花园每个角的扇形都相同。解法 2 ：因为 4 个相同的扇形的面积之和恰为一个圆的面积，且其半径为 x米由题意：

解得

所以扇形半径约为 5.5米。

此题改编于《华东师大版课本》九年级上 P38练习 7

【例 8】有一块长 16米，宽 12米的矩形荒地，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能设计方案吗？分析 3 ：设计如图

解法 3 ：由题意，

12162

1)12(16

2

11216)12)(16(

xxx

xx

或者解得 x=4

当然，符合条件的设计方案是多种多样的。

多题同解 多题同解

【例 9】 （ 1 ） k 取何值时对任意实数 x ，代数式 （ 2 ） k 取何值时，方程 （ 3 ） k 为何值时，对任意实数 x ， 不等式 （ 4 ） k 为何值时，函数

?01)3(22 的值都大于 xkxx

没有实数根？01)3(22 xkxx

恒成立？010)3(22 xkxx

轴的上方？的图像全部在xxkxxy 1)3(22

（三）、设计“开放型”的训练题， 拓宽学生的创新空间

1 、条件开放型问题 1 、条件开放型问题 【例 10】如图， OA 是△ ABC 的中线，要使⊙ O 与 AB 边相切于点 D（ 1 ）要使⊙ O 与 AC 边相切，应增加条件 : （任写一个）（ 2 ）增加条件后，请你证明⊙ O 与 AC 边相切

E

O

D

CB

A

ABC AE BF

EG FH AC

图 1H G

A

B C

E

F

B

G CH

A

F

E

图 2

图 3

B

C GH

E

F

A

P

A G

C

B

H

F

E

【例 11】己知点 E 、 F 在 的边 AB 所在的直线上，且

FH//EG//AC,FH 、 EG 分别交边 BC 所在的直线于点 H 、 G．⑴如图 l ，如果点 E 、 F 在边 AB 上，那么

⑵如图 2 ，如果点 E 在边 AB 上，点 F 在 AB 的延长线上，那么线段 EG 、 FH 、 AC 的长度关系是 _______________ ；

⑶如图 3 ，如果点 E 在 AB 的反向延长线上，点 F 在AB 的延长线上，那么线段 EG 、 FH 、 AC 的长度关系是 _________ ；

对⑴⑵⑶三种情况的结论，请任选一个给予证明．

2 、结论开放型问题 2 、结论开放型问题

3 、方案设计开放型问题 3 、方案设计开放型问题

【例 12】如图所示，把边长为 2厘米的正方形剪成四个全等的直角三角形，请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并按实际大小画出拼后的图形来。（ 1 ）不是正方形的菱形（ 2 ）不是正方形的矩形（ 3 ）梯形（ 4 ）不是矩形和菱形的平行四边形（ 5 ）不是梯形和平行四边形的凸四边形（ 6 ）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形

【例 13】如图，在△ ABC和△ DEF 中 ,B 、 E 、 C 、F 在同一条直线上，下面有四个条件，请你在其中选择3 个作为题设，余下的 1 个作为结论，写出一个真命题，并加以证明。

①AB=DE AC=DF ABC= DEF BE=CF② ③∠ ∠ ④

4、组合开放型问题 4、组合开放型问题

F

DA

B CE

（四）生活永远是开放型应用题永不枯竭的源泉

【例 14】上海现行的出租车收费标准是：当路程不超过 3千米但不超过 10千米时，超过部分的单价 2元 /千米（不足 1千米按 1千米计算）；当路程超过 10千米时，超过部分的单价为 3元 /千米（不足 1千米按 1千米计算），夜 23 点至第二天凌晨 5 点加收 30% 。请讨论利用中途换乘出租车的依法以节省费用的可能性。

1．在学习时，应当允许学生在学习过程中存在一定的“路径差”。

2．在学习中，要给学生充分的思考时间和活动空间。

3．应选择好联系实际的开放题，题量和难度要合适。

4 ．在编制开放题时，要掌握适度。

5．适度开展数学开放题教学

6 ．在评价学生时不要过分追求完整的答案。