问题 ：它的主桥是圆弧形 , 它的跨度 ( 弧所对的弦的长 ) 为 37.4m, 拱高 ( 弧的中点到弦的距离 ) 为 7.2m ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

实践探究

沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

　可以发现：

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　

如图， AB 是⊙ O 的一条弦，做直径 CD ，使 CD⊥AB ，垂足为 E ．

（ 1 ）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

（ 2 ）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？

·O

A B

C

D

E

活 动 二

（ 1 ）是轴对称图形．直径 CD 所在的直线是它的对称轴（ 2 ） 线段： AE=BE

⌒⌒AC = BC⌒⌒⌒⌒AD = BD

⌒⌒弧:

O

D

C

BA M┗

在⊙ O 中，直径 CD⊥ 弦 AB

∴ AM = BM = AB 2

1

⌒⌒AC = BC

⌒⌒

⌒⌒AD = BD

⌒⌒

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

垂径定理 :

O

D

C

BA M┗

在⊙ O 中，直径 CD 平分弦 AB

∴CD AB⊥⌒⌒AC = BC

⌒⌒

⌒⌒AD = BD

⌒⌒

弦弦 （不是直径）（不是直径）并且平分弦所对的两条弧 .

平分 的直径的直径垂直于弦，

你能平分一条弧吗？

1 、在⊙ O 中， OC 垂直于弦 AB ，AB = 8 ， OA = 5 ，则 AC = ，OC = 。

A BC

O

A BC

O

┏5

8

4

3

1 、在⊙ O 中， OC 平分弦 AB ， AB = 16 ，OA = 10 ，则∠ OCA = ° ， OC = 。

16

10

90

6

设⊙ O 的半径是 r ，圆心到弦的距离 d ，弦长 a ，

三者关系如何？

r d

2

a r2 =d2+( )2a

2

O

问题 ：它的主桥是圆弧形 , 它的跨度 ( 弧所对的弦的长 ) 为 37.4m, 拱高 ( 弧的中点到弦的距离 ) 为7.2m ，

你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

O

DA B

C

R

解得： R≈27 ． 9（ m ） O

DA B

C

R

解决求赵州桥拱半径的问题？

在 Rt△OAD 中，由勾股定理，得

即 R2=18.72+ （ R － 7.2 ） 2

因此，赵州桥的主桥拱半径约为 27.9m.

OA2=AD2+OD2

AB

如图，用 AB 表示主桥拱，设 AB 所在圆的圆心为 O ，半径为 R ．

经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC ， D 为垂足， OC 与 AB 相交于点 C ，根据前面的结论， D 是 AB 的中点， C 是 AB 的中点， CD 就是拱高．

⌒⌒ ⌒⌒

⌒⌒

解 :

,7.184.372

1

2

1 ABAD

AB=37.4 ， CD=7.2 ，

OD=OC － CD=R － 7.2

∵半径 OC⊥弦 AB

∴

∴ AB=37.4m

CD=7.2m

1 如图，已知在⊙ O 中，弦AB 的长为 8 厘米，圆心 O 到AB 的距离为 3 厘米，求⊙ O的半径。解：连结 OA 。过 O 作 OE AB⊥ 于 E ，

则 OE ＝ 3 厘米， AE ＝ 1 ／ 2AB

∵AB ＝ 8 厘米

∴AE ＝ 4 厘米

在 Rt △ AOE 中，根据勾股定理有 OA ＝ 5 厘米 ∴⊙ O 的半径为 5 厘米。

.A E B

O

活动三

2 ．如图，在⊙ O 中， AB 、 AC 为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB 于 D ， OE⊥AC 于 E ，求证四边形 ABOE 是正方形．

·O

A B

C

D

E

证明： OE AC OD AB AB AC 90 90 90OEA EAD ODA

∴四边形 ADOE 为矩形，

又　∵ AC=AB

1 1

2 2AE AC AD AB ，

∴ AE=AD

∴ 四边形 ADOE 为正方形 .

∵ AG = BG⌒ ⌒

CG = DG⌒ ⌒

∴ AG - CG = BG - DG⌒ ⌒ ⌒ ⌒

即 AC = BD⌒ ⌒

A BC D

O

G

a b

c d

∵ a = b ， c = d

∴ a – c = b - d

线段加减

圆弧加减

1 、如图， AB 、 CD 都是⊙ O 的弦，且 AB CD.∥

求证： AC = BD 。 ⌒ ⌒

A BC D

O

FE

解：过点 O 作 OE CD⊥ ，交 CD 于点 E

在⊙ O 中， OF⊥弦 AB

G

交⊙ O 于点 G交 AB 于点 F ，

∴ AG = BG⌒ ⌒

∵ OE⊥弦 CD

∴ CG = DG⌒ ⌒

∴ AG - CG = BG - DG⌒ ⌒ ⌒ ⌒

即 AC = BD⌒ ⌒

O

D

C

BA M

如图，在⊙如图，在⊙ OO 中，中， CDCD 是直径，是直径， ABAB 是弦，且是弦，且CD AB⊥CD AB⊥ ，已知，已知 CD = 20CD = 20 ，， CM = 4CM = 4 ，求，求 ABAB 的长。的长。

解：连接 OA

在⊙ O 中，直径 CD⊥弦 AB

∴ AB =2AM

△OMA 是 Rt △

∵ CD = 20 ∴ AO = CO = 10 ∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6

在 Rt OMA△ 中， AO = 10 ， OM = 6

根据勾股定理，得： 222 AMOMAO

∴ 8610 2222 OMAOAM

∴ AB = 2AM = 2 x 8 = 16

动动脑筋

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