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第九章空間資料結構設計

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9.1 前言 9.2 黑白影像的空間資料結構表示法

9.3 視窗查詢的四分樹分割 9.5 高灰階影像的空間資料結構表示法 9.8 作業

9.2.1 四分樹表示法 9.2.3 線性四分樹表示法 9.2.5 內插二分碼

9.2.2 深先表示法 9.2.4 S 樹搜尋

3

9.2 黑白影像的空間資料結構表示法 9.2.1 四分樹表示法

圖 9.2.1.1 所示的黑白影像。利用四分樹的切割方式， 其樹狀表示法如圖 9.2.1.2 所示。

S

S

S S S S S S S

S S S S S S SS

S

S S S

1

2 3 4 5

6 7 8 9

n w n e s ws e

層3

2

1

0

圖 9.2.1.1 黑白影像

圖 9.2.1.2 四分樹表示法

四分樹切割

4

四分樹的正規化

圖 9.2.3 4×4 黑白影像

(a) 移動後的結果圖 9.2.4 移位後的效果

(b) 移動後的四分樹表示法

圖 9.2.3 所示的黑白影像，其四分樹表示法共需 16 個葉子點。假如將黑色區域，往東南方向移動一格如圖 9.2.4(a) ，則其四分樹表示法如圖 9.2.4(b) 所示，就只需七個葉子點。

因此適當的移位，可以減少葉子數量來達到節省記憶體的功效。

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9.2.2 深先表示法只使用 B(Black) 、 W(White) 和 G(Gray) 三個符號。

S

S

S S S S S S S

S S S S S S SS

S

S S S

1

2 3 4 5

6 7 8 9

n w n e s ws e

層3

2

1

0

圖 9.2.1.2 四分樹表示法

內部節點 輸出 G

圖 9.2.1.2 的四分樹可表示成 GGWWWGBWBWBWGWWGWWBBB 。

黑色外部節點 輸出 B白色外部節點 輸出 W

為了更節省的記憶體需求，圖 9.2.1.2 的深先表示法可改成 ((000 (101010(00(00111 。

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9.2.3 線性四分樹表示法

只記錄黑色節點且其儲存方式為 ( 第 i 層 , 路徑 ) 。如圖 9.2.1.2中的 S20 可表示為 (0,322) ，這裡的 0 代表 S20 位於第 0 層； 3 代表東南方向； 2 代表西南方向。

另外，還有一種拿掉第 i 層欄位修改路徑的表示法，如節點 S13

可表示為 33X ，這裡 X 是補上去的額外符號。利用深先搜尋方式，圖 9.2.1.2 的可表示為 030 ， 032 ， 322 ， 323 ， 33X 。

線性四分樹

S

S

S S S S S S S

S S S S S S SS

S

S S S

1

2 3 4 5

6 7 8 9

n w n e s ws e

層3

2

1

0

圖 9.2.1.2 四分樹表示法

7

另外，線性四分樹的表示法雖然只記載黑色節點的資訊，但其編碼是代表該節點的走訪路徑，因此只要在編解碼時，確定每個碼代表的方位彼此都一致（例如： 0 代表 NW, 1 代表 NE, 2 代表SW, 3 代表 SE ）就算沒有使用特定的走訪順序，同一群但不同順序的編碼也能還原出一樣的四分樹。 如下列兩組不同的線性四分樹編碼，依然可以還原出一樣的四分樹。

10X, 130, 132, 21X, 22X, 231, 232, 3XX

3XX, 10X, 21X, 22X, 130, 132, 231, 232

01 2

3

130 132 231 232

3XX

10X 21X 22X

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在 CBLQ 法中，四分樹的節點被分為四種類型： CBLQ 法

白色外部節點 輸出 0

某內部節點的四個孩子皆為外部節點 輸出 3黑色外部節點 輸出 1

某內部節點的四個孩子非全為外部節點 輸出 2

利用廣先搜尋的方式，圖 9.2.1.2 的表示式為 221020003003110100011 。

層

3

2

1

0

2

2 1 0 2

0 0 0 3 0 0 3

1 0 1 0 0 0 1 1

1

圖 9.2.3.1CBLQ 樹

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圖 9.2.3.2256 × 256 颱風影像

圖 9.2.3.2 的 256 × 256 颱風地圖，若照原圖儲存共需 65536 位元。我們實驗的結果顯示：深先表示法需花 19024 位元CBLQ 法需花 17148 位元緊緻四分樹需花 13957 位元JBIG 來壓縮圖需花 10967 位元

實驗

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9.2.4 S 樹表示法在 S 樹表示法中，必須先得到圖 9.2.1.1 的二分樹結構，如圖9.2.4.1 所示。

L

T D

L R

T D

L R

R

T D

L R

T D T D

L R

T D R D

圖 9.2.4.1 圖 9.2.1.1 的二分樹表示法

線性樹表

顏色表

內部節點 輸出 0

外部節點 輸出 1

圖 9.2.4.1 的線性樹表可表示為 0001010111010010011011011 。

白色葉子 輸出 0

黑色葉子 輸出 1

圖 9.2.4.1 的線性樹表對應顏色表可表示為 0010010010101 。

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9.2.5 內插二分碼給一張 的黑白影像，如圖 9.2.5.1(a) 所示。利用二分樹的分割方式得到圖 9.2.5.1(b) 的五個區塊。區塊位於 (0,1) 的位置和第四層。令

0

1 2 3

1

2

3

0i

j

A

DF

I

H

A

B

C

D

E F

G H L

I

J

8 7 1 1 7

1 2 4

2 0 8

2 5 3

層

0

1

2

3

4

(a) 4×4 黑白影像

(b) 二分樹分割後的區塊 (c) 內插二分碼

NN 2244

2201 )01()(1 jjj

22012344422 )1111(),,,(152222 sssss lNN

2201 )00()(0 iii

這裡 l 代表層數。內插二分碼將 i 、 j 和 s 的二位元字串交錯內插成碼 14241664000000087)01010111()( 2200102131 sjsisjsiQA

圖 9.2.5.1 一個內插二分碼的例子

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9.3 視窗查詢的四分樹分割

0

0

6

6

1 4

1

1 5

1 62

9

93

1 2

1 0

5

1 3

1 1

8

84 . . .

. . .

x

y

B

BB1

2

3

最大四分樹區塊給一大小 9×8 的視窗如圖 9.3.1 所示，該粗體線圍住的視窗其左下角位於影像的 (1,15) 位置。在圖 9.3.1 中，影像的大小為 。依照四分樹結構將影像分割，則該視窗被分解成八個 2×2 的區塊、一個 4×4 的區塊和 24 個 1×1 的區塊。

44 22

為方便起見，1B

2B

3B 表示為 (4,12,4,4)

這裏，前兩欄代表位置而後兩欄代表區塊大小。

圖 9.3.1 9×8 視窗的四分樹區塊分割

表示為 (2,12,2,2)表示為 (2,10,2,2)

給一 n×n 的視窗，則四分樹的區塊數不會超過 。)(5)log2(3 nOnn

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9.5 高灰階影像的空間資料結構表示法 一維線性內插

圖 9.5.1 中的 O 點被表示為 (1,5) ，此處 1 表示 x軸的位置而 5 表示灰階值； C 點被表示為 (11,13) 。假設 A 點的位置為 4 ，則

O A

B

C

D

31 0

8

圖 9.5.1 一維的線性內插

CD

AB

OC

OA由

得知 4.210

83

OC

CDOAAB

A 點的灰階值約為 7=(5+2) 。

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假設有一高灰階影像被切割成圖 9.5.2 ，其二分樹表示法如圖9.5.3 所示。在圖 9.5.3 中每一個區塊皆需滿足

x

y

a

e l

d

f

b

c i

g

hj

k

a b c d

e

f g

h

i j

k l

圖 9.5.2 同質的區塊分割圖 圖 9.5.3 二分樹的表示法

二分樹切割的條件

),( yxgest

此處 g(x,y) 為區塊內位於 (x,y) 的像素之原始灰階值；

|),(),(| yxgyxg est

代表同樣位於 (x,y) 的像素依據區塊四個角點的灰階值經過三次的一維線性內插得到的估計灰階值。

代表誤差容忍度；

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求算 ),( yxgest

假設一個區塊的四個角點分別如下

),( 12 yx

),( 21 yx),( 22 yx

位置 灰階值左上右上左下右下

),( 11 yx 1g

4g3g2g

利用一維線性內插可以得到 )(),( 112

565 yy

yy

gggyxg est

)( 112

1215 xx

xx

gggg

)( 112

3436 xx

xx

gggg

此處 和 。 廣先搜尋

不同於 9.2.4 節的 S 樹在空間資料結構所採取的深先搜尋法，我們利用廣先搜尋法，將圖 9.18 的二分樹用 S 樹表示如下

線性樹表： 00000000010101111111111

顏色表： (eul , eur , ebl , ebr) , (hul , hur , hbl , hbr) , … , (jul , jur , jbl , jbr)

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重疊策略由於區塊與區塊之間是分開的，我們擔心上述樹表示法經解壓後會造成區塊效應 (Blocking Effect) 。這種區塊效應，會讓解壓後的影像有一些不太平滑。我們採用一種重疊策略來降低區塊效應的影響 。

我們的做法是將原影像的最右邊一行和最底下一列重複一次，這使得原先 2n×2n 大小的影像放大成 (2n+1)×(2n+1) 的大小。這個重疊策略 (Overlapping Strategy) 會使影像經二分樹分割後，鄰近的兩區塊會重疊一個像素的寬度，這種像素分享的特色配合上線性內插的平滑性，解壓出來後確可大幅降低區塊效應的影響。

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在 ε=21 時，圖 9.5.4 對應的樹所需的 bpp(Bit Per Pixel)約為 1.35 bits ，這與原始影像一個像素需 8 個 bits相比，壓縮改良率為 83% 。

本節介紹的空間資料結構表示法，雖然在壓縮比上不如 JPEG(Joint Photographic Experts Group) 來的好，但是在解碼的時間 (Decoding Time) 上較快 3~4倍，在某些的應用上仍有其利基。

圖 9.5.4 ε=21 得到的還原影像圖 圖 9.5.5 二元分割後的區塊示意圖

實驗

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9.8 作業 習題一： 給一張 的黑白影像，試分析建構四分樹所花的 NNnn 22

時間複雜度。

習題二： 在黑白影像的不同空間資料結構表示法中，探討任二種表示

法彼此之間的轉換。