九年级数学 ( 上 ) 第三章 证明( 三 )

3.2 特殊的平行四边形 (2) 菱形 ,正方形的性质及判定

四边形之间的关系四边形之间有何关系？特殊的平行四边形之间呢？还记得它们与平行四边形的关系吗 ?能用一张图来表示它们之间的关系吗 ?

四边形

平行四边形矩形

菱形正方形

两组对边分别平行

有一个角是直角

有一组邻边相等 有一个角是直角

有一组邻边相等

一组对边平行另一组对边不平行 梯形两腰相等 等腰梯形

腰与底垂直 直角梯形

矩形的性质 , 推论

驶向胜利的彼岸

定理 :矩形的四个角都是直角 .

定理 :矩形的两条对角线相等 .

推论 ( 直角三角形性质 ): 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 .

回顾 思考∵四边形 ABCD 是矩形 ,

.21 ABCD

∴∠A=∠B=∠C=∠D=900.

D

B C

A

D

B C

A

∵AC,BD 是矩形 ABCD 的两条对角线 .∴AC=BD.

在△ ABC 中 ,∠ACB=900,∵AD=BD,

A

BC

D

矩形的判定 , 直角三角形的判定

驶向胜利的彼岸

定理 :有三个角是直角的四边形是矩形 .

定理 :对角线相等的平行四边形是矩形 .

定理 :如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半 ,那么这个三角形是直角三角形 .

回顾 思考∵∠A=∠B=∠C=900,∴四边形 ABCD 是矩形 . D

B C

A

D

B C

A∵AC,BD 是□ ABCD 的两条对角线 ,且 AC=DB.∴四边形 ABCD 是矩形 .

A

BC

D

∴ ∠ACB=900.在△ ABC 中 ,∵AD=BD=CD,

菱形的性质定理 :菱形的四条边都相等 .

驶向胜利的彼岸

我思 , 我进步11

已知 :如图 ,四边形 ABCD 是菱形 .分析 :由菱形的定义 ,利用平行四边形性质可使问题得证 .证明 :∵ 四边形 ABCD 是菱形 ,∴AB=AD, 四边形 ABCD 是平行四边形 .∴AB=CD,AD=BC.

求证 :AB=BC=CD=DA.

∴ AB=BC=CD=AD.

C

B

D

A

菱形的性质

驶向胜利的彼岸

我思 , 我进步 22定理 :菱形的两条对角线互相垂直 ,并且每条对角线平分一组对角 .已知 :如图 ,AC,BD 是菱形 ABCD 的两条对角线 ,AC,BD 相交于点 O.求证 : (1).AC⊥BD; (2).AC 平分∠ BAD 和∠ BCD, BD 平分∠ ADC 和∠ ABC.

证明 :(1)∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴AD=CD,AO=CO.

分析 :根据平行四边形对角线互相平分和等腰三角形“三线合一”来证明 .∵DO=DO,∴△AOD≌△COD(SSS).∴∠AOD=∠COD=900.

D

B

CA O

∴AC⊥BD.(2)∵AD=AB,DA=DC,AC⊥BD; ∴AC 平分∠ BAD 和∠ BCD,BD 平分∠ ADC 和∠ABC.

菱形性质的应用 例题欣赏已知 :如图 ,四边形 ABCD 是边长为13cm 的菱形 ,其中对角线 BD长 10cm.求 :(1). 对角线 AC 的长度 ; (2). 菱形 ABCD 的面积 .解 :(1)∵四边形 ABCD 是菱形 ,

=2×△ABD 的面积

.51021

21 cmBDDE ∴∠AED=900,

(2) 菱形 ABCD 的面积 =△ABD 的面积 +△CBD 的面积

.12513 2222 cmDEADAE ∴AC=2AE=2×12=24(cm).

AEBD212

DB

C

A

E

.1201210212 2cm

菱形的判定定理 :四条边都相等的四边形是菱形 .

驶向胜利的彼岸

已知 :如图 ,在四边形 ABCD中 , AB=BC=CD=DA..分析 :利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ,可使问题得证 .证明 :∵AB=BC=CD=DA,∴AB=CD,BC=DA.∴四边形 ABCD 是平行四边形 ..

求证 :四边形 ABCD 是菱形 .

∵AB=AD,∴四边形 ABCD 是菱形 .

C

B

D

A

我思 , 我进步11

菱形的判定定理 :对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .

驶向胜利的彼岸

我思 , 我进步22

已知 :如图 ,在□ ABCD 中 ,对角线 AC⊥BD.求证 :四边形 ABCD 是菱形 .分析 :要证明□ ABCD 是菱形 ,就要证明有一组邻边相等即可 .证明 :∴AO=CO.∵AC⊥BD,∴ DA=DC.

∵四边形 ABCD 是平行四边形 .

∴四边形 ABCD 是菱形 .

D

B

CA O

正方形的性质

驶向胜利的彼岸

我思 , 我进步 11

定理 :正方形的四个角都是直角 ,四条边都相等 .求证 :(1)∠A=∠B=∠C=∠D=900. (2)AB=BC=CD=DA.分析 :因为正方形具有矩形和菱形的所有性质 ,所以结论易证 .证明 :∴四边形 ABCD 是矩形 ,也是菱形.∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,

AB=BC=CD=DA.

∵四边形 ABCD 是正方形 ,

A

B C

D已知 :四边形 ABCD 是正方形 .

正方形的性质 我思 , 我进步 22定理 :正方形的两条对角线相等 ,并且互相垂直平分 ,每条对角线平分一组对角 .求证 :(1).AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO; (2).AC 平分∠ BAD 和∠ BCD,BD平分∠ ADC 和∠ ABC. 分析 :因为正方形具有矩形和菱形的所有性质 ,所以结论易证 .证明 :∴四边形 ABCD 是平行四边形 ,也是矩形 ,也是菱形 .∴AO=CO,BO=DO;AC=BD;

∵四边形 ABCD 是正方形 ,

AC⊥BD;AC 平分∠ BAD 和∠ BCD,BD 平分∠ ADC 和∠ABC.

已知 :四边形 ABCD 是正方形 ,AC,BD 是它的两条对角线 .A

B C

D

O

正方形的判定

驶向胜利的彼岸

我思 , 我进步 11定理 :有一个角是直角的菱形是正方形 .求证 :四边形 ABCD 是正方形 .分析 :要证明四边形 ABCD 是正方形 ,可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可 .证明 :∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.∴∠A=∠B=∠C=900.∴四边形 ABCD 是矩形.

∵四边形 ABCD 是菱形 ,∠A=900,

∵AB=BC,∴四边形 ABCD 是正方形 .

已知 :四边形 ABCD 是菱形 ,∠A=900.A

B C

D

正方形的判定

驶向胜利的彼岸

我思 , 我进步 22

定理 :对角线相等的菱形是正方形 .求证 :四边形 ABCD 是正方形 .分析 :要证明四边形 ABCD 是正方形 ,可转化为证明有一组邻边相等的矩形 (或有一个角是直角的菱形 )即可 .证明 :∴AB=BC, 四边形 ABCD 是平行四边形.∵AC=BD,∴四边形 ABCD 是矩形 .∵AB=BC,

∵四边形 ABCD 是菱形 ,

∴四边形 ABCD 是正方形 .

已知 :四边形 ABCD 是菱形 ,且对角线 AC=BD.

A

B C

D

O

正方形的判定 我思 , 我进步 33

定理 :对角线互相垂直的矩形是正方形 .求证 :四边形 ABCD 是正方形 .分析 :要证明四边形 ABCD 是正方形 ,可转化为证明有一角是直角的菱形 (或有一组邻边相等的矩形 ,或对角线相等的菱形 )即可 .证明 :∴∠ABC=900, 四边形 ABCD 是平行四边形.∵AC⊥BD,∴四边形 ABCD 是菱形 .∵∠ABC=900.

∵四边形 ABCD 是矩形 ,

∴四边形 ABCD 是正方形 .

已知 :四边形 ABCD 是矩形 ,且 AC⊥BD.

A

B C

D

O

如图，菱形 ABCD 中， E 是 AD 的中点， EF⊥AC交 AB 于 M ，交 CB 于的延长线于 F ， 求证： AB 、 EF 互相平分。M

F

ED

CB

A

思路点拨：连接 AF 、 BE 、 BD ，欲证 AB 、 EF 互相平分，只要证四边形 AFBE 为平行四边形即可，为此，只要证 AE=BF 即可。

证明：连接 AF 、 BE 、 BD∵四边形 ABCD 是菱形∴AC⊥BD又∵ EF⊥AC∴EF//BD ∴ED=AE又∵ ED//FB ∴FB=AE∴四边形 FBDE 是平行四边形 又∵ FB//AE∴FD=ED ∴ 四边形 AFBE 是平行四边形又∵ E是 AD 的中点 ∴ AB 、 EF 互相平分

例题欣赏

菱形的性质

驶向胜利的彼岸

定理 :菱形的四条边都相等 .

定理 :菱形的两条对角线互相垂直 ,并且每条对角线平分一组对角 .

回顾 思考∵四边形 ABCD 是菱形 ,∴AB=BC=CD=AD.

∵AC,BD 是菱形 ABCD 的两条对角线 .∴AC⊥BD,AC 平分∠ BAD 和∠ BCD,BD 平分∠ ADC 和∠ ABC.

C

B

D

A

D

B

CA O

菱形的判定

驶向胜利的彼岸

定理 :四条边都相等的四边形是菱形 .

定理 :对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .

回顾 思考在四边形 ABCD 中 , ∵AB=BC=CD=AD,∴四边形 ABCD 是菱形 .

∵AC,BD 是□ ABCD 的两条对角线 ,AC⊥BD.∴四边形 ABCD 是菱形 .

C

B

D

A

D

B

CA O

正方形的性质

驶向胜利的彼岸

定理 :正方形的四个角都是直角 ,四条边都相等 .

定理 :正方形的两条对角线相等 ,并且互相垂直平分 ,每条对角线平分一组对角 .

回顾 思考∵四边形 ABCD 是正方形 ,∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA.

∵四边形 ABCD 是正方形 ,∴AC=BD;AC⊥BD;AO=CO,BO=DO;AC 平分∠ BAD 和∠ BCD,BD 平分∠ ADC 和∠ ABC.

A

B C

D A

B C

D

O

正方形的判定

驶向胜利的彼岸

定理 :有一个角是直角的菱形是正方形 .

定理 :对角线相等的菱形是正方形 .

定理 :对角线互相垂直的矩形是正方形 .

回顾 思考∵四边形 ABCD 是菱形 ,∠A=900,∴四边形 ABCD 是正方形 .

∵四边形 ABCD 是菱形 ,AC=DB.∴四边形 ABCD 是正方形 .

∴四边形 ABCD 是正方形.

A

B C

D

A

B C

D

O

∵四边形 ABCD 是矩形 ,AC⊥BD,

独立作业 2. 菱形的面积等于其对角线乘积的一半 .3、已知，如图 ,A,B,C,D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上 .仓库 P和 Q分别位于 AD和 DC 上 ,且 PD=QC.证明 :两条直路 BP=AQ, 且 BP⊥AQ.

D

B

CA O

A

B C

DP

Q

◎ ◎◎

◎

◎

◎

P90 习题 3.5 2 、 3题

结束寄语•严格性之于数学家 ,犹如道德之于人 .•条理清晰，因果相应 ,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则 .

下课了 !