Системы линейных алгебраических

уравнений (СЛАУ)

Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде:

mnmnmmm

nn

nn

bxa...xaxaxa

.......................................................

bxa...xaxaxa

bxa...xaxaxa

332211

22323222121

11313212111

Здесь x1, x2,…, xn – неизвестные величины, aij (i = 1,2,…, m; j =1,2,…, n) – числа, называемые коэффициентами системы (первый индекс фиксирует номер уравнения, второй — номер неизвестной), b1, b2,…, bm – числа, называемые свободными членами.

РешениемРешением системысистемы будем называть упорядоченный набор чисел x1=c1, x2=c2, …, xn=cn, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство.

РешитьРешить системусистему — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Система, имеющая решение, называется совместнойсовместной.

Если система имеет только одно решение, то она называется определеннойопределенной.

Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределеннойнеопределенной (совместнойсовместной и неопределеннойнеопределенной).

Если система не имеет решений, то она называется несовместнойнесовместной.

Система, у которой все свободные члены равны нулю (b1 = b2 =…= bn = 0), называется однороднойоднородной.

Однородная система всегда совместна, так как набор из n нулей удовлетворяет любому уравнению такой системы. Нулевое решение однородной системы называется тривиальным.

Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m=n), то система называется квадратнойквадратной.

Две системы, множества решений которых совпадают, называются

эквивалентнымиэквивалентными или равносильнымиравносильными.

Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентнымэквивалентным или равносильнымравносильным преобразованиемпреобразованием.

Опр.: Матрица А, состоящая из коэффициентов при неизвестных называется основной матрицей СЛАУ.

aaa

aaaaaa

mnmm

n

n

A

...

............

...

...

21

22221

11211

Опр.: Матрица состоящая из коэффициентов при неизвестных, в которой в качестве последнего столбца записан столбец свободных коэффициентов называется расширенной матрицей СЛАУ.

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

A

...

............

...

...

21

222221

111211

*

Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца:

nc

c

c

C...

2

1

Для того, чтобы СЛАУ была совместна необходимо и достаточно,

ранг А = рангу А*.

Теорема Кронекера-Капелли

Если система совместна и

1) ранг системы равен числу неизвестных (r(A)=n), то система имеет единственное решение;

2) ранг системы меньше числа неизвестных (r(A)<n), то система имеет бесчисленное множество решений.

Методы решения СЛАУ:

• матричный метод,

• метод Гаусса,

• метод Крамера.

Матричный способ решения СЛАУ

СЛАУ запишем в виде АХ=В.

Если det A≠0 (А - невырожденная), то для матрицы А существует обратная А-1.

Умножим обе части СЛАУ слева на А-1:

А-1А Х = А-1 В;

Е Х = А-1 В;

Х = А-1 В.

Получили решение СЛАУ в матричном виде.

Метод Крамера

Если в СЛАУ n=m и det≠0, то СЛАУ имеет единственное решение.

Где 1, 2 ,…, n получены из определителя матрицы системы заменой последовательно 1-го, 2-го и n -го столбцов на столбец свободных коэффициентов.

Ax det1

1

Ax det2

2

An

nx det

- Если det A= 0 и все i = 0, то СЛАУ имеет множество решений и применяется метод Гаусса.

- Если det A = 0, а хотя бы 1 из i ≠ 0, то СЛАУ несовместна.

Метод Гаусса

Метод основан на последовательном

исключении неизвестных из уравнений:

• Если в 1-ом уравнении а11≠ 0, то с помощью элементарных преобразований х1 исключается из оставшихся уравнений (кроме первого).

• Если в новой системе а22≠ 0, то во всех уравнениях начиная с 3-го исключаются х2 и так далее, пока не прейдем к треугольному виду.

Если процессе приведения системы к треугольному виду появятся нулевые уравнения (равенства вида 0=0), то их отбрасывают. Если же появится уравнение вида 0=bi, а bi0, то данная система несовместна.

Решение треугольной системыЕсли в последнем уравнение новой системы содержится одно неизвестное, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим xn, из предпоследнего уравнения – xn-1, далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные.Если в последнем уравнение новой системы содержится более чем одно неизвестное, то исходная система имеет множество решений. Из последнего уравнения выражаем первое неизвестное через остальные неизвестные. Затем подставляем в предпоследнее уравнение и выражаем второе неизвестное и т.д. Придавая свободным неизвестным произвольные значения (Cj), получим множество решений системы.

Рассмотрим квадратную систему:

225

3223

164

1123

4321

4321

321

4321

xxxx

xxxx

xxx

xxxx

(1)

Проведем следующие элементарные преобразования системы:

1) поскольку a11≠ 0, первое уравнение оставим без изменений;

2) вместо второго уравнения запишем уравнение, получающееся, если из второго уравнения вычесть первое, умноженное на 4;

3) вместо третьего уравнения запишем разность третьего и первого, умноженного на 3;

4) вместо четвертого уравнения запишем разность четвертого и первого, умноженного на 5.

Полученная новая система эквивалентнаэквивалентна исходной и имеет во всех уравнениях, кроме первого, нулевые коэффициенты при x1 (это и являлось целью преобразований 1 – 4):

539134

30775

4581310

1123

432

432

432

4321

xxx

xxx

xxx

xxxx

(2)

Замена любого уравнения системы Замена любого уравнения системы новым, получающимся прибавлением к новым, получающимся прибавлением к данному уравнению любого другого данному уравнению любого другого уравнения системы, умноженного на уравнения системы, умноженного на любое число, являетсялюбое число, является эквивалентным эквивалентным преобразованием системыпреобразованием системы..

Далее:

1) первые два уравнения оставим без изменения, поскольку элемент a22 0;

2) вместо третьего уравнения запишем разность между вторым уравнением и удвоенным третьим;

3) четвертое уравнение заменим разностью между удвоенным вторым уравнением и умноженным на 5 четвертым.

Получили:

1752939

156

4581310

1123

43

43

432

4321

xx

xx

xxx

xxxx

Теперь исключим неизвестную x3 из четвертого уравнения:

1) первые три уравнения оставим без изменения, т. к. a33 ≠ 0;

2) четвертое уравнение заменим разностью между третьим, умноженным на 39, и четвертым:

410205

156

4581310

1123

4

43

432

4321

x

xx

xxx

xxxx

2

156

4581310

1123

4

43

432

4321

x

xx

xxx

xxxx

Из последнего уравнения этой системы получаем x4 = 2. Подставив это значение в третье уравнение, получим x3 = 3. Теперь из второго уравнения следует, что x2 = 1, а из первого - x1 = –1. Очевидно, что полученное решение единственно (так как единственным образом определяется значение x4, затем x3 и т. д.).

Другой способ решения Исходную систему (1) можно представить в Исходную систему (1) можно представить в виде расширенной матрицы:виде расширенной матрицы:

21215

31223

10164

112311

(3)

С помощью элементарных преобразований приведем основную матрицу к треугольному виду.

Системе (2) соответствует расширенная матрица:

5391340

307750

45813100

112311

175293900

156100

45813100

112311

410205000

156100

45813100

112311

Полученная матрица соответствует системе:

Итак, x1 = –1

x2 = 1

x3 = 3

x4 = 2

410205

156

4581310

1123

4

43

432

4321

x

xx

xxx

xxxx

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие преобразования:

1) перемена местами двух строк;

2) умножение строки на число, отличное от нуля;

3) замена строки матрицы суммой этой строки с любой другой строкой, умноженной на некоторое число.

Те переменные, коэффициенты при которых стоят на главной диагонали трапецеидальной матрицы (это значит, что эти коэффициенты отличны от нуля), называются базиснымибазисными.

Остальные неизвестные называются свободнымисвободными.

Если свободным неизвестным приданы конкретные числовые значения и через них выражены базисные неизвестные, то полученное решение называется частным частным решениемрешением.

Если свободные неизвестные выражены через параметры, то получается решение, которое называется общим общим решениемрешением.

Если всем свободным неизвестным приданы нулевые значения, то полученное решение называется базиснымбазисным.

Если получены два различных набора базисных неизвестных при различных способах нахождения решения одной и той же системы, то эти наборы обязательно содержат одно и то же число неизвестных, называемое рангом рангом системысистемы.

Однородные СЛАУ

0

0

0

332211

2323222221

1313212111

nmnmmm

nn

nn

xa...xaxaxa

.......................................................

xa...xaxaxa

xa...xaxaxa

Однородная система всегда совместна (r(A)=r(A*)), она имеет нулевое решение

x1 = x2 =…= xn = 0.Для того, чтобы однородная система имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных (r<n).Если число уравнений m системы совпадает с числом неизвестных n (m = n), то основная матрица системы является квадратной, в этом случае условие r<n означает, что определить основной матрицы системы =0.

Пример: Решить систему уравнений

0392

02

321

321

xxx

xxx

05

02

32

321

xx

xxx

Получили две ненулевые строки, поэтому r(A)=r(A*)=2.

Число неизвестных в системе уравнений =3, r<n, поэтому данная система имеет ненулевые решения.

Из второго уравнения выразим x2 через x3, при этом x3 – свободная переменная.

x2 подставляем в первое уравнение и выразим x1 через x3:

32 5

1xx

31331 5

3,

5

12 xxxxx

Пусть x3=c, тогда общее решение системы будет:

cx

cx

cx

3

2

1

5

15

3

Пример: Решить систему уравнений

0243

0352

023

321

321

321

xxx

xxx

xxx

02

0711

023

32

32

321

xx

xx

xxx

03

0711

023

3

32

321

x

xx

xxx

x3 = 0, x2 = 0, x1 = 0 – единственное решение.

Это также вытекает из того, что

r(A)=3, n=3.