第三章测量误差及数据处理

本章包括以下 4 个方面的内容：

1 、 测量误差的分类和测量结果的表征

2 、 测量误差的估计和处理

3 、 测量不确定度

4 、测量数据处理

1 ．随机误差

（ 1 ）随机误差的产生原因：对测量值影响微小但却互不相关的大量因素共同造成。

（ 2 ）随机误差表示

3.1.1 、测量误差分类3.1 测量误差的分类和测量结果表征

定义：在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差

i ix x

n

ii

n xnn

xxxx

1

21 1

（ 3 ）物理意义：精密度，表示测量结果的分散性

2 ．系统误差

1 ）系统误差的产生原因：仪器、方法、环境、人员

2 ）随机误差表示

定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差

3 ）物理意义：准确度，表征测量准确度的高低

0x A

: 被测量的真值0A

3 ．粗大误差

粗大误差的产生原因

（ 1 ）测量操作疏忽和失误

定义：一种显然与实际值不符的误差，在数据处理时，应剔除掉。

（ 2 ）测量方法不当或错误

（ 3 ）测量环境条件的突然变化4 ．系差和随差的表达

式iiii xAxxxAx

在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时存在的，而且两者之间并不存在绝对的界限。

准确度——表示系统误差的大小。

精密度——表示随机误差的影响。

精确度——用来反映系统误差和随机误差的综合影响。

3.1.2 、 测量结果的表征

三者关系如下图所示：

1 ．随机误差的分布规律

(1) 随机变量的数字特征

3.2.1 、随机误差的统计特性及减少方法3.2 测量误差的估计与处理

数字特征 意义 定义

数学期望 E(X)

反 映 平 均特性 离散型 连续型

方差D(X)

 

描 述 随 机变 量 与 数学 期 望 的分散程度

D(X)= E(X－ E(X))2

标准偏差

描 述 随 机变 量 与 数学 期 望 的分散程度

＝

1

)(i

ii pxXE

dxxxpXE )()(

)(XD

随机误差不可避免，服从概率统计规律，用数理统计方法处理

1 ．随机误差的分布规律

（ 2 ）测量误差的正态分布

  概率密度函数 数学期望

方差 标准偏差

随机误差△ 0

测量数据 X

)2

exp(2

1)(

2

2

p

2]2

)(exp[

2

1)(

2

2

x

xp

2

随机误差具有以下规律：

(a)随机误差 (b) 测量数据0

)(p

x

p(x)

0

随机误差和测量数据的正态分布曲线

对称性

单峰性

抵偿性

有界性

标准偏差 的意义

0

)(p1

2

3

越大，曲线越平坦，数据越分散

越小，曲线越尖锐，数据越集中

（ 3 ）测量误差的非正态分布分 布类型 均匀分布 三角分布 反正弦分布

概 率密 度函数

 

概 率密 度曲线

数 学期望

(若 ，则为0) 0 0

标 准偏差

( 若 , 则为 )

适 用条件 及应 用举例

仪器中的刻度盘回差、调谐不准确及仪器最小分辨力引起的误差等；在 测 量 数 据 处 理 中 ，“四舍五入”的截尾误差；当只能估计误差在某一范围 内，而不知其分布时，一般可假定该误差在 内均匀分布。

两个具有相同误差限的均匀分布的误差之和，其分布服从三角分布。如在各种利用比较法的测量中，作两次相同条件下的测量，若每次测量的误差是均匀分布，那么两次测量的最后结果服从三角分布。

若被测量 与一个量 成正弦关系，即 ，而本身又是在 0 ～ 之间是均匀分布的，那么 服从反正弦分布。如圆形刻度盘偏心而致的刻度误差，与具有随机相位的正弦信号有关的误差等。

0

1)( abxp

bxax

bxa

,

2

2)(

a

xaa

xa

xp

ax

xa

0

0

0

1

)( 22 xaxp ax

ax

0 a b x

( )p x

0

( )p x

a a x 0

( )p x

a a x

2

ba

ba 32

ab

ba

3

b

6

a2

a

a

a

xsinax

2x

 2 ．有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值

（ 1 ）有限次测量的数学期望的估计值——算术平均值

n

iixn

x1

1

（ 2 ）算术平均值的标准偏差

)]()()([1

)(1

)1

()( 22

21

22

1

22

1

22n

n

ii

n

ii xxx

nx

nx

nx

)(1

)(1 222

Xn

Xnn

n

Xx

)()(

（ 3 ）有限次测量数据的标准偏差的估计值

n

ii

n

ii xx

nnxs

1

2

1

2 )(1

1

1

1)(

n

xsxs

)()( xxii

【例 3-1】 用温度计重复测量某个不变的温度，得 11 个测量值 的 序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。

ix

序

号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

0

1

1

5

28

5

31

5

29

5

27

5

31

5

33

5

29

5

30

5

32

5

30

5

31

ix

解：①平均值

② 用公式 计算各测量值残差列于下表中

序

号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

0

1

1

5

28

5

31

5

29

5

27

5

31

5

33

5

29

5

30

5

32

5

30

5

31

－

2.1

+

0.9

－

1.1

－

3.1

+

0.9

+

2.9

－

1.1

－

0.1

＋

0.9

-

0.1

+

0.9

ix

i

1.530)531530532530529533531527529531528(11

11

1

n

iixn

x

xxii （℃）

③实验偏差

④ 的标准偏差

767.11

1)(

1

2

n

iin

xs （℃）

x

53.011

767.1)()(

n

xsxs （℃）

  3 ．测量结果的置信问题

（ 1 ）置信概率与置信区间

置信限

置信区间

置信系数

置信概率

k

kdpkPkxExP )(][])([

①   对同一测量结果而言，置信区间越小，置信概率就越越小

②   对不同测量结果，若取相同置信概率，则标准偏差越小，置信区间就越小

（ 2 ）正态分布的置信概率

置信系数一般取 2 ～ 3

置信系数 k 1 2 3

置信概率 0.683 0.954 0.997)( kP

0

)(p

正态分布不同置信限的概率

99. 7%

95. 4%

68. 3%

223 3

（ 3） t 分布的置信限

t 分布与测量次数有关。当 n>20 以后， t 分布趋于正态分布。正态分布是 t 分布的极限分布。

（ 4 ）非正态分布的置信因子

分布 三角 均匀 反正弦

(P=1)k 6 3 2

结论：被测量 X的测量结果 A应表示为： ，其中， k为置信因子，由概率分布和置信概率确定

)(xksxA

给定置信概率和测量次数 n ，查表 3－ 4 得置信因子 kt ，自由度： v=n-1

【例 3-2 求例 3-1 中温度的测量结果，要求置信概率取0.95 。

解：第①～④步同例 3-1 ，此处略

⑤因为是小子样，测量次数为 11 ，应采用 t分布

10111 23.2tk

1819.153.023.2)( xsk t

P=0.95, ,查表 3 － 4 得 ，则

故测量结果为： )(xksxA =530.1

1.2 ℃ 。（置信概率 P=0.95 ）

多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。不具有低偿性

3.2.2 系统误差的判断及消除方法3.2 测量误差的估计与处理

1 ．系统误差的特征

（ 1 ）．不变的系统误差： 校准、修正、实验比对法

2．系统误差的发现方法

（ 2 ）变化的系统误差

① 残差观察法

i

i

0

(b)无明显系统误差

残差观察法

i

i

0

(a) 存在线性变化的系统误差

(a) (b)

② 马利科夫判据

③ 阿贝－赫梅特判据

检验周期性系差的存在。

把 n个等精度测量值所对应的残差按测量先后顺序排列，把残差分成两部分求和，再求其差值 D 。若 D 近似等于零，则上述测量数据中不含累进性系差。否则，包含。

21

1

11 snn

iii

判别有无累进性系统误差的常用方法。

3 ．系统误差的削弱或消除方法

（ 2 ）用修正方法减少系统误差

（ 3 ）采用一些专门的测量方法

仪器、方法、环境、人员

（ 1 ）从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差

①替代法

②交换法

③ 对称测量法④ 减小周期性系统误差的半周期法

测量人员的主观原因、客观外界条件的原因

3.2.3 粗大误差及其判断准则

1 、粗大误差的产生原因：

2 、粗大误差的判别准则

1 ）莱特检验法si 3 ix若 ，则该误差为粗大误差，所对应的测量值 为异常数据。

2 ）格拉布斯检验法

若 ，则该误差为粗大误差，应剔除sGmax

【例 3-3】 对某电炉的温度进行多次重复测量，所得结果列于下表，试检查测量数据中有无粗大误差（异常数据）。

4 ）应用举例

序号 测量值 （℃） 序号 测量值 （℃）

12345678

20.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.30

9101112131415

20.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40

ixix

② 用莱特检验法

解：① 计算得 s=0.033计算残差 填入下表中，可以看到 最大值，为可疑值

序号

测 量 值

（℃） 残差（℃） 序号 测 量 值

（℃） 残差（℃）

12345678

20.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.30

+0.016+0.026－ 0.004+0.026+0.016－ 0.026－ 0.014－ 0.104

9101112131415

20.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40

－ 0.004+0.026+0.016+0.006－ 0.014－ 0.014－ 0.004

ixi

ixi

404.20x

xxii 104.08

104.08 3 · s=3×0.033=0.099

s 38

故 可以判断为粗大误差，应剔除8x

14 个数据的 均小于 3 s′，故 14 个数据都为正常数据。

剔除后的数据计算得：

序号

测 量值

（℃） 残差（℃）

残差（℃）（去掉 后）

序号

测量值

（℃） 残差（℃）

残差（℃）

去 掉

后）12345678

20.42

20.43

20.40

20.43

20.42

20.43

20.39

20.30

+0.016+0.026－ 0.004+0.026+0.016－ 0.026－ 0.014－ 0.104

+0.009+0.019－ 0.011+0.019+0.009+0.019+0.029——

91

01

11

21

31

41

5

20.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40

－ 0.004+0.026+0.016+0.006－ 0.014－ 0.014－ 0.004

－ 0.011+0.01

9+0.00

9－ 0.001－ 0.021－ 0.021－ 0.011

ixi'i

8xix

i 'i

8x

411.20'x s′= 0.016

计算残差得： 将残差数据填入下表中得xxii '

① 利用修正值等方法，对测量值进行修正，将已经减弱不变系统误差影响的各数据 ，依次列成表格；

② 求出算术平均值

1 ．等精度测量

③列出残差 ，并验证

④按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值

⑤判断是否有粗差，如有应剔除，然后重新计算均值和方差

⑥计算算术平均值的标准偏差

3.2.4 测量结果处理步骤

),2,1( nixi

n

iixn

x1

1

xxii 01

n

ii

n

iin

s1

2

1

1

n

ss x

⑦写出最后结果的表达式，即 A= （单位）。xx k s

【例 3-4】 对某电压进行了 16 次等精度测量，测量数据

中已记入修正值，列于下表中。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。

解：①求出算术平均值

序号 测量值 (V)

序号 测量值 (V)

12345678

205． 30204． 94205． 63205． 24206． 65204． 97205． 36205． 16

910111213141516

205． 71204． 70204． 86205． 35205． 21205． 19205． 21205． 32

ix ix

30.20516

1 16

1

i

ixx 4434.0116

1 16

1

2

i

is

② 列出残差 ，并验证 xxii 01

n

ii

③按莱特准则判断有无 ，查表中第 5 个数据 ，应将对应 视为粗大误差，加以剔除。现剩下 15 个数据

④ 重新计算剩余 15 个数据的平均值： x’i=205.21

序号

测量值

(V) 残差 序号 测量值

(V) 残差

12345678

205． 30204． 94205． 63205． 24206． 65204． 97205． 36205． 16

0 ． 00－ 0． 36＋ 0． 33－ 0． 06＋ 1． 35－ 0． 33＋ 0． 06－ 0． 14

910111213141516

205 ． 71

204 ． 70

204 ． 86

205 ． 35

205 ． 21

205 ． 19

205 ． 21

205 ． 32

＋0． 41－

0． 60－

0． 44＋

0． 05－

0． 09－

0． 11－

0． 09＋

0． 02

ixiix i

3302.13 si

s335.15 65.2065 x

27.0'115

1'

15

1

2

i

is

⑤ 重新计算 ,填入下表

⑥按莱特准则再判断 有无 ，现各 均小于3s ，则认为剩余 15 个数据中不再含有粗大误差。

'' xxii

序号

测量值

(V) 残差 残差

序号

测量值

(V) 残差 残差

12345678

205． 30204． 94205． 63205． 24206． 65204． 97205． 36205． 16

0 ． 00－ 0． 36＋ 0． 33－ 0． 06＋ 1． 35－ 0． 33＋ 0． 06－ 0． 14

＋ 0． 09－ 0． 27＋ 0． 42＋ 0． 03——－ 0． 24＋ 0． 15－ 0． 05

91

01

11

21

31

41

51

6

205 ． 71

204 ． 70

204 ． 86

205 ． 35

205 ． 21

205 ． 19

205 ． 21

205 ． 32

＋0． 41－

0． 60－

0． 44＋

0． 05－

0． 09－

0． 11－

0． 09＋

0． 02

＋0． 50－

0． 51－

0． 35＋

0． 140 ． 00－

0． 020 ． 00＋

0． 11

ixi 'iix i'i

81.03' si i'

⑦ 对 作图，判断有无变值系统误差，见下图。从图中可见无明显累进性或周期性系统误差。

'i

⑧计算算术平均值的标准偏差： 07.015/27.015/' ss x

写出测量结果表达式： （ V ） （取置信系数 ）' 3 205.2 0.2xx x s

3.2.5 误差合成分析

测量误差分类：随机、系统、粗大误差

数字特性

均值、实验偏差、实验标准差

本节课小结

随机误差的统计特性以及减小方法

置信区间、概率，置信系数

测量系统动态特性