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第四章

关系数据库范式

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本章的主要内容：

范式的概念及 1NF—5NF

模式分解的特性及其判定算法 关系模式的规范化算法

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4.1 数据库及其范式例子： r ( 职工姓名 工资级别 基本工资 )

李小明 高工 2 3200 张 亮 中工 1 1800 刘 林 中工 1 1800 王晓宁 高工 2 3200 苏 丹 中工 4 2000 .

冗余； 插入异常；删除异常。

4

定义 (1NF, Normal Form) 如果一个关系模式 R 中的每个属性 A 的域值都是原子的，即属性值是不可再分的，则关系模式 R 属于第一范式，简记为 R1NF 。若数据库模式 R 中的每个关系模式都是 1NF ，数据库模式R1NF。

addr ( 姓 名 地 址 )

李小明 北京市白石桥路 7 号 张 亮 天津市和平街 18 号 王国全 太原市解放路 35 号 苏 丹 北京市复外大街 12 号

addr ( 姓 名，城市， 地 址 )

teach ( 教 师 课 程 )

孙鲁涛 DS, DB,OS

周 晴 C， C++

4.1.1 第一范式

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elective(SNAME COURSE DEPT ) 刘 芳 DB 计算机 刘 芳 OS 计算机 林荔娜 C++ 自 控 林荔娜 DB 计算机 周 晴 C++ 自 控

SNAME、 COURSEDEPTCOURSE DEPT

elective (SNAME COURSE 刘 芳 DB 刘 芳 OS 林荔娜 C++ 林荔娜 DB 周 晴 C++ .

elective (COURSE DEPT ) DB 计算机 OS 计算机 C++ 自 控

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4.1.2 第二范式

定义 已知关系模式 R， R 中的属性 A 以及 R

上的函数依赖集 F 。如果 A 包含在 R 的某个候选键中，则称 A 为主属性，否则称 A 为非主属性。

定义 (2NF) 设关系模式 R(U, F) ，如果R1NF 且所有的非主属性完全依赖于 R 的每个键，则 R2NF 。若数据库模式 R 中的每个关系模式R 都属于 2NF ，则数据库模式 R2NF。

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4.1.3 第三范式

course (COURSE DEPT BUILDING ) DB 计算机 中心楼 9 层 OS 计算机 中心楼 9 层 C++ 自 控 中心楼 12 层 。

定义 (3NF) 设关系模式 R(U, F) ，若 R1NF 且在 R 中没有非主属性传递依赖于 R 的键，则 R3NF 。如果数据库模式 R 中每一关系模式都是第三范式，则数据库模式R3NF。

course (COURSE DEPT ) dpt(DEPT BUILDING)

COURSE DEPT ， DEPT BUILDING

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定理 1 若关系模式 R(U,F)3NF ，则R2NF。证明： 假设 R 中非主属性 A 部分依赖于关键字 K 。则存在 KK 使得 F|=K→A 。 因 KK ，有 K→K ，但 K→K 。于是有 K→K， K → K， K→A ，并且 AK ，因而 A 传递依赖于 K ，即 R3NF ，与已知矛盾。

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4.1.4 Boyce-Codd 范式例 R ( Building Room Department) 中心教学楼 801 计算机系 中心教学楼 802 计算机系 中心教学楼 803 计算机系 中心教学楼 823 数 学 系 中心教学楼 824 数 学 系 .

Room、

R1(Department ， Building )

R2(Department ， Room )

Building、 Room → Department Department → Building

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定义 2 (BCNF)

设关系模式 R(U,F) ， 若对于 YR 且属性 ARY

有 Y→A， Y 必为 R 的关键字，则关系模式 RBCNF。 ** 若关系模式 R(U,F)BCNF ，则R3NF。

定义 1(BCNF) 设关系模式 R(U,F) ，若 R1NF且 R 中没有任何属性传递依赖于 R 的任一键，则 RBoyce-

Codd 范式 (BCNF) 。如果数据库模式 R 中的每个关系模式 RBCNF ，则数据库模式 RBCNF。

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例 1 ：关系模式 SJP （学生，课程，名次）FD ：学生、课程→名次 课程、名次→学生

例 2： CSZ （城市，街道，邮编）FD ：城市、街道→ 邮编 邮编→城市 街道、邮编→城市

Z-C( 邮编，城市 )； S-Z( 街道，邮编 )

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4.2 关系模式的规范化4.2.1 关系模式的分解 定义 设关系模式 R(U) ，关系模式的集合ρ={R1(U1), R2(U2),…,RK(UK)}, 若U1∪U2∪…

∪UK=U, 则称 ρ 是关系模式 R(U) 的一个分解。 无损连接性定义 设模式 R(U， F),ρ={R1, R2, …, RK }是 R 的一个分解，若对 R 的任一满足 F 的关系 r 下式成立： r = R1 (r) R2 (r) … Rk (r)

则称分解 ρ 是满足 F 的无损连接分解。记： mρ(r) =R1 (r) R2 (r) … Rk (r)

无损连接分解： r = mρ(r)

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r1 ( A B) 2 4 3 4 4 9

r2 ( B C) 4 3 4 6 9 5

r ( A B C) 2 4 3 3 4 6 4 9 5

引理 设关系 r(R)， ρ={R1, R2, …, RK }是 R 的一个分解。则有： (1). r mρ(r)

(2). Ri (mρ(r)) =Ri (r)

(3). mρ(mρ(r)) = mρ(r)

证明 : (2). 因 r mρ(r), 则 Ri(r) Ri (mρ(r))。

又 tiRi(mρ(r)) , 则有 tmρ(r), 使 t[Ri]=ti，

而由 mρ(r) 的定义知， ti Ri (r) ，因此有 Ri (mρ(r)) Ri (r)

则 有 Ri (mρ(r)) =Ri (r) 。

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算法 4.2.1 判断分解 ρ 是否具有无损连接性

输入： 关系模式 R(A1， A2 …， ， An) 及其分解

ρ={R1， R2 …， ， RK } ，函数依赖集 F。

输出：分解 ρ 是否具有无损连接性。

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LOSSNESS(R， F， ρ)(1) ．构造一个 k行 n 列的表 T： a j (Aj Ri )

Ti j =

bi j (Aj Ri )

(2). for each FD X→Y in F do for each tl 、 tm T

if ti[X]=tm[X] and ti [Y]tm [Y]

then for each Aj in Y

if ti [Aj]=aj or tm[Aj]=aj then ti[Aj ]=tm [Aj ]=aj

else ti[Aj]=tm [Aj]=bij (i <m) (3)． for each tT do if t=a1, a2,…,an then return (true)

return (false)

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例：关系模式 R=ABCDE， F={A→C， B→C， C→D， DE→C， CE→A}， 分解 ={AD， AB， BE， CDE， AE }.

验证： 是否是无损分解。 A B C D E a1 b12 b13 a4 b15

a1 a2 b23 b24 b25

b31 a2 b33 b34 a5

b41 b42 a3 a4 a5

a1 b52 b53 b54 a5

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例： 关系模式 R=ABCDE， F={A→C， B→C， C→D， DE→C， CE→A}。 ={AD， AB， BE， CDE， AE }.

A B C D E a1 b12 b13 a4 b15

a1 a2 b23 →b13 b24 →a4 b25

b31→a1 a2 b33 →b13→ a3 b34 →a4 a5

b41→a1 b42 a3 a4 a5

a1 b52 b53 →b13 →a3 b54 →a4 a5 17

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定理 算法能正确判断分解 是否是无损分解。证明： 若表中没有全 a 行。可将结果表看作 R 的一个关系 r， r 满足 F 。由表 T 的构造知， r 在分解 中的每个Ri 上全为 a ，投影连接后应有全 a 的行。 但 r 中没有，这说明 mρ(r) r ，分解 是连接有损的。

相反，最后表中有全 a 行。全 a 行是为满足 FD将 T中元素替代得到的，若对 T 中元素赋值， 替代结果相当于作连接。全 a 行对应的值是 mρ(r) 中的一个元组，而该元组是 r 中的一个元组， 因而有 mρ(r) r 。而 r mρ(r) ，则有r= mρ(r) ，分解 是连接无损的。 证毕。p60

16

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定理 3 设关系模式 R 的一个分解 ={R1， R2}， F 是 R 上的

函数依赖集。若 F|=(R1 ∩R2)→(R1－ R2) 或 F|=(R1 ∩R2)

→（ R2 － R1) ，则具有无损连接性。 证明：用算法 4.2.1 构造一个二行三列的矩阵如下： R1 ∩R2 R1 － R2 R2 － R1

R1 aaa…a aaa…a bbb…b

R2 aaa…a bbb…b aaa…a

例 ： 关 系 模 式 R=ABC ， R 上 的 FDS 集 F

={ A→C， B→C}。

R 上的分解 1 ={AB， AC} ， 2 ={AC， BC}

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依赖保持性定义 设 R 的一个分解 ={R1， R2 …， ， Rp }, R 上的 FDs集

F ，若 Ri (F)={ X→Y X→YF+且 XYRi}， (1≤i≤p) ，则称

Ri(F)为 F在 Ri 上的投影。

例 ： 关 系 模 式 R=ABC ， R 上 的 FDS 集 F

={ A→B， B→C}。

R 上的分解 1 ={R1， R2}， R1= AB ， R2= AC

F在 R1， R2 上的投影

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依赖保持性

定义 设 ={R1， R2 …， ， Rp }是 R 的一个分解， F

是 R 上的 FDs 集。 F在 Ri 上投影的集合 G=∪Ri (F) 。

若 G≡F ，则称分解 保持函数依赖集 F 。

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算法 4.2.2 检验分解 ρ 是否具有依赖保持性PERSERVE1(F， ρ)begin G： =φ； for each X→Y in F do for each Ri in ρ do if X Ri then do begin Z： = LINCLOSURE(X, F)； if Z∩Ri － Xφ then G： = G {X→(Z∩R∪ i － X)} /*F在 Ri 上投影的集合 end； for each X→Y in F do if MEMBER(G, X→Y ) then T： =true else return(false)； return(T) ； end.

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例 设 ={R1 ， R2 ， R3} ， 其 中R1=ABD， R2=BCE， R3=DE， F={A→BD，D→A， C→BE， E→D， C→A}。 判断：是否保持函数依赖集 F。 解：（ 1 ）计算 F 在 上的投影 G。

考 察 FD A→BD ， AR1 ， A+=ABD ，G={ A→BD }； 考 察 D→A ， DR1 ， D+=ABD ，G={ A→BD，D→AB }，又DR3 ，但 ABD∩R3 －D=φ， G 不变； 对 C→BE ，CR2， C+=ABCED，G={A→BD，D→AB， C→BE}

分别考察 E→D 和 C→A， 结果： G={ A→BD，D→AB ， C→BE, E→D }。

（ 2 ）判断 F 和 G 是否等价。 可以看出， F 中的 FD 除 C→A 外都已在 G 中了，而MEMBER(G, C→A) 为真，因此，保持函数依赖集 F。

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4.2.2 通过分解实现规范化算法 4.2.4 生成 3NF 的分解算法DECOMPOSE(R, K, F)

算法步骤： (1). 若 R3NF ，算法终止， ρ={R}。

(2).若 ρ 中有 Ri3NF ，即 YRi， ZKY且

Y→Z， Y→K，

则 Z 传递依赖于 Ri 中的键 K ，分解 Ri 为：

Ri1 =R－ Z和 Ri2= YZ ，用 Ri1和 Ri2 代替 ρ 中的 Ri 。

(3). 若 ρ 中所有 Ri 3NF ，输出 ρ ，否则转 (2) 继续进行分

解，直到使所有关系模式都成为 3NF。

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例 : 设关系模式 R(A,B,C,D,E,G,H,I,J,K,M) 为航空公司数据库。 其中， 属性 ABCDEGHIJKM 分别为： 航班号、出发地、目的地、出发时间、到达时间、飞行时间、机型、头等舱座位数、普通舱座位数、座位总数、用餐时间。

F={A→BCDEGH， BCD→A， BCE→A， DG→M，

H→IJK ，

EG→M， IJ→K， IK→J， JK→I}。

试分解 R 为 3NF。

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F={A→BCDEGH， BCD→A， BCE→A， DG→M， H→IJK ， EG→M， IJ→K， IK→J， JK→I}。

解： R 的键为 K={A， BCD， BCE}， R3NF。 因有 DG→M ，而 DG 不是键， 分解 R 为： R1 =ABCDEGHIJK ， K1 ={A， BCD， BCE}； R2 =DGM ， K2 ={DG}。

R23NF， R13NF， R1 中有 H→IJK ， 分解 R1 为： R11 =ABCDEGH ， K11 ={A， BCD， BCE}； R12=HIJK ， K12 ={H}；

R123NF ， 因 IJ→K ，分解 R12 为： R121 =HIJ ， K121 ={H}； R122 =IJK ， K122 ={IJ， IK， JK}

结果： ={R11， R121， R122， R2}。

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分解算法得到的关系模式是无损的。

分解算法存在的问题：

（ 1 ）一个关系模式的主属性和非主属性是很难确定的。

（ 2 ）分解算法得到的关系模式不是惟一的。

（ 3 ）分解得到的关系模式不保持函数依赖。

例：职工名，电话，地址

2829

4.2.2 通过合成实现规范化算法 4.2.5 SYNTHESIZE(U， F)

1. F： =F { U→Z }∪ 。

2. 计算 F 化简的最小函数依赖集 G。

3. 将 G按等价类划分得到 EG 。

4 ．对 EG 中每个 EG(X)={Xj→Yj， 1jp} ，构造键为

{X1,X2,…,Xp} 的关系模式 Ri=X1X2…XpY，

其中， Y由 EG(X)中 FD 的右部属性组成。

5. 考察每个 Ri ，删除由 EG(X) 中的 FD 合成后出现的外部属性

。 6 ．将包含在某个 Ri 中的附加属性 Z 删除，输出 R.

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例： R=ABC， F={A→C， B→C}

由合成算法得 3NF 为 {AC， BC}， R 不是无损的。 在 F 中加入 FD ABC→Z ，最后得到的数据库模式 R={AB， AC， BC}， R 具有无损连接性。

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例 ： F={B1B2→A，D1D2→B1B2， B1→C1， B2→C2，

D1→A，D2→A， AB1C2→D2， AB2C1→D1}，

F 是化简的和最小的。按等价类划分后为： EF(B1B2)={ B1B2→A， D1D2→B1B2} ， EF(B1)={

B1→C1}，

EF(B2)={B2→C2} ， EF

(D1)={D1→A}， EF(D2)={D2→A}，

EF(AB1C2)={AB1C2→D2} ， EF (AB2C1)

={AB2C1→D1}。

因此： R1 =AB1B2D1D2 ； R2=B1C1 ； R3=B2C2

；

R4=D1A ； R5=D2A ； R6=AB1C2D2 ；

R7=AB2C1D1 。

在 R1 中的属性 A 是外部的。

31

例 : 设 U=ABCDEGHIJKM ， F={A→BCDEGH， BCD→A， BCE→A， A→M， H→IJK， DG→M， EG→M， IJ→K， IK→J， JK→I}求 : 属性集 U 的数据库模式。 解： (1). F： =F {ABCDEGHIJKM→Z}∪ (2) 去掉冗余 A→M 及 ABCDEGHIJKM→Z 和 H→IJK 中的外部属性。 F 化简为最小 FDs.

(3) EG (A)={ A→BCDEGH Z ， BCD→A， BCE→A }；

EG(H)={H→IJ} ； EG(DG)={ DG→M}；

EG (EG)={EG→M} ； EG

(IJ)={ IJ→K， IK→J， JK→I } (4) R1 =ABCDEGHZ ， K1={A, BCD, BCE} ； R2 =HIJ ， K2 ={H}； R3 =DGM ， K3 ={DG}； R4 =EGM ， K4 ={EG}； R5 =IJK ， K5 ={IJ， IK， JK}。

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由算法生成的数据库模式 R 满足以下特性： 1.   R保持 F且 F 完全由 R 表达。即 :

F≡{Ki→Ri｜ Ri R， Ki 是 Ri 的关键字 }.

2. R 中的每个关系模式 Ri 对于 F 都是 3NF。

3. R 具有无损连接性，对任一满足 F 的关系 r(R) ，有 r = R1 (r) R2 (r) … Rk (r)

4. R 是满足以上特性且含有最少关系模式的数据库 模式。

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定理 4 SYNTHSIZE 算法是正确的，生成的数据库模式是 3NF 且满足无损连接性、依赖保持性和最小性。

证明： (1) 设 RiR ，证明 Ri3NF。

设 Ri 具有关键字 K={X1 …， ， XK} 和非主属性集

Y 。如果 Ri 3NF, 则有 AY， AW(WRi) 且

Xj→W, W→A 而

W→Xj (1jK) ，因而有 G|=Xj→A ，则

Xj→AEG(X) ，从而 Xj→AG ，这与 G 是化简最小覆盖相矛盾。另外，经步骤 (5)的处理，消除了传递依赖。 Ri 3NF.

/

34

(3). R 满足依赖保持性，这一点是显然的。 因 G与 F等价，而生成关系模式时没有去掉任何 FD ，即每个Ri 上的 FD 是由 Ri 上的关键字决定的，即

F≡{Ki→Ri | Ri R， Ki是 Ri 的关键字 } 。

(4). R 含有模式数最少。 因最小集 |EG | . 证毕。

(2). R 满足无损连接性。 因 F 中加入 U→Z而 ZU ，所以，在计算过程中 U→Z 不会作为冗余被删除。若 U→Z经化简后为 X→Z ，则说明 U－ X 为外部属性，即 X+=U， X是 U 的键。 因 X→ZG ， 因此， X 属于R 中某个 Ri ，根据 LOSSLESS 算法，在 X 所在 Ri 对应行一定是

全为 a 的行，即 R 满足无损连接性。

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4.2.4 规范化关系模式为 BCNF 例 : 设 R=ABCDE ，F={A→B， B→A，D→C， AC→DE}，由合成算法得到的数据库模式为： R1 =AB ， K1 ={A, B} ；R2=DC， K2={D} ； R3={ACDE}， K3={AC, AD}。 R1， R2， R3 都是 3NF ，但 R3 中有 D→C ， 因而 C传递依赖于 AD ，所以 R3 不是 BCNF。 若分解 R3 为 R31= ADE R32= CD

则 R={R1 、 R2 、 R31} 为 BCNF 。

算法 4.2.7 BCNF-DECOMPOSE(R, F) (1).若 RBCNF，算法终止， ρ={R}。 (2).若 ρ中有 RiBCNF，即有 X→Y且 XY Ri 而X→Ri ， 则分解 R 为 Ri1 =R－ Y 和 Ri2= XY； 用 Ri1 和 Ri2 代替ρ中的 Ri 。 (3). 若 ρ中所有 RiBCNF，输出 ρ，否则转 (2)继续进行分解，直到使所有关系模式都成为 BCNF。

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例：设 R=ABCDE， F={A→BC, BC→A, BCD→E,

E→C} ， 由合成算法生成的模式为 R={R1， R2， R3}：

R1 = ABC， K1 ={A， BC} ；

R2 =BCDE ， K2 ={BCD} ；

R3 =EC， K3 ={E}。

R2 BCNF 。将 BC用 A 代替结果为

ADE， R2BCNF ，且替换后的 R也能完全表征 F。*** 3NF 可以满足无损连接性和依赖保持性， BCNF仅能满足无损连接性。

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COURSE →→ TEACHER

COURSE →→ CLASS

4.3 第四范式和投影 -连接范式

例： COURSE TEACHER

CLASS 知识工程 王一平 硕士 知识工程 王一平 博士 知识工程 刘晓彤 硕士 知识工程 刘晓彤 博士

38

4.3.1 第四范式

定义 (4NF) 设关系模式 R 及 R 上的 FD和MVD集

F 。若对于每一个可施加于 R 且由 F 蕴涵的 MVD

X→→Y ，它们是平凡的，或者X 是 R 的一个超键，则 R 是关于 F 的第四范式，即 R4NF。

例： R＝ ABCDE ， F＝ {A→BC,C→→DE}

R4NF, R1＝ ABC 和 R2＝ CDE 是 4NF 。

39

定理 5 如果模式 R4NF ，则 RBCNF。 证明：假定 R4NF但 RBCNF 。则必有 R 的子集 K、 Y和

A ，且 AKY ，和 K→Y， Y → K， Y→A。 Y→A隐含着

Y→→A 。 由于 Y → K， Y 不是 R 的超键，而 A 不包含在 Y 中

且 YAR 。因此， Y→→A 不是平凡的 MVD 。因此， R4NF ，

与假设矛盾。 证毕。

40

算法 4.3.1 生成 4NF 的分解算法 (1). 若 R4NF ，算法终止， ρ={R}。

(2). 若 ρ 中有 Ri 4NF ，即有 X→→Y， XY Ri 且 X →

Ri ，分解 R 为：

Ri1 =R－（ Y－X ）和 Ri2= XY ，直到所有模式为 4NF。

41

例 : 设 R=ABCDEI, F={A→→BCD, B→AC, C→D} 。

要求： 将 R 规范化到 4NF。

解： A→→BCD 是非平凡的且 A 不是 R 的键，分解 R 成关系模式：

R1＝ ABCD ， R1 (F)={ B→AC， C→D }；

R2＝ AEI ， R2 (F)={φ}

分解 R1 为 4NF ： R11＝ ABC， R12＝ CD；

函数依赖和多值依赖集 F 在 Rj 上的投影 R j (F)：

(1) 若 F|=X→Y, X Rj ，则 X→Y∩Rj ∈Rj (F)

(2) 若 F|= X→→Y, X Rj， X→→Y∩Rj∈R j (F)

42

r ( A B C ) r1 ( A B ) r2 ( A C ) r3 ( B C ) a1 b1 c1 a1 b1 a1 c1 b1 c1 a1 b2 c2 a1 b2 a1 c2 b2 c2

4.3.2 投影 - 连接范式（ PJNF）

例： SP （供应商，零件，项目）

a3 b3 c3 a3 b3 a3 c3 b3 c3 a4 b3 c4 a4 b3 a4 c4 b3 c4 a5 b5 c5 a5 b5 a5 c5 b5 c5 a6 b6 c5 a6 b6 a6 c5 b6 c5

JD*[AB， AC， BC]

. . . .

.

插入→ a3 b1 c2 a3 b1 a3 c2 b1 c2 . a1 b1 c2 . 删除

43

r ( A B C ) r1 ( A B ) r2 ( A C ) r3 ( B C ) a1 b1 c1 a1 b1 a1 c1 b1 c1 a1 b2 c2 a1 b2 a1 c2 b2 c2 a3 b3 c3 a3 b3 a3 c3 b3 c3 a4 b3 c4 a4 b3 a4 c4 b3 c4 a5 b5 c5 a5 b5 a5 c5 b5 c5 a6 b6 c5 a6 b6 a6 c5 b6 c5

JD*[AB， AC， BC]

4.3.2 投影 - 连接范式（ PJNF）

44

定义 19 设关系模式 R， F是 R 上的函数依赖和连接依赖集。若对于每个由 F蕴涵的且施加于 R

的连接依赖 JD*[R1,R2,…,Rp]， JD 是平凡的或者每个 Ri是 R 的一个超键，则 RPJNF。

平凡的 JD： R 上的连接依赖被任意 r(R) 所满足。

JD*[R1, R2, …, Rp] 中有某一 Ri=R。

45

例 : 设 R＝ ABCDEI， F＝

{*[ABCD,CDE,BDI] ，

*[AB, BCD,

AD]， A→BCDE， BC→AI}。

试将 R 规范到 PJNF。 结果： R = (ABCD， CDE， BDI)

ABCD: {*[AB, BCD, AD]， A→BCD， BC→A}