第二章　因次分析与 π 定理

第二章　因次分析与第二章　因次分析与 ππ 定理定理

一物理量的因次、量度单位和因次式一物理量的因次、量度单位和因次式二因次和谐原理和因次分析方法二因次和谐原理和因次分析方法三三 ππ 定理及其应用定理及其应用

第一节物理量的因次、量度单位和因次式第一节物理量的因次、量度单位和因次式

1 因次、量纲的概念

因次及量纲：表征物理量，除了有量的数值外，还有量的种类（或类别），如长度、时间、质量、力等，人们把表征物理量的种类通称为“因次”（ Dimension ）或称为“量纲”。

国际单位国际单位

单位：度量各物理量数值大小的标准，称为单位。市制、公制、英制、美制。

11 ）长度——米）长度——米

33 ）质量——千克）质量——千克

22 ）时间——秒）时间——秒

44 ）力 ——牛顿）力 ——牛顿


2 物理量分类

物理量可分为两大类

物理量物理量

11 ）有因次的）有因次的 :: 如长度、时间、速度、加速如长度、时间、速度、加速度、质量、力等，这类物理量要以人为的单度、质量、力等，这类物理量要以人为的单位来表示，其数值大小随着单位的更换而改位来表示，其数值大小随着单位的更换而改变；变； 1m=100cm1m=100cm

22 ）无因次的）无因次的 :: 如坡度、佛汝德数、雷诺数如坡度、佛汝德数、雷诺数等，这些量是一个纯数或比值，其数值大小等，这些量是一个纯数或比值，其数值大小不受量度单位更换的影响。不受量度单位更换的影响。

2 、物理量的因次分类物理量的因次可分为两大类

因次因次

11 ）基本因次：它们彼此是相互独立的，即它们中的任何）基本因次：它们彼此是相互独立的，即它们中的任何一个因次不能从其它基本因次推导出来。一个因次不能从其它基本因次推导出来。

22 ）导出因次：这类因次可由基本因次推导出来。）导出因次：这类因次可由基本因次推导出来。若选择若选择 [M[M 、、 LL 、、 TT]] 为基本因次，为基本因次，

则速度因次可表示为：则速度因次可表示为： [V]=[L]/[T]=[LT[V]=[L]/[T]=[LT-1-1] ] 加速度的因次为：加速度的因次为： [a]=[V]/[T]=[LT[a]=[V]/[T]=[LT-2-2] ] 力的因次为：力的因次为： [F]=[[F]=[MM][a]=[][a]=[M M LTLT-2-2] ]

力学上通常选择长度（以力学上通常选择长度（以 [L][L] 表示）、时间（以表示）、时间（以 [T][T] 表表示）和质量（以示）和质量（以 [M][M] 表示）作为基本因次，显然它们是相表示）作为基本因次，显然它们是相互独立的。它们中任一个不能从另外二个推导出来（例如互独立的。它们中任一个不能从另外二个推导出来（例如[L][L] 不可能由不可能由 [M][M] 、、 [T][T] 来组成）。来组成）。


可见某一物理量的因次总可以由基本因次推导出来，而且是基本因次幂指数的乘积，即：

γ][][][][ TLMy 该式称为因次关系式。该式称为因次关系式。证明过程：见书证明过程：见书 P32P32 页。页。

　物理量ｙ的性质可由指数 αβγ 来反映，如均为 0 ，则 y 为一次无因次纯

数，指数 αβγ 中有一个不等于 0 ，就可以说ｙ是一个有因次的物理量。

0,0,0

0,0,0

0,0,0

y 为一运动学量

y 为一几何学量

y 为一动力学量

][][ Ly ][][ My

][][][][ TLMy

　从上式可以导出常见的有因次的物理量

如面积是由两个长度的乘积组成的，则它们的因次为长度因次如面积是由两个长度的乘积组成的，则它们的因次为长度因次的平方的平方 ,[A]=[L,[A]=[L22]] 或写成或写成 [A]=[[A]=[MM00LL22TT00]] 。。流速因次为流速因次为 [V]= [LT[V]= [LT-1-1] = [] = [MM00LTLT-1-1]] ；；力的因次为力的因次为 [F]=[[F]=[MM][a]=[][a]=[M M LTLT-2-2]] 。。

物理量物理量

无因次量无因次量有因次量有因次量

基本量基本量导出量导出量

常见因次关系详见 P34 页表 2 －1


第二节因次和谐原理和因次分析方法第二节因次和谐原理和因次分析方法

1 、因次和谐原理

凡是正确反映某一物理现象变化规律的完整的物理方程，凡是正确反映某一物理现象变化规律的完整的物理方程，其各项因次都必须是一致的，这称为因次和谐原理。其各项因次都必须是一致的，这称为因次和谐原理。

只有类型相同的物理量才能相加减，即因次相同的物理量只有类型相同的物理量才能相加减，即因次相同的物理量才能相加减，两个不同类型的物理量相加减是没有意义的。才能相加减，两个不同类型的物理量相加减是没有意义的。比如，比如， 1m+1kg1m+1kg 是没有意义的。所以，方程中各项因次都是没有意义的。所以，方程中各项因次都必须是一致的。必须是一致的。

利用方程因次和谐特征：（利用方程因次和谐特征：（ 11 ）可以探求物理方程的结构形）可以探求物理方程的结构形式，（式，（ 22 ）检验复杂方程式的正确性，（）检验复杂方程式的正确性，（ 33 ）还可以用来导）还可以用来导出模型试验中必须遵循的相似准则。因此，这一原理是因次出模型试验中必须遵循的相似准则。因此，这一原理是因次分析的重要依据。分析的重要依据。

2 、因次和谐原理的重要性

1. 一个物理方程式在因次上是和谐的，则方程的文字结构形式不随量度单位的更换而变化。因此因次和谐原理可以用以检验新建方程式或经验公式的正确性和完整性。

Hg

v

r

pz

2

2伯努利方程伯努利方程

上式中各项的因次都是长度上式中各项的因次都是长度 [[LL]] ，所以因次是和谐的。不管方程中各项采用，所以因次是和谐的。不管方程中各项采用的单位是什么，方程的形式都不会改变，若同除以任一项变为无量纲方程式，的单位是什么，方程的形式都不会改变，若同除以任一项变为无量纲方程式，其形式仍然不会改变。其形式仍然不会改变。

如果一个方程在因次上不和谐，则要检查方程式是否完整，采用度量单位是如果一个方程在因次上不和谐，则要检查方程式是否完整，采用度量单位是否一致，数学分析过程是否严谨。否一致，数学分析过程是否严谨。


2. 用因次和谐原理确定物理方程中各物理量的指数。


R

vmF

2

质量为质量为 MM 、以速度、以速度 vv 沿半径为沿半径为 RR 的圆周运动时其关系式为：的圆周运动时其关系式为：

利用因次和谐原理可以证明关系式的合理性利用因次和谐原理可以证明关系式的合理性

左侧左侧 [F]=[MLT[F]=[MLT-2-2]]

右侧右侧 ][MLT[L]][M][LT][ 21212

R

vm

显然左侧与右侧的因次相同，即可证得：显然左侧与右侧的因次相同，即可证得：R

vmF

2

各物理量的量纲为：各物理量的量纲为： [F]=[MLT[F]=[MLT-2-2]] 、、 [m]=[M][m]=[M] 、、 [v]=[MLT[v]=[MLT-1-1]] 、、 [R]=[R]=[L][L]

根据因次和谐原理，左右两侧的量纲应该和谐：根据因次和谐原理，左右两侧的量纲应该和谐：

3. 用因次和谐原理建立某些物理方程。实际工程中有许多自然现象，直至目前仍尚未找出具体形式的物理方程。通过观察和试验等只知道有哪些物理量参与作用，那么，利用因次和谐原理往往可以确定方程式的结构模式。

举例：水平圆管中层流流量 Q 的计算式的确定。

通过试验知道它与如下参数有关：通过试验知道它与如下参数有关：

圆管半径单位管长圆管半径单位管长的压差的压差

流体动力粘滞系数流体动力粘滞系数 lp /

r

),/,( lprfQ 写出函数关系式：写出函数关系式：

假设：假设： rl

pQ )(


其因次式为：其因次式为： ][][][][ rl

pQ

][

][][][][][22

1121130

TLM

TMLLLTMLTLM

选择选择 [M,L,T][M,L,T] 为基本量纲，则写出两边的量纲表达式：为基本量纲，则写出两边的量纲表达式：

根据因次和谐原理，方程两侧同类因次的指数必须相同，即：根据因次和谐原理，方程两侧同类因次的指数必须相同，即： 0:][ M

32:][ L

12:][ T

联解上列联解上列 33 式得：式得：

1,4,1

][][ 14 rl

pQ

从而有从而有

写成函数关系式为写成函数关系式为 lpr

kQ4

其中，其中， kk 为无因次系数，由试验结果分析得：为无因次系数，由试验结果分析得： 8

k

于是圆管中层流流量公式为：于是圆管中层流流量公式为： l

prQ

4

8


二、因次分析方法

由因次和用因次和谐原理，可以得到如下认识：• 1 、自然界中某一物理现象的变化规律，可以用一个完整的物理方程来描述；• 2 、一个完整的物理方程式必须符合因次和谐原理； • 3 、一个完整的物理方程式其文字结构不随人为确定的量度单位的更换而改变； • 4 、因次和谐的条件是方程式中各个变量的基本因次的指数在方程式两侧彼此相等。

因次分析方法就是建立在上述结论基础上，是用于探求因次分析方法就是建立在上述结论基础上，是用于探求物理现象的函数关系式的一种数学分析方法。物理现象的函数关系式的一种数学分析方法。



因次分析方法有因次分析方法有二种二种：：

瑞利（瑞利（ RayleighRayleigh）法——适用于解决较简单问题）法——适用于解决较简单问题

ππ定理——具有普遍性的方法定理——具有普遍性的方法

瑞利方法的实质是应用因次和谐原理来建立物理现象的函瑞利方法的实质是应用因次和谐原理来建立物理现象的函数关系。数关系。


例：一弦长为例：一弦长为 LL 的单摆的单摆 ,,摆端有质量为摆端有质量为 mm 的摆球，要求用瑞利法求单的摆球，要求用瑞利法求单摆的摆动周期摆的摆动周期 tt的表达式。的表达式。

θ θＬ

2-1 图单摆

根据单摆现象观测，周期根据单摆现象观测，周期 tt与弦长与弦长 ll 、摆球质、摆球质量量 mm 为及重力加速度为及重力加速度 gg 有关，即：有关，即：

),,( gmlft

用幂指数乘积来表示这一函数关系，即：用幂指数乘积来表示这一函数关系，即：

)( gmlft

式中：为待定常数。将上式写成因次式得：式中：为待定常数。将上式写成因次式得：，，



θ θＬ

2-1 图单摆

][][ gmlt

选择为基本因次，根据因次和谐原理，则上式可写成：选择为基本因次，根据因次和谐原理，则上式可写成：],,[ TLM

0:][ M

0:][ L12:][ T

联立求得上列联立求得上列 33 式求解得：式求解得：

2

10

2

1: ，，

g

lktglT

][][ 21

21

][][][][ 2 LTMLT

根据因次和谐：



g

lt 2

这与理论分析结果完全相同。这与理论分析结果完全相同。

由单摆试验得到常数等于由单摆试验得到常数等于 2π2π ，则单摆周期的表达式为：，则单摆周期的表达式为： k


应用瑞利因次分析法探求物理方程式的步骤如下：应用瑞利因次分析法探求物理方程式的步骤如下：

1 、找出物理过程的参变量，建立函数关系式（一般采用幂指数乘积形式）； 2 、写出函数的因次关系式； 3 、选定 3 个基本因次（一般为： M ,L,T ），按选定的基本因次整理、归并得出函数的因次关系式； 4 、根据因次和谐原理列出因次和谐方程，联立求解出各参变量指数值； 5 、将解得的指数值回代到原假定的函数关系式，并加以整理、化简； 6 、通过模型试验或现场观测，验证所得的函数表达式的完整性和正确性，并确定表达式中的待定系数或指数，最后获得描述该物理现象的完整的表达式。



用瑞利因次分析法建立物理现象的函数表达式，最大的优点就是简单易行，但有一定局限性：• 1 、只能假定物理方程式的模式是参变量幂指数的乘积；• 2 、所建立的方程式正确与否，很大程度取决于参变量的选择是否正确、完整； • 3 、方程式中的待定系数或某些指数，一般需由模型试验或理论分析（比较简单的物理过程）求得； • 4 、只有当参变量不大于 3 个时，方能求解由 3 个基本因次构成的因次和谐方程组，求得不大于 3 个的待定指数，从而建立方程的具体形式。



当待求的物理方程中包含的参变量大于当待求的物理方程中包含的参变量大于 33 个时，瑞利法就无能个时，瑞利法就无能为力了。这时需采用因次分析的普遍方法——为力了。这时需采用因次分析的普遍方法—— ππ定理，找出复定理，找出复合无因次项，方能建立完整的物理方程式。合无因次项，方能建立完整的物理方程式。

第三节第三节 ππ定理及其应用定理及其应用一、 π 定理的基本概念

π 定理的全部含意是：

某一物理进程，若有ｎ个物理量参与作用，其中有ｍ个具有因次独立的基本物理量，则经过处理，这一物理过程可由包含ｎ -ｍ个由这些物理量组成的无因次准数 ππ 的函数关系式来表示。

因次独立的基本物理量的含义：指任何一个基本物理量的因次不能由其它基本物理量诱导出来，或者更严格的讲，由基本物理量不可能组成一个无因次的量。例如用质量ｍ，长度 l，时间 t 三个基本物理量，不管怎样组合均不可能组成一个无因次量。

][][ 1111

TLMx

][][ 2222

TLMx

][][ 3333

TLMx

则它们是因次独立的则它们是因次独立的 ((即不能组成无因次量即不能组成无因次量 ))的条件是的条件是上列因次式中的指数行列式不等于零。上列因次式中的指数行列式不等于零。

0

333

222

111

假设假设 x1, x2 ,x3——x1, x2 ,x3—— 是基本量，它们的因次式表示如下：是基本量，它们的因次式表示如下：

第三节第三节 ππ定理及其应用定理及其应用

一、 π 定理的基本概念

π 定理的数学解释：

设某一物理过程包含设某一物理过程包含 nn个物理量个物理量 x1, x2 ,…x1, x2 ,…，， xnxn，则这一物，则这一物理过程可用这些参变量的函数关系式表示：理过程可用这些参变量的函数关系式表示：

0),,,( 21 nxxxf

若若 nn个参变量中有个参变量中有 mm 个因次独立（个因次独立（ m<nm<n），则上式可以改写：），则上式可以改写：0),,,,( 2121 nmmm xxxxxxf

为基本参变量为基本参变量mxxx ,, 21

为其它参变量为其它参变量 ,, 其因次可以由基其因次可以由基本量诱导出来本量诱导出来

nmm xxx ,, 21

mmm xxxx ]...[][][][ 21

211

mmm xxxx ]...[][][][ 21

212

mmn xxxx ]...[][][][ 21

21

...................................

1]...

[21

21

1 m

m

m

xxx

x

1]...

[21

21

2 m

m

m

xxx

x

1]...

[21

21

mr

mrrn

xxx

x

...................................

某一物理量某一物理量 xi,xi, 除了具有因次除了具有因次 [[xixi]] 外，还有数值大小，而且数外，还有数值大小，而且数值大小随单位的改变而改变。如果两个物理量的因次之比等于值大小随单位的改变而改变。如果两个物理量的因次之比等于11 ，那么他们的物理量因次相同，则其数值之比是一个无因次，那么他们的物理量因次相同，则其数值之比是一个无因次数。比如：数。比如：

smxsmx /4,/2 21 1][

2

1 x

x

2

1

2

1 x

x

1

21

1

...21

m

m

m

xxx

x

2

21

2

...21

m

m

m

xxx

x

mnrm

rrm

mxxx

x

...21

21

2

...................................均为无因次数均为无因次数mn ,, 21

则：则： n-mn-m 个参变量均可用它们同个参变量均可用它们同 mm 个基本参变量的复合个基本参变量的复合量表示，并转换为量表示，并转换为 n-mn-m 个无因次数，这些数称为个无因次数，这些数称为 ππ。。

而对于基本参变量：而对于基本参变量：

mxxx ,, 21 不但因次之比等于不但因次之比等于 11 ，其数值之比也等于，其数值之比也等于 11

1]...

[ 002

11

1 mxxx

x

1]...

[ 102

01

m

m

xxx

x

...................................

1... 00

21

1

1 mxxx

x

1... 10

20

1

m

m

xxx

x

由此，各参变量组成的函数关系式可以表示为：由此，各参变量组成的函数关系式可以表示为：0),,1,1,1( 21 mnf

基本量，共基本量，共 mm项项 0),( 21 mnF 或者写为或者写为

上式物理意义：一个有上式物理意义：一个有 nn个参变量参与作用的物理过程的函数式可个参变量参与作用的物理过程的函数式可以转换为仅包含若干个无因次数的函数式。以转换为仅包含若干个无因次数的函数式。


二、 π 定理在因次分析中的应用

例例 1 1 利用利用 ππ定理建立圆球的粘滞力公式。定理建立圆球的粘滞力公式。

设影响圆球在流体中运动设影响圆球在流体中运动 ((或流体绕圆球运动或流体绕圆球运动 ))时引起的时引起的粘滞阻力粘滞阻力 FFDD 与流体的密度与流体的密度 ρρ，动力粘滞系数，动力粘滞系数 μμ，球体与流，球体与流体的相对速度以及表征球体的特征面积体的相对速度以及表征球体的特征面积 AA 有关。于是粘滞阻有关。于是粘滞阻力的函数关系式可写成：力的函数关系式可写成：

),,,( AvfFD

4

2dA

0),,,,(1 dvFf D 上式可改写成：



上式共上式共 55个变量，选择个变量，选择 d d 、、 VV 、、 ρρ作为基本变量：作为基本变量：

][][ 010 TLMd

][][ 110 TLMv

][][ 031 TLM

01

031

110

010

基本因次的指数基本因次的指数行列式为行列式为

故所选的基本量是因次独立的，根据 π 定理，其它两个参变量可用无因次的 π 项表示，可得：

111 d1

v

FD

222 d2 v

0),( 212 f



221 dv

FD

故

Re

1 2

vd同理可推出

到阻力公式完全相同。这一结果与理论分析得

圆球的粘滞力表达式诺数有关，于是得到称为阻力系数，它与雷

2

1

(Re)

21

0)Re

1,

21

(0),(

22

32222

2212

dvCF

C

Cfdv

F

dv

Fff

DD

D

DDD


由以上推导可知 π 定理的涵义：

1 、 π 定理的主要理论依据是一个完整的物理方程式必须遵循因次和谐原理。

2 、包含有 n 个变量参与作用的某一物理现象，可用一个由 (n-m) 个无因次项组成的函数关系式来表达，其中 m 为 n 个参变量中具有因次独立的基本参变量 ( ) ；

3 、基本参变量可任意从全部参变量中选择，它们必须是因次独立的 ( 因次中的指数行列式不等于零 ) ，而且它们包含的基本因次应能包括 n 个参变量中所有基本因次。

3, mnm 一般


4 、每一个无因次 π 项均可由 m 个基本量指数乘积与某一个变量的商或积组合而成，组合的要求是各个基本量的指数得到合理的确定，最终使所得的各个 π 项均为无因次量。 5 、某些无因次物理量，本身也可作为 π 项。 6 、各个 π 项的自乘及它们之间相互乘除其物理意义不变。因而在

组合 π 项时，用于和基本量指数乘积或相除的某一个变量，其指数可以任意选择。

由以上推导可知 π 定理的涵义：


三、 π 定理的应用步骤

1 、根据对研究对象物理现象的认识，找出影响这一物理现象的主要参变量。2 、从正确选定的几个参变量中，选出 m 个基本参变量（必须是因次独立

的）。3 、将由 n 个因变量的函数关系转换为。4 、根据各 π 项必须为无因次量的条件，由因次和谐原理求解得出各 π 相

应的待定指数，并代回各 π 项得出其表达式。5 、尽量将方程式中各 π 项转换为常用的相似准数或通用的纯数。6 、将各个 π 项代回到（ n-m ）个 π 项的无因次函数关系式，并整理成表

示某一现象的函数关系式。7 、根据函数表达式拟定实验方案，用实验结果检验所选参变量及表达式，并确定有关待定系数。


本章完！

第二章 因次分析与 π 定理

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