1

数 学 の か た ち 数 学 の か た ち 第３講第３講暗号を作ろう暗号を作ろう

早苗　雅史sunny@nikonet.or.jp

数学とソフトウエアwww.nikonet.or.jp/spring/sanae/

2

指で数える２進法指で数える２進法

１３

２８

？

3

指で数える２進法指で数える２進法

4

指で数える２進法指で数える２進法

小指

薬指

中指

人指

親指

(16) (8) (4) (2) (1)× × × × ×

0 1 1 0 1| | | | | | | | | |

0 8 4 0 1 ＝ １３

5

記数法で暗号を作る記数法で暗号を作る

a b c d e f g h i j k l m

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

n o p q r s t u v w x y z

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

6

記数法で暗号を作る記数法で暗号を作る

ｃａｐ ＝ 2 ， 0 ， 15 ｃａｐ ＝ 2 ， 0 ， 15

2×262 ＋ 0×26 ＋ 15

＝ 2×676 ＋ 0×26 ＋ 15

＝ 1367

7

記数法で暗号を作る記数法で暗号を作る

２６

２６

１３６７

５２

２

・・・１５

・・・　０

8

記数法で暗号を作る記数法で暗号を作る

9

問題問題

① 　ｂｏｘを数字に直してみよう。

② 　“ 13223” は何という文字を表しているか。

10

暗号の重要性暗号の重要性

インターネットや電子メールなどの普及による危険性情報がネットワーク上に流出コンピュータ間のデータを見ることが可能

様々な手口電子メールを知らない人に読まれてしまう（盗聴）情報の内容を勝手に書き換えてしまう（改ざん）正当なユーザーになりすまして悪用（なりすまし）

それらの脅威を防ぐための解決法⇒暗号化　 データを第三者に解読できないようにする方法

11

シーザー暗号シーザー暗号

文字をアルファベット順に特定の文字数だけずらす　＝換字式（かえじしき）暗号

平文 暗号文 「暗号方式（アルゴリズム） 」

「鍵」

12

多文字置換暗号多文字置換暗号

平文 I a m a b o y

鍵 7 3 2 4 7 3 2

暗号文 p d o e i r a

•キーワードが繰り返し使用される•使用頻度の高い文字を元に キーワードが簡単に推測

13

いろいろな暗号いろいろな暗号

★ 円盤式暗号 ★ 転置式暗号

① 行→列② １列→３列→２列→４列

① 内側の小さい円盤位置決め② 外側の大きい円盤の文字③ 短い方の矢印が指している

小さい円盤の文字が暗号

14

問題問題

① 　 Mathe を鍵“ 3631” で暗号化してみよう。

② 　 HGWW を鍵“ 1234” で複合化してみよう。

15

父へのメール父へのメール

父さんへ

キャッシュカードのパスワードを忘れたので教えてほしい。

他人に知られると困るので次の計算で出た数字をメールで教えてくれ。

『まずパスワードの数字を 37乗する。次に出た数値を 2491で割る。そのときの余りの数字。』

16

いくつかの疑問いくつかの疑問

① 4 桁のパスワードの数字を 37 乗して 2491 で割るなんて計算，どうやってやるのだろう。

② 送られてきた数字から本当にパスワードがわかるのだろうか。

③ このメールを誰かに盗聴されたら，その人にもパスワードを知られてしまわないか。

17

《疑問①》《疑問①》 44 桁の数を桁の数を 3737 乗して乗して 24912491で　　で　　　　　　　割る計算はどうするのか　　　　　割る計算はどうするのか

12342繰り返し 2乗法 ＝ 152275

6≡755

12344 ＝ 7552 ＝ 570025 ≡207712348 ＝ 20772 ＝ 4313929 ≡2008123416 ＝ 20082 ＝ 4032064 ≡1626123432 ＝ 16262 ＝ 2643876 ≡925

123437 ＝ 123432×12344×12341

≡925×2077×1234＝ 1921225×1234 ≡664×1234＝ 819376 ≡2328

18

《疑問②》送られてきた数字を《疑問②》送られてきた数字を　　　　　　　　　　どのように復元するのかどのように復元するのか

例： 21を余りとする世界では

7乗， 13乗， 19乗，…すると元に戻る

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

2 4 8 16 11 1 2 4 8 16 11 1 2 4 8 16 11 1 2

3 9 6 18 12 15 3 9 6 18 12 15 3 9 6 18 12 15 3

4 16 1 4 16 1 4 16 1 4 16 1 4 16 1 4 16 1 4

5 4 20 16 17 1 5 4 20 16 17 1 5 4 20 16 17 1 5

6 15 6 15 6 15 6 15 6 15 6 15 6 15 6 15 6 15 6

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8

9 18 15 9 18 15 9 18 15 9 18 15 9 18 15 9 18 15 9

10 16 13 4 19 1 10 16 13 4 19 1 10 16 13 4 19 1 10

19

3737乗したあと乗したあと 9797乗すると元に戻る乗すると元に戻る

2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 36 37 … 1197 … 2393 … 3589

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 … 672 1344 … 2 … 2 … 2

3 9 27 81 243 729 2187 1579 2246 1756 … 788 2364 … 3 … 3 … 3

4 16 64 256 1024 1605 1438 770 589 2356 … 713 361 … 4 … 4 … 4

5 25 125 625 634 679 904 2029 181 905 … 897 1994 … 5 … 5 … 5

6 36 216 1296 303 1818 944 682 1601 2133 … 1444 1191 … 6 … 6 … 6

7 49 343 2401 1861 572 1513 627 1898 831 … 354 2478 … 7 … 7 … 7

8 64 512 1605 385 589 2221 331 157 1256 … 864 1930 … 8 … 8 … 8

9 81 729 1579 1756 858 249 2241 241 2169 … 685 1183 … 9 … 9 … 9

… … … … … … … … … … … … … … … … … … …

1234 755 36 2077 2270 1296 42 2008 1818 1512 … 664 2328 … 1234 … 1234 … 1234

37乗 97乗A 君だけが知っている

20

23282 ＝ 5419584

≡165923284 ＝ 16592 ＝ 2752281 ≡221723288 ＝ 22172 ＝ 4915089 ≡346232816 ＝ 3462 ＝ 119716 ≡148232832 ＝ 1482 ＝ 21904 ≡1976

232897 ＝ 232864×232832×23281

≡1179×1976×2328＝ 2329704×2328 ≡619×2328＝ 1441032 ≡1234

3737乗したあと乗したあと 9797乗すると元に戻る乗すると元に戻る

232864 ＝ 19762 ＝ 3904576 ≡1179

21

共通鍵暗号方式・公開鍵暗号方式共通鍵暗号方式・公開鍵暗号方式

平文 暗号化 暗号文 複合化 平文"apple" → "dssoh" → "apple"

共通鍵暗号方式

公開鍵暗号方式

平文 暗号化 暗号文 複合化 平文“1234" → “2328" → “1234"

共通鍵＝３　知られると困る

公開鍵＝ 37（乗）， 2491（で割る）　知られても OK

秘密鍵＝ 97　　自分しか知らない

共通鍵 共通鍵

公開鍵 秘密鍵

22

RSARSA暗号暗号

平文

e 乗して n で割

る 暗号文d 乗 平文

→ →秘密鍵

d=97

公開鍵

n=2491

e=37

23

AA君はどうやって鍵を作ったか君はどうやって鍵を作ったか

①2つの 素数 P=47， Q=53を選択

②N=PQ=2491を余りとする世界を作る（公開鍵N）

③P－ 1=46と Q－ 1=52の最小公倍数 L=1196を計算

④1196で割った余りの世界で□ ×○≡1となる２つの素数○ =97，□ =37を選ぶ

⑤２つの数字の一つ□ =37を父さんに送る（公開鍵E）

⑥もう一つの数字○ =97で復元する

まず２つの素数を選ぶことから始まった

24

《疑問③》《疑問③》 3737 乗して乗して 24912491 が得られたが得られたことを知られてもパスワードは大丈夫ことを知られてもパスワードは大丈夫かか２つの素数の積は簡単に計算できます　

　　 38903　 ×　 60293　＝　 2345578579

しかしある数を２つの素数の積に分解する　　のは大変

　　 2250021941　＝　 40253　 × 　55897暗号の秘密は「素因数分解の困難性」「素因数分解の困難性」に起因

25

鍵の作成鍵の作成

① ２つの素数を選ぶ　　　　　　　　　 p=3 ， q=5

② 素数の積　これが余りの世界 　　　　 n=15

③ p－ 1 と q－ 1 の最小公倍数 L を計算　　 L=2

④ L と素な数を選択　　　　　　　　　　　　　 e=7

⑤ 7×□=1 となる数を計算　　　　　　　　 d=13

平文

7 乗して15 で割

る 暗号文13 乗

平文→ →

26

暗号を作ってみよう暗号を作ってみよう

① 3 の累乗を計算　　　 32 ＝ 9　　　 34≡92 ＝ 81≡6

② 37 を計算　　　 37 ＝ 34×32×3≡6×9×3 ＝ 162≡12

③ C=12

メッセージ M=3 ，あまりの世界 n=15 ，累乗 e=737 を計算する

27

暗号を復元してみよう暗号を復元してみよう

d=13 で複合化

① 12 の累乗を計算　　　 122 ＝ 144≡8　　　 124≡82 ＝ 64≡4　　　 128≡42 ＝ 16≡1

② 1212 を計算　　　 1212 ＝ 128×124×12　　　 　　≡ 1×4×12 ＝ 48≡3

③ M=3