Ｃ０８高性能近似アルゴリズムの設計法に関する研究

平田富夫（名古屋大学）藤戸敏弘（豊橋技術科学大学）和田幸一（名古屋工業大学）小野孝男（名古屋大学）

目次１．グラフと集合問題の研究成果（藤戸敏弘）２．グラフ問題の研究成果（平田富夫）　　　２－１　重み付き独立集合問題　　　２－２　均等辺彩色問題のアルゴリズム　　　２－３　ブール行列のランク問題の応用３．分散関係の研究成果（和田幸一）

研究成果（藤戸敏弘）• グラフ問題

– 頂点被覆の一般化（被覆容量／要求量付き部分被覆）に対する 2 倍近似アルゴリズム– 連結頂点被覆および木状被覆に対する 2 倍近似 NC アルゴリズム– 最小コスト木状被覆に対する 2 倍近似アルゴリズム

• 集合問題・その他– 被覆型 0-1 整数計画に対する組合せ的近似アルゴリズム– 最小コスト集合充填（コスト制約有）に対する局所改善法の改良– 最小コスト 3- 集合被覆（コスト制約有）に対する貪欲法の改良– k- 集合多重被覆に対する貪欲法の改良– 劣モジュラ整数被覆に対する近似アルゴリズム

２－１．重み付き独立集合問題• 独立集合問題（Ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　Ｓｅｔ　ｐｒｏ

ｂｌｅｍ）入力：グラフＧ＝（Ｖ，Ｅ）、　頂点の重み w: Ｖ→Ｒ

　　出力：独立集合　Ｖ’　⊆　Ｖ　で、含まれる頂点の重みの総和が最小のもの　　　　既知結果：（重みなし）

　　　　現状と目標：　　　　　　　　　　　　　？

21d

dddO

logloglog

w

ww

dddO

logloglog

21wd

532 d

ＷＧ２００５　（ Y. Kako, T. Ono, T. Hirata, M. Halldorsson）

重み付き次数

v

Gw w

vNwGvd ))((),(

● 重み付き次数　　　　　の定義

wv: 頂点 v の重みNG(v): 頂点 v に隣接する頂点集合w(X): 頂点集合 X に含まれる頂点の重みの総和

),( Gvdw

（以後必要の無いときは G の引数は省略）

重み付き平均次数：最大次数：最大重み付き次数：平均次数：重み付き平均次数

w

d

wdW

vdw

W

vNw

W

vdwd v

wvvv

v

w

)())(()(

：頂点 v の次数)(vd

),min( wwd

● 定義

●Δ,Δw との関係

),min( wd

n

vdd v

)(

重み付きインダクティブネス

),(minmax)(

HvdwGVvGHw

：グラフ G における頂点 v の次数),( Gvd

),min( ww

● 定義

● Δ,Δw との関係

),min( w

),(minmax)(

HvdGVvGH

：インダクティブネス：重み付きインダクティブネスw

：最大次数：最大重み付き次数

w

既存の近似率重みなし

)1(6

O

log

loglogO

重み付き3

2

log

loglogO

Δ ：最大次数

Halldórsson and Radhakrishnan [1994]

　　

Vishwanathan [1996]

Halldórsson [2000]

Halldórsson and Lau [1997]

既存の近似率重み付き

log

loglogO

：インダクティブネス

Hochbaum [1983]

　 21

　Halldórsson [2000]

：重み付きインダクティブネス

　

　

21w

w

w

wwO

log

loglog

(Greedy+LP)

(Greedy+SDP)

• Input: multigraph G=(V,E) and color set C={1,2,…,k}

• Output: edge coloring π such that for any vertex v∈

V and colors i, j C∈

nearly equitable edge coloring using 3 colors

number of edges incident to v and colored with i

:),( ivd

2),(),( jvdivd

２－２．均等辺彩色問題(Nearly Equitable Edge Coloring)

Previous Results and Ｎｅｗ Results

Previous New

running time

Hilton & de Werra ’82

Nakano et al. ’95

algorithm running time

BALCOL

RANCOL

RECCOL

kmO /2

1/log knmmnO

2/12/12/3 / knmO)( 2kmO

mnkmO /2

CkVnEm ,, BALCOL: Balanced Coloring RANCOL: Random ColoringRECCOL: Recursive Coloring

X. Xie, M. Yagiura, T. Ono, T. Hirata, U. Zwick

algorithm running time

HdW’82

NSN’95

BALCOL

RANCOL

RECCOL

Comparison of Results

mnkmO /2

2kmO

1/log knmmnO

kmO /2

2/12/12/3 / knmO

nmOk ),1(

2nO

nnO log1

2/)13( nO

織機の構造

綜絖・たて糸は１本ずつ、綜絖の目に通されている。・綜絖の上昇により、上下２層に分けられたたて糸の間によこ糸が通され、織物となる。・織機に装着された綜絖枠が多いほど、複雑な模様（組織）の織物を織ることができる。

２－ 3 ．ブール行列のランク問題

織方図

wfh

：たて糸：よこ糸：綜絖枠

織方図の行列表現

W=PT

長目綜絖の導入たて糸が、２つの長目綜絖 A 、 B に通っている場合

長目綜絖の動きの論理和でたて糸が上昇するかどうかが決まる。

簡単な例普通綜絖のみ使用時 長目綜絖導入時

綜絖枠４枚以上の織機で製織できる （すべてのたて糸は

１つの綜絖の目を通る）

綜絖枠３枚の織機で製織できる（真ん中の２本のたて糸

は２つの長目綜絖の目を通る）

｛4 ｛3｛4

｛3

ブール行列 W の階数 ｒ

r ：長目綜絖を導入したときに必要な綜絖枠枚数ブール階数 r を求める問題は NP困難。

W P T

実験結果の例（１）グレーシアン織り

普通綜絖のみ使用時綜絖枠 24枚

提案アルゴリズム綜絖枠 15枚

織物の外観

織方図提案アルゴリズムにより、必要な綜絖枠枚数が減った組織の例

実験結果の例（２）三重織り

普通綜絖のみ使用時綜絖枠２０枚

提案アルゴリズム綜絖枠 12枚

織物の外観

織方図

• グラフ問題及び集合問題の近似アルゴリズムを与えた．• 重み付き次数を提案し、独立集合問題の近似アルゴリズムを解析した．• 均等辺彩色問題のランダムアルゴリズム、再帰アルゴリズムを与えた．• ブール行列のランク問題の発見的解法を織機の問題に応用した．

Ｃ０８班：活動のまとめ（平田、藤戸）

C08: 高性能近似アルゴリズムの設計法に関する研究成果報告 ( 分散班）平田 富夫 * 　†和田 幸一 ** 　藤戸 敏弘 *** 　小野 孝男 *

* 名古屋大学 大学院 情報科学研究科** 名古屋工業大学 大学院 工学研究科

*** 豊橋技術科学大学 情報工学系†　 2005年 11月から参加

研究成果 (2005年 11月～）• 無線ネットワーク関連

– クラスタに基づいた動的無線網の提案– ブロードキャスト、ゴシップなど

• 証明書分散問題– 2- 近似アルゴリズム

• 自律分散ロボット–エラーコンパスを持つロボットの 1 点集合問題

無線ネットワーク関連• (1) J.Uchida, I.A.K.M.Muzaidal, Y.Katayama, W.Chen, K.Wada, Constru

ction and maintenamce of a cluster-based architecture for sensor networks, 39th Hawaii International Conference on System Science(HICSS-39),1-10 (2006-1)

• (2) W. Chen, A.K.M.M. Islam, M. Malkani, A. Shirkhodaie, K. Wada, M. Zein-Sabatto, Novel broadcast/multicast protocols for dynamic sensor networks, 9th Workshop on Advances in Parallel and Distributed Computational Models(in 21st IEEE International Parallel and Distributed Processing Symposium)(2007-03).

• (3) J. Uchida, W. Chen, K. Wada, Acknowledged Broadcasting and Gossiping in ad hoc radio networks, Theoretical Computer Science, Vol. 37, 1-3, pp.43-54 (2007-05).

• N. Inaba, K. Wada, Efficient Initialization Algorithms on Single-hop Radio Networks, to appear in IEICE Transactions on Information and Systems.

• W. Chen, A.K.M.M. Islam, Y. Katayama, J. Uchida, K. Wada, Construction and maintenance of a novel cluster-based architecture for ad hoc sensor networks, to appear in the Journal of Ad Hoc and Sensor Wireless Networks.

ARB (Acknowledged Radio Broadcast) の可解性

• 同期型マルチホップ無線網における ARB–衝突検知機能がない場合、 ARB は非可解– →ARB が可解となるための十分条件と最適なアルゴリズムを構成 (2007-05 TCS)

証明書分散問題(1) H.Zheng, S.Omura, J.Uchida, K.Wada:An optimal certificate dispersal algorithm for mobile ad hoc networks,IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications

and Computer Sciences, E88-A, 5, 1267-1273, 2005-5(2) H.Zheng, S.Omura, K.WadaAn approximation algorithm for minimum certificate dispersal problems,

IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences, E89-A,551-558, 2006-2

自律分散ロボット(1) 山中，伊藤，片山，犬塚，和田：軸の方向に関する共有知識を持たない自律分散ロボット群に対する形状形成アルゴリズム，信学論（ Dー I） , J88-D-I, 4, 739-750,2005-4

(2) Y. Katayama, Y. Tomida, H. Imazu, N. Inuzuka, K. WadaDynamic Compass Models and Gathering Algorithms for Autonomous Mobile Robots,to appear in 14th Colloquium on Structural Information and Communication Complexity(Sirocco 2007)

ロボットの共有知識と問題の可解性

背景• 自律分散ロボット群の理論モデル理論モデル

–能力の弱いロボットモデル• 鈴木・山下らの研究• G.Prencipeらの研究（完全非同期モデル）

• 協調問題–一点集合問題–形状形成問題

協調問題の可解性についての理論研究

問題定義一点集合問題

任意の位置に配置されたロボット群を あらかじめ決められていない、ある一点 に集合させる問題一点に集合

：ロボット

ロボットモデル• ロボットは体積を持たない点として扱う• 平面上を自由に移動できる• 外見で区別できない（個別の ID も持たない）• 通信能力を持っていない

ロボットモデル• 待機、観測、計算、移動の状態を繰り返して動作

– 待機：何もしない– 観測：ロボット群の配置を観測– 計算：観測結果を用いて、目的地を計算– 移動：計算された目的地に移動　　　　（途中で止まることもありうる）

• 以前のサイクルにおける情報を記憶できない• ロボット群は完全に非同期で動作する• ロボットの視界に制限は無い

時刻待機 観測 計算 移動1サイクル

サイクル

ロボットモデル• 全てのロボットは同じアルゴリズムを実行する• ロボットは独自の直交座標系を持つ

–原点、単位距離、 x,y軸の傾き、系（右手 /左手）

• ロボットは、一つのコンパスを持つ–北の方角を指し示すデバイス–コンパス示す北と座標系の y軸の方向が一致

いつも自分のいる場所を原点とする すべて右手系

一点集合問題の既存の結果• 座標系の x,y軸が一致• 座標系の x,y軸が不一致

• 2台のロボットの場合–ロボット間でコンパスのズレが 45゜以下

•今津（’ 05）• X.Defagoら（’ 06）

一点集合できる一点集合できない

一点集合できる 一点集合できない

コンパスが一致 コンパスが不一致コンパスのモデルが統一されていない。

本研究の目的、結果• コンパスのモデルを提案

– ズレのあるコンパス　→　故障したコンパス

• 既存の結果を上回るアルゴリズムを提案– さらに大きな角度のズレをゆるす–時刻によって方向が変化してもよい

• 動的なコンパス動的なコンパス– FDC:任意の時刻で向きが変化する– SDC ：任意のサイクルで向きが変化する– FXC ：すべてのサイクルで変化しない

• 不一致なコンパス不一致なコンパス– α-相対不一致：任意の 2台間に α のズレ– α/2-絶対不一致：絶対座標に対して α/2 のズレ

• 動的なコンパス動的なコンパス– Full Dynamic Compass– Semi Dynamic Compass– Fixed Compass

故障したコンパスのモデルの定義

α/2α/2

絶対北

α

強

弱

強弱

故障したコンパスのモデル

FDC

SDC

FXC

α/2-絶対不一致 α-相対不一致

不一致なコンパス

動的なコンパ

ス

強

強

モデルの強さ

モデルの強

さ

弱

弱

2台、 α 45≦ ゜：一点集合可能

既存の結果

2台、 α 45≦ ゜：一点集合可能

今回提案するアルゴリズム

FDC

SDC

FXC

α/2-絶対不一致 α-相対不一致

不一致なコンパス

動的なコンパ

ス

強

強

モデルの強さ

モデルの強

さ

弱

弱

2台以上　：一点集合不可能絶対： α>0゜　 /　相対： α 0≧ ゜

2台、 α 45≦ ゜：一点集合可能2台、 α 60≦ ゜：一点集合可能

今津のアルゴリズムがそのまま使える

結果

FDC

SDC

FXC

α/2-絶対不一致 α-相対不一致

不一致なコンパス

動的なコンパ

ス

強

強

モデルの強さ

モデルの強

さ

弱

弱

2台、 α 45≦ ゜：一点集合可能

2台、 α 60≦ ゜：一点集合可能

2台以上　：一点集合不可能絶対： α>0゜　 /　相対： α 0≧ ゜

まとめ• 故障したコンパスのモデルを提案• 60゜ -相対不一致 FXCの一点集合アルゴリズム• FDCを持つロボット一点集合不可能性• 45゜ /2-絶対不一致 SDCの一点集合アルゴリズム

今後の課題• α-相対不一致 SDC の一点集合問題の可解性• 角度 α の限界• ロボット 3台以上のアルゴリズム