统计物理学与复杂系统 陈晓松 中国科学院理论物理研究所 兰州大学 ,2013 年 8 月

报告内容统计物理学简介相变与临界现象简介复杂系统研究的几个例子

物理学研究的对象 :

物理学研究的两个角度 :

还原论 : 探索物质的深层次结构及相互作用 分子 , 原子 , 质子 , 中子 , 夸克… .

统计物理学 : 由大量个体组成统的集体规律 超越个体特性，呈现合作、有序、聚集等行为

More is different

统计物理 : 绚丽多姿的世界 -- 我们身边的科学● 经典系统：气体、液体、固体● 量子系统：金属和半导体中的电子、光子、声子等 新物态：超导、超流、玻色凝聚、拓扑量子序 人工量子结构：相干量子器件、量子计算、量子器件● 复杂系统：生物、生态系统、网络系统、社会系统等 趋势： 有限系统、非平衡态、复杂系统

统计物理学 :

Statistical physics is the branch of physics that uses methods of probability theory and statistics, and particularly the mathematical tools for dealing with large populations and approximations, in solving physical problems. It can describe a wide variety of fields with an inherently stochastic nature. Its applications include many problems in the fields of physics, biology, chemistry, neurology, and even some social sciences, such as sociology. Its main purpose is to clarify the properties of matter in aggregate, in terms of physical laws governing atomic motion.[1]

几种聚集系统 聚集体• 是相互作用多组元的复杂体系• 具有超越个体行为的整体特征：合作、聚集

玻色爱因斯坦凝聚 纳米微观结构

冰花

社会系统的物理学

起源： T. Hobbes （ 1588-1679 ）， W. Petty ， P.S. Laplace

对 Maxwell 、 Boltzmann 等建立统计物理学产生了启发作用

Reviews of Modern Physics, 81,591(2009) “Statistical physics of social dynamics” 综述了：观点、文化、语言、集体行为、阶层形成等的动力学 总的点评：当前比较缺乏实证研究 Reviews of Modern Physics,81,1703(2009) “Statistical mechanics of money,wealth,

and income”

社会物理学的综述文章

配分函数 :

状态 q 的几率 :

统计物理的计算 :

简单系统的统计物理 个体的运动完全随机、无规 个体之间存在相互作用 如何描述这样的统计系统？

宏观量及状态方程 系统的粒子总数为 N 和体积为 V, 温度为 T

个体无规运动（微观） 压强 P （宏观） 理想气体（点粒子、无相互作用）状态方程 P V = NKBT

( P + aN2/V2 )( V - bN) = N KB T 粒子尺寸（微观） bN （宏观） 粒子间相互作用（微观） aN2/V2 （宏观）

1873 年 van der Waals 的博士论文 1910 年获诺贝尔物理学奖

van der Waals 状态方程：

气 - 液相变图 :

Van der Waals 方程的气 - 液相变 温度 T TC 气体 液体 密度跳跃变化 一级相变 温度 T = TC 临界现象 响应函数： ，无限大 “ 牵一发动全局” 气体 液体 密度连续变化 连续相变

一级相变中的亚稳态 气体 液体，过冷气体（亚稳态） 液体 气体， 过热液体（亚稳态） 亚稳态“ 1” ： 局域稳定 整体不稳定 扰动可导致相变

社会系统的相变与临界现象特征 社会变革、经济危机、股市崩溃 等 共同语言和文化的自发产生、议题共识形成等 共同特征： 微小、偶发事件可导致突变 使突变不可避免 诱发原因及突变时间偶然 发生时“牵一发动全局”

通过引入约化量

获得状态方程的标度形式

不同数据落在同一条线上

临界现象的标度性：

相变与临界现象：

4He 的相图：

相变与临界现象研究的三个里程碑： Van der Waals 理论 （平均场理论）

Onsager 二维 Ising 模型的精确解

临界现象的重正化群理论 说明：普适性，标度性

比热： C = A |T - T|-

太空实验： = - 0.01060.0004 (Lipa et al.) A/ A = 1.0440.001

理论： = - 0.0110.004 A/ A = 1.0460.002

临界现象重正化群理论的巨大成功：

还在继续发展：Critical phenomena in microgravity:

Past, present, and futureRev. Mod. Phys ： 79, 2007

It is important to note that this simple property of two-scale-factor universality is valid for isotropic systems like fluids but not for anisotropic systems with noncubic symmetry ( Chen and Dohm, 2004)

临界现象的基本特性

关联长度趋于无穷大为物理根源

临界现象的标度性和普适性自由能密度： f(t,h) = fs (t,h) + fns (t) fs ： 由涨落引起，非解析函数 fns ： 解析函数 标度性： fs(t,h) = A1 t d W ( A2h t bd )

x = x0 |t| Correlation length:

临界现象的普适性临界指数 , b,, ... 和标度函数 W 不依赖于：

重正化群理论 (K.G. Wilson, 1971) 解释和证实了标度性和普适性 RG概念在 统计物理、凝聚态物理、 粒子物理、湍流… 都具重要性 尽可能精确地检验标度性和普适性具有 非常广泛的重要性

有限系统的标度性和普适性普适 finite-size scaling: (Privman+Fisher,1984)

fs(t,h,L) = L-d Y(c1tL1/, c2hLbd/)

L: 系统的特征长度 Y: 普适 , 依赖于系统的 几何形状和边界条件 只存在两个非普适参数 c1 和 c2

临界现象的理论研究 格点模型 （ Ising, XY, Heisenberg 等） 场论模型： Landau-Ginzburg-Wilson (LGW) 场论模型

临界自由能的结构

关联函数

更精确的临界性质 高阶场论计算 重整化群理论 Borel resummation

有限系统临界现象 有限尺度标度性 (finite-size scaling) 磁化率 : (t, L) = L/ f (L/x) 函数 f 普适 1971 年 M.E. Fisher 唯象提出 基于有限模型的计算： 二维 Ising 模型 平均球模型

有限系统的场论计算 平均场 +涨落 的方法实效 均匀+非均匀涨落的微扰方法 (Brezin+Zinn-Justin 1985) 不适用　Ｔ　<　ＴＣ　　新微扰方法 (Esser, Dohm, Chen; 1995)　　　　也适用　Ｔ　<　ＴＣ　　可以处理 Goldstone 模的微扰方法 　 (Chen, Dohm, Schultka; 1996)

XY 普适类重正化群理论预言

ＸＹ普适类序参量分布函数的标度函数(Chen, Dohm, Schultka, PRL, 1996)

Heisenberg 普适类

高于上临界维数有限系统的临界现象 零模理论 : (Brezin+Zinn-Justin, 1985)

j( x ) = K jk eikx j0 : 零模

Universal ratio: j04 >/ j0

2 > 2

零模理论与 MC 模拟的偏差及 新理论 K. Binder et al. found deviations from their 5D

Ising model MC simulations (1985, 1994)

新理论 (Chen+Dohm, 1998 and 2001) basic points:

(1) lattice j4 field theory needed

(2) including inhomogeneous fluctuations

零模理论与新理论的定性差别 T TC fixed, L (T,L) - (T,):

O[e-L/x] 新理论 O[(L/ℓ(t)) -d] 零模理论

At TC 的定量差别 MC data (Binder et al.)

新理论得到一系列计算机模拟的证实(1) Cheon, Chang, Stauffer, Int. J. Mod. Phys. C10, 131 (1999)

(2) Luijten, Binder, Blöte, Eur. Phys. J. B 9, 289 (1999); Binder et al. Physica A281, 112(2000); Comput. Phys. Comm. 127, 126(2000); Phys. Rep. 344, 179 (2001).

复杂系统研究的几个例子 :

生物体宏观特性的幂律规律 城市宏观特性的幂律规律 网络系统的相变与临界现象

发表于 1997 年 Science ，被引1119 次

发表于 2007 年 PNAS ，被引 29次

在生物体发现的标度规律在城市中同样使用！

网络系统：由大量格点 (nodes) 和边 (edges) 构成

一些例子： random, lattice, scale free, small world, ……

有 “ N” 个分离的格点 (nodes)

“m” 个边 (edges) 被加入 ( 不同方式 ) “m” 小的时候 : 仅存在小的团簇 “m” 足够大 : 最大团簇 / N 有限 出现聚集的新相 浸润相变网络相变与临界现象的综述 : Rev. Mod. Phys. 80, 1275 (2008)

网络的浸润相变：

随机网络的连续相变：

Achilioptas 过程：随机选取 2 个边，选取团簇大小乘积较小的边

AP 随机网络的相变：

First-order phase transition

广义 AP 随机网络的相变：广义 Achilioptas 过程：随机选取 2 个边， 以概率 p选取团簇大小乘积较小的边

广义 AP 随机网络的相变是连续的，普适类与 p 有关

网络及复杂系统的研究方兴未艾

复杂性与网络系统 :Nature Physics ， Vol.8, 2012

复杂系统与网络系统新趋势：

同时深入研究实证模型启发的基本问题

中国地级以上城市经济特性的定性研究：Cobb-Douglas 生产函数 Q = A Lα Kβ

Q: 总生产； L: 劳力投入； K: 资本投入； A: 总生产率

Q ： GDP

L ：就业人数K ：投资

GDP 与就业人数的超线性关系：

投资与就业人数的超线性关系：

GDP 与投资的关系：

大城市工资远高于小城市

工资与就业人数的超线性关系：

GDP-就业人数：黑色；投资 -就业人数：蓝色；GDP-投资：红色

依赖关系随时间的演化：

效率随时间的演化：

总结

2 ）复杂系统研究变得越来越重要、必须

1) 统计物理学：既古老，同时在快速发展 涉及自然界、社会系统等广泛领域 趋势：有限，非平衡，复杂系统

物理学家要更加参与

总结3) 统计物理学与复杂系统的研究 应重视：基于现存数据建立模型进行研究 计算模拟计算

谢谢大家！