數學教材教法數學教材教法〈〈最大公因數最大公因數 && 最小公倍數最小公倍數〉〉

•因數與倍數•最大公因數•互質•最小公倍數

教學結構

因數甲數能被乙數整除時，乙數就是甲數的因數。 若 a = b x c ，則 b 、 c 為 a 的因數。

6 有哪些因數呢 ? 6=3 x2 ，則 3 、 2 為 6 的因數。

＊大於 1 的任何整數其因數中，最小的是 1 ，最大的是它本數。

＊ 1 是任何整數的因數，也是任何幾個整數的公因數。

倍數甲數能被乙數整除時，甲數就是乙數的倍數。 若 a = b x c ，則稱 a 為 b 、 c 的倍數。

6 x 1 = 6 ； 6 x 2 = 12 ； 6 x 3 =18 6x 4 = 24 ； 6 x 5 = 30 ；……………

＊ 0 不是任何自然數的倍數。＊任何整數的倍數中，最小的是本數，最大的是無限大。

質數、質因數與互質質數：一個正整數如果只有 1 和自己兩個因數，我們叫它「質數」 。 Ex： 11、 17。

＊ 0 和 1 不是質數，所以 0 和１不是任何整數的質因數。＊質數都是 6 的倍數加或減 1 的數目， 除了 2 和 3 之外。＊質數中，只有 2 是偶數，其餘都是奇數。

質因數：一個質數如果是某一個整數的因數，它是該整數的「質因數」。2 是質數也是 20的因數，所以 2 是 20的質因數。

合數： 一個正整數如果除了 1 和自己兩個因數以外，還有其它的因數，我們叫它「合數」， ex： 4 。

• 當二個數的公因數只有１時，我們便稱這二個數互質。 ( 二個質數一定會互質。 )

求 14和 9 的最大公因數。 14的因數有： 1, 2, 7, 14 9 的因數有： 1, 3, 9

所以 14和 9 的公因數只有 1 即我們稱 14和 9 互質

公因數 & 最大公因數公因數： 如果一個整數同時是某幾個整數的因數，則這個整數叫做這幾個整數的公因數。

20 的因數有 1, 2, 4, 5, 10, 20 16 的因數有 1, 2, 4, 8, 16 則 20 與 16 的公因數為 1, 2, 4

最大公因數： 幾個整數的正公因數中最大的一個叫做它們的最大公因數。

20 的因數有 1, 2, 4, 5, 10, 20 16 的因數有 1, 2, 4, 8, 16 則 20 與 16 的最大公因數為 4

最大公因數求法求最大公因數有四種求法：

(1)排列法(2)短除法(3)質因數分解法(4)輾轉相除法

最大公因數求法 - 排列法排列法：比較適合初學者使用，國小教材中就是使用此一方法。

求 12和 8 的公因數？ 1 ， 2 ， 4

12的因數 : 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 6 ， 12 8 的因數 : 1 ， 2 ， 4 ， 8

最大公因數的寫法： (8, 12) = 4

最大公因數求法 - 短除法• 短除法：最常被使用的方法。

求 24 和 20 的最大公因數。 2 24 ， 20 2 12 ， 10 6 ， 5

24 和 20 的最大公因數： 2 x 2 = 4( 把求出來的左邊各數相乘，就可以得到最大公因

數。 )

最大公因數求法－質因數分解法質因數分解法：先將每個數個別做質因數之分解，並列為標準式。

求 12 和 8 的最大公因數？ 8=2x2x2 12=2x2x3

最大公因數： 2x2=4

最大公因數求法－輾轉相除法• 輾轉相除法： 適合處理數字比較大的數

以輾轉相除法求出 1280 ， 1620的最大公因數？

最大公因數： 20

公倍數與最小公倍數• 一個數是幾個數的共同倍數，這個數叫做它們的「公倍數」

• 在幾個整數的所有正公倍數中，最小的一個叫做這幾個整數的『最小公倍數』。

求 3 和 4 的最小公倍數？ 3 的倍數： 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,… 4 的倍數： 4, 8, 12, 16, 20, 24,… 最小公倍數的寫法： [ 3, 4 ] = 12

最小公倍數的兩種求法排列法短除法

最小公倍數求法 - 排列法

排列法：先將公倍數一一列出，然後再從中找出最小的公倍數。

求 12 和 8 的最小公倍數？ 12 的倍數有 : 12 ， 24 ， 36 ， 48 ， 60… 8 的倍數有 : 8 ， 16 ， 24 ， 36 ， 40… 最小公倍數是 24

最小公倍數求法 - 短除法• 短除法：最小公倍數，需要將下方所有的數也一起乘起來。

求 8 與 12的最小公倍數。

最小公倍數 : 2x2x2x3=24

最大公因數

18

開同樂會，有糖果 137 個，餅乾 265 個，想平均分給小朋友。結果糖果不夠 3 個，餅乾餘 5 個，問：小朋友最多有多少人？

不夠要再加進去，多餘就減掉 137 ＋ 3 = 140 　 265 － 5 = 260

2 x 2 x 5 = 20( 人 )

公倍數與最小公倍數 例題 : 阿融每 10天到公園跑步一次，小嵐每 4天到公園跑步一次。某天兩人都到公園跑步，那麼最少要再幾天，兩人才會再度在同一天到公園跑步？

策略：1.所經天數是 10 的倍數，也是 4 的倍數，求最少要再幾天兩人才會再度在同一天到公園跑步，即是求 10 與 4 的最小公倍數。

2.因此 , 一個整數甲同時為某 n 個整數的倍數時 , 我們就稱甲是這 n 個整數的公倍數。

3.公倍數中最小的一個稱為這 n 個整數的最小公倍數 。

質數與合數 將一支啦啦隊隊伍排成各種不同的長方隊形：如果啦啦隊有 18 人，那麼可以有幾種排法？

因為 18＝ 1×18 (或 18×1) 18＝ 2×9 (或 9×2) 18＝ 3×6 (或 6×3) 　　 →所以 可以有 3 種排法

質數 :那如果啦啦隊有 17 人，可以有幾種排法？　　

因為 17＝ 1×17 (或 17×1)，所以 只有 1 種排法。 如果是 19 人呢？ 因為 19＝ 1×19 (或 19×1)，所以只有 1 種排法。　　

因為 17 和 19 的因數都只有 1 和自己本身，所以都只有一 種排法。