Неопределенный интеграл.

§1 Первообразная функция.Понятие неопределенного интеграла.

Определение: Первообразной функцией для данной функции f(x) на данном промежутке называется такая функция F(x), произведение которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx на этом промежутке.

Определение: Если на некотором промежутке выполняется равенство F’(x)=f(x), то функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на этом промежутке.

1 для функции f(x)=Cosx F(x)=Sinx т.к. (Sinx)’=Cosx2 для функции f(x)=Cosx F(x)=Sinx+1000 т.к. (Sinx+1000)’=Cosx3 для функции f(x)= F(x)=Arctgx т.к. (tgx)’=

21

1

x

1

12 x

Теорема: Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на некотором промежутке, отличаются друг от друга на этом промежутке на постоянное слагаемое.

Доказательство: - некоторая функция и - первообразные т.е.

)(xf)(1 xF )(2 xF

CFFFFfFfF 212121 ''';'

Следствие: Прибавляя к какой-нибудь первообразной

F(x) для данной функции f(x), определенной на [a;b], все возможные const C, мы получим все первообразные для функции f(x).

Определение: Выражение F(x)+C является общим выражением для всех первообразных заданной непрерывной функции f(x).

Определение: Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) (или от дифференциального выражения f(x)dx) и обозначается символом

,где dxxf )(

CxFdxxf )()(

)()(' xfxF

Определение: Функция f(x) называется подынтегральной функцией.

f(x)dx называется подынтегральным выражением.

Правило: Найти неопределенный интеграл значит найти такую функцию, F(x)

производная, которой была бы равна f(x) и к ответу прибавить const C.

Ищем такую функцию F(x), дифференциал которой совпадет с подынтегральным выражением.

dxxf )(

)()(')( xdFdxxFdxxf

§2 Свойства неопределенного интеграла.

12345

dxxgdxxfdxxgxf

dxxfAdxxAf

CxFxdF

dxxfdxxfd

xfdxxf

)()())()((

)()(

)()(

)())((

)()')((

Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента.

Пусть x - независимая переменная, y=f(x) - некоторая непрерывная функция на

данном промежутке и F(x) ее первообразная.

- непрерывно дифференцируемая функция(и и непрерывны).

CxFdxxfxfxF )()()()('

)(xu '

Рассмотрим Следовательно функция является

первообразной для подынтегральной функции .

Доказательство:В силу независимости дифференциала 1-го

порядка

dxuufduxf ')()(

))(()( xFuf

')( uuf

,)()(')()()(

')()(')( CuFduufuufdx

du

du

udF

dx

udfuufduufudF

ãäå )()(' ufuF

§3 Общая таблица простейших интегралов.

Cedue

Ca

adua

Cuduu

duu

Cn

uduu

uu

uu

nn

ln

ln11

1

1

1n

4

3

2

1

Carctguu

du

CctguuSin

du

CtguuCos

du

CSinuduCosu

CCosuduSinu

2

2

2

19

8

7

6

5

Ckuuku

du

Cua

ua

aua

du

Ca

uarcCosC

a

uarcSin

ua

du

CarcCosuCarcSinuu

du

Ca

uarctgaua

du

2

2

22

22

2

22

ln

ln2

1

1

1

14

13

12

11

10

Полезные свойства, применяемые при вычислении интегралов.

adkxk

dx

axddx

dkxdx

1

)(2

1

3

2

1

§4 Метод интегрирования.п.1 Метод разложения .

Метод основан на свойствах неопределенного интеграла.

Cx

SinxarctgxdxxCosxdxx

dx

dxxCosxdxdxx

dxxCosxx

3

2636

13

61

36

1

3

23

2

1

2

22

п.2 Метод подстановки, метод выделения новой переменной.

Пусть функция непрерывна на промежутке , а функция непрерывна на причем

Тогда, учитывая, что неопределенный интеграл

записывается в виде:

)(xf

.)('))(()( dtttfdxxf

ba; )(' xx ; ,)( a .)( b

dttdx )('

dxxf )(

п.3 Метод интеграла по частям.

- дифференциалы на некотором промежутке функции.

Тогда

Проинтегрировали обе части равенства по переменной х. Это можно сделать, т.к. функции и зависят от х.

),(xuu )(xvv

vduuvdudv

udvvduuvd

)(

)(

u v

- формула интегрирования по частям.

vduuvdudv )(

vduuvudv

dxvuuvdxxuv ')('

§5 Классы интегрируемых функций.п.1 Функции интегрируемые по частям.

По частям находят три вида интегралов.а) интеграл вида:

- многочлен n-ой степени причем формула

интегрирования по частям применяется столько раз, какова степень многочлена.

В этом случае за функцию u берется многочлен, а за dv берем все остальное.

d

tg

e

xP

kx

kx

kx

kx

n

cos

sin)(

nP

б)

Интеграл находят по частям причем за u берут обратную функцию

Функцию интегрируем столько раз, какова степень обратной функции.

dx

arctgkx

kx

kx

x

xPn

arccos

arcsin

)ln(

)(

arctgkx

kx

kx

x

uarccos

arcsin

ln

)(xdxPdv n

в) Смешанный тип:

Такого рода интеграла формула интегрирования по частям применяется дважды, в результате получаем уравнение относительно искомого интеграла u решение уравнения, находим ответ.

dxx

dxx

tgtxdxe

txdxe

kx

kx

)cos(ln

)sin(ln

sin

п.2 Интегрирование рациональных дробей.

Определение: Дробь вида , где и n=m многочлен соответствующая

степень n и m наз. рациональной дробью.Определение: Если n m, дробь называется

неправильной.Если n m дробь называется правильной.При интегрирование рациональных дробей,

если дробь неправильная выделяют целую часть дроби и правильную дробь.

)(

)(

xQ

xP

m

n

)(xPn ),(xQm

Интегралы от правильных дробей.

Cakx

kA

akx

kxd

kA

akx

dxAdx

akx

A

ln1)(1

)á

)a

2

22

22

2

2

22

222

222

22

;0

)(;0

)(

0

2

21

42

1

2222

1

2)(1

u

duk

vku

duk

vku

du

k

kab

x

ab

xd

aA

a

b

a

c

a

bx

dx

aA

ac

ab

ab

ab

xx

dx

aA

eddede

a

cxa

bx

dx

aA

cbxax

Adx

)â

ku

dulat

dtm

a

ku

dulat

dtma

dtudu

ududt

tku

ku

dulaku

mudu

a

dukuku

mu

aduku

kmu

adu

ku

nabm

mu

a

duku

nab

um

adudxa

bux

a

bxu

ab

ac

ab

x

dxnmx

a

ab

ab

ab

ab

xx

dxnmx

aac

xab

x

nmx

acbxax

dxnmx

2

2

2

22

2222

2

2

22

2222

2

1

2

1

121

2

211

11121

21

2

2

42

)(1

2222

)(1)(1)(

п.3 Дроби раскладываемые на сумму дробей.

Для разложения дробей на простейшие применим метод неопределенного коэффициента .

В общем случае дроби на простейшие получается по формуле:

tSxx

NM

tSxx

NM

tSxx

NM

qpxx

D

qpxx

DC

qpxx

DC

x

B

x

B

x

B

x

A

x

A

x

A

tSxxqpxxxx

xP

xxx

xxx

m

2122

211

2

3

1222

211

21

2

2

2

1

11

1

2

1

1

2221

44

44

3

33

2

22

1

11

43

)()(

)()(

)()(

)()(

)()()()(

)(

Приводя дроби правой части равенства к общему знаменателю получаем разные дроби с одинаковыми знаменателями, следовательно можно приравнять друг к другу числители – многочлены.

Многочлены равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

При одинаковых степенях х получим систему m+1 уравнение с m+1 неизвестными, которая всегда совместна и имеет единое решение.

Решить систему, найдем значения коэф. стоящих в числителе в правой части разложения – в этом заключается метод неопределенного коэффициента.

1! Метод применяется для правильных дробей.Если дробь неправильная, то в дроби

выделяется сначала целая часть.2! Если многочлены равны, то равны значения

многочленов при одних и тех же значения х.Приравнивая х (удачному) значению получим

более простую систему уравнений для определения коэф. разложения.

п.4 Интегрирование простейших иррациональностей.

а) Если подынтегральная функция содержит , то производят замену ,

выражая находят тем самым приводят заданный интеграл к интегралу от рациональной дроби.

б) Интеграл вида находят выделением под корнем полного квадрата, и если , то данный интеграл является табличным – №14, а если , то табличный интеграл вида

n bax ntbax x dx

cbxax

Adx2

0a

0a .arcsin x

в) Если подынтегральная функция являлось рациональной функцией от ,

то делают замену вычислить и в общем случае интеграл приводить к интегралу от рациональной дроби.

bskn xxxx ...;;)...,,( lskníîêtx dx

п.5 Интегрирование тригонометрических функций.

а) Если одно из чисел m или n четное, а другое

не четное , то если m четное, то делаем замену , а выражаем через

Если n четное, то заменаЕсли m и n четные, то применяют формулы степени, а именно

xdxx ncossin 2

tx sin xcos .sin x

.cos tx

.2

2cos1cos;

2

2cos1sin 22 x

xx

x

Если m и n нечетные и n=m, то используют формулу двойного угла:

Интеграл вида:

Находят, применяя формулы выражения произведения тригонометрических функций к сумме.

xxx cossin22sin

nxdxmx

nxdxmx

nxdxmx

coscos

cossin

sinsin

§6 Теорема Коши.Понятие о «неберущихся» интегралов.

Теорема: Всякая непрерывная функция имеет первообразную (от всякой непрерывной функции существует неопределенный интеграл).

Например: по теореме Коши, т.к. ф-ия при и непрерывна.

CxFx

dx )('

ln xln

1

0x 1x

С другой стороны никакими известными способами не удается выразить F(x) в виде элементарной функции (т.е. в виде конечного числа основных элементарных функций или конечного числа сложной функции).

В этом случаи интеграл такого рода называется «неберущимся».

Ответ есть и он выражается через бесконечное число элементарных функций.

К «неберущимся» интегралам относятся следующие интегралы:

x

dx

xdxCosx

xdxSinx

ln

ln

ln

dxx

Cosx

dxe

dxe

x

x

2

2

dxx

Sinx