روشهای حل معادالت کان - شم

انتخاب پایه مناسب برای بسط تابع موج :امواج تخت برای پتانسیلهای ضعیف•مدل بستگی قوی برای پتانسیلهای قوی مثل الکترونهای مغزه•

رفتار بسیاری از الکترونهای واالنس توسط هیچ یک از دو مدل قابل توصیف نیست.

Augmented Plane Wave (APW)

روش امواج تخت بهبودیافته

.را پیشنهاد کرد APW روش1937اسلیتر در سال •

در این روش کل بلور به دو ناحیه تقسیم می شود:•

ناحیه بین جایگاهی1.

ناحیه درون کره ها2.

برای هر ناحیه پتانسیل و تابع پایه جداگانه در نظر گرفته می •شود.

2

21

ناحیه بین جایگاهی

پتانسیل موفین تین ثابت، و توابع پایه به صورت موج •تخت در نظرگرفته می شوند:

Φ(Kn,r) = 1/Ω eikn.r

Ωحجم یاخته = Kn برداری در کل فضای وارون =

کرات موفین تین

درون کره ها پتانسیل کروی، و توابع پایه به صورت زیر نوشته •:می شود

Φ(Kn,r) = Σ Σ Alm(Kn) ul(r,E) Ylm(r)

ul(r,E) جواب معادله شرودینگر شعاعی به ازای انرژیE در پتانسیل داخلی درون کرات موفین تین است.

بر روی Φ(Kn,r)طوری انتخاب می شوند که توابع پایه Almضرایب کره های موفین تین پیوسته باشند.

l=0 m=-1

l

برای اعمال شرط پیوستگی ابتدا موج تخت را برحسب هارمونیکهای کروی بسط می دهیم سپس دو پایه موج را بر

روی سطح کره موفین تین مساو ی قرار می دهیم :

4π Σ il jl(KnR) Ψ*(Kn) Ψ(R) = Σ Alm(Kn) ul(R,E) Ψlm(R)

Alm(Kn) = 4π il jl(KnR) Ψ*(Kn) ul(R,E)

lm lm

در این روش ما با یک مساله ویژه مقداری غیرخطی روبرو •هستیم، که جواب آن با یک مرحله خطی سازی به دست نمی آید

به ازای مقادیر مختلف انرژی |Hij – Oij E|بلکه باید مقدار دترمینان E محاسبه شده و مقادیری از انرژی که به ازای آنها دترمینان صفر

می شود تعیین شوند.

مجاز و در هر یک از نوارها تکرار می Kاین محاسبات به ازای هر •

.شوند زیاد است.APW بنابراین حجم محاسبات در روش

ویژه مقادیر انرژی

E

دترمینان |Hij – Oij E|

در مورد مقادیری از انرژی که به ازای آن مقدار APWدر روش ul(R,E) بر روی سطح کره موفین تین صفر می شود، مشکل

مجانبی وجود دارد. یعنی اگر بخواهیم شرط پیوستگی را اعمال نامحدود می شود. Almکنیم

عمال در این حالت نمی توان شرط پیوستگی را اعمال •کرد و در نتیجه دو نوع پایه از یکدیگر مستقل می شوند

و این یک نارسایی است.

در حوالی نقطه Almهمچنین به دلیل تغییرات زیاد •

تغییرات دترمینان هم زیاد بوده و انجام مجانب محاسبات مشکل است.

Linearized Augmented Plane Wave (LAPW)

روش امواج تخت بهبودیافته خطی

، این روش توسط اندرسون و APWبرای حل مشکالت روش •دیگران پیشنهاد شد.

توابع پایه در ناحیه بین جایگاهی در این روش همان امواج تخت •هستند.

درون کره های موفین تین توابع پایه به صورت زیر انتخاب می •شوند:

Φ(Kn,r) = Σ Σ [ Alm(Kn) ul(r,El) _ Blm(Kn) u0l(r,El) ] Ψlm(r)

u0l(r,El) = ∂u0

l(r,El) ∂E│E=E1 که درآن

ویژه Elانرژی دیگر لزومی ندارد LAPWدر روش مقدار دقیق انرژی کان شم باشد بلکه مقدار

ثابتی است که اگر درست انتخاب شود به نتایج دقیقی منجر خواهد شد.

m=-1

l

l=0

بستگی دارند از Knکه هر دو به Blmو Almضرایب •مساوی قرار دادن توابع پایه و شیب آنها در سطح کره

موفین تین حاصل می شوند.

نیز به rعالوه بر توابع پایه، مشتق آنها نسبت به LAPWدر روش پیوسته هستند.r = RMTازای

به دست می آیند به گونه Blm و Almعباراتی که در این روش برای ای است که دیگر مشکل مجانبی بروز نمی کند.

ویژه مقدار انرژی کان شم نیست با یک El چون دیگر•مساله ویژه مقداری خطی روبرو هستیم و جواب تنها با

یک مرحله قطری سازی به دست می آید.

به روش ویگنر سایتسElانتخاب

ul(r,E) در مبدا منظم است

و با تغییر انرژی نیز تغییر می کند.

ul(r,E)

rRMT

E1

E2

El

•El را طوری انتخاب می کنیم کهul(R,El) = 0 و E2 را مقداری u΄l(R,E2) = ∂ ul(r,E) / ∂R │R=0انتخاب می کنیم که به ازای آن

باشد.

در نظر E2و E1 میانگین را Elدر روش تجربی ویگنر سایتس •

.می گیرند

ul(R,El)نمودار چگالی حالت توزیع •

بر حسب انرژی به صورت زیر می باشد.

DOS

EE1 E2El

• E1 انرژی ته نوار است و به حالت پیوندی مربوط می شود که کم انرژی ترین الکترون را مشخص می کند.

• E2 انرژی باالی نوار است و به حالت ضدپیوندی مربوط میشود که پرانرژی ترین الکترون را مشخص می کند.

•ul(r,E1) در مرز کره موفین تین صفر می شود و این عالمت

در مرز کره موفین تین ul(r,E2)حالت ضدپیوندی است ولی مقدار قابل توجهی است که این عالمت حالت پیوندی است.

را جستجو می Eبنابراین در روش ویگنرسایتس مقادیری از صفر شود و سپس u΄l(R,E) و ul(R,E)کنیم که به ازا ی آنها

در نظر می گیریم.Elمیانگین عددی این دو مقدار را به عنوان

در حاالت خاصی که نتوانیم مقادیری از انرژی را پیدا کنیم که • صفر شوند :u΄l(R,E) و ul(R,E)به ازا ی آنها

را s,p,d,fابتدا چگالی حالتهای مربوط به هر یک از اربیتالهای محاسبه و رسم می کنیم و سپس در هر یک از نوارها که

ویژگی یک اربیتال خاص را دارند را به گونه ای انتخاب می کنیم که سطح زیر منحنی در دو طرف آن تراز انرژی در آن

نوار یکسان باشد.DOS

E

s p

Full Potential Linearized Augmented Plane Wave (FP-LAPW)

روش امواج تخت بهبودیافته خطی با پتانسیل کامل

در این روش پتانسیل وارد بر الکترون را در کلیترین حالت در نظر می گیریم.

پتانسیل در ناحیه بین جایگاهی بسط فوریه داده می شود و در درون کره بسط داده می )YLM(های موفین تین بر حسب هارمونیکهای بلوری

)Ylm(شود. )برای ساختن هارمونیکهای بلوری هارمونیکهای کروی وتقارن نقطه ای بلور با یکدیگر تلفیق شده اند.(

Σ V(G) exp (i G.r) درون جایگاهی

V(r) =

Σ VLM (r) YLM (r) درون کرات موفین تین

باعث می شود به فضای کمتری برای ذخیره Ylm به جای YLMبه کار بردن سازی داده ها نیاز داشته باشیم و در نتیجه سرعت محاسبات باال می

رود.

LM

G=0

Gmax

تا مرحله ساختن توابع پایه و FP-LAPWمحاسبات در روش •ترکیب آنها برای ساختن توابع موج کان شم دقیقا مشابه روش

LAPW .است

ساخته شد برای محاسبه انرژی ا Ψk = Σ Ckn Φknپس از آنکه • پتانسیل کامل را قرار می Cknلکترون جهت پیدا کردن ضرایب

E</δ>دهیم نه پتانسیل موفین تین را و سپس اصل وردش Ckn δ .را اعمال می کنیم

Augmented Plane Wave with Local Orbitals (APW+lo)

روش امواج تخت بهبودیافته به همراه اربیتالهای موضعی

بهترین روش LAPW اخیرا سینگ و دیگران نشان داده اند که•نمی باشد بلکه با روش دیگری می APWبرای خطی کردن

را با حفظ دقت و سرعت بیشتر خطی کرد.APWتوان

توابع پایه درون کره موفین تین به صورت lAPW+l0در روش •زیر در نظر گرفته می شوند:

Φkn = Σ [ Alm,kn ul(r,El) Ylm(r) ]

Φkn مشابه تابع پایه در روشAPW است با این تفاوت که در اینجا El.یک انرژی ثابت است

L,m

عالوه براین در همین نواحی داخل کره موفین تین پایه هایی به •صورت اربیتالهای موضعی به شکل زیر در نظر گرفته می شود:Φlo

lm = [ Alm ul(r,El,l) + Blm u0l(r,El,l) ] Ylm(r)

)این تابع پایه از آن رو موضعی نامیده می شود که در خارج کره گسترش ندارد.(

Φloاز روی شرط نرمالیزه بودن Blm و Almضرایب •lm و صفربودن

مقدار آن در سطح کره به دست می آیند.

نشان داده شده است که برای انجام محاسبات با دقت یکسان •Rkmax موردنیاز در روشAPW+lo به اندازه یک کمتر از مقدار

است.LAPW نظیر در روش