Триъгълник вписан в Триъгълник вписан в триъгълниктриъгълник

Емил Янков СтояновЕмил Янков Стоянов

ПМГПМГ ,, ,,Екзарх Антим Екзарх Антим I”I” –– гр. гр. ВидинВидин

първа първа срещасреща

СЪДЪРЖАНИЕ:СЪДЪРЖАНИЕ:

Запознаване с конфигурациятаЗапознаване с конфигурацията По-специални вписани триъгълнициПо-специални вписани триъгълници Общи свойстваОбщи свойства

Ако M∈ AB, N∈ BC а P∈ CA,

то триъгълникът MNP нари-

чаме вписан в триъгълника

ABC.

Определение за Определение за триъгълник, вписан в триъгълник, вписан в триъгълниктриъгълник

По-специални вписани триъгълници

G

Ако отсечките AN, BP и CM

се пресичат в една точка, то

те се наричат чевиани в триъ-

гълника ABC, а...

По-специални вписани триъгълници

триъгълникът MNP

G

наричаме триъгълник

с върхове петите на

чевианите през точка G.

По-специални вписани триъгълници

Ако GM, GN и GP са съот-

ветно перпендикулярни на

страните AB, BC и CA на Δ ABC,

то...

По-специални вписани триъгълници

триъгълникът MNP

наричаме педален

триъгълник за т. G.

Общи свойства на вписаните триъгълници

Свойство 1:

Поне едно от лицата на

триъгълниците AMP, BNM

и CPN не надминава лице-

то на триъгълника MNP.

Общи свойства на вписаните триъгълници

Свойство 2:

Поне един от периметрите на

триъгълниците AMP, BNM

и CPN не надминава периме-

търа на триъгълника MNP.

Общи свойства на вписаните триъгълници

Свойство 3:

Поне едно от лицата на

триъгълниците AMP, BNM

и CPN не надминава

от лицето на ∆MNP.41

Общи свойства на вписаните триъгълници

.ΔABCΔMNP S41S

Лесно се доказва, че ако

M, N и P са съответно

средите на страните AB,

BC и CA на ∆ABC, то

Общи свойства на вписаните триъгълници

Свойство 4:

Ако точките M, N и P

“ тръгнат “ в една и съ-

ща посока по страните

на ∆ ABC, то

.41

ABCMNP SS

Общи свойства на Общи свойства на вписаните триъгълницивписаните триъгълници

Свойство 5:

Ако две от средите M, N

и P тръгнат в различни

посоки ( в случая N и P ),

то

.41

ABCMNP SS

Общи свойства на вписаните триъгълници

Свойство 6:

Ако MNP е триъгълник

с върхове петите на че-

вианите през точка G,

то съществува точка S

Общи свойства на вписаните триъгълници

от триъгълника ABC та-

кава, че четириъгълни-

кът с върхове M, N, P и S

е успоредник. (Е. Стоянов)

Общи свойства на вписаните триъгълници

Казано с други думи:

Триъгълника MNP мо-

жем да допълним с чет-

върти връх до успоред-

ник, който е разположен

изцяло в ∆ABC.

Общи свойства на Общи свойства на вписаните триъгълницивписаните триъгълници

Свойство 7:

Аналогично на предишното

свойство педалният триъгъ-

лник за точката G можем да

допълним с точка S до успо-

редник, разположен изцяло

в ∆ABC. (Е. Стоянов)

Това беше всичко, приятели!!!

Ще се срещнем отново с впи-

саните триъгълници за да до-

кажем свойствата с които се

Запознахме!

Надявм се да не ги забрави-

те дотогава!!!