Стохастическое программирование
DESCRIPTION
Стохастическое программирование. выполнили Шпарик Анна Кутас Юлия. Стохастическое программирование. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Стохастическое программирование
выполнилиШпарик АннаКутас Юлия
Стохастическое программирование
Стохастическое программирование — раздел математического программирования, совокупность методов решения оптимизационных задач вероятностного характера. Это означает, что, либо параметры ограничений (условий) задачи, либо параметры целевой функции, либо и те и другие являются случайными величинами (содержат случайные компоненты).
В задаче линейного программирования:
(1.1)
).,...,1(
),,...,1(
,max(min)
1
1
njDxd
mibxa
xcL
jjj
n
jijij
n
jjj
• Стохастическая постановка целевой функции может быть двух видов: М-постановка и Р-постановка.
• При М-постановке случайная величина заменяется ее математическим ожиданием и задача сводится к оптимизации детерминированной целевой функции:
(1.2)
• где сj — математическое ожидание случайной величины сj.
j
jj xcL ,max(min)
При Р-постановке целевая функция будет иметь вид:
• при максимизации целевой функции:
(1.3)
• при минимизации целевой функции:
(1.4)
jjj rxcPLmax
jjj rxcPLmax
Наиболее распространены СТП-постановки в вероятностных ограничениях вида:
(1.5)
)(,)(,
)(,)(,
1
1
гaвa
bxaP
бaaa
bxaP
i
in
jijij
i
in
jijij
Так, ограничение (а) означает, что вероятность соблюдения неравенства
1.6
должна быть не меньше, чем ai. Аналогичный
смысл и других ограничений.
n
jijij bxa
1
Для случая, когда вероятностные ограничения представлены в виде типа (а), задачу СТП можно записать при М-постановке:
(1.7)
).,...,1(
),,...,1(
,max(min)
1
njDxd
miabxaP
xcL
jjj
i
n
jijij
jjj
При Р-постановке:• в случае максимизации целевой функции
1.8
• в случае минимизации целевой функции
1.9
).,...,1(
),,...,1(
,max(min)
1
1
njDxd
miabxaP
rxcPL
jjj
i
n
jijij
n
jjj
).,...,1(
),...,1(
,max
1
njDxd
miabxaP
rxcPL
jjj
i
n
jijij
jjj
Детерминированная постановка задач стохастического программирования
• Процесс решения задачи СП разделяется на два этапа:• Предварительный этап (более трудоемкий). Формируются решающие правила, связывающие решение с заданными
статистическими характеристиками случайных параметров условий задачи.
Этап не требует знания конкретных значений параметров целевой функции и ограничений.
Построение решающих правил требует информации о структуре задачи и о статистических характеристиках случайных исходных данных.
• На основном этапе решающие правила используются для оперативного решения задачи.
• Второй этап называют оперативным этапом анализа стохастической модели.
Для решения задачи стохастического программирования в Р-постановке и с вероятностными ограничениями переходят к детерминированному эквиваленту.
Для целевой функции детерминированный эквивалент имеет вид:
• при минимизации целевой функции
2.1,min
1
22
1
n
jjj
n
jjj
x
rxcL
• при максимизации целевой функции
2.2
где σ2j — дисперсия случайной величины сj Решение таких задач затруднительно, поэтому далее рассматриваем целевая функция только в М- постановке.
,max
1
22
1
n
jjj
n
jjj
x
xcrL
Детерминированный эквивалент вероятностного ограничения типа (а)
2.3
• может быть сведен к виду:
2.4
i
n
jijij abxaP
1
,1 1
222
n
ji
n
jijijajij bxtxa
i
где ai j , bi — математические ожидания; , σ i j 2 , ө i 2 — дисперсии случайных величин aij , bi ; ta = Ф*-1(ai) — обратная функция нормального распределения при функции распределения:
2.5
где ai — заданный уровень вероятности
t tdtetФ ,
21)( 2
2
Детерминированный эквивалент задачи СТП в М-по- становке имеет вид
2.6
).,...,1(
),,...,1(,
,max(min)
1 1
222
1
njDxd
mibxtxa
xcL
jjj
n
ji
n
jijijajij
n
jjj
i
Каждое 1-е ограничение в детерминированном эквиваленте (2.6) отличается от аналогичного ограничения задачи линейного программирования следующим:
2.7
• от детерминированных значений aij, bi выполнен переход к математическим ожиданиям случайных величин aij, bi;
• появился дополнительный член ( ζ )
который учитывает все вероятностные факторы: закон распределения с помощью ta; заданный уровень вероятности ai ; дисперсии случайных величин aij равные σ ij 2; дисперсии случайных величин bi равные ө i 2.
n
jijij bxa
1
,1
222
n
jijijai xt
i
Решение задач СТП
Детерминированный эквивалент задачи стохастического программирования в М-постановке включает ограничения, которые являются нееепарабельными функциями. Обозначим
3.1
jijiji xT 222
тогда задачу стохастического программирования можно записать в сепарабельной форме:
3.2 где
),,...,1(),...,1(
)(
),,...,1(,
,max(min)
1
2222
1
1
miTTTnjDxd
xT
mibTtxa
xcL
iii
jjj
n
jijiji
n
jiiajij
n
jjj
i
,222 j
ijiji xT ,222 j
ijiji xT
• Эта задача является сепарабельной задачей нелинейного программирования и может быть решена с помощью стандартных программных средств.
• Функция F(x1, х2, хп) называется сепарабельной, если она может быть представлена в виде суммы функций, каждая из которых является функцией одной переменной, т. е. если
j
ii xf )() x,õ F(x n21
Заключение
• Таким образом можно сказать что стохастические модели, при выборе решений в сложных ситуациях, более адекватны реальным явлениям и процессам, чем детерминированные.
• В практических задачах приходится выбирать решения в условиях недостатка информации об исходных данных.