エンタングルメント・エントロピーと 重力エントロピーの双対性

高柳　匡 ( 京都大学理学部 )

研究会「超弦理論と宇宙」 2008

文献

　 Ryu-T, hep-th/0603001, PRL96(2006)181602.　　　　　 Ryu-T, hep-th/0605073, JHEP0608:045,2006.

Hirata-T, hep-th/0608213, JHEP 0702:042,2007. Nishioka-T, hep-th/0611035, JHEP 0701:090,2007. Headrick-T, arXiv:0704.3719 

Hubeny-Rangamani-T, arXiv:0705.0016

　 Azeyanagi-Nishioka-T, arXiv:0710.2956　　 笠 - 高柳 , 日本物理学会誌 62(2007)421

内容

①　イントロダクション

② 　エンタングルメント・エントロピーとは？

③ 　 AdS/CFT によるホログラフィックな解釈

④ 　ブラックホールへの応用

⑤ 　まとめと今後の展望

①イントロダクション

　　一般相対論における重力的エントロピー　　　　　　　　　　ブラックホールのエントロピーは、 　　 Bekenstein-Hawking の面積則で計算される。

　　　

この公式は、理論の詳細によらず普遍的に成り立つ。• 漸近的に平坦でも、（反）ドジッターでも良い。• 物質場の詳細（例えば、スカラー場が何個？）に依存しない。　　　　　　　　　　　

N

horizonBH 4G

A S

注）　超弦理論のような量子効果を取り入れた量子重力理論では、ブラックホールのエントロピーは面積則から変更を受ける。曲率が小さい極限では、その補正項は無視できるが、

　　小さなブラックホールでは、補正が重要になる。

　　この解析は、超弦理論における最近の話題の一つである

　が、今回のテーマに本質的ではないので触れない。 　　　　　　　　　　　 [Ooguri-Strominger-Vafa, Dabholkar,

Sen,… 04’~]

エントロピーが面積に比例することは、重力理論における自由度が、実際には１次元低く見えることを示唆する。

　　　　　　ホログラフィーの原理　　 [t ‘Hooft, Susskind,…]

最も詳しく理解されているホログラフィーの例： AdS/CFT 対応

d+2 次元の（量子）重力理論 d+1 次元の場の理論など等価

例：　ブラックホールのエントロピー　＝ 　熱力学的エントロピー　　　　　　　　重力理論の分配関数　＝　場の理論の分配関数

今回の話では、ホログラフィーの考え方を仮定するとエントロピーの面積則がブラックホール以外のもっと一般

の時空でも成り立つことを説明したい。

　　　地平線の面積　　　　＝ 　　熱力学的エントロピー　　　　　（ BH エントロピー ）　　　　　　　　　

任意の最小曲面の面積　＝　エンタングルメント・エントロピー

重力側 場の理論側

拡張 拡張

②　エンタングルメント・エントロピーとは？

Quantum Entanglement ( 量子もつれ合い、絡み合い）の度合いを測定する量

　　　　　　　　「基底状態がどれほど量子的か？」をあらわす。

現在まで、様々な分野に応用されてきている。

• 量子情報、量子コンピューター（量子情報量の定義）• 物性理論（低次元量子多体系のオーダーパラメーター）• 量子重力理論（ブラックホールのエントロピーとの関係）

. BAtot HHH

エンタングルメント・エントロピーの定義と性質

まず、多体系の量子力学において、全体系を部分系 A と Bに

二分割する。このとき、もとの Hilbert 空間は、二つのHilbert 空間の直積に分かれる

具体例：　スピン系を 2 分割する。 A B

, Tr totBA

. ][Tr ]Tr[ :

AAAtotAA

A

OOOBO

　 　 　 　合の情報に依存しない場が演算子注

全体系の密度行列を　　　とする。例えば絶対零度（純粋状態）では、　　　　　　　　　　　。

このとき B を観測しない（ B をトレースアウトする）と仮定した場合の密度行列は、

と書け、これを A に制限した密度行列と呼ぶ。

tottot

この設定で、「 A に関するエンタングルメント・エントロピー」

を　　　に対するフォン・ノイマンエントロピーとして定義する。

もともとの系が純粋状態すなわち S=0 であっても、部分系 B を

見えないと仮定することで、　　　は一般に非自明になることに

注意。

AS

. log Tr AAAAS

A

AS

簡単な例　 : 　スピン 1/2 を持つ二つの粒子系（ 2 qubit)

21 (i)

BBAA

2 / (ii)B

ABA

? ?

? Entangled

Not Entangled

0 SA

2 log SA

エンタングルメント・エントロピーの基本的性質

(i) A と B の間に相互作用がなく独立　

(ii) 全体系が純粋状態の場合　　　　　　　　　　　　　熱力学エントロピーと違って示量的ではない！

　　 (iii) 　有限温度では、一般に　　　　　　　　である。　　　特に高温極限では、　　　

. 0 BA SS

. BA SS

BA SS

熱力学的エントロピー BA SS

（ iｖ ) 強劣加法性（ Strong Subadditivity)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 [Lieb-Ruskai 73’ ; See also Nielsen-Chuang’ text book

00’]

ある種の凸性 (Concavity) を表す

. CBBABCBA SSSS

B AC

場の理論におけるエンタングルメント・エントロピー

. NRM t

場の理論におけるエンタングルメント・エントロピーを考える。時空 M は、 d+1 次元で定義され、静的であるとする。

このとき Hilbert 空間を A と B の二つに分けるのを幾何学的に行なえる。 (幾何学的エントロピーとも呼ばれる。）

NB

BA

A

幾何学的エントロピーの物理的意味

(i) 観測者が B を観測できないと仮定したときに生じる　　　　あいまいさ 　　 ブラックホールのエントロピー

と類似

(ii) A と B の（非局所的）相関　　　　相関関数よりもウイルソンループに近いが、どんな場

の　　　　　　　理論でも定義可能。　　　　　量子相転移に応用可能

(iii) 場の理論の自由度の一つの見積もり　　　　　　　　実際、 2 次元では、 central charge に比例す

る。

幾何学的エントロピーの面積則場の理論は、無限の自由度を有するので、幾何学的エントロピーは紫外発散する。そのとき、最高次の項に関して次の面積則が知られている（ a は正規化のための格子間隔）。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [Bombelli-Koul-Lee-Sorkin 86’, Srednicki 93’]

これはブラックホールのエントロピーの面積則に似ている。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　実際に、量子補正に対

応　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　していると考えられて

いる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [Susskind-Uglm

94’] 　　　　　　　　　　　　　　　　　

terms).subleading(A)Area(~ 1 dA a

S

BH

? ?地平線

観測者

③AdS/CFT によるホログラフィックな解釈高次元 (d+1>2) の場の理論におけるエンタングルメント・エン

トロピーの計算は、煩雑な量子的計算を要求する。

またブラックホールのエントロピーとの関係の理解を深めるには、その重力的解釈が欲しい。

そこで、 AdS/CFT 対応を思い出してみると、この両方の問題を解決する可能性が期待できる。

　　　　量子的な物理量　　　　　　　微分幾何学的量（古典的） 共形場の理論 超重力理論

SYM SU(N) 4N 4D SAdSon string IIB 55

41

22 )8( '

1

SYM 4N ofsymmetry -R SO(6) symmetry conformal 4D SO(2,4)

YM

s

NgRN

g

branes-D3 NNear horizon limit 0'

duality /CFTAdS 45

AdS/CFT 対応（ Poincare 座標）

2dAdS

NRMon CFT

t

1d

-1energy)(~z

off)cut (UV az

1z IR UV

.2

21

20

222

zdxdxdzRds i

di

AdS/CFT に基づくエンタングルメント・エントロピーの計算

　　漸近的に AdSd+2 に近づく空間　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ＵＶ固定点を持つ d+1 次

元の場の理論　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　主張　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

ここで、 は、 d+2 次元時空中の d 次元の極小曲面で、境界が部分系 A の境界と一致するもの。 [Ryu-TT 06’]

.4

)Area()2(

A d

NA GS

A

)Poincare(AdS 2d 座標

N

z

B

A

A 極小曲面

)(時間方向を省略した

コメント (1) ：

このホログラフィックな公式は、 Bekenstein-Hawking のブラック

ホールエントロピーの式と見かけ上同じであるが、　　　は、

一般にホライズンではない。

しかし有限温度のときに現れる AdS ブラックホールを考えると

　　　はホライズンの一部を覆う。その寄与は、熱力学的エントロピーに相当する。

A

A

BH

AAB

直感的解釈

　　　　　があたかもブラックホールのホライズンであるかのように振る舞い、Ｂの情報を中に隠している。

AB A???観測者

A

コメント (2):

幾何学的エントロピーの面積則の導出は、この公式を用いると

とても容易である。

なぜならば、 AdS の計量は、境界付近（紫外領域）で発散する

からである。

terms).subleading()Area(~)Area( 1A

A

dd

aR

AA

コメント (3) 強劣加法性の AdS/CFT による証明

　　　　　　　　　　　　　　　 [07’ Headrick-TT, 06’ Hirata-TT] BCBACBBA SSSS

ABC

=ABC

ABC

CACBBA SSSS

ABC

=ABC

ABC

この証明で明らかなように、余次元が重要な役割をする。強劣加法性は、一般の量子多体系のホログラフィーの存在を示唆する。

具体的比較（ AdS/CFT の検証 )

(i) AdS3/CFT2

この場合は、 2 次元共形場理論の結果が解析的に分かってい

るので、完全な比較が可能。両者の一致が厳密に証明できる。

. log3 a

lcSA z

AdS3

測地線

l

測地線の長さ

(ii) 高次元の場合

超重力理論に対応するのは、共形場理論が強結合な領域なので比較が困難。 N=4 超対称性ゲージ理論で、自由場の場合に比較すると数 10%程度係数がずれるが、関数形は一致する。

高次元の場合に場の理論側からの一般的な理解は進んでいない。エンタングルメント・エントロピーのスケーリングの一般

論に関しては、 AdS/CFT を用いた計算が現在のところ唯ーの結果となっている。

（ AdS/CFT の bulk-boundary 関係からある仮定のもとに示された Fursaev 　06’ 。しかし最近、微妙な点があることが Schwimmer-Theisen 08’ で指摘され、高次元で面積則からのずれを AdS/CFT が予言する可能性もある。）

部分系 A の境界が球面の場合のスケーリング

. !)!1/(!)!2()1( .....

)],....3(2/[)2(,)1( where

, odd) (if log

even) (if

)2/(2

2/)1(

31

1

2

2

1

3

3

1

1)2(

2/

ddq

ddpdp

dalq

alp

dpalp

alp

alp

dGRS

d

d

dd

dd

dN

dd

A

divergence law Area

Conformal Anomaly(~central charge)

A universal quantity which characterizes odd dimensional CFT

2 次元 AdS 時空

AdS2CQM1 CQM2

. )(cos 2

222

ddds

時間

2 次元 AdS 空間は、 3 次元以上の AdS 空間とは違って、 global座標だと境界が二つある。

④ブラックホールへの応用　

AdS2 は、 4 次元の電荷を帯びた BPS ブラックホールのNear horizon 極限で得られる。

AdS2/CFT1 を仮定すると、 2 つの共形量子力学が、 AdS2空間

上の重力理論 (=4D ブラックホール）と等価ということになる。

2

2

2222

22

2

22

2222

22

2

22

)()(

SAdS

drdrdtr

ds

drdrrrrdt

rrrds

BH 4D)4(

2

41

4)2( SGrSN

GentA

N

AdS2/CFT1

そこで、二つの CFT のエンタングルメント・エントロピーをAdS/CFT による前述の公式を用いて計算すると、

となり、 4 次元 BPS ブラックホールのエントロピーと一致すること

が分かる。

このように見ると、 4 次元 BPS ブラックホールについても、二つの CFT のエンタングルメントを考えるとエントロピーの微視的理解を得られることが分かる。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [Azeyanagi-Nishioka-T

　 07’]

高階微分項を含む重力作用の場合（ Wald 公式の導出）

. 2]Tr[

.)1(2

)()1(2log]Tr[

)()()1(2

2

2

4

)0(

cdababcd

S

nAent

cdababcd

S

cdababcd

nnA

bcadbdacabcdabcd

RLh

nS

RLhn

nRLgdxZ

ggggnRR

Wald Entropy !

⑤まとめと今後の展望• 以上では、場の理論エンタングルメント・エントロピーを　　ホログラフィーを用いて幾何学的に計算する方法について

説明した。今後の課題は以下のとおり。

(1) ブラックホールのエントロピーの量子力学的解釈 (2) 閉じ込めなどの相転移の秩序変数 (cf. Klebanov-Kutasov-Murugan, Nishioka-TT 07’, Velytsky 08’)

(3) トポロジカルな理論の解析の道具 （ e.g. topological EE)

(4) AdS/CFT 対応や、一般にホログラフィー原理の定式化？　　　　　　　　逆問題： CFT の情報で、 dual な計量を完全決定でき

るか？

　 (5) AdS/CFT 対応によるホログラフィックな計算を第一原理　　

　　　　的に行う。