Суперкомпьютеры и Суперкомпьютеры и топология.топология.

Г.Г.Рябов (НИВЦ МГУ)Г.Г.Рябов (НИВЦ МГУ)

Работа поддержана грантом РФФИ (09-07-12135)Работа поддержана грантом РФФИ (09-07-12135)

Геометрико-топологические Геометрико-топологические модели в современной науке.модели в современной науке.

Модели-посредник между теоретическими Модели-посредник между теоретическими построениями и компьютерными методами построениями и компьютерными методами расчетов.расчетов.

Решетки, сетки, симплициальные и Решетки, сетки, симплициальные и кубические комплексы, многообразия…кубические комплексы, многообразия…

Многомерность и комбинаторная сущностьМногомерность и комбинаторная сущность квантовых системквантовых систем как это отразится на как это отразится на суперкомпьютерахсуперкомпьютерах следующих следующих поколенийпоколений??

Кубические структуры.Кубические структуры. Многие Многие

комбинаторные комбинаторные структуры структуры вложимы в вложимы в кубические кубические комплексы.комплексы.

Комплексы Комплексы изучаются в изучаются в пространствах пространствах RRnn

cc ( (вершины- вершины- целые точки целые точки ZZnn))..

Глобальная модель климата (Глобальная модель климата (MIT gcmMIT gcm) и ) и корректирующие кодыкорректирующие коды--два полюса два полюса приложения кубических структур.приложения кубических структур...

Кубическая сфера Кубическая сфера с конформной с конформной решеткой – база решеткой – база всех всех климатических климатических расчетов.расчетов.

Хэммингово Хэммингово расстояниерасстояние между между кодами- кодами- вершинами вершинами n-n-куба куба – базовая мера в – базовая мера в теории теории корректирующих корректирующих кодов.кодов.

Кубические комплексы в Кубические комплексы в IIn n ((RRnn).).

0-грани- вершины,0-грани- вершины, 1-грани- ребра,1-грани- ребра, 2-грани-квадраты2-грани-квадраты 3-грани-кубы3-грани-кубы 4-грани и т.д.4-грани и т.д.

f(k)=Cf(k)=Cnnkk 2 2n-kn-k;;

Пирамида Паскаля и Пирамида Паскаля и kk-мерные -мерные грани грани nn-куба.-куба.

Пирамида Пирамида Паскаля-Паскаля-рекурсивная рекурсивная процедура в процедура в трехмерной трехмерной решетке.решетке.

Сумма чисел Сумма чисел вдоль ребер вдоль ребер ((yy==k)k) в в плоскости плоскости х+х+y+z=n y+z=n равна равна числучислу k- k-граней граней в в n-n-кубе.кубе.

Биекция: множество всех Биекция: множество всех n-n-разрядных троичных разрядных троичных

кодовкодовмножество всех множество всех граней граней n-n-куба. куба.

E=eE=e11,e,e22,…e,…eii,…e,…enn; ; RRnn;; D=d1,d2,…di,…dn; diD=d1,d2,…di,…dn; di{0,1,2};{0,1,2}; EED; D; eieidi;di; F(k,p)= F(k,p)= ППei + Tej;ei + Tej; i:di=2 j:dj=0,1i:di=2 j:dj=0,1 021221021221ee22xxee44xxee55 транс. в вершину 001001транс. в вершину 001001;;

трехмерная грань(куб) в шестимерном кубе. трехмерная грань(куб) в шестимерном кубе.

Грани в Грани в II33..

Все грани в Все грани в II33- - все все трехразрядныетрехразрядныетроичные кодытроичные коды..

Алфавит Алфавит {0,1,2}{0,1,2} 222-222-весь весь II33..

КубантыКубанты

КубантКубант–троичный –троичный n-n-разрядный код, разрядный код, отражающий размерность грани и отражающий размерность грани и ее положение в ее положение в n-n-мерном мерном единичном кубе.единичном кубе.

Виды графической интерпретации.Виды графической интерпретации. Кубанты 022200 и 022211 в Кубанты 022200 и 022211 в II66..

Комплексы из кубантов в Комплексы из кубантов в II66..

a).a).Комплекс из 3-х кубантов (3-куб,3-куб,4-куб).Комплекс из 3-х кубантов (3-куб,3-куб,4-куб). b).b).Комплекс из 9-и кубантов (8 квадратов и 3-куб).Комплекс из 9-и кубантов (8 квадратов и 3-куб).

Умножение (пересечение) Умножение (пересечение) кубантов.кубантов.

Умножение Умножение кубантов- кубантов- поразрядная поразрядная операция над операция над словами, словами, задаваемая задаваемая данной таблицей.данной таблицей.

ØØ-пустое -пустое множество.множество.

Кубанты и псевдокубанты( с Кубанты и псевдокубанты( с ØØ) ) образуют полугруппу с единицей образуют полугруппу с единицей

(моноид).(моноид).

Расширение алфавита Расширение алфавита {{ØØ,0,1,2,0,1,2}.}. Все четверичные Все четверичные n-n-разрядные слова разрядные слова

(кубанты и псевдокубанты) образуют (кубанты и псевдокубанты) образуют полугруппу по умножению.полугруппу по умножению.

Кубант х кубант=кубант или пКубант х кубант=кубант или п//кубант.кубант. ПП//кубант х кубант=пкубант х кубант=п//кубант.кубант.

Единица моноида-кубант 222…2.Единица моноида-кубант 222…2.

Машинное представление Машинное представление ØØ0;00;01;11;12;22;23;3;

Таблица Таблица поразрядного поразрядного умножения умножения элементов элементов моноида при моноида при машинном машинном представлении.представлении.

Свойства произведения кубантов.Свойства произведения кубантов.

П(П(D1,D2)=D3;D1,D2)=D3; ωω((D3) D3) = число разрядов с = число разрядов с ØØ.. Если Если ωω((D3)=0D3)=0,то ,то D3–D3–кубант-пересечение.кубант-пересечение. Если Если ωω((D3)= r>0, D3)= r>0, то то Lmin(D1,D2)=r; Lmin(D1,D2)=r;

((минимальный путь по ребрам минимальный путь по ребрам nn-куба--куба-обобщение метрики Хэмминга для обобщение метрики Хэмминга для двоичных кодов).двоичных кодов).

Структура комплекса полностью Структура комплекса полностью определяется перемножением кубантов.определяется перемножением кубантов.

Матрица парных произведений.Матрица парных произведений. D1=112202; D2=121122; D3=122211; D1=112202; D2=121122; D3=122211; D4=120122; D5=002212;D4=120122; D5=002212;

112202 111102 1112112202 111102 1112ØØ1 110102 1 110102 ØØØØ2222ØØ 121122 121111 12121122 121111 12ØØ122 122 ØØ0111201112 122211 120111 122211 120111 ØØ0221102211 120122 120122 ØØ0011200112 002212 002212

D1,D2,D3,D4-D1,D2,D3,D4-образуют цикл образуют цикл (общие ребра, (общие ребра, D5 D5 отстоит отстоит на на Lmin=1 Lmin=1 от от D2,D3,D4 D2,D3,D4 и на и на Lmin=3 Lmin=3 от от D1;D1;

Обобщение матрицы Обобщение матрицы смежностей для графов.смежностей для графов.

Хаусдорфова метрика на кубантах Хаусдорфова метрика на кубантах (обобщение метрики Хэмминга)(обобщение метрики Хэмминга)

ррНН((D1,D2)=max{max minL(D1D1,D2)=max{max minL(D1D2),max minL(D2D2),max minL(D2D1)};D1)}; Хаусдорфово сжатие Хаусдорфово сжатие D1/D2=D1* D1/D2=D1* и и D2/D1=D2*;CD2/D1=D2*;Cамое большое амое большое LL

из самых коротких путей.Сжатие-поразрядная операция. из самых коротких путей.Сжатие-поразрядная операция. 022211 022211 112222 112222 112200 002211112200 002211 ØØ122122ØØØØ ØØØØ2211 2211 max{ 3,2}=3 max{ 3,2}=3 pH=3; pH=3;

Полная матрица Н-метрики для кубантов Полная матрица Н-метрики для кубантов II33..

Обозначения:Обозначения: Черный-3Черный-3 Тем.сер.-2Тем.сер.-2 Свет.сер.-1Свет.сер.-1 Белый-0Белый-0

Панельное топологическое Панельное топологическое строительство. Бутылка Клейна в строительство. Бутылка Клейна в

75 байт.75 байт.

Всех комплексов из гиперграней 64-для хранения Всех комплексов из гиперграней 64-для хранения номера комплекса -один байт памяти.номера комплекса -один байт памяти.

Полиморфизм кубантов Полиморфизм кубантов (четверичного кодирования).(четверичного кодирования).

CCловолово ЧислоЧисло Множество точек Множество точек RRnn.. Геометрическая фигураГеометрическая фигура Часть топологического комплекса.Часть топологического комплекса. Элемент алгебраической структуры (моноид).Элемент алгебраической структуры (моноид). Результат Результат одной операцииодной операции содержит содержит

информацию о связности, мин пути, информацию о связности, мин пути, размерности пересечения, положении внутри размерности пересечения, положении внутри nn-куба.-куба.

Кубанты-гиперметрическое пространство. Кубанты-гиперметрическое пространство.

Кубанты и супервычисления в Кубанты и супервычисления в многомерных пространствах.многомерных пространствах.

Совмещенные поразрядные операции над четверичными Совмещенные поразрядные операции над четверичными словами практически неограниченной длины, равной словами практически неограниченной длины, равной размерности исследуемого пространства.размерности исследуемого пространства.

Перевод вычисления метрики Хаусдорфа для Перевод вычисления метрики Хаусдорфа для кубантов из задач сложности 2кубантов из задач сложности 2nn в задачи в задачи сложности сложности nn22..

Хранение в табличном виде (заранее рассчитанных) Хранение в табличном виде (заранее рассчитанных) n-n-мерных комплексов гиперграней (нумеративный подход).мерных комплексов гиперграней (нумеративный подход).

Исследования асимптотического поведения гиперрешеток Исследования асимптотического поведения гиперрешеток (10(10d-11dd-11d) в интересах теоретической физики.) в интересах теоретической физики.

Одна из задач в разработке суперкомпьютеров-Одна из задач в разработке суперкомпьютеров-значительное расширение оперативной памяти.Для 10значительное расширение оперативной памяти.Для 10d d рабочее поле со стороной 100 требует память объемом рабочее поле со стороной 100 требует память объемом 101088 терабайт. терабайт.

Современное представление вычислимости Современное представление вычислимости повышение уровня математического повышение уровня математического

обеспечения компьютера.обеспечения компьютера. Ю.Манин.Колмогоровский порядокЮ.Манин.Колмогоровский порядок и и

вычислимость.вычислимость. Д.Баез, М.Скейт Розетский камень. Физика, Д.Баез, М.Скейт Розетский камень. Физика,

топология, логика, вычислимость.топология, логика, вычислимость. А.Вершик. Случайные конечные метрические А.Вершик. Случайные конечные метрические

пространства.пространства. В.Бухштабер. Комбинаторные многогранники В.Бухштабер. Комбинаторные многогранники

и связь с диф.уравнениямии связь с диф.уравнениями

Тематика доклада в структуре Тематика доклада в структуре инструментальной системы инструментальной системы

«Топологический процессор»(НИВЦ МГУ).«Топологический процессор»(НИВЦ МГУ).

Вместо выводов.Вместо выводов. Связка алгебраических геометрии и топологии, Связка алгебраических геометрии и топологии,

комбинаторики, дифференциальных уравнений со комбинаторики, дифференциальных уравнений со структурой будущих суперкомпьютеров– одно из структурой будущих суперкомпьютеров– одно из прорывных комплексных направлений не только в прорывных комплексных направлений не только в математике, но и в целом в науке.математике, но и в целом в науке.

Отечественная математическая школаОтечественная математическая школа в этой в этой области - одна из передовых в мире. области - одна из передовых в мире.

Богатый алгебраический фундамент еще не Богатый алгебраический фундамент еще не отражен в математическом и программном отражен в математическом и программном обеспечении суперкомпьютеров.обеспечении суперкомпьютеров.

Успех в этой области обеспечения Успех в этой области обеспечения суперкомпьютеров – шаг к занятию достойного суперкомпьютеров – шаг к занятию достойного места в международной научной кооперации. места в международной научной кооперации.

Спасибо за внимание!Спасибо за внимание!

Интернет журнал «Вычислительные методы и Интернет журнал «Вычислительные методы и программирование» т.10,2009,с 340-347программирование» т.10,2009,с 340-347