Само-потвърждаващите се теории на Дан Уилърд, или …

Васил Пенчев,Институт за философски изследвания на

Българската академия на науките,vasildinev@gmail.com

http://vasil7penchev.wordpress.com

Само-потвърждаващите се теории на Дан Уилърд, или …

• Как могат да се заобиколят двете теореми на Гьодел за непълнотата на аритметични системи?

Интуитивна същност на начинана заобикаляне…

• Аритметичните системи са безкрайни• Ако вървим от крайното към

безкрайното, неизбежна е появата на типа твърдения по първата теорема на Гьодел за непълнотата• Ако обаче вървим, обратно – от

безкрайното към крайното, такъв тип твърдения не се появяват

Как технически да се реализирааритметична система, “слизаща”

от безкрайното към крайното?• Просто като се приемат за изходни

аритметични действия не умножението и събирането, които се “изкачват”, а …•Изваждането и делението,

които “слизат”…!

В такава, Дан Уилърдова аритметична система …

… не могат да се появят твърдения с гьоделови номера, такива, че да са от типа по първата теорема на Гьодел за непълнотата на аритметични системи

… следователно и втората теорема не е валидна: теории, формализирани чрез такъв тип с-ми, са “самоверифициращи се”, откъдето и идва названието им

Кой е Дан Уилърд?Dan Willard, Computer Science

Professor Dan Willard joined the UAlbany faculty in Computer Science in 1983

Още за Дан Уилърд …

• Professor Willard's wide-ranging research program focuses on developing new paradigms in mathematical logic, improving computer science's sorting theory, and generating new pragmatic data structures that can be used in computational geometry and database theory

Публикации на Дан Уилърд по темата:

"Self-Verifying Axiom Systems", in Computational Logic and Proof Theory: The Third Kurt Goedel Colloquium Springer-Verlag LNCS 713 (1993), pp. 325-336.

• “This was my first paper about boundary-case exceptions for Goedel's Second Incompleteness Theorem. It was the predecessor to the more advanced work that I published about this subject in the Journal of Symbolic Logic and Annals of Pure and Applied Logic during the period 2001-2006”

Още …

• With the biologist, R.L. Trivers, he published the Trivers-Willard hypothesis, which revised and extended an earlier mathematical model of Darwinian Evolution. This widely cited theory has also received detailed discussion in the New York Times, Scientific American, and Psychology Today

Методологическото им значение

Възраждане на Хилбертовия “формализъм” в обосноваването на математиката

Подкрепа за “инференциализма”

Още…

• Professor Willard's most recent research into Proof Theory and Mathematical Logic has yielded six major journal papers, including four published in the last two years that are providing a new interpretation into the meaning of Godel's Second Incompleteness Theorem.

• "On the Available Partial Respects in which an Axiomization for Real Valued Arithmetic Can Verify its Own Formal Consistency and Related Topics", Journal of Symbolic Logic 71 (2006) pp. 1189-1199.

• "An Exploration of the Partial Respects in which an Axiom System Recognizing Solely Addition as a Total Function Can Verify Its Own Consistency", Journal of Symbolic Logic 70 (2005) pp. 1171-1209.

• "How to Extend the Semantic Tableaux and Cut-Free Versions of the Second Incompleteness Theorem to Robinson's Arithmetic Q", Journal of Symbolic Logic 67 (2002) pp. 465-496.

• "Self Verifying Axiom Systems, the Incompleteness Theorem and the Tangibility Reflection Princible" , Journal of Symbolic Logic 66 (2001) pp. 536-596.

• "A Generalization of the Second Incompleteness Theorem and Some Exceptions to It" , invited paper in Annals of Pure and Applied Logic 141 (2006) pp. 473-496.

• "The Foundational Implications of Self-Justifying Logics}" , submitted to the Logical Foundations of Computer Science (2009) Conference.

• "The Axiom System I$\Sigma_0$ Manages to Simultaneously Obey and Evade the Herbrandized Version of the Second Incompleteness Theorem", in the Proceedings of Wollics 2006, which are disseminated in Elsevier's Electronic Notes in Theoretical Computer Science 165 (2006) pp.213-226.

• "On the Partial Respects in Which an Axiomization for Real Valued Arithmetic Can Verify its Tableaux Consistency", Automated Reasoning with Analytic Tableaux and Related Methods (2005 Proceedings), Springer-Verlag LNCS 3702, pp. 292-306.

• "Some New Exceptions for the Semantic Tableaux Version of the Second Incompleteness Theorem", Automated Reasoning with Analytic Tableaux and Related Methods (2002 Proceedings), Springer-Verlag LNCS 2381, pp. 281-297.

• "The Semantic Tableaux Version of the Second Incompleteness Theorem Extends Almost to Robinson's Arithmetic Q ", Automated Reasoning with Analytic Tableaux and Related Methods (2000 Proceedings), Springer-Verlag LNCS 1847, pp. 415-430.

• "A Version of the Second Incompleteness Theorem For Axiom Systems that Recognize Addition But Not Multiplication as a Total Function", in First Order Logic Revisited, Logos Verlag (Berlin) 2004, pp. 337-368

• "On the Results of a 14-Year Effort to Generalize Goedel's Second Incompleteness Theorem and Explore Its Partial Exceptions''", Collegium Logicum IX (2007) pp. 81-86

Още …

• Professor Willard has received $585,000 in grants from the National Science Foundation, an unusually large amount for a theoretical mathematician and a further indicator of his productivity and importance in the field

А кой е Курт Гьодел?

Въпросът изглежда “смешен”?

Та кой не е чувал за Курт Гьодел?!

“Певци песни за него пеят!”

Непознатият Гьодел!?

Но аз искам да говоря за единпочти непознат Гьодел: “Принстънеца” и “Айнщайнианеца”

Непознатият Гьодел!?Не по-малко основателно е да се говориобаче за “гьоделианеца” Айнщайн, въп-реки внушението на подобни снимки….

Но може би най-точно е да се каже:Духът на Принстън!

Духът на Принстън?!?...• Ключът е терминът “непълнота”,

използван и от двамата …

Айнщайн: непълнотана квантовата механика

Гьодел: непълнотана аритметични системи

Духът на Принстън?!?...Непълнотата несъмнено е проблем … !

Но проблемът с непълнотата, възниква…

само ако се привилегирова крайното като изходната точка към безкрайното

Духът на Принстън:

ПривилегированеНа крайнотоКато изходна точка –Отправна система

Крайно и безкрайно… ?

Безкрайно

Крайно

1 2

Подходът на Дан Уилърд …

… показва, че непълнотата е свойство, което се отнася до прехода:

1 (от крайно към безкрайно) но не се отнася до прехода: 2 (от безкрайно към крайно)

Различаването на двете посоки -“от” и “към” крайното (респ.

безкрайното) -• Налага различаването и на две

формулировки на аксиомата за избора, чийто смисъл по същество е:- Безкраен избор може да се осъществи- Безкраен избор може да се повтори

Дан Уилърдовите системи са еквивалентни на:

• “Безкраен избор може да се осъществи, но не може да се повтори”• Двете посоки – “от” и “към”

крайното (респ. безкрайното) - не само се различават, но и се постулира тяхната нееквивалентност

Накрая няколко по-точни формулировки:

The first incompleteness theorem first appeared as "Theorem VI" in Goedel’s 1931 paper On Formally Undecidable Propositions in Principia Mathematica and Related Systems I 

In Gödel's original notation, it states: "The general result about the existence of undecidable propositions reads as follows:“Theorem VI. For every w-consistent class k of FORMULAS there are recursive CLASS SIGNS r, such that neither v Gen r nor Neg (v Gen r) belongs to Flg(k)(where v is the FREE VARIABLE

of r)”

• ”The results of Section 2 have a surprising consequence concerning a consistency proof for the system P (and its extensions), which can be stated as follows:”

• ”Theorem XI. Let κ be any recursive consistent63 class of FORMULAS; then the SENTENTIAL FORMULA stating that κ is consistent is not κ-PROVABLE; in particular, the consistency of P is not provable in P,64 provided P is consistent (in the opposite case, of course, every proposition is provable [in P])"

• “Goedel’s Second Incompleteness Theorem states axiom systems of sufficient strength are unable to verify their own consistency. We will show that axiomatizations for a computer’s floating point arithmetic can recognize their cut-free consistency in a stronger respect than is feasible under integer arithmetics” – D. Willard

• “Goedel’s Incompleteness Theorem is a 2-part result — with the First Incompleteness Theorem discussing the undecidability of arithmetic and the Second Incompleteness Theorem showing most conventional axiom systems are unable to recognize their own consistency” – D. Willard

• “Our prior research had shown how certain axiom systems can at least partially formalize a conception of their own consistency, by containing an axiomatic sentence, called an “I am consistent” axiom, which essentially asserts its own self-consistency.” – D. Willard

Това беше всичко!

Благодаря Виза вниманието!