能量

守恆量的適用範圍超越運動方程式。

運動方程式不容易解，守恆量可以提供有用的有限資訊。

彈簧

txx m cos

txv m sin

守恆量 txx m cos

txmkv m sin

constant21

21 22 mvkx 守恆量

運動 位置

020

2 2 yygvv

020

2

21

21 gyvgyv 守恆量

運動 K 位置 U

物體在某位置上是存在某種潛在能力可以轉化為運動

Ui Uf KfKi

自由拋體

020

2

21

21 mgymvmgymv

Energy Diagram

由起始條件可以得到守恆的總能量 E

運動過程中任意位置 y 的動能可以求出，速度與位置的關係可以立刻得到。)(yUEK

mgyU 2

21 mvK

Turning point: 位能線與總能線交會處，動能為零，粒子轉向。

221 xkU

簡諧運動兩端都有 turning point ，因此運動就被拘限在一個範圍內。

其它的力是不是也有這樣的 U ?

兩個粒子間的力是否能束縛它們形成束縛態 bound state ，以位能來思考是最簡單的方法！

2

21 mv

考慮一個無限小的過程：

WFsamstvsmvvm

vvmvvvvmmv

21

21

21 2

研究 的變化

s

vv

v

W

功造成動能的變化

s

vv

v

有外力： WFsmv

2

21

功等於動能變化，功與動能原理

2 2 2

0 00 0

1 1 1lim lim2 2 2

N N

i f j j f iN Nj j f is s

W W mv mv mv K K

將無限多無限小的過程組合起來，即成為一個有限的過程：

xF

jxjx 1jx

W

功造成動能的變化

s

vv

v

00

limN

i f jN js

W W

( ) ( ') 'f f

i i

x x

x x

F x dx F x dx 定積分是曲線下的面積00

( ) lim ( )f

i

x N

j jN jx x

F x dx F x x

N

jjj

xN

xxFW00

)(lim

x

如果外力只與位置有關)(xFF

考慮一維運動)( jxF

jx jx 1jx

功是力函數曲線下的面積

f

i

x

x

N

jjj

xN

dxxFxxFW )()(lim00

功即是力對位置的積分

x)( jxF

jx jx 1jx

( ') ' ( ') 'a b

b a

F x dx F x dx

( ') ' ( ') ' ( ') 'b c b

a a c

F x dx F x dx F x dx

a bc

( ) ( ') 'i

x

x

G x F x dx

不定積分

)()(: xGxF

函數運算

微積分基本定理微分與積分是反運算

( ) ( ') 'i

x

x

G x F x dx '( ) ( )G x F x

x x+Δx

0 0

0 0

( ') ( ')( ) ( )'( ) lim lim

( ')( )lim lim ( )

i i

x x x

x x

x x

x x

x

x x

F x dx F x dxG x x G xG x

x x

F x dxF x x F x

x x

微積分基本定理的應用

( ) ( ') 'i

x

x

G x F x dx

'( ) ( )H x F x 函數 H 稱為函數 F 的反微分

也是一反微分 )()(' xFxG

0'' GH cxHxG )()(

常數 c 可以由函數 H 求出：cxHdxxFxG i

x

xi

i

i

)(0)()( )( ixHc

x

xi

x

xi

i

xHxHxHdxxFxG )'()()(')'()( 此式對任一個反微分 H 都對！

任兩個反微分的差是一個常數！

所以如果你能猜到一個 F 的反微分，你離 F 的積分只差一個常數。

反微分有無限多個！

cxHxG )()(

x

xi

x

xi

i

xHxHxHdxxFxG )'()()(')'()(

1 1 11 1 1' '1 1 1

ii

xxn n n n

ixx

x x x xn n n

x

f

i

x

xfi dxxFW ')'(F

一維運動的位能

HxHxHdxxFW if

x

x

f

i

)()(')'(

)()( iiff xHKxHK

是守恆量)(xHK

HWK

H 只與位置有關

)()(')'( ifxx

x

x

xUxUWdxxFfi

f

i

x

xi xf

)()( iiff xUKxUK

UK 是守恆量

)()( xUxH

位能 Potential Energy

運動 位置

位能差是力所作功乘 -1

appF

Wapp

UiUf KfKi

)()(')'(app if

x

x

xUxUUdxxFWWf

i

F

將粒子與施力者視為一個系統，所施的力變為系統的內力在運動過程，再施一反向外加力 抵消該內力appF

F

使運動前後動能不變appF 所作的功 並未變成動能，

運動前後粒子位置改變，故定義一與位置有關的能量：位能 Potential Energy

ix fx

appW

因此一定有一新的能量形式

( ) ( )app f iW mgy U y U y

)()(app ififg yymgyyFW

mgy 有如動能一樣，定為位能

appW U K

W

Ui Uf

W

Ui Uf KfKi

appW U K

推廣後的功與動位能原理系統的外力所作功等於動能變化加位能變化。

如無外力：

0appW

0U K

Ui Uf KfKi

appW U K

機械能守恆 UKE Mech

如無外力：0appW

0U K

Ui Uf KfKi

位能轉化為動能

W

Ui Uf

所以具有 Potential

物體在較高位置上是存在某種潛在能力可以轉化為運動

( ) ( ) ( )f

i

x

f i F i fx

U U x U x W F x dx

位能 Potential Energy

( ) ( ) ( )f

i

x

f i F i fx

U U x U x W F x dx

方便起見，我們可以自由選擇位能為零的位置 c 0)( cU

x

cxcF dxxFWcUxUxU ')'()()()( ,

此定義只定了位能差，事實上在位能函數上加入一個常數並不影響物理結果！

位能是位置的函數

2

0

1( ) ( ') '2

x

U x kx dx kx

0)0( xU取

彈力位能 Elastic Potential Energy

守恆量

txx m cos

txmkv m sin

constant21

21 22 mvkx

( )f

i

x

F i fx

U W F x dx

dxdUF

由位能求力

力是位能函數的微分

02 )(

21 ExUmv

mxUEv ))((2 0

自由態：機械能大於無限遠處的位能

動能就是兩線的間隔

束縛態：機械能小於無限遠處的位能

兩端都有 turning point ，所以只能拘限在這兩點之間運動。Turning points 的位置由能量大小決定。

平衡點 Equilibrium Point

0)(0

0 xdx

dUxF

在平衡點附近不遠處震盪的束縛態，他所感覺的位能近似於一拋物線，因此近似於一個以平衡點為中心的簡諧運動！

00

2

2

xxxx dxUd

dxdFk

在平衡點附近不遠處，力的曲線近似於平衡點處的切線

束縛態

r

兩個粒子會不會形成束縛態？

關鍵在形成吸引位能的機制

束縛能

原子力束縛態

+++

+++

---

---

感應形成電荷分布不均

電偶極

原子力 12 6

( ) 4U rr r

12 6

13 7( ) 4 12 6dUF rdr r r

束縛能只有約 0.001eV ，而室溫時熱擾動能量 kT~0.02eV ，束縛態會被破壞。

離子束縛態

+ -

-

Na Cl

r

需能5.1eV

釋能3.8eV

若束縛可釋得 1.3eV 以上能量，則束縛態能量較低

形成離子雖然耗能，但兩個相反電荷的離子，靠近時會降低能量

離子束縛態

束縛能 3.6eV 已大於室溫的熱擾動能量，故為穩定的束縛態。

共價鍵束縛態 -

H+

R

H+

-

H+ H+

-

-

電子共享使能量降低，因此形成束縛態。

共價鍵束縛態 -

H+ H+

-

解兩個原子核外的電子能量本徵態的波函數

21,, RRr

分子能態的能階與距離 R的關係？

氫原子能階

S 能態

S能態機率分布

r

S能態波函數

P

P 能態機率分布

s pz

py px

分子軌道能態 r

H+ H+

1. 分子軌道與個別原子軌道或其組合近似， 當距離 r 很遠時 1 2( ) ( ), ( )x x x )()(or 2211 xcxc

H+

分子軌道能態 r

H+ H+

?電子能態波函數的機率分布在兩原子核互換下不變 :因此波函數在互換下必須不變（對稱），或是乘上 (-1) 反對稱：

互換

( ) ( )x x ( ) ( )x x

22

因此能態波函數不能近似單純的而是近似於兩者的組合：

1 2( ) ( ), ( )x x x

)()(or 2211 xcxc

在互換下： 21

氫分子由兩個氫原子組成，分子的電子軌道近似地可以由個別原子的電子軌道合成。

1 2( ) ( )x x

1 2( ) ( )x x 對稱 S

反對稱 A

共價鍵：分享電子所形成的吸引鍵

H2 = H-H, H:H

此兩本徵態的本徴值不同：

對稱 S

反對稱 A

分子軌道Molecule Orbitsσbond

S態電子有較大機率存在於兩原子核之間，距兩代正電原子核較近，能量因此較小！

對稱 S Bonding

反對稱 Anti-Bonding

分子軌道Molecule Orbitsσbond and πbond

S Bonding

S Bonding

A Anti-Bonding

A Anti-Bonding

πbond

σbond

SP3

CH4

Hybridization

SP2

f

i

r

r

W F ds

3D空間的功

沿某一路徑

2

21 mv

有外力：

WFsamstvsmvvm

vvmvvvvmmv

21

21

21 2

功是力向量與位移向量的內積！

研究 的變化

s

vv

v

W

功造成動能的變化

s

2 21 12 2

f

i

r

f ir

W F ds mv mv

3D空間的功與動能

正向力不作功

f

i

r

r

U W F ds

3D空間的位能

沿某一路徑

b

a

sdrFW1

1 )(沿路徑

b

a

sdrFW2

2 )(沿路徑

只與前後點有關)()( aUbUU

21 WW 位能存在的條件

21 WW

sdFWW

021

0sdF 保守力條件

若是位能定義要唯一 對任意兩路徑

保守力才能定義位能！

x

xi

xf

一維的，由位置決定的力是保守力！

i

i

x

x

dxxFdxxFW 0)()(

電位能 Electric Potential Energy

靜電力是不是保守力？

sdFU E

rrQqFE ˆ

2

B

A

r

r

drrQq

204

1

垂直於 r 的運動不作功

AB rrQq 11

4 0

先考慮一固定電荷 Q旁一可運動的小電荷q

與 A 、 B 的方向無關

A’

dr

0114 0

AAE rr

QqsdF

靜電力為保守力，可以定義電位能萬有引力也是保守力

sdFU E

AB rrQq 11

4 0

電位能

rQqU

041

ArU ,0)(選

摩擦力是否是保守力？

fdfdfdW f 2回到原位0 mghmghWg

摩擦力不是保守力

動摩擦力大小是常數，但方向與速度有關

0 SfdsfsdF kk

摩擦力不是保守力

W

Ui Uf KfKi

appW U K

推廣後的功與動能原理

mechapp EUKdfW k

將摩擦力視為外力 Fapp

自然界有一個傾向趨向最低位能處！位能可以自然轉為動能，摩擦會慢慢消耗機械能。

但！實驗發現 intk f if d mc T T E

有摩擦，似乎機械能就不守恒！

intkf s E K U int 0E K U

intk f if d mc T T E

d

)(int TE 內能

如果將溫度考慮進來，摩擦作的功，也能如位能，寫成一個物理量在前後狀態的改變！

UiUf KfKi Eint i

Eint f

機械能如果被擴展到包括內能，能量還是會守恆！

int 0E K U

W IR I 2

0W IR I E c t

電磁波帶走的能量

電磁能

20

2

1

m cEvc

2 20 0

12

E m c m v

質能守恆

?

神秘的微中子 Neutrino ν

COSMIC GALL- John Updike Neutrinos, they are very small.

They have no charge and have no massAnd do not interact at all.The earth is just a silly ballTo them, through which they simply pass,Like dustmaids through a drafty hallOr photons through a sheet of glass.They snub the most exquisite gas,Ignore the most substantial wall,Cold-shoulder steel and sounding brass,Insult the stallion in his stall,And scorning barriers of class,Infiltrate you and me! Like tallAnd painless guillotines, they fallDown through our heads into the grass.At night, they enter at NepalAnd pierce the lover and his lassFrom underneath the bed - you callIt wonderful; I call it crass.

β衰變

W. Pauli

N. Bohr

Pauli's letter of the 4th of December 1930Dear Radioactive Ladies and Gentlemen, …….. because of …….. the continuous beta spectrum, I have hit upon a desperate remedy to save …… the law of conservation of energy. Namely, the possibility that there could exist in the nuclei electrically neutral particles, that I wish to call neutrons, which have spin 1/2 and obey the exclusion principle ………….. The continuous beta spectrum would then become understandable by the assumption that in beta decay a neutron is emitted in addition to the electron such that the sum of the energies of the neutron and the electron is constant...

I agree that my remedy could seem incredible because one should have seen those neutrons very earlier if they really exist. But only the one who dare can win and the difficult situation, due to the continuous structure of the beta spectrum, is lighted by a remark of my honoured predecessor, Mr Debye, who told me recently in Bruxelles: "Oh, It's well better not to think to this at all, like new taxes". From now on, every solution to the issue must be discussed. Thus, dear radioactive people, look and judge. Unfortunately, I cannot appear in Tubingen personally since I am indispensable here in Zurich because of a ball on the night of 6/7 December. With my best regards to you, and also to Mr Back.Your humble servantW. Pauli

Cowan and Reines 1955

Cowan and Reines 1955

enp

Homestake

eArCl 3737

Kamilkande 日本神岡