חוברת הסברים - פונקציות מרובות משתנים

1 -1מס' -מפגש

משתנים מרובות פונקציות

כללי

למבחן, וכולל הנדרש מהחומר40%ל- קרוב תופס משתנים מרובות פונקציות נושא: נושאים תתי מספר

הפונקציה. חותך קיצונים, אוכפים, מישור מציאת – גרפיות בעיותא.)לה-גרנז'(. כלכלי הכנסה, עלות, רווח, מיקסום, אילוץ – כלכליות בעיותב.

רקע

, מ מושפע שהיה את ראינו הפשוטה, בה הפונקציה את א', למדנו במתמטיקה: הבא באופן לדוגמא

הדו-מימדי, כלומר, במרחב צורה תיארה הזו הפשוטה הפונקציה כי כן, ידענו כמו: . כך ו-: צירים2 עם במרחב

הנגזרת. ע"י נק' קיצון למצוא השאר לחקור, ובין למדנו הזו הפונקציה סוג את

: הפונקציה של נק' קיצון למצוא : כדי קצרה תזכורת

. : אותה גזרנו א.

נק' קריטית. היא. : 0ל- הנגזרת את השוואנוב.

Email : [email protected] Website : www.dori101.com ©שחר דורי, 2010שמורות, הזכויות כל

0507 - 314 - 314

http://www.dori101.com/


mailto:[email protected]


2 שינוי וראינו שנייה(, ובמידה נגזרת )או טבלה ע"י הנק' הקריטית את איפיינוג.

בקיצון. מדובר כי לעלייה(, ידענו מירידה או לירידה )מעלייה מגמה

(. ) בלבד משתנים2 היו 'פשוטה', בה פונקציה ראינו פה עד

משתנים3 בעלת פונקציה על מדברים משתנים, אנחנו מרובת בפונקציה ומעלה, מימדית. תלת הנראה, צורה אחרת, ככל צורה שמתארת

? המשתנים מרובת הפונקציה מהי

: הבאה הפונקציה לדוגמא, את ניקח

משתנים(, המתארת2מ- למעלה בה )יש משתנים מרובת בפונקציה מדובר צורה : הבא מימדית, באופן תלת

נק' קיצון. לה קיימת של ערכים באילו לחקור, ולברר ניתן הזו הצורה את גם

נק' של חדש תלת-מימדית(, סוג )פונקציה משתנים מרובת לפונקציה בנוסף, קיימת ביותר הברור באופן לראות ניתן ההסבר . אתאוכף 'פשוטה', והיא בפונקציה שאין

: כך נראה האוכף בכיתה, וגרפית בדוגמא


0507 - 314 - 314





3

לפי ונגזרות לפי נגזרות

ופונקציה פונקציה בין חשוב הבדל הוא מרובת 'פשוטה' השיפועים. משתנים, הנגזרת(. שתעיד )כפי הפונקציה נק' על בכל אחד שיפוע 'פשוטה', קיים בפונקציה

סוגי2נק' בכל משתנים, יש מרובת בפונקציה , ואת לפי השיפוע את – שיפועים

: הבא הגרפית בדוגמא לראות שניתן , כפי לפי השיפוע

הנגזרת. ע"י מוצאים אנחנו השיפוע רגילה, את כידוע, בפונקציה

נגזרות שונות :2 יש בפונקציה מרובת משתנים

נוסף סימוןנגזור? כיצדסימוןהנגזרת סוג

לפי נגזרת

: ל נתייחס

: כמשתנה, ולכמספר.

: ל נתייחס לפי נגזרת

: כמשתנה, ול


0507 - 314 - 314

הנגזרת/שיפוע לפי הנגזרת/שיפוע לפי





4 כמספר.

: דוגמאות

: החלקיות הנגזרות

: נוספת דוגמא


דוגמאות... עוד נתרגל בהמשך

משתנים? מרובת בפונקציה ואוכף נק' קיצון מוצאים כיצד

'פשוטה'. את בפונקציה נק' קיצון למציאת מאוד דומה ואוכף נק' קיצון מציאת תהליך: הבאה הפונקציה על נדגים התהליך

: שאלה של קלאסי ניסוח

השנייה" . הנגזרת מבחן ע"י אותם הבאה, ואפיין בפונקציה הנק' הקריטיות את "מצא

הדוגמא.. כדי תוך נכיר השנייה הנגזרת מבחן את

: הפונקציה את נגזור– א' שלב


0507 - 314 - 314





5

שיפוע וגם לפי )שיפוע שיפועים סוגי2 יש משתנים מרובת שלפונקציה מקודם הראנו

נגזרות2 היא הדבר ( ומשמעות לפי "נגזרת ", וקיימת לפי "נגזרת שונים. קיימת

ראשון'( : מסדר חלקיות 'נגזרות גם " )נקראות לפי


:0ל- הנגזרות את נשווה– ב' שלב

הייתה0ל- הנגזרת 'פשוטה', השוואת בפונקציה אחד. משתנה עם אחת משוואה עם משוואות2 של במערכת נגזרות, מדובר2 שיש משתנים, מכיוון מרובת בפונקציה

: נעלמים2

:0ל- הנגזרות השוואת

: נק' קריטית מציאת

!!! ו- מ מורכבת משתנים מרובת בפונקציה : נק' קריטית חשוב**

: הנק' הקריטית - איפיוןג' שלב

: דלתא בניית

: השני, כלומר מהסדר החלקיות מהנגזרות מורכבת דלתא בניית

A =

: הבאים הכללים לפי ואיפיון ב הנק' הקריטית הצבת


0507 - 314 - 314





6

באוכף! מדובר

בנק' קיצון! מדובר

A=f'xx של הערך מינ' לפי מקס' או זה אם בנק' קיצון, נאפיין ומדובר במידה:

בנק' מינ'. מדובר

בנק' מקס'. מדובר

( :0,0) מהדוגמא הנק' הקריטית איפיון

בנק' קיצון. מדובר ולכן

בנק' מינ'... מדובר ולכן

: סיכום


0507 - 314 - 314

למציאת 'סכימת קיצון העבודה' פונקציות נק' משתנים מרובות ואוכף,

. לפי אחת ופעם לפי אחת הפונקציה, פעם את גזור: נגזרות(1)

.0( ל-1) משלב הנגזרות : השוואת0-ל הנגזרות השוואת(2) מורכבת נעלמים. נק' קריטית2 עם משוואות2 של במערכת - מדובר זכור

. : נק' קריטית. ו- של מערכים

דלתא. את השני, בנה מהסדר החלקיות הנגזרות : בעזרת דלתא בניית(3)

a.

b.

c.

d.





7


אותן ואפיין הנק' הקריטיות את . מצא הפונקציה "נתונההשנייה". הנזרת מבחן בעזרת

: ראשון מסדר חלקיות נגזרות– א' שלב

: הנק' הקריטיות ומציאת0ל- הנגזרות - השוואתב' שלב

: הצבה

., , : נק' קריטיות

: דלתא ע"י הנק' הקריטיות איפיון– ג' שלב

: בנפרדהנק', הצבה

נק' אוכף! ( היא0,0) ולכן


0507 - 314 - 314





8

מדובר ולכן בנק' קיצון. מדובר ולכןבמקס'!

ולכן בנק' קיצון. מדובר ולכןבמקס'! מדובר

תרגיל. סוף

הפונקציה" חותך "מישור – גרפיות משתנים מרובות בפונקציות נושא תת

הפונקציה' שבא חותך 'מישור נושא הוא משתנים מרובות בפונקציות קליל נושא תת מהחיתוך משתנים, וכתוצאה המרובת הפונקציה מישור, 'חותך' את בו מצב לתאר: באיור לראות שניתן חדשה, כפי צורה נוצרת

: צירים3 של מערכת על ", נראה : "המישור כך מתמטית המישור, שמתואר זה

: הזאת, לדוגמא מימדית התלת הצורה את שחותך

הצורות2 בין השילוב/חיתוך כפי צורה יוצר המערכת על הללו שניתן דו-מימדית, : הזה בכיתה, ובגרף הויזואלית בדוגמא לראות


0507 - 314 - 314





9

מרחבית'. ניתן 'ראייה הזה, מבחינת הנושא את להבין אמיתי צורך : אין לזכור חשובכעת.. שיתואר הטכנית, כפי ברמה רק עליו להתייחס במקביל

המישור, עם התלת-מימדית הצורה 'חותכים' את אנחנו המתמטית, כאשר ברמה יוצרת זו התלת-מימדית. הצבה בפונקציה המישור של הערך את מציבים בעצם אנחנו

דו-מימדית. פונקציה היא בלבד, ולכן משתנים2 יש בה פונקציה

: דוגמא

חותך המישור כי "ידוע ויוצר הפונקציה את עקומה. מצא

."בנק' לעקומה השיפוע את

: עבודה שלבי

: המשתנים מרובת בפונקציה החותך המישור את נציב(1)

: נגזרת. לכן דרך מקבלים שיפוע. שיפוע למצוא מאיתנו התרגיל, מבקשים בהמשך

זה במקרה לנו, והוא שיש היחיד המשתנה שקיבלנו. לפי הפונקציה את נגזור(2)

:


0507 - 314 - 314

מתארת לאחר שקיבלנו הפונקציה הדו-מימדית הצורה את ההצבה, שנוצרה





10 מהחיתוך. שנוצרה הדו-מימדית הצורה של הנגזרת זו שקיבלנו מה

: הנק' בנגזרת את נציב בנק' שבה השיפוע את למצוא(3)

הכל... וזה

סיכום


הפונקציה את חותך המישור כי ידוע"

". את . מצא בנק' : ל השווה שיפוע ויוצר

: המקורית החותך, בפונקציה המישור את נציב(1)

המקורית. לפונקציה המישור בין החיתוך את שמייצגת הדו-ממדית הפונקציה זו

: הפונקציה, לפי את נגזור(2)


0507 - 314 - 314

לשאלות 'סכימת בפונקציות חותך 'מישור מסוג העבודה' מרובות הפונקציה' : משתנים

בפונקציה המישור ערך את נציבממדית( : הדו הצורה )מציאת המישור הצבת(5)המקורית.

)לפי שקיבלנו הפונקציה את : נגזור ממדית הדו לצורה הנגזרת מציאת(6)שניתן..( היחיד המשתנה





11

ונשווההנק' את נציב(3) בנק' ל השווה שיפוע )"ויוצר הידוע לשיפוע

: )"

כלכליות בעיות

משתנים. מרובת פונקציה על מתבססות הכלכליות ב', הבעיות במתמטיקה

הפונקציה מייצגת לדוגמא, ו- בין הקשר את

סוכנים, לפונקציית בעמלות וההשקעה בפרסום ההשקעה את זה במקרה המייצגיםהרווח.


0507 - 314 - 314





12

(,) סוכנים בעמלות12(, ו-) בפרסום10 החב' תשקיע : אם לדוגמא

כך: שלה הרווח את לחשב יהיה ניתן

בבעיות אנחנו במתמטיקה כלכליות כלומר, מרובות פונקציות על מדברים ב', הכלכלית. הבעיה את יותר אמין באופן טבעי, משקפות משתנים, שבאופן

: פרקטית דוגמא

מייצג: הבאה, כש הרווח פונקציית נתונה ו: כמות מכירת את מייצגמכוניות,

: הבא רהיטים, באופן כמות מכירת

? רהיטים7ו- מכוניות5 החב' תמכור כאשר הרווח יהיה מה

מכוניות5 תמכור והחברה במידה כי הכלכלית, היא המשמעות רהיטים, הרווח7ו- .₪ 4 יהיה שלה

כלכליות בשאלות נושאים תתי

כלכליות. פונקציות ובניית הכרה(1)כלכלית. לפונקציה קיצונים מציאת(2)

( משולב.2( ו-)1) נושא של מבחן ברמת תרגול

/נגזרת.שולי(3)

( משולב.3( ו-)2(, )1) נושא של מבחן ברמת תרגול

)לה-גרנז'(. כלכלי אילוץ תחת קיצון ומציאת כלכליים אילוצים(4)

אילוץ. עם כלכלית בעיה של מבחן ברמת תרגול

כלכליות פונקציות ובניית הכרה


0507 - 314 - 314





13 הכנסה פונקציית

פונקציית את שנקבל רושמת'. או 'קופה הברוטו, כלומר, כמה הכנסה, היא פונקצייתכפולA למוצר כביקוש אותה שבונים נתונה, או ההכנסה + הביקוש שלו המחיר

שלו. המחיר כפולB למוצר

ורהיט₪ 500ב- מכונית : החב' מוכרת לדוגמא 10 החב' תמכור . אם₪ 200ב- ש"ח.5600 = 3*200 + 10*500: יהיה שלה רהיטים, הרווח3ו- מכוניות

(.2מוצר *כמות1מוצר + מחיר1מוצר *כמות1מוצר )מחיר

עלות פונקציית

אותה. לבנות שנידרש או נתונה או תהיה העלות פונקציית הכנסה, גם פונקציית כמושלו. הכמות כפולBליח' + העלות שלה הכמות כפולAליח' העלות היא העלות

החב' תמכור . אם₪ 15לחב' עולה , ורהיט₪ 30 מכונית לבנות : לחב' עולה לדוגמא ש"ח.345 = 3*15 + 10*30: תהיה שלה הכוללת רהיטים, העלות3ו- מכוניות10

(. 2מוצר *כמות2מוצר + עלות1מוצר *כמות1מוצר )עלות

הרווח פונקציית

פחות הכנסה: כ לכיס', ומתקבלת 'נכנס הנטו, כלומר, כמה היא הרווח פונקציית עלות.

העלות פונקציית את נחסיר אותה, אנחנו לבנות נדרש נתונה, ואם תהיה והיא ייתכןההכנסה. מפונקציית

₪ 30 היא למכונית . העלות₪ 200ב- , ורהיט₪ 500ב- מכונית : החב' מוכרת לדוגמא

? שלה הרווח רהיטים. מה3ו- מכוניות10 . החב' מכרה₪ 15 היא לרהיט והעלות

.5600 = 3*200 + 10*500= הכנסה

.345 = 15*3 + 30*10= עלות


0507 - 314 - 314





14 .₪ 5255 = 5600-345= עלות – = הכנסה רווח

כלכלית לפונקציה קיצונים מציאת

מרובת 'פונקציה בשיעור ראינו ועניין. אם דבר לכל פונקציה הכלכלית, היא הפונקציה ,0ל- ראשון, השוואה מסדר חלקיות )נגזרות לפונקציה קיצון מוצאים משתנים' כיצד

השנייה(, הנגזרת דלתא/מבחן דרך שני, איפיון מסדר חלקיות נגזרות דרך דלתא בנייתכלכלית. לפונקציה נק' קיצון מוצאים אנחנו בדיוק אופן באותו אז

: דוגמא

מייצג: הבאה, כש הרווח פונקציית נתונה ו: כמות מכירת את מייצגמכוניות,

: הבא רהיטים, באופן כמות מכירת

מקסימלי? לרווח להגיע החב' כדי למכור תצטרך ורהיטים מכוניות כמה

פתרון

למציאת העבודה סכימת ע"י נק' קיצון גרפית, נמצא משתנים מרובת בפונקציה כמוונאפיין( : דלתא, נציב את )נגזור, נשווה, נבנה נק' קיצון

: ראשון מסדר חלקיות נגזרות(1)

: נק' קריטיות , ונמצא0ל- הנגזרות את נשווה(2)


0507 - 314 - 314





15

(2,3: ) הנק' הקריטיות

: דלתא, דלתא, ואיפיון רכיבי בניית(3)

A =

B =

בנק' קיצון מדובר ולכן

מקסימלית. נק' קיצון ( היא2,3) ולכן


0507 - 314 - 314





16

כלכלית משתנים מרובת בפונקציה שוליות

: כך החב' מיוצגת של הרווח את שמייצגת הפונקציה כי נניח

מייצג כאשר כמות ו כיסאות כמות כיוםשולחנות. כיסאות3 החב' מייצרת 5ו- לייצר, לה עדיף מה לדעת ורוצה – בלבד אחד מוצר עוד לייצר שולחנות, ומעוניינת

נוסף. שולחן או נוסף כיסא

: הבא באופן השאלה על לענות עקרוני, ניתן באופן

יגדל הרווח רמה באיזו לדעת רוצים . אנחנו של ברווח נמצא המפעל כרגע

. או של ביותר, ברמה

: גרפית

ביותר? יגדל הרווח כמות לאיזו במעבר


0507 - 314 - 314





17

( לביןP'x) נוסף כיסא מייצור הרווח נגזרת בין השוואה דרך לקבל ניתן המענה את(. P'y) נוסף שולחן מייצור הרווח נגזרת

את הנגזרת אנחנו מכירים גם בעוד מספר מושגים :

נוספים רומזים שמותמייצגתהנגזרת סוג

לפי נגזרת הפונקציה התקדמות

נוספת יחידה מייצור כתוצאהx של

נוספת" "יחידה(1)שולית" "רווח/הכנסה/עלות(2)

"התוספת(3)לרווח/הכנסה/עלות" לפי נגזרת

הפונקציה התקדמות נוספת יחידה מייצור כתוצאה

y של

הנגזרות? בעזרת השאלה על עונים כיצד

: ביותר הרווח את שיגדיל המוצר ייצור את הייצור' הנוכחית, ונמצא 'רמת את נציב

כיסא נייצר שולחנות, אם5ו- כיסאות3 של ( כלומר3,5) של ייצור : ברמת משמעות עוד לייצר כדאי . ולכן40ב- יגדל נוסף, הרווח שולחן נייצר , ואם8ב- יגדל הרווח נוסף

שולחן.


ממכירת ההכנסה פונקציית נתונה

אנחנו אם למכור יש מחברות ספרים, כמה10 ונמכור ספרים. במידה: ו מחברותספר? ממכירת השולית להכנסה זהה תהיה מחברת ממכירת השולית שההכנסה רוצים


0507 - 314 - 314





18 : השאלה ניתוח

. כי היא " , המשמעות ספרים10 ונמכור במידה"

.. את מחפשים אנחנו כי היא ", המשמעות למכור יש מחברות כמה"

", ספר ממכירת השולית להכנסה זהה תהיה מחברת ממכירת השולית ההכנסה" לעבוד. יש עליה המשוואה , וזו היא המשמעות

: המשך

שלה (, ההכנסה21.25,10) של ייצור ברמת כרגע והחב' תעמוד : במידה משמעותנוספת. מחברת של או נוסף ספר של למכירה תעבור אם כמות באותה תגדל

כלכלי אילוץ

להביא, שאמורה נק' מסוימת נק' קיצון, קיבלנו חיפשנו כלכליות, כאשר בבעיות: הפונקציה את לדוגמא מקסימלי. קחו לדוגמא, לרווח


0507 - 314 - 314





19

במניות ( והשקעה ע"י )המיוצגות טכנולוגיה במניות בהשקעה הרווח את שמייצגת

(. ע"י )המיוצגות חקלאות

רצוי מקסימלי, יהיה יהיה שהרווח נרצה אם כי הפונקציה, ברור על ונסתכל במידהואינסוף במניות כסף אינסוף להשקיע ככל במניות כסף טכנולוגיה, חקלאות.

הפונקציה. 'נמקסם' את יותר, כך גבוהים יהיו ו- של שהערכים

מוגבלים... כסף. המשאבים אינסוף לנו אין – ריאלית בעיה צצה אז אבל

קיצון למצוא בא הכלכלי האילוץ אותו מסוים אילוץ קיים כאשר נק' דרך נתאר , בהמשך לדוגמא, נניח לדוגמא משוואה. להשקיע יכולים אנחנו כי הראשונה,

להשקיע שניתן אומר המניות. זה סוגי סה"כ, כלומר, בשתי ש"ח100 של מקסימוםוכו'. בטכנולוגיה40ו- בחקלאות60 בחקלאות, או0ו- בטכנולוגיה100

. : כך משוואה דרך להציג הזה, נוכל הכלכלי האילוץ את

במניות טכנולוגיה, וכמה במניות )כמה איפה להשקיע כמה לדעת רוצים כעת, אנחנוהנוכחי. האילוץ מקסימלי, תחת רווח לקבל חקלאות( כדי

.לה-גרנז' פונקציית דרך מקבלים אנחנו הפתרון את

הקודמת. הדוגמא הדרך, על את נדגים

ל'מקסם' : רוצים אנחנו אותה הפונקציה מהי – המטרה פונקציית מהי נבין(1)


0507 - 314 - 314





20 קיצון. למצוא רוצים אנחנו הרווח, ולרווח פונקציית זו

: במשוואה הכלכלי האילוץ את ננסח(2)

.100 יהיה ההשקעה סכום בו מצב הכלכלי, שמתאר האילוץ זהו

את גם בתוכה קיצון, המשלבת למצוא רוצים אנחנו חדשה, לה פונקציה נבנה(3): הבא הכלכלי, באופן האילוץ את וגם הרוח פונקציית

שלנו. האילוץ של המקדם 'למדא', והוא שנקרא נוסף משתנה פה : נוסף לב שימו האיברים כל את שהעברנו האילוץ, לאחר את המקדם, שמנו של הסוגריים בתוךהשמאלי. לאגף

בפונקציה האילוץ. מדובר את החדשה, המכילה לפונקציה קיצון מחפשים אנחנו כעת

האילוץ של , והמשתנה , משתנה רווח, משתנה משתנה )בעלת משתנים מרובת

ראשון. מסדר חלקיות נגזרות ע"י קיצון מוצאים לא–( ע"י המיוצג

דלתא! במקס'/מינ' דרך מדובר כי להוכיח צורך לה-גרנז', אין : בפונקציית הקלה

: קיצון למצוא0ל- ראשון, ונשווה מסדר חלקיות נגזרות נבצע(4)

:0ל- נשווה


0507 - 314 - 314





21

: למדא את הראשונות, ולהעלים המשוואות2 בין להשוות אפשר

: לפתור האחרונה במשוואה ונציב

. , אז100ל- שווה ו- של שהסכום ומכיוון

טכנולוגיה, במניות50 להשקיע האילוץ, יש מקסימלי, תחת לרווח להגיע כלומר, כדיחקלאות. במניות50ו-

: באילוץ שעומדת נק' אחרת עם התוצאה את הנק' במשוואה, ונשווה את נציב(5)

: נק' הקיצון

(( :90,10: ) ב )אקראית, בחרתי באילוץ שעומדת נק' השוואה

לה-גרנז'..(. בפונקציות הנדרשת ההוכחה )זו נק' מקסימום אכן זו כי והראנו

: סיכום


0507 - 314 - 314

: משתנים מרובת בפונקציה אילוץ עם נק' קיצון העבודה' למציאת 'סכימת

קיצון. למצוא רוצים למה – למקסם רוצים אותה הפונקציה – המטרה פונקציית(1) מס' נראה הנתונות. בהמשך למגבלות במשוואה, בהתאם ניסוח – האילוץ ניסוח(2)

עצמם. על שחוזרים אילוצים סוגי 'למדא' המטרה, ועוד פונקציית רישום – הכללים לה-גרנז' לפי פונקציית בניית(3)

האילוץ.'למדא'(. לפי )כולל המשתנים ראשון, לפי מסדר חלקיות נגזרות(4).0ל- החלקיות הנגזרות השוואת(5)פתיר... המשתנים. זה למספר שווה יהיה המשוואות )מספר המשוואות פתרון(6)נק' הקיצון. מציאת(7)הקיצון הצבת(8) והשוואה נק' נק'( שעומדת )כל לנק' אחרת במשוואה,





22

נישה לבעיות משתנים מרובת מפונקציה למעבר הכנה

: הפונקציה נתונה

. ו כאשר ערך את מצאא.

(?0,2 בנק' )z מהוב.

הפונקציה את בנהג.


0507 - 314 - 314





חוברת הסברים - פונקציות מרובות משתנים

Documents