Неравенства о среднихНеравенства о средних

Некоторые средние 2 положительных чисел

Среднееарифметическое

Среднеегеометрическоегеометрическое

Среднеегармоническое

Среднееквадратичное

Среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратичное двух положительных чисел связаны следующим соотношением:

Доказательство 1.

Докажем, что среднее квадратичное двух положительных чисел не меньше их среднего

арифметического

ч. т. д. ,

причем равенство выполняется только при

Доказательство 2.

Докажем, что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего

геометрического.

ч. т. д., причем равенство выполняется только при

Доказательство 3.

Докажем, что среднее гармоническое двух положительных чисел не меньше их среднего

геометрического.

причем равенство выполняется только при

Задача: Среднее арифметическое двух чисел равно

20, а среднее геометрическое – 12. Найдите эти

числа.

Решение: Если , то . Получим систему 202

a b+= 12ab =

Задача 1

уравнений . Откуда Корни

уравнения Следовательно, это числа 4 и 36.

Ответ: 4; 36.

2

202

12

a b

ab

+=

=

240 144 0.b b− + =

36 4.b и b= =

Задача: Чему равно наибольшее значение

произведения , если и ?

Решение: Так как , то . При

каждый из множителей выражения

принимает положительные значения. Тогда, используя

5b a= − (5 )ab a a= −

1 3a≤ ≤ ( )5a a−

Задача 2

ab 1 3a≤ ≤ 5b a= −

принимает положительные значения. Тогда, используя

неравенство между средним арифметическим и

средним геометрическим, получаем

Равенство достигается при

Ответ: 6.25.

( ) ( )2

5 5 255 ; 5 6.25.

2 2 4

a aa a a a

+ − − ≤ − ≤ = =

, . . 5 , 2,5.a b те a a при a= = − =

1) Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельный ее

Геометрическую интерпретацию неравенств о средних можно

увидеть в трапеции.

параллельный ее основаниям, численно равен среднему гармоническомyоснований

2) Средняя линия трапеции численно равна среднему арифметическому оснований.

Доказательство 4.

Докажем, что в данной трапеции отрезок EF, проходящий через точку пересечения диагоналей, численно равен среднему гармоническому оснований BC и AD.

A

E

B

O

C

F

D

a

A Db

Доказательство 5.

B

F

C

E O

a

Из школьного курса геометрии за 8 класс известно, что

отрезок EF, являющийся средней линией трапеции, равен полусумме оснований BC и AD, т.е. их среднему арифметическому.

A Db

Среднее геометрическоеСреднее геометрическое используют, прежде всего,

тогда, когда среднее значение вычисляют для значений, заданных через некоторые равные промежутки времени (рост или снижение успеваемости, заработной платы и т.д.).

Среднее геометрическое применяют тогда, когда

• переменная с течением времени изменяется примерно с одинаковым соотношением между измерениями;

• отдельные значения в статистической совокупности удалены от других значений;

• индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

Геометрический способ построения среднего

геометрического

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. Это даёт геометрический способ проекцией на гипотенузу. Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, тогда высота, восставленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.

На рисунке :

BH AH HC ab= ⋅ =

Задача 3Задача: В период с 2005 по 2008 годы индекс инфляции в России составлял: в 2005 году - 1,109; в 2006 - 1,090; в 2007 - 1,119; в 2008 - 1,133. Вычислить среднее значение инфляции.Решение: Так как индекс инфляции - это относительное изменение (индекс динамики), то относительное изменение (индекс динамики), то рассчитывать среднее значение нужно по средней геометрической: то есть за период с 2005 по 2008 ежегодно цены росли в среднем на 11,26%. Ответ: 11,26%.Ошибочный расчет по средней арифметической дал бы неверный результат 11,28%.

4 1,109 1,090 1,119 1,133 1,1126,⋅ ⋅ ⋅ =

Среднее гармоническоеСреднее гармоническое необходимо в том случае, когда наблюдения, для которых мы хотим получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями. Определяющее свойство обратными значениями. Определяющее свойство средней гармонической заключается в том, чтобы при осреднении оставалась неизменной сумма величин, обратных осредняемым.

Задача 4Задача: Бригада токарей была занята обточкой

одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй -15 мин., третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.

Решение: Число деталей, изготовленных каждым Решение: Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно:

Ответ: 13,3Ошибочный расчет по средней арифметической дал бы

неверный результат 13,6.

ВыводНеравенства о средних используются при

сравнении чисел и доказательстве неравенств.

Знание геометрической интерпретации средних в трапеции помогает решать некоторые средних в трапеции помогает решать некоторые сложные геометрические задачи.

Значения средних величин помогают решить сложные алгебраические задачи.