ΕΘΝΙΚΗ ΕΣΤΙΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Ιούνιος 2012

1

Η ΕΕΕ ΕΙΝΑΙ ΧΩΡΟΣ...

Ελεύθερης γνώσης και µαθησιακής αναζήτησης.

Αλληλεπίδρασης µε επιστηµονικά εκθέµατα.

∆ιαλόγου επικοινωνίας και ενηµέρωσης.

Πολιτισµού γραµµάτων και τεχνών.

∆ιεθνών συναντήσεων και συνεργασίας.

Ιούνιος 2012

2

ΣΕ ΠΟΙΟΥΣ ΑΠΕΘΥΝΕΤΑΙ :

Απευθύνεται κυρίως σε µαθητές, σπουδαστές, δασκάλους και καθηγητές οι

οποίοι µέσα από ένα αλληλεπιδραστικό ευχάριστο περιβάλλον διαθεµα-

τικότητας και ολιστικότητας αναζήτησης της γνώσης ανακαλύπτουν και

εντρυφούν σε βασικές έννοιες των Μαθηµατικών της Φυσικής και της

Πληροφορικής.

ΠΩΣ ΣΥΝΕΙΣΦΕΡΕΙ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΣΗ :

∆ηµιουργεί ερεθίσµατα µε συγκεκριµένες επιστηµονικές κατασκευές και

εκθέµατα που σχετίζονται µε έννοιες και γνώσεις που διδάσκονται στα

σχολεία. Μέσω της αλληλεπίδρασής τους µε αυτά, οι µαθητές και σπουδαστές

οδηγούνται σε ένα διάλογο βαθύτερης αναζήτησης και κατανόησης.

Ενισχύει τη µαθησιακή διαδικασία µε τη δηµιουργία ερεθισµάτων µέσα από

παραστατικές προσεγγίσεις των γνωστικών αντικειµένων. ∆ηµιουργεί κίνητρο,

ανοίγοντας δρόµους αναζήτησης και κατανόησης µαθηµατικών εννοιών και

των φυσικών φαινοµένων.

Προσφέρει µεθόδους στους εκπαιδευτικούς για ζωντανές προσεγγίσεις των

επιστηµονικών εννοιών που διδάσκουν. Προωθεί την ερευνητική σκέψη και

εφευρετικότητα διεγείροντας τη φαντασία και συµπληρώνοντας τη διδασκαλία

που γίνεται στην τάξη.

3

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΤΗΣ ∆ΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΗΣ ΕΘΝΙΚΗΣ ΕΣΤΙΑΣ ΕΠ1ΣΤΗΜΩΝ

Η ΕΕΕ ιδρύθηκε τον Ιούνιο του 1995 κατόπιν πρότασης του υπουργείου

Παιδείας, που ζήτησε την εκπόνηση µελέτης για τη δηµιουργία διαρκούς

Εκπαιδευτικής Έκθεσης Επιστηµών όπου θα αναπτύσσονται επιστηµονικές

και εκπαιδευτικές δραστηριότητες µε αξιοποίηση της σύγχρονης

τεχνογνωσίας, προκειµένου να προσφέρεται κατά σταθερό τρόπο στους

µαθητές δασκάλους και καθηγητές των σχολείων αλλά και στο ευρύτερο

κοινό, ενηµέρωση και εξοικείωση µε τα σύγχρονα εκπαιδευτικά µέσα, στο

χώρο των επιστηµών.

Πρωταρχικός σκοπός ήταν :

Η ενίσχυση της µαθησιακής διαδικασίας µε τη δηµιουργία ερεθισµάτων µέσα

από παραστατικές προσεγγίσεις των γνωστικών αντικειµένων.

Η δηµιουργία κινήτρων που θ' ανοίξουν δρόµους αναζήτησης και κατανόησης

των επιστηµονικών εννοιών και φαινοµένων.

Η προώθηση της κριτικής σκέψης και εφευρετικότητας, διεγείροντας τη

φαντασία και συµπληρώνοντας τη διδασκαλία που γίνεται στην τάξη.

Παράλληλα, βασικό µέληµα θα αποτελούσε η αναζήτηση νέων διδακτικών

προσεγγίσεων, που θα διευκολύνουν την αντίστοιχη µαθησιακή διαδικασία

µέσα στα σύγχρονα κοινωνικά και τεχνολογικά δεδοµένα.

Στις αρχές του 1996 παρουσιάσθηκε το πλαίσιο επιστηµονικής και

εκπαιδευτικής δράσης και λειτουργίας της. Με τη συµβολή του Εθνικού

Ιδρύµατος Νεότητας και τη συνεργασία του Εκθεσιακού Κέντρου Επιστηµών

της Cite des Sciences de la Villette, προχώρησε η προετοιµασία για την

εγκατάσταση της Έκθεσης στους χώρους της Εθνικής Εστίας των Αγίων

Αναργύρων από όπου προήλθε και η ονοµασία "Εθνική Εστία Επιστηµών"

(ΕΕΕ).

Φάση 1η – Κτήριο 1 (1996-1999)

Στα τρία πρώτα χρόνια λειτουργίας της η ΕΕΕ παρήγαγε σηµαντικό έργο,

ανταποκρινόµενη πλήρως στο πλαίσιο της επιστηµονικής και µορφωτικής

λειτουργίας της δεδοµένων και των αρίστων κτηριακών δυνατοτήτων της

Εθνικής Εστίας Αγίων Αναργύρων. Συµµετείχαν στις µορφωτικές της

4

δραστηριότητες περισσότεροι από 30.000 µαθητές και καθηγητές από την

Ελλάδα και το εξωτερικό. Στα τέλη του 1999 οι κτηριακές της υποδοµές

καταστράφηκαν από το µεγάλο σεισµό της Αθήνας.

Φάση 2η – Κτήριο 2 (1999-2003)

Από το Νοέµβριο του 1999 µέχρι και τον Ιούνιο του 2003 παραχωρήθηκε

από τον «Οργανισµό Ρυθµιστικού Σχεδίου και Προστασίας Περιβάλλοντος

Αθήνας» του ΥΠΕΧΩ∆Ε παρακείµενο κτήριο µέσα στο πάρκο « Αντώνης

Τρίτσης », προκειµένου να µεταστεγαστούν οι δραστηριότητες της Εθνικής

Εστίας Επιστηµών.

Στους νέους αυτούς χώρους (σηµαντικά µικρότερους από τους αρχικούς)

εγκαταστάθηκαν εκ νέου οι δύο εκθέσεις, Μαθηµατικών και Πληροφορικής,

δηµιουργήθηκε εργαστήριο πληροφορικής και έγινε δικτύωση όλων των

υπολογιστών (γραφείων καθηγητών, εργαστηρίου, γραµµατείας και διοίκησης.

Τότε η Ε.Ε.Ε. µετονοµάστηκε σε «Εστία Θετικών Επιστηµών Αττικής»

(Ε.Θ.Ε.Α.) και αργότερα σε «Εστία Επιστηµών Αττικής» (Ε.Ε.Α.), µε σκοπό τη

δηµιουργία ενός δικτύου Εστιών σε διάφορες πόλεις της Ελλάδας, µε

δραστηριότητες που θα αναφέρονται και σε άλλες θεµατικές περιοχές.

Φάση 3η – Κτήριο 3 – Μαθητική Εστία (2003-2011)

Τον Σεπτέµβριο του 2000 η Εστία Επιστηµών µεταστεγάστηκε και

φιλοξενήθηκε έως το 2011 στον 2ο όροφο του κτιρίου της Μαθητικής Εστίας

Αγίων Αναργύρων (ΜΕΑΑ) χώρο ακόµα µικρότερο του προηγούµενου όπου

παρόλα αυτά όµως οι επισκέψεις των σχολείων συνεχίστηκαν ικανοποιητικά.

Όπως προκύπτει από τα ερωτηµατολόγια αξιολόγησης τα οποία

συµπληρώνουν ανώνυµα οι µαθητές, σε αντίθεση µε τον εγκωµιασµό του

διδακτικού έργου υπήρξε έντονη η δυσφορία για τις κτηριακές εγκαταστάσεις.

Η σηµερινή κατάσταση

Η διοίκηση του ΙΝΕ∆ΙΒΙΜ αναγνωρίζοντας το µέγεθος της προσφοράς που

µπορεί να έχει η ΕΕΕ στη µαθητιώσα και σπουδάζουσα νεολαία, αποφάσισε

το 2011 να παραχωρήσει για τις δραστηριότητες της ΕΕΕ, το κτήριο Γ των

εγκαταστάσεων του ΙΝΕ∆ΙΒΙΜ στο πάρκο Τρίτση προσφάτως ανακαινισθέ-

ντος και διαµορφωθέντος για τις ανάγκες λειτουργίας της ΕΕΕ.

5

Η αίθουσα εκθεµάτων Πληροφορικής

6

Οι αίθουσες εκθεµάτων Μαθηµατικών

7

ΤΟ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ - ∆Ι∆ΑΚΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΕΕΕ

Η Εθνική Εστία Επιστηµών, είναι µια διδακτική προσαρµογή των γνωστών και

ευρέως αναπτυγµένων ανά τον κόσµο αλλά και την Ελλάδα επιστηµονικών

κέντρων (science centers).

Λειτουργεί παράλληλα και συµπληρώνει το εκπαιδευτικό σύστηµα,

προσφέροντας στους µαθητές, δασκάλους και καθηγητές ερεθίσµατα

αναζήτησης της γνώσης µέσα από την οργανωµένη αλληλεπίδραση µε

εκθέµατα Μαθηµατικών και Πληροφορικής.

Οι µαθητές ανακαλύπτουν και εντρυφούν σε βασικές έννοιες των

Μαθηµατικών της Φυσικής και της Πληροφορικής µέσα από ένα

αλληλεπιδραστικό και ευχάριστο περιβάλλον διαθεµατικότητας και

ολιστικότητας αναζήτησης της γνώσης.

Σε αρκετά science centers στον κόσµο έχουν αναπτυχθεί και υλοποιούνται

αξιόλογα εκπαιδευτικά προγράµµατα, βασισµένα σε αλληλεπιδραστικά

εκθέµατα (ΑΕ) που αναφέρονται σε έννοιες των Μαθηµατικών, της Φυσικής

και της Πληροφορικής.

Η ΕΕΕ επιχειρεί σηµαντικά περαιτέρω , µε την υλοποίηση εκπαιδευτικών

προγραµµάτων σχεδιασµένων για την υποστήριξη των σχολικών

δραστηριοτήτων, σε συνεργασία µε τις σχολικές µονάδες και την καθηµερινή

υποδοχή σχολικών τµηµάτων µαθητών που τις επισκέπτονται.

Κάθε σχολικό τµήµα που επισκέπτεται την ΕΕΕ χωρίζεται σε ολιγοµελείς

οµάδες, τη δραστηριότητα των οποίων παρακολουθούν και καθοδηγούν τα

µέλη της ΕΟ, ειδικά εκπαιδευµένοι διδάσκοντες, που έχουν εντρυφήσει σε

βασικές αρχές της ∆ιδακτικής, µε σκοπό την εισαγωγή και εµβάθυνση σε

έννοιες των Μαθηµατικών, της Φυσικής και της Πληροφορικής, στην

κατανόηση των οποίων το κλασικό σχολικό περιβάλλον συναντά αρκετές

δυσκολίες.

Ειδικά για τα µαθηµατικά, µεγάλο πλήθος σπουδαστών αισθάνεται δέος,

φοβία, άγχος και εν τέλει αποστροφή. Το φαινόµενο αυτό είναι γνωστό µε τον

όρο mathematics anxiety. Για το φαινόµενο αυτό ευθύνεται κυρίως το

εκπαιδευτικό σύστηµα µε την όλη δοµή του, τις µεθόδους και τις λειτουργίες

του.

8

Ένας πρώτος στόχος των µαθησιακών προσεγγίσεων των Εστιών κινείται

προς την κατεύθυνση της απάλειψης του φαινοµένου της µαθηµατικοφοβίας.

Θεωρούµε σηµαντικό να δοθεί στους σηµερινούς και αυριανούς σπουδαστές

όλων των βαθµίδων, η δυνατότητα να έχουν πραγµατικά βιώµατα επιτυχίας.

Είναι απαραίτητο να ζήσουν την ευχάριστη πλευρά των Μαθηµατικών, να

διασκεδάσουν και να παίξουν, να απορήσουν, να προβληµατιστούν, να

συλλογισθούν, να αναπτύξουν διάλογο, να αµφισβητήσουν και τέλος να

αναζητήσουν και να συνθέσουν θέση λογικά τεκµηριωµένη. H EEE προσφέρει

αυτήν ακριβώς τη δυνατότητα. Μέσα από το παιγνιώδες περιβάλλον των ΑΕ

και των σχετικών αφισών, οι επισκέπτες σπουδαστές υφίστανται την ανάγκη

συµµόρφωσης (assimilation) και όχι αφοµοίωσης (accommodation)

διάσπαρτης γνώσης, όπως αυτή του προσφέρεται στο σύνηθες σχολικό

περιβάλλον. Έτσι, το έργο της EEE συµπληρώνει τη διδασκαλία που γίνεται

στην τάξη.

Παράλληλα, οι καθηγητές που φέρνουν τους µαθητές τους στην EEE, έχουν

τη δυνατότητα να παρατηρήσουν τις άµεσες αντιδράσεις τους απέναντι στα

ερεθίσµατα που δέχονται από τα εκθέµατα, διαπιστώνοντας µε έκπληξή τους

πολλές φορές, µια απελευθέρωση νοητικών δυνάµεων, οι οποίες δεν

µπορούν για διαφόρους λόγους να εκδηλωθούν στο σύνηθες σχολικό

περιβάλλον.

Οι επισκέψεις των σχολείων γίνονται µε επικοινωνία των δασκάλων και

καθηγητών µε την ΕΟ της ΕΕΕ όπου προγραµµατίζονται ειδικές διδακτικές

δραστηριότητες, κατάλληλα διαµορφωµένες στις δυνατότητες των εκάστοτε

τµηµάτων.

Τέλος η ΕΕΕ οργανώνει εκπαιδευτικές ηµερίδες µε συµµετοχή διαπρεπών

Ελλήνων αλλά και ξένων επιστηµόνων από το χώρο της Παιδείας ,

αξιοποιώντας προγράµµατα της Ευρωπαϊκής Ένωσης, µε σκοπό την

ανταλλαγή εκπαιδευτικών απόψεων και εµπειριών σε ελληνικό, ευρωπαϊκό και

διεθνές επίπεδο.

9

ΣΥΝΟΠΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΗΣ

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ

9.00 - 9.30

ΦΑΣΗ Α :

ΥΠΟ∆ΟΧΗ

Παρουσίαση του ηµερησίου εκπαιδευτικού

προγράµµατος. Κατανοµή των µαθητών σε 4 οµάδες

ΜΑ, ΜΒ , ΠΑ , ΠΒ.

Κατανοµή των µαθητών στις αίθουσες

Μ (Μαθηµατικών) και Π (Πληροφορικής)

9.30 - 11.00 ΦΑΣΗ Β:

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ

ΜΕ ΤΑ

ΕΚΘΕΜΑΤΑ

Είσοδος των 2 τµηµάτων Μ (µαθηµατικά) στην

αίθουσα των εκθεµάτων Μ

Είσοδος των 2 τµηµάτων Π (πληροφορική) στην

αίθουσα των εκθεµάτων Π

11.00 - 11.15 ∆ΙΑΛΕΙΜΜΑ

11.15 - 12.00

ΦΑΣΗ Γ:

∆Ι∆ΑΣΚΑΛΙΑ

∆ΙΑΛΟΓΟΣ

Είσοδος των τµηµάτων Μ στην αίθουσα διδασκαλίας

Μ

Είσοδος των τµηµάτων Π στην αίθουσα διδασκαλίας

Π

Ανάλυση σε βάθος (ανάλογα µε το γνωστικό επίπεδο)

των επιστηµονικών εννοιών οι οποίες ανιχνεύθηκαν

εµπειρικά κατά τη διάρκεια της αλληλεπίδρασης µε τα

εκθέµατα

12.00– 12.15 ∆ΙΑΛΕΙΜΜΑ

12.15 - 13.15 ΦΑΣΗ ∆:

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ

ΤΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κάθε οµάδα από τις ΜΑ, ΜΒ , ΠΑ , ΠΒ.

παρουσιάζει στις υπόλοιπες τη δραστηριότητά της. Οι

µαθητές παρουσιάζουν στους υπόλοιπους συµµαθητές

τους.

13.15 - 13.30

ΦΑΣΗ Ε : ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ – ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ

Σε ειδικό έντυπο αξιολόγησης οι µαθητές καταγράφουν ανώνυµα τις απόψεις

και παρατηρήσεις τους για την εκπαιδευτική διαδικασία στην οποία

συµµετείχαν.

13.30– 14.30 Επεξεργασία αξιολογήσεων

10

Η ∆ιαδραστική Έκθεση Μαθηµατικών

1. ΕΙΚΑΣΙΑ - ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ, ΑΞΙΩΜΑ - ΘΕΩΡΗΜΑ

ΤΟ ∆ΙΑΣΗΜΟΤΕΡΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

Παρόλο που ήταν ήδη

γνωστό εµπειρικά στους

Βαβυλώνιους 2000 χρόνια

π.Χ, την πρώτη γενική

απόδειξη του θεωρήµατος

θεωρείται ότι την έδωσε ο

Πυθαγόρας. Το πυθαγόρειο

θεώρηµα που έχει

αποδειχθεί µε τόσους

πολλούς τρόπους όσο

κανένα άλλο θεώρηµα,

προκάλεσε µια από τις

πρώτες κρίσεις στα

Μαθηµατικά, κρίσεις οι οποίες επέτρεψαν την ανάπτυξή τους και έγινε η αιτία να

ανακαλυφθούν οι άρρητοι αριθµοί. Η ενασχόληση αργότερα του Fermat µε τις

πυθαγόρειες τριάδες και τη γενίκευση του θεωρήµατος, έγινε αιτία να διατυπωθεί

µια εικασία η οποία χρειάσθηκε 350 χρόνια για να αποδειχθεί και που η αναζήτηση

µιας απόδειξής της συνεισέφερε στην ανάπτυξη µαθηµατικών γνώσεων µεγάλης

σπουδαιότητας.

Οι επισκέπτες εδώ καλούνται να επαληθεύσουν εµπειρικά το πυθαγόρειο θεώρη-

µα και εν συνεχεία να κατανοήσουν την αποδεικτική αφαιρετική διαδικασία, από τα

αξιώµατα στα θεωρήµατα. Επίσης καλούνται να κατανοήσουν εµπειρικά την

εικασία του Fermat.

11

2. ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ∆ΙΑ∆ΡΟΜΩΝ - ΣΑΠΩΝΟΕΙ∆ΕΙΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ

Η έννοια της βελτιστοποίησης µε την έννοια της εύρεσης των ακρότατων τιµών

που µπορεί να πάρει µια συνάρτηση είναι ιδιαίτερα σηµαντική. Αποτελεί

µαθηµατικό υπόβαθρο ερµηνείας και ελέγχου πολλών φαινοµένων και χρησιµο-

ποιείται στη λύση πολλών προβληµάτων. Ο Euler ισχυρίστηκε ότι «στον κόσµο

δεν συµβαίνει τίποτα του οποίου η σηµασία να µη συµπίπτει µε την εύρεση

κάποιου µεγίστου ή ελαχίστου». Οι φυσικοί έχουν παρατηρήσει ότι όταν τα φυσικά

συστήµατα ισορροπούν, κάποια µεγέθη τους όπως η ενέργεια, τείνουν προς τις

ελάχιστες τιµές τους. Ο Βέλγος φυσικός Jozeph Plateau ανακάλυψε το 1861 ότι οι

µεµβράνες που δηµιουργούνται όταν µια συρµάτινη κλειστή καµπύλη βυθιστεί σε

σαπωνοειδές διάλυµα, καταλαµβάνουν την ελάχιστη δυνατή επιφάνεια. Η

συµπεριφορά αυτή των µεµβρανών προέρχεται από το γεγονός ότι προσπαθούν

να ελαχιστοποιήσουν τη δυναµική τους ενέργεια. Επειδή όµως αυτή είναι ανάλογη

του εµβαδού τους παίρνουν το σχήµα µε το µικρότερο δυνατό εµβαδόν µεταξύ

όλων όσων έχουν το ίδιο περίγραµµα. Οποιαδήποτε κλειστή καµπύλη και αν

σχηµατίσουµε µε ένα σύρµα και την εµβαπτίσουµε στο σαπωνοειδές διάλυµα θα

σχηµατισθεί πάντα µια επιφάνεια. Το µαθηµατικό πρόβληµα διατυπώνεται ως

εξής: υπάρχει για µια κλειστή καµπύλη τουλάχιστον µια ελάχιστη επιφάνεια; Η

ανάλυση µιας τέτοιας ερώτησης οδηγεί στη µελέτη των ελαχίστων επιφανειών και

είναι ένα πρόβληµα µε σηµαντικές εφαρµογές.

Οι επισκέπτες πειραµατίζονται και προβληµατίζονται προσπαθώντας να

εξηγήσουν τα διάφορα σχήµατα που προκύπτουν από τη βύθιση κατάλληλα

επιλεγµένων κατασκευών σε σαπωνοειδές διάλυµα. Οι λεγόµενες σαπωνοειδείς

επιφάνειες, υποβάλλουν το ερώτηµα των ελάχιστων διαδροµών και υποδεικνύουν

µια εµπειρική απάντηση.

12

3. ∆ΥΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ -ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΤΟΥ GALTON

Στόχος αυτής της δραστηριότητας είναι η εισαγωγή στην κανονική κατανοµή, ως

οριακής µορφής της αντίστοιχης διακριτής δυωνυµικής, µε τη βοήθεια του αλληλε-

πιδραστικού εκθέµατος γνωστού ως «τρίγωνο Galton» (Galton Board ή

Quinqunxpc).

Οι ιδιότητες της κανονικής κατανοµής δίνονται ως απλές πληροφορίες, χωρίς

καµία εξήγηση, για πρώτη φορά στη δευτεροβάθµια εκπαίδευση, στα Μαθηµατικά

Γ Λυκείου Γενικής Παιδείας. Η προσπάθειά µας είναι να δώσουµε µια ευλογοφανή

δικαιολόγηση αυτών των ιδιοτήτων χρησιµοποιώντας την προσέγγισή της από την

δυωνυµική κατανοµή χρησιµοποιώντας το «τρίγωνο του Galton».

Το θέµα µπορεί να παρουσιασθεί και σε µικρότερες τάξεις ως ένα ανεξάρτητο

πρόβληµα στις απλούστερες µορφές του, ανάλογα µε το γνωστικό επίπεδο των

µαθητών εγγράφοντας υποθήκες για την πλήρη µελέτη του στη Γ λυκείου η

αργότερα στο Πανεπιστήµιο.

13

4. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ

Στόχος αυτής της θεµατικής ενότητας είναι η εισαγωγή των µαθητών στην ποικιλία

των διαφόρων γεωµετρικών αξιωµατικών θεωριών, θεωρώντας την Ευκλείδεια

εκδοχή ως µια ειδική περίπτωση. Η γεωµετρία που διδάσκεται στο σχολείο, είναι η

γεωµετρία του χώρου για την οποία ισχύουν τα αξιώµατα του Ευκλείδη γι αυτό και

λέγεται Ευκλείδεια. Ο ίδιος ο Ευκλείδης χρησιµοποιεί στα Στοιχεία του το 5ο αίτηµα

µετά τις 28 πρώτες προτάσεις και αυτό δίνει το έναυσµα σε µια σειρά µαθηµατικών

από πολύ νωρίς (Κλαύδιος Πτολεµαίος 150 π.Χ.) να προσπαθήσουν να το

αποδείξουν. Μετά από άκαρπες προσπάθειες αιώνων, στο τέλος του 18ου και

στις αρχές του 19ου αιώνα συµβαίνει ένα αξιοσηµείωτο και επαναστατικό

γεγονός: Το 5ο αίτηµα δεν αποδεικνύεται, αλλά αντικαθίσταται από άλλο. Ανάλογα

µε την πρόταση που το αντικαθιστά χαρακτηρίζεται η νέα Γεωµετρία ως ελλειπτική

ή υπερβολική και δηµιουργούνται έτσι οι µη Ευκλείδειες Γεωµετρίες. Για

περισσότερο από δύο χιλιάδες χρόνια κυριαρχούσε η αντίληψη, ότι η Ευκλείδεια

Γεωµετρία ήταν απαραίτητα η γεωµετρία του χώρου. Με την ανακάλυψη των µη

ευκλείδειων γεωµετριών αποδείχθηκε ότι το Ευκλείδειο µοντέλο περιγράφει µόνο

14

σε τοπικό επίπεδο το χώρο που µας περιβάλλει, ενώ για τη µελέτη του σύµπαντος

είναι περισσότερο αποδεκτό το υπερβολικό µοντέλο.

Οι επισκέπτες µε έναν καθαρά βιωµατικό τρόπο µαθαίνουν τη λειτουργία και τους

κανόνες διαφορετικών γεωµετρικών κόσµων, µη-Ευκλείδειων. Ανακαλύπτουν την

ουσία της αξιωµατικής µεθόδου και την έννοια της απόδειξης εκεί που η αλήθεια

αντιβαίνει στη διαίσθηση.

Αναζητούν την ελάχιστη διαδροµή που συνδέει δυο σηµεία της υδρογείου, ώστε να

προβληµατιστούν µε την έννοια της ευθείας στην ελλειπτική γεωµετρία και να

κατανοήσουν τη γεωδαιτική γραµµή της σφαιρικής γεωµετρίας αντίστοιχης της

έννοιας της ευκλείδειας ευθείας. ∆ιαπιστώνουν ότι το άθροισµα των γωνιών ενός

τριγώνου στην επιφάνεια µιας σφαίρας υπερβαίνει τις 180 µοίρες και κατανοούν

την «τοπικότητα» της Ευκλείδειας Γεωµετρίας στη σφαιρική επιφάνεια.

Καλούνται να πειραµατιστούν µε το µοντέλο Poincare της υπερβολικής

Γεωµετρίας. Χωρίζονται σε οµάδες των Ευκλείδειων και Μη-Ευκλείδειων

Γεωµετρών, και επιχειρούν καθοδηγούµενοι, οι µεν πρώτοι να αποδείξουν ότι το

άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 µοίρες, ενώ οι υπόλοιποι να βρουν

που αποτυγχάνει η ίδια απόδειξη σε µη ευκλείδεια επίπεδα, αντιλαµβανόµενοι έτσι

ποιος είναι ο ρόλος του 5ου αιτήµατος του Ευκλείδη.

15

5. Ο ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ FRACTALS

Στόχος αυτής της θεµατικής ενότητας είναι η εξερεύνηση του κόσµου των fractals.

Παρατηρώντας γύρω µας τον κόσµο που ζούµε, θα δούµε ότι δέντρα, βουνά,

ακτές, σύννεφα, χιονονιφάδες, και άλλα πολλά αντικείµενα έχουν µορφή (αλλά και

δοµή) εξαιρετικά πολύπλοκη και ακανόνιστη, τέτοια ώστε για την περιγραφή της να

µην είναι αρκετή η γλώσσα της Ευκλείδειας Γεωµετρίας. Αντικείµενα της

κατηγορίας αυτής µε την ιδιότητα να εµφανίζουν λεπτοµερειακή δοµή κάτω από

ένα ευρύ φάσµα κλιµάκων παρατήρησης και η οποία παραµένει κατά µέσο όρο

όµοια µε την αρχική, λέγονται µορφοκλασµατικά (fractals), και η νέα γεωµετρική

γλώσσα που τα περιγράφει µορφοκλασµατική Γεωµετρία. Η ιδιότητά τους να

διατηρούν την δοµή τους κάτω από αλλαγή κλίµακας χαρακτηρίζεται σαν

αυτοοµοιότητα.

Εδώ οι επισκέπτες καλούνται να κατασκευάσουν µόνοι τους απλά µορφοκλασµα-

τικά σύνολα και να επιβεβαιώσουν την ιδιότητα αυτοοµοιότητας που τα διακρίνει.

Ένα άλλο χαρακτηριστικό των µορφοκλασµατικών είναι η κλασµατική τους

διάσταση. Η κλασµατική διάσταση είναι πρακτικά ένα µέτρο της "πολυπλοκότητας"

του µορφοκλασµατικού και είναι ένας µη ακέραιος αριθµός. Ο αριθµός αυτός δε

µπορεί να είναι µεγαλύτερος από την ευκλείδεια διάσταση του χώρου στον οποίο

βρίσκεται το µορφοκλασµατικό αντικείµενο.

Εδώ οι επισκέπτες εξοικειώνονται µε την έννοια της κλασµατικής διάστασης και

µετράνε την κλασµατική διάσταση ορισµένων απλών µορφοκλασµατικών όπως

του fractal του Sierpinski µε απλές µεθόδους.

16

6. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ - ΛΟΓΟΣ – ΑΝΑΛΟΓΙΑ - ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ

Στόχος αυτής της θεµατικής ενότητας είναι ο προβληµατισµός των µαθητών στον

ορισµό της µαθηµατικής έννοιας του λόγου και της αναλογίας καθώς και τις

φιλοσοφικές προεκτάσεις της. Οι επισκέπτες εισάγονται στην έννοια της χρυσής

τοµής α) αλγεβρικά µέσω της παρατήρησης και καταµέτρησης των

αριστερόστροφων και δεξιόστροφων ελίκων σε κουκουνάρια και ηλίανθους, και το

σχηµατισµό της σχετικής ακολουθίας Fibonacci β) γεωµετρικά µέσω της παρατή-

ρησης πινάκων και αρχιτεκτονηµάτων µε εµφανή την παρουσία της χρυσής τοµής.

Κατασκευάζουν γεωµετρικά τη

χρυσή τοµή. Κατανοούν γιατί είναι

άρρητος αριθµός και ανακαλύπτουν

το συνεχές περιοδικό κλάσµα µε το

οποίο παριστάνεται, όντας ο πιο

απλός άρρητος αριθµός. Γνωρίζουν

και κατασκευάζουν το χρυσό

τρίγωνο, το χρυσό ορθογώνιο, και

το κανονικό πεντάγωνο. Ανακα-

λύπτουν τη χρήση της χρυσής τοµής σε µια σειρά έργων τέχνης, εικαστικών,

γλυπτών και αρχιτεκτονηµάτων.

17

7. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ – ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ, ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΜΟΤΙΒΑ

Στόχος της ενότητας αυτής είναι η ανάδειξη της θεµελιώδους έννοιας της

συµµετρίας και των άλλων επίπεδων µετασχηµατισµών. Ο κόσµος των µετάλλων,

των φυτών και των ζώων εµφανίζει συµµετρίες διαφόρων τύπων. Τα φτερά της

πεταλούδας, τα πέταλα των λουλουδιών παρουσιάζουν συµµετρία απλής µορφής

(αµφίπλευρη, περιστροφική). Η φύση δεν αρκείται στο να δηµιουργεί όµορφα

απλά σχήµατα αλλά παρουσιάζει και πολύπλοκες µορφές. Τέτοιες δηµιουργούνται

από σύνθεση απλών συµµετριών (στροφή, µεταφορά κτλ). Τις µορφές αυτές που

αποτελούνται από ελικοειδή ή σπειροειδή συµµετρικά συµπλέγµατα, τις συναντάµε

στο κουκουνάρι, στο ηλιοτρόπιο, στα κοχύλια κτλ. Εδώ οι επισκέπτες έχουν τη

δυνατότητα να δουν αντικείµενα από το φυσικό και το ζωικό βασίλειο που

παρουσιάζουν διάφορα είδη συµµετρίας. Έχουν ακόµα τη δυνατότητα να

διαπιστώσουν και να συγκρίνουν τις συµµετρίες που παρουσιάζουν κανονικά

στερεά σώµατα, όπως ο κύβος και το τετράεδρο.

Πιο συγκεκριµένα καλούνται: Να διακρίνουν

τα διαφορετικά είδη συµµετριών και µετα-

σχηµατισµών.

Να κατανοήσουν την µαθηµατική έννοια της

συµµετρίας και να διατυπώσουν ορισµούς.

Να αναγνωρίσουν συµµετρίες σε δοσµένα

γεωµετρικά µοτίβα.

Να κατανοήσουν την έννοια του γεωµετρι-

κού µοτίβου και να συµπληρώσουν – επεκτείνουν γεωµετρικά µοτίβα. Να αναγνω-

ρίσουν το ρόλο της συµµετρίας τόσο στην τέχνη, όσο και στα µαθηµατικά.

18

8. ΤΕΧΝΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Στόχος της ενότητας αυτής, είναι η ανάδειξη της σχέσης που υπάρχει ανάµεσα

στον τρισδιάστατο κόσµο που µας περιβάλλει, και εκείνου που αποτυπώνεται στη

δισδιάστατη επιφάνεια ενός ζωγραφικού πίνακα. Η ανάδειξη της σχέσης αυτής

είναι σηµαντική αφού, ίσως όσο καµιά άλλη, έφερε τόσο κοντά την καλλιτεχνική

δηµιουργία µε την µαθηµατική αυστηρότητα, οδηγώντας αφενός µεν την Τέχνη της

ζωγραφικής στην Αναγέννηση και αφετέρου τα Μαθηµατικά στην ανάδειξη νέων

γεωµετριών, διαφορετικών της Ευκλείδειας γεωµετρίας.

Η γεωµετρική προοπτική επινοήθηκε από τους ζωγράφους της Αναγέννησης στην

προσπάθεια τους να αναπαραστήσουν στο δισδιάστατο χαρτί τον τρισδιάστατο

χώρο.

Οι επισκέπτες εδώ καλούνται να εντοπίσουν το σηµείο από το οποίο κοίταζε ο

καλλιτέχνης στον κύβο για να τον σχεδιάσει , το αποτύπωµα του οποίου έχουµε

σχεδιασµένο σε ένα διαφανές τετραγωνικό πλέγµα. Επιπλέον , να επιλέξουν ένα

από τα σχέδια του κύβου , το οποίο πρέπει να τοποθετήσουν σε κατάλληλη

απόσταση ώστε να το δουν να συµπίπτει µε το σχέδιο του κύβου που βρίσκεται

πάνω στο τραπέζι.

Οι επισκέπτες καλούνται επιπλέον:

19

Να αναγνωρίσουν διαισθητικά µέσα από ένα πλήθος διαφορετικών ζωγραφικών

πινάκων, εκείνους τους πίνακες που αναπαριστάνουν τη διάσταση του βάθους του

φυσικού κόσµου, δηλαδή διαθέτουν προοπτική. Να παρατηρήσουν τις οµοιότητες

και τις διαφορές που υπάρχουν ανάµεσα στη δισδιάστατα εικονιζόµενη σκηνή ενός

πίνακα και την τρισδιάστατη φυσική της πραγµατικότητα. Να αναζητήσουν την

ύπαρξη κανόνων που οδηγούν στην απεικόνιση του τρισδιάστατου χώρου, πάνω

στην δισδιάστατη επιφάνεια του ζωγραφικού καµβά. Να προσπαθήσουν µε βάση

τους κανόνες που ανακάλυψαν, να κατασκευάσουν το δικό τους προοπτικό

σχέδιο, ενός δοσµένου φυσικού αντικειµένου.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ

Περί τον 16ο αιώνα οι αρχές και οι

Τεχνικές της προοπτικής απεικόνισης

εφαρµόσθηκαν κατά τέτοιο τόπο ώστε να

προκύπτουν εικόνες έντεχνα και έντονα

αλλοιωµένες, παρασύροντας και εξαπα-

τώντας τη οπτική αντίληψη. Οι εικόνες

που προέκυψαν ονοµάσθηκαν

αναµορφωτικές εικόνες (anamorphoses)

και είτε είχαν χαρακτήρα προοπτικών

παιχνιδιών είτε είχαν κάποιο χαρακτήρα

µεταφοράς πολιτικών ή πνευµατικών

µηνυµάτων. Ενδεικτικά αναφέρουµε τους “Πρεσβευτές” του Hans Holbein (1533).

20

9. ΤΥΧΗ ΚΑΙ ΑΙΤΙΟΚΡΑΤΙΑ

Ποια η διαφορά του

τυχαίου φαινοµένου από

το µη τυχαίο; Στην

περίπτωση του τυχαίου

υπάρχουν µαθηµατικοί

νόµοι που το ελέγχουν;

Το 16ο αιώνα γεννήθηκε

η ιδέα ότι τα Μαθηµατικά

θα µπορούσαν να

συµβάλλουν προς την

κατεύθυνση αυτή. Ο

λογισµός των πιθανοτήτων που εδώ και έναν αιώνα γνωρίζει µια άνευ

προηγουµένου ανάπτυξη, συµβάλλει στην επίλυση προβληµάτων που

απασχολούν τη Φυσική, τη Βιολογία, την Οικονοµία, την Κοινωνιολογία κλπ.

Αποτελεί δε, ένα από τα µαθηµατικά εργαλεία που χρησιµοποιούνται ιδίως όταν

επιδιώκεται η κατασκευή µοντέλων για πολύπλοκα και απρόβλεπτα γεγονότα.

Οι επισκέπτες εδώ έχουν τη δυνατότητα, µέσα από απλά πειράµατα και παιχνίδια,

να κατανοήσουν και να υπολογίσουν την πιθανότητα εµφάνισης ενός

συγκεκριµένου αποτελέσµατος.

21

10. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ

Με βάση τις πληροφορίες που προκύπτουν από ένα πολύ µικρό αριθµό

µετρήσεων, από ένα δείγµα κάποιου πληθυσµού, οι µέθοδοι της στατιστικής µας

επιτρέπουν ν' αντλήσουµε πληροφορίες για ολόκληρο τον πληθυσµό.

Εδώ οι επισκέπτες καλούνται να προβούν σε εκτίµηση των χαρακτηριστικών ενός

πληθυσµού (πόσες είναι οι κίτρινες και πόσες οι πράσινες χάντρες σε ένα

πληθυσµό 1000 συνολικά χαντρών µέσα σε κλειστό διαφανές δοχείο) ώστε να

κατανοήσουν τι σηµαίνει αξιοπιστία και τι αντιπροσωπευτικότητα δείγµατος.

22

11. ΧΑΟΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

Σύµφωνα µε το αιτιοκρατικό µοντέλο (Γαλιλαίος, Νεύτων, Laplace), αν είναι

γνωστές οι αρχικές παράµετροι θέσης και ταχύτητας ενός φυσικού συστήµατος,

µπορεί να καθορισθεί µαθηµατικά η χρονική του εξέλιξή του. Υπάρχουν όµως

φαινόµενα για τα οποία τα αιτιοκρατικά µοντέλα ακόµα και αν είναι απλά,

µπορούν να παρουσιάσουν απρόβλεπτη συµπεριφορά. Τα φαινόµενα αυτά

ονοµάστηκαν χαοτικά.

Τα χαοτικά φαινόµενα εµφανίζονται σε δυναµικά συστήµατα που παρουσιάζουν

πολύ µεγάλη ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Μια πολύ µικρή µεταβολή στις

αρχικές παραµέτρους θέσης και ταχύτητας προκαλεί στη συνέχεια συµπεριφορές

εντελώς διαφορετικές. Ένα τέτοιο φαινόµενο είναι για παράδειγµα η καιρική

κατάσταση για την οποία δεν µπορούµε να έχουµε ασφαλή πρόβλεψη πέραν

κάποιων ηµερών.

Εδώ οι επισκέπτες πειραµατίζονται µε δύο απλά φυσικά συστήµατα που

παρουσιάζουν χαοτική συµπεριφορά α) το χαοτικό µπιλιάρδο και β) το χαοτικό

εκκρεµές.

23

12. ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΕΙΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ

Ευθειογενής είναι µια

επιφάνεια στην οποία σε κάθε

σηµείο διέρχεται µια

τουλάχιστον ευθεία η οποία

ανήκει στην επιφάνεια αυτή.

Από την ετυµολογία της λέξης,

ευθειογενής είναι µια επιφάνεια

η οποία «γεννιέται» από µια

ευθεία, τη «γενέτειρά» της. Αν

η γενέτειρα ευθεία

µετατοπισθεί κατά συνεχή τρόπο έτσι ώστε να διαγράφει µία ή δύο γραµµές (που

λέγονται οδηγοί), «δηµιουργεί» την ευθειογενή επιφάνεια. Η κυλινδρική είναι ένα

παράδειγµα τέτοιας επιφάνειας καθώς µπορεί να θεωρηθεί ότι παράγεται από τη

συνεχή κίνηση µιας ευθείας που διαγράφει ένα κύκλο µετακινούµενη παράλληλα

προς µια συγκεκριµένη ευθεία. Αν αντί κύκλου διαγράφει έλλειψη ονοµάζεται

ελλειπτικός κύλινδρος.

Η κωνική επιφάνεια επίσης είναι µια ευθειογενής επιφάνεια που µπορεί να

θεωρηθεί ότι «παράγεται» από µια ευθεία που διέρχεται από σταθερό σηµείο ενώ

συγχρόνως διαγράφει ένα κύκλο ή µια έλλειψη.

Οι µηχανικοί αξιοποιούν τις ευθειογενείς επιφάνειες στις κατασκευές τους. Εδώ οι

επισκέπτες έχουν τη δυνατότητα να δουν ευθειογενείς επιφάνειες, να κατανοήσουν

το πώς χρησιµοποιούνται στις κατασκευές και να προσπαθήσουν να τις

περιγράψουν µαθηµατικά.

24

ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΘΕΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΟΤΗΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Α

Γυµν.

Β Γυµν. Γ Γυµν. Α Λυκ. Β Λυκ. Γ Λυκ.

Το διασηµότερο θεώρηµα √ √ √ √ √

Αναζήτηση µεγίστων και

ελαχίστων . Σαπωνοειδείς

επιφάνειες

√ √ √ √ √ √

Η δυωνυµική και η κανονική

κατανοµή - Το τρίγωνο του

Galton

√

√

√

Μη-Ευκλείδειες Γεωµετρίες √ √

Ο κόσµος των Fractals √ √

Τα Μαθηµατικά της Φύσης.

Λόγος – αναλογία - Χρυσή

τοµή

√ √ √ √ √ √

Τα Μαθηµατικά της Φύσης.

Μετασχηµατισµοί Συµµετρίες

και Γεωµετρικά µοτίβα

√

√

√

√

√

√

Τέχνες και Μαθηµατικά √ √ √ √ √ √

Τύχη και Αιτιοκρατία.

Εισαγωγή στην έννοια της

Πιθανότητας

√

√

√

√

√

√

Εισαγωγή στη Στατιστική

επιστήµη

√ √ √ √ √

Χαοτικά φαινόµενα √ √

Ευθειογενείς επιφάνειες √ √ √

25

Η ∆ιαδραστική Έκθεση Πληροφορικής

1. ΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ : ΑΛΗΘΕΣ ΚΑΙ ΨΕΥ∆ΕΣ

Είναι ευρέως αποδεκτό

ότι κεντρικό ρόλο στο

σύνολο των ιδεών που

διαµόρφωσαν τη σύγχρο-

νη Πληροφορική Τεχνολο-

γία κατέχει ο Αριστοτέλης.

Στο «‘Όργανον», στα

«Αναλυτικά πρότερα και

ύστερα» αλλά και στο

«Περί ερµηνείας» έθεσε

τις βάσεις της σύγχρονης

λογικής, της ικανότητας του ανθρώπου να παράγει σκέψεις και αφηρηµένους

συλλογισµούς υψηλού επιπέδου, αναγκαίου εργαλείου για την εννοιολογική

οργάνωση και ανάπτυξη των επιστηµών, αλλά και των αξιωµατικών αποδεικτικών

θεωριών. Ο Αριστοτέλης εξετάζει τους όρους και τα είδη του ορθού συλλογισµού,

τους νόµους και τους κανόνες οι οποίοι οδηγούν στην Αλήθεια. Ο κλάδος ο οποίος

ασχολείται συστηµατικά µε τους κανόνες παραγωγής ορθού συλλογισµού είναι η

Μαθηµατική Λογική.

"Πρόταση" ή «λογική πρόταση» κατά την τυπική λογική, είναι κάθε έκφραση που

µπορεί να χαρακτηριστεί σαν αληθής ή ψευδής. Το αληθές (true) και το ψευδές

(false) αποτελούν τις δύο καταστάσεις που είναι δυνατόν να διακρίνει µια µηχανή

(περνάει ή δεν περνάει ρεύµα) και έτσι οι κανόνες της µαθηµατικής λογικής

µετατρέπονται σε µηχανιστική διαδικασία. Εδώ εξετάζεται ιδιαίτερα µια κατηγορία

προτάσεων οι λεγόµενες «αυτοαναφορικές» προτάσεις, που δεν είναι δυνατόν να

αποφανθούµε αν είναι αληθείς η ψευδείς και τέτοιες προτάσεις δεν είναι αποδεκτές

στο πεδίο της Μαθηµατικής Λογικής, καθώς και τα λεγόµενα λογικά «παράδοξα».

26

2. ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ

Ο µαθηµατικός George Boole (1815-1864) παρουσίασε το 1847 µια άλγεβρα µε

µεταβλητές δύο τιµών (που καλούνται "λογικές µεταβλητές"), θέτοντας τη λογική

του Αριστοτέλη σε αυστηρά µαθηµατικά πλαίσια. Σήµερα η άλγεβρα αυτή

ονοµάζεται άλγεβρα Βoole, και έχει βρει ευρεία εφαρµογή στην σχεδίαση του

λογισµικού και των κυκλωµάτων των ηλεκτρονικών υπολογιστών, επειδή είναι

ιδανική για χειρισµό λογικών συναρτήσεων και πράξεων στο δυαδικό σύστηµα.

Οι επισκέπτες έχουν την ευκαιρία να γνωρίσουν τις λογικές πύλες, τα στοιχειώδη

δηλαδή ψηφιακά κυκλώµατα τα οποία πραγµατοποιούν τις λογικές πράξεις της

άλγεβρας Boole.

27

3. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΑΝΘΡΩΠΟΥ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΗΣ- ∆ΥΑ∆ΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

Η ιδέα που είχε τον 17ο αιώνα ο Bacon να δηµιουργήσει ένα αλφάβητο µε µόνο

δύο χαρακτήρες το a και το b , καθώς και ένα αιώνα αργότερα ο Leibniz µε τους

χαρακτήρες ο και 1, υλοποιήθηκε ως ο τρόπος επικοινωνίας µε τη µηχανή του

Η/Υ. Το δυαδικό σύστηµα αρίθµησης είναι το µαθηµατικό πεδίο στο οποίο

στηρίζεται αυτή η επικοινωνία.

Έτσι η αποθήκευση και επεξεργασία των δεδοµένων στους ηλεκτρονικούς

υπολογιστές γίνεται ψηφιακά. Οδηγώντας, για παράδειγµα, την είσοδο ενός λογι-

κού κυκλώµατος µε τάση ρεύµατος µεγαλύτερη µιας συγκεκριµένης τιµής

αναπαριστούµε το ψηφίο "1", ενώ οδηγώντας την είσοδο µε τάση ρεύµατος

µικρότερη µιας συγκεκριµένης τιµής αναπαριστούµε το ψηφίο "0". Λόγω της

σχετικά απλής υλοποίησης στα ηλεκτρονικά κυκλώµατα το δυαδικό σύστηµα

χρησιµοποιείται εκτεταµένα στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές για την κωδι-

κοποίηση δεδοµένων.

28

4. ∆ΟΜΕΣ ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ - ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ

Είναι προφανής η ανάγκη τα δεδοµένα που εισάγονται στον υπολογιστή να

ταξινοµηθούν µε κάποιο κριτήριο ώστε να είναι δυνατή η εύκολη αναζήτηση και

διαχείρισή τους. Η ταξινόµηση µπορεί να γίνει µε αρκετούς αλγορίθµους .

Η ταξινόµηση δεδοµένων είναι ένα από τα βασικά και αρκετά σύνθετα

προβλήµατα στην πληροφορική. Για τις διαδικασίες ταξινόµησης, έχουν

αναπτυχθεί πολλοί αλγόριθµοι, από τους οποίους άλλοι είναι πιο αποδοτικοί και

άλλοι λιγότερο.

Εδώ ο επισκέπτης καλείται να εφαρµόσει µεθόδους ταξινόµησης µετρώντας την

απόδοση τους και να σκεφτεί τρόπους βελτίωσης τους.

29

5. ∆ΟΜΕΣ ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ – ∆ΥΑ∆ΙΚΟ ∆ΕΝ∆ΡΟ

Η έννοια της δοµής δεδοµένων αναφέρεται στους διαφορετικούς δυνατούς

τρόπους οργάνωσης και αποθήκευσης δεδοµένων µέσα σε έναν υπολογιστή,

ώστε τα δεδοµένα αυτά να µπορούν να χρησιµοποιηθούν αποδοτικά.

∆οµές δεδοµένων χρησιµοποιούνται σχεδόν σε κάθε πρόγραµµα ή σύστηµα

λογισµικού. Παρέχουν έναν τρόπο αποδοτικής διαχείρισης τεράστιου όγκου

δεδοµένων, όπως µεγάλες βάσεις δεδοµένων και υπηρεσίες ευρετηρίου στο

διαδίκτυο. Οι αποδοτικές δοµές δεδοµένων θεωρούνται συχνά ιδιαίτερα

σηµαντικές στη δηµιουργία ενός αποδοτικού αλγορίθµου.

Ένα δένδρο αναζήτησης είναι µια δοµή που χρησιµοποιείται πολύ στην

πληροφορική. Επιτρέπει να διατρέξουµε, µε συστηµατικό τρόπο, ένα σύνολο

πληροφοριών, σε πολύ µικρό χρόνο. Εδώ ο επισκέπτης καλείται να χτίσει ένα

δυαδικό δένδρο αναζήτησης.

30

6. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ

Ένα από τα µαθηµατικά θεµέλια της Πληροφορικής που µπορεί πλέον να

θεωρείται και κλάδος της αποτελεί η αριθµητική ανάλυση που ασχολείται µε τον

σχεδιασµό, την κατασκευή και την µελέτη αλγορίθµων για την προσέγγιση µε

ικανοποιητικό τρόπο, των λύσεων προβληµάτων τα οποία µπορούν να

εκφραστούν µε µαθηµατικά µοντέλα. Ένας αλγόριθµος είναι ένα σύνολο

τυποποιηµένων εργασιών που µας επιτρέπει να επιλύσουµε µια κατηγορία

προβληµάτων.

Ένας από τους παλαιότερους αλγόριθµους αποτελεί ο λεγόµενος αλγόριθµος του

Ευκλείδη µια διαδικασία την οποία βρίσκουµε στα Στοιχεία του Ευκλείδη στην

πρώτη πρόταση του Βιβλίου VII, µε τον οποίο βρίσκουµε το µέγιστο κοινό διαιρέτη

(ΜΚ∆) δύο αριθµών.

Αρκετά όµως προβλήµατα χαρακτηρίζονται ως δυσχείριστα µε την έννοια ότι δεν

µπορεί να εξευρεθεί ένας αλγόριθµος που να λύνει αυτά τα προβλήµατα σε εφικτό

χρόνο. Τα δυσχείριστα αυτά προβλήµατα, που αποκαλούνται και ανοικτά

προβλήµατα, ανήκουν στην κατηγορία των προβληµάτων NP από τα αρχικά των

αγγλικών όρων Nondeterministic Polynomial.

Οι επισκέπτες έχουν την ευκαιρία να ανακαλύψουν τη διαδικασία κατάστρωσης

ενός αλγορίθµου από τη θεωρία γραφηµάτων µε κάποιες εκδοχές του

προβλήµατος του περιοδεύοντος εµπορικού αντιπροσώπου (travelling salesman

problem).

31

7.ΑΝΑ∆ΡΟΜΙΚΕΣ ∆ΙΑ∆ΙΚΑΣΙΕΣ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ

Αναδροµή είναι η τεχνική κατά την οποία κατά την εκτέλεση µιας διαδικασίας

χρησιµοποιείται η ίδια διαδικασία. Αναδροµικές διαδικασίες παρατηρούνται στην

καθηµερινή εµπειρία. Πολλά προβλήµατα λύνονται γρήγορα και κοµψά µε

αναδροµικό τρόπο σκέψης, µε την αναδροµή να αποτελεί µια θεµελιώδη αρχή του

προγραµµατισµού γιατί η αναδροµή βοηθάει στην απλοποίηση του προβλήµατος

και οδηγεί σε µικρό προγραµµατιστικό κώδικα. Η αναδροµή είναι κοµβικός όρος

για την επιστήµη των υπολογιστών. Ένας αναδροµικός αλγόριθµος είναι ένας

αλγόριθµος που λύνει ένα πρόβληµα λύνοντας ένα ή περισσότερα µικρότερα

στιγµιότυπα του ίδιου προβλήµατος.

Από τα παραπάνω προκύπτει ως ιδιαίτερα χρήσιµη και αναγκαία η κατανόηση

από τους µαθητές της έννοιας της αναδροµής και του τρόπου λειτουργίας της. Με

τα διατιθέµενα εκθέµατα του πύργου του Hanoi και της «σκάλας Fibonacci» οι

επισκέπτες έρχονται άµεσα σε επαφή µε την έννοια της αναδροµής στην

προγραµµατιστική σκέψη και διαδικασία.

32

8. ΕΥΡΙΣΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ

Το αντικείµενο των αλγορίθµων έχει µεγάλο πλάτος και βάθος, µεγάλη ιστορία και

µεγάλο µέλλον, καθώς είναι η βάση όπου στηρίζονται όλες σχεδόν οι υπόλοιποι

τοµείς της Πληροφορικής. Για αρκετά προβλήµατα έχουν αναπτυχθεί οι λεγόµενοι

«ευριστικοί ή ευρετικοί» αλγόριθµοι, αλγόριθµοι που στηρίζονται σε µια εµπειρική

παρατήρηση ή ένα τέχνασµα ή µία έµπνευση του προγραµµατιστή. Ένας

ευριστικός αλγόριθµος µπορεί να οδηγήσει σε µία καλή ή ακόµη και βέλτιστη λύση

ενός προβλήµατος, αλλά µπορεί να οδηγήσει και σε µία λύση που απέχει πολύ

από τη βέλτιστη ή ακόµη, και να αποτύχει να βρει λύση.

Ο αριθµός των δοκιµών που απαιτείται για την επίλυση αρκετών προβληµάτων

είναι τόσο µεγάλος ώστε να καθιστούν την πιθανότητα εύρεσης µιας λύσης σε

λογικό χρόνο πολύ µικρή.

Σκοπός είναι να βρεθούν κάποιοι περιορισµοί ή προσεγγίσεις που θα οδηγήσουν

σε κάποια λύση χωρίς όµως να είναι βέβαιο ότι θα είναι η βέλτιστη.

Με ένα από τα πιο δηµοφιλή εκθέµατα όπου οι επισκέπτες προσπαθούν να

«φορτώσουν» ένα φορτηγό εισάγονται σε αυτήν ακριβώς την έννοια του

ευριστικού αλγορίθµου.

33

9. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ

Το παιχνίδι ή η «κούρσα στα

είκοσι» αποτελεί και αυτό ένα από

τα δηµοφιλέστερα στις επιλογές

των σπουδαστών έκθεµα, όπου

καλούνται να αναπτύξουν ένα

αλγόριθµο «στρατηγικής νίκης»

έναντι του αντιπάλου τους.

Με το παιχνίδι επίσης των 8 βασι-

λισσών έρχονται σε επαφή µε ένα

άλλο είδος αλγορίθµων, των

αλγορίθµων υπό περιορισµούς.

Η αύξηση του αριθµού των διαστάσεων

ενός προβλήµατος µπορεί να αυξήσει

ανυπολόγιστα το βαθµό δυσκολίας του ή

να κατατάξει τη λύση του σε άλλη

κατηγορία προβληµάτων. Ένα τέτοιο πρό-

βληµα εισάγεται µε το έκθεµα της

«τετράλιζας» στο χώρο.

34

10. ΨΗΦΙΑΚΗ ΑΠΟΤΥΠΩΣΗ

Ψηφιοποίηση µιας εικόνας σηµαίνει την κωδικοποίησή της σε µια σειρά από

ισοµεγέθεις ψηφίδες (pixels) σε κάθε µια από τις οποίες αποδίδεται ένας ακέραιος

αριθµός. Όσο πιο µεγάλος ο αριθµός των ψηφίδων τόσο πιο ευκρινής και

ευανάγνωστη είναι µια ψηφιακή εικόνα. Με το συγκεκριµένο έκθεµα οι επισκέπτες

γνωρίζουν τι σηµαίνει ψηφιακή αποτύπωση εικόνας. Επίσης είναι µια ευκαιρία να

γνωρίσουν και να αντιδιαστείλουν τον διακριτό τρόπο µε τον οποίο µπορούν να

εργάζονται οι υπολογιστές (όντας ικανοί να δέχονται και επεξεργάζονται δεδοµένα

µόνο στη δυαδική γλώσσα) µε το συνεχή τρόπο της ανθρώπινης σκέψης. Επίσης

οι επισκέπτες καλούνται γενικότερα, να διαπιστώσουν µειονεκτήµατα και

πλεονεκτήµατα της µετατροπής µιας πληροφορίας σε ψηφιακή µορφή καθώς και

να εκτελέσει στοιχειώδεις επεξεργασίες σε πληροφορίες.

35

ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΘΕΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΟΤΗΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΙΚΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ

Α Γυµν. Β Γυµν. Γ Γυµν. Α Λυκ. Β Λυκ. Γ Λυκ.

ΤΑ ΛΟΓΙΚΑ

ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

√ √ √ √ √

ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE

ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΕΣ

ΠΥΛΕΣ

√ √ √ √ √

∆ΥΑ∆ΙΚΟ

ΣΥΣΤΗΜΑ

√ √ √ √ √ √

∆ΟΜΕΣ

∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ -

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ.

√ √ √ √ √

∆ΟΜΕΣ

∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ –

∆ΥΑ∆ΙΚΟ ∆ΕΝ∆ΡΟ

√ √ √ √ √ √

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ √ √ √ √

ΑΝΑ∆ΡΟΜΙΚΕΣ

∆ΙΑ∆ΙΚΑΣΙΕΣ ΚΑΙ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ

√ √ √ √ √

ΕΥΡΙΣΤΙΚΟΙ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ

√ √ √ √ √ √

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ

ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ

√ √ √ √ √ √

ΨΗΦΙΑΚΗ

ΑΠΟΤΥΠΩΣΗ

√ √ √ √ √ √

36

Την ευθύνη της σύνταξης του παρόντος τεύχους είχε η επιστηµονική – εκπαιδευτική οµά-

δα της ΕΕΕ έτους 2011-2012:

Μαυροµµάτης Αριστείδης- Μαθηµατικός

Μπαλής ∆ηµήτρης – Μαθηµατικός

Μπεζαντάκος Νικόλαος - Πληροφορικός

Παπανικολάου Απόστολος - Μαθηµατικός

Ιούνιος 2012

Πως θα επισκεφτείτε την Εθνική Εστία Επιστηµών Για να επισκεφτείτε την Εθνική Εστία Επιστηµών θα πρέπει να επικοινωνήσετε µε την

Εκπαιδευτική Οµάδα και να κλείσετε ραντεβού στα τηλέφωνα:

210 – 23.11.080 και 210 – 23.11.088

Στα ίδια τηλέφωνα µπορείτε να ζητήσετε πρόσθετο ενηµερωτικό υλικό.

Η εκπαιδευτική δραστηριότητα στην Εθνική Εστία Επιστηµών είναι δωρεάν .

ΕΘΝΙΚΗ ΕΣΤΙΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Ι∆ΡΥΜΑ ΝΕΟΛΑΙΑΣ ΚΑΙ ∆ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ

Λεωφ. Χασιάς 6η στάση, 13122, Ίλιον Τηλ. 210 – 23.11.080 , 210 – 23.11.088 Fax: 210 – 23.11.088

email : eee.athens.edu@gmail.com

Ιστοσελίδα: http://www.eee-athens.edu.gr

Χάρτης