חוברת תרגילים - פונקציות מרובות משתנים

1 משתנים מרובות פונקציות

1.1מס' תרגיל

הנק' הקריטיות את , מצאו הפונקציה "נתונה אותן" ואפיינו

: ראשון מסדר חלקיות נגזרות(1)

: נק' קריטיות , ומציאת0ל- ראשון מסדר החלקיות הנגזרות השוואת(2)

(4,0.25) הנק' הקריטית

: דלתא, ודלתא רכיבי בניית(3)

A =

: השנייה הנגזרת מבחן כללי לפי ואיפיון הדלתא הנק' הקריטיות הצבת(4)

נק' קיצון!

Email : [email protected] Website : www.dori101.com ©שחר דורי, 2010שמורות, הזכויות כל

0507 - 314 - 314

http://www.dori101.com/


mailto:[email protected]


2 מינימלית! נק' קיצון

1.2מס' תרגיל

אותן ואפיין הנק' הקריטיות את . מצא הפונקציה "נתונה השנייה". הנזרת מבחן בעזרת


: הנק' הקריטיות ומציאת0ל- הנגזרות השוואת(2)

: הצבה

., , : נק' קריטיות

: דלתא דלתא, ובניית רכיבי בניית(3)

: השנייה הנגזרת מבחן כללי בדלתא, לפי הנק' בהצבה איפיון(4)

נק' אוכף! ( היא0,0) ולכן


0507 - 314 - 314





3

מדובר ולכן בנק' קיצון. מדובר ולכןבמקס'!

ולכן בנק' קיצון. מדובר ולכןבמקס'! מדובר

1.3מס' תרגיל

ואפיינו הנק' הקריטיות את , מצאו הפונקציה "נתונה השנייה" הנגזרת מבחן בעזרת אותן

לא עומד בפני עצמו"( :e "–נגזרות חלקיות מסדר ראשון )מכפלה (1)

מכפלה, לפי הנגזרת איברי

G = F =

G = 'F = '


G = F =

G = 'F = '

: נק' קריטיות ומציאת0ל- ראשון מסדר החלקיות הנגזרות השוואת(2)


0507 - 314 - 314





4

השנייה.. במשוואה להצבה זה בנתון נשתמש**

הנק' הקריטית למציאת זו במשוואה הקודמת מהמשוואה הנתון את ** נציב: השנייה

:yנק' למציאת המקוריות המשוואות באחת הצבה**

זו... למשוואה המתאיםy של ערך אין

(.0,0: ) היחידה הנק' הקריטיות

: דלתא ובניית דלתא רכיבי בניית(3)


G = F =

G = 'F = '


0507 - 314 - 314





5


G = F =

G = 'F ='


G = F=

G = 'F = '

ברכיבי להציב ההצבה, ניתן זה, לפני במקרה מורכבת דלתא של שהבנייה מכיוון: הבא זו. באופן לנק' קריטית המותאמת דלתא את ( ולבנות0,0הנק' ) את הדלתא

נק' קיצון.

מינ'... כמקס' או אותה לאפיין ניתן שלא נק' קיצון


0507 - 314 - 314





6

1.4מס' תרגיל

הפונקציה את ואפיינו נק' קריטיות מצאו


: נק' קריטיות ומציאת0ל- חלקיות נגזרות השוואת(2)


0507 - 314 - 314





7

: דלתא דלתא, ובניית רכיבי(3)

: ואיפיון בדלתא הצבה(4)בריבוע' לנגזרות )לעשות מורכבת תהיה ההצבה לפני דלתא שבניית מכיוון'

: נבנה ( ואח"כ0,0הנק' ) את דלתא ברכיבי שני(, נציב מסדר חלקיות

(..0,0) הנק' הקריטית עוזר' לאיפיון לא 'המבחן ולכן

1.5מס' תרגיל

אותן. ואפיין נק' קריטיות מצא הפונקציה נתונה

פתרון

:y לפי ופעםx לפי לבדו(. פעם עומד שאינוe) מכפלה נגזרת


0507 - 314 - 314





8


G = F =

G' = (-1)F = '


G = F =

G' = (-1)F' =x

(.1,1(, ו-)0,0) הנק' הקריטיות

נוספת..( : )מכפלה, ומכפלה דלתא בניית


G = F =y

G' = (-1)F = '


G = F =

G' = (-1)F = '


0507 - 314 - 314





9


G = F =x

G' = (-1)F = '


G = F =

G' = (-1)F = '


G = F =x

G' = (-1)F = '


G = F =

G' = (-1)F = '

את דלתא של ברכיבים להציב ההצבה, ניתן ללא מורכבת דלתא של שהבנייה מכיוון: שונות הצבות2ההצבה. לאחר דלתא את ולבנות הנק' הקריטיות


0507 - 314 - 314





10 (0,0: )

נק' אוכף! ( היא0,0)

(1,1: )

נק' קיצון. ( היא1,1)

נק' מקסימום! ( היא1,1)


0507 - 314 - 314





11

2.1 תרגיל

את חותך כשהמישור כי . ידוע הפונקציה "נתונה

את חותך כשהמישור כי ידוע כן . כמו6 : ל שווהבנק' הפונקציה, השיפוע

"a,b את . מצא10: ל שווהבנק' הפונקציה, השיפוע

פתרון

חותך כשהמישור כי ידוע" : הראשון מהנתון נתחיל הפונקציה, השיפוע את

"6 : ל שווהבנק'

: בפונקציה החותך המישור את נציב(1)

: הנגזרת עכשיו, השיפוע, דרך(2)

: , נציב6 הוא השיפועשבנק' שידוע מכיוון(3)


0507 - 314 - 314





12

בנק' הפונקציה, השיפוע את חותך כשהמישור כי ידוע: " השני מהנתון נמשיך

" : 10: ל שווה

: בפונקציה החותך המישור את נציב(1)

: העקומה את נגזור(2)

: הידוע לשיפוע בנגזרת, ונשווההנק' את נציב(3)

3.1מס' תרגיל

s לכיסא, ומחיר t מחיר ושולחנות. החב' קבעה כיסאות מושון' מייצאת 'רהיטי "חברת

ביום, ותוכל כסאות ולמכור החב' לשווק תוכל אז כי לשולחן. ידועביום. שולחנות ולמכור לשווק

. היא וכיסאות שולחנות של הכוללת היומית הייצור עלות

מושון. חב' רהיטי של היומי הרווח פונקציית את מצאא.

: ההכנסה פונקציית את קודם נבנה

נתונה. העלות פונציית

: עלות – = הכנסה : רווח המשוואה לפי הרווח פונקציית את נבנה


0507 - 314 - 314





13 בייצור השולי , הרווח 10 ב- , ושולחן 5 ב- כיסא והחב' תמכור במידה כי ידועב.

. a הפרמטר את שולחנות. מצא בייצור השולי מהרווח 2 פי גדול כיסאות

.10 הוא שולחן , ומחיר5 הוא כיסא : מחיר הבאים הנתונים את מהשאלה נבין מחירים (. ברמת5,10בנק' ) נמצאים . כלומר, אנחנוt=5, s=10 כי היא הדבר משמעות

זו. בנוסף,

= כיסאות בייצור השולי הרווח

= שולחנות בייצור השולי הרווח

: כי לקבוע ניתן ולכן

שלנו... היעד משוואת וזו

: שולחנות ובייצור כיסאות השולי, בייצור הרווח פונקציית את נבנה קודם

( :5,10הנק' ) את נציב מכן היעד, ולאחר משוואת את נבנה

( :5,10) המחירים הנק' /רמת את נציב

כדי החב' לקבוע שעל לשולחן והמחיר לכיסא המחיר את , ומצא a= 4 את הצבג. מקסימלי. לרווח להגיע

:a הפרמטר עם הרווח פונקציית בניית


0507 - 314 - 314





14 : ראשון מסדר חלקיות נגזרות(1)

: נק' קריטית למציאת ראשון מסדר החלקיות הנגזרות השוואת(2)

: ב היא הנק' הקריטית

: מקסימלי רווח דלתא, להוכחת בניית(3)

בקיצון. מדובר ולכן

בנק' מקסימום! מדובר ולכן


0507 - 314 - 314





15

לרווח תגיע ש"ח, היא3ב- ושולחן ש"חב- כיסא והחב' תמכור במידה : משמעותמקסימלי.

3.2מס' תרגיל

מוכרת ומסכים. החברה מחשבים ומוכרת אנחנו" מייצרת זה חב' "מחשבים

של הייצור ועלות היא בודד מחשב של הייצור מסכים. עלות – ו מחשבים

. הוא מסך של מחירו בעוד הוא מחשב . מחיר היא בודד מסך

ומסכים. מחשבים ממכירת ההכנסה פונקציית את בנהא.


0507 - 314 - 314





16 . ניישם2 מוצר של מחיר כפול כמות ועוד1 מוצר של מחיר כפול כמות היא הכנסה

: התרגיל על

החב'. של הרווח פונקציית את בנהב.

בודד*כמות מחשב : עלות תהיה העלות נבנתה. פונקציית ההכנסה פונקצייתהמסכים. בודד*כמות מסך + עלות המחשבים

: המשוואה לפי הרווח פונקציית את לחשב נוכל העלות פונקציית את שנבנה לאחר

עלות. – = הכנסה רווח

: התרגיל על יישום

: העלות פונקציית

: הרווח פונקציית

שלה. הרווח מהו מסכים, חשב 22 ו- מחשבים 20 החב' מוכרת כי בהינתןג.

: ו הכמויות, כאשר את הרווח בפונקציית נציב

סופי.. באופן פתירים לא והם במידהln של אוe של מדויק לחישוב להביא צורך ** אין

אחד. מוצר עוד רק לייצר מסכים. ביכולתה5ו- מחשבים6 מייצרת החב' כעתד.לייצר? עלייה מוצר איזה

איזה של ייצור אחד, נדע מוצר עוד לייצר ומעוניינתבנק' שהחב' עומדת מכיוון הרווח פונקציית דרך יותר גדול לרווח נוסף( יביא מסך או נוסף )מחשב נוסף מוצר :בנק' ביניהם מסך, ונשווה בייצור השולי הרווח ופונקציית מחשב בייצור השולי


0507 - 314 - 314





17

הנק' את מסך, נציב ובייצור מחשב בייצור השולי הרווח פונקציות את שחישבנו לאחר

: יותר גדול לרווח מביאה איזה ונראה

גבוה של ייצור ברמת מחשב בייצור השולי הרווח כי לראות ניתן מחשבון בעזרתמסך. בייצור השולי מהרווח

היא של ייצור לרמת לעבור , תחליט של ייצור החב', ברמת : אם משמעות

. של ייצור לרמת לעבור תחליט אם יותר תרוויח

3.3מס' תרגיל


0507 - 314 - 314





18 השיווק פונקציית תעמולנים. נתונהו- קופירייטרים עובדים פרסום בחברת

. : הפונקציה לפי השנתית

ותעמולנים, קופירייטרים של זהה מספר בחברה יעבדו השנה ובמהלך במידה כי ידוע השולי השיווק מפונקציית לרבע שווה תהיה לקופירייטרים השולי השיווק פונקציית

לתעמולנים.

מחדש. השנתית השיווק פונקציית את ובנהa את מצאא.

פתרון

: ולתעמולנים לקופירייטרים השולי השיווק פונקציות(1)

" = < תעמולנים קופי' ושל של זהה מספר בחברה ויעבדו במידה"

השולי השיווק מפונקציית לרבע שווה תהיה לקופירייטרים השולי השיווק פונקציית"" =<לתעמולנים

:: ש המשוואה, בהינתן בניית

: נציב

בסיס, חיבור )אותו ושורשים חזקות חוקי לפי של החזקות 'לשלב' את ניתן: החזקות(

: המשוואה צידי משני את לצמצם ניתן


0507 - 314 - 314





19

: השנתית השיווק פונקציית את מחדש נבנה

תועמלנים, ושל קופירייטרים של השנתית השולית השיווק פונקציות את רשוםב.שניתן. ככל אותה ופשט


0507 - 314 - 314





20

4.1 תרגיל

חברה מייצרת ספרים ומחברות לפי הפירוט הבא :

מחברותספרים2060ליח' מחירxyכמות

: הבאה הפונקציה לפי נתונים ומחברות ספרים של הייצור עלות כי ידוע כן כמו

מחברות, התוספת32ו- ספרים10 של ייצור ברמת כי ידוע אם את מצאא. בייצור לעלות השולית מהתוספת35ב- קטן נוסף ספר בייצור לעלות השוליתהשולית. העלות פונקצית את מחדש נוספת, בנה מחברת

ומחברות. ספרים ממכירת הרווח פונקציית את בנהב.מקסימלי? יהיה הרווח ומחברות ספרים של כמויות אילו עבורג. מחברות. מהי3 עם ספר של סט רק מוכרת החב', היא של חדש מבצע לאורד.

מקסימלי לרווח להגיע כדי החב' למכור שעל והמחברות הספרים כמותזה? באילוץ בהתחשב

פתרון

א.

. ו כי היא המשמעות– מחברות' 20ו- ספרים32 של הייצור 'רמת(.10,32נק' ) כלומר

היא המשמעות–נוסף' ספר בייצור השולית 'התוספת

היא המשמעות–נוספת' מחברת בייצור השולית 'התוספת


0507 - 314 - 314





21 השולית מהתוספת50ב- קטן נוסף ספר בייצור לעלות השולית שהתוספת ומכיוון: המשוואה היא נוספת, המשמעות מחברת בייצור לעלות

: ומחברת ספר בייצור השוליות העלויות את נבנה

( :50,20) של הייצור וברמת

: ש בהינתן העלות פונקציית

: הרווח פונקציית בנייתב.

: הרווח לפונקציית נק' קיצון מציאת מקסימלי, דרך נק' לרווח נחפשג.: ראשון מסדר חלקיות נגזרות(1)


0507 - 314 - 314





22 : נק' קריטית למציאת0ל- הנגזרות השוואת(2)

(.10,40: ) נק' קריטית

: דלתא בניית(3)

הנק' : לאיפיון בדלתא הנק' הקריטית הצבת(4)

נק' קיצון ( היא10,40)

מקסימלי. יהיה הרווח מחברות40ו- ספרים10 במכירת ולכן

באילוץ ", מדובר מחברות3 עם ספר של סט רק מוכרתשהחב' " מכיווןד.כלכלי.

: האילוץ ניסוח(1): והאילוץ הרווח גרנז', עם לה פונקציית בניית(2)


0507 - 314 - 314





23

הנק' : ומציאת0ל- הנק' החלקיות השוואת(3)


0507 - 314 - 314





24

4.2 תרגיל

סוגים של ממתקים, כמפורט :2העלות של מפעל בייצור

בקילוגרמים כמותלקילו עלותסוכריות

מסטיקים

בעוד המפעל מייצר ומוכר את הממתקים כמפורט בטבלה :

בקילוגרמים כמותלקילו מחירסוכריות

מסטיקים

ומסטיקים. סוכריות ממכירת הכוללת הרווח פונקצית את רשוםא.מקסימאלי? לרווח להגיע כדי למכור המפעל על וממתקים סוכריות קילו כמהב. אם למכור עליו סוכריות קילו מסטיקים, כמה קילו15 כעת מוכר המפעל אםג.

במכירת השולי לרווח שווה יהיה מסטיקים במכירת השולי שהרווח רוציםסוכריות?

ממתקים. כמה קילו80 רק ולמכור לייצר יכול אחסון, המפעל מאילוצי כי ידועד.מקסימלי? לרווח להגיע מעוניין הוא אם למכור עליו ומסטיקים סוכריות קילו


0507 - 314 - 314





25 : פתרון

ההכנסה, ואת פונקצית את קודם הרווח, נבנה פונקציית את לרשום כדיא.: ביניהם העלות, ונחסר פונקצית

: הנתונה הרווח לפונקצית מקסימלית נק' קיצון נחפשב.


: נק' קריטיות , ומציאת0ל- החלקיות הנגזרות השוואת(2)

לפי בדלתא הנק' הקריטית ואיפיון דלתא הנק' הקריטית, בניית מציאת לאחר(3): השנייה הנגזרת מבחן

( נק' קיצון.22,10)Email : [email protected]

Website : www.dori101.com ©שחר דורי, 2010שמורות, הזכויות כל 0507 - 314 - 314





26

לרווח להגיע כדי מסטיקים קילו10ו- סוכריות קילו22 ולמכור לייצר המפעל על ולכןמקסימלי.

כי היא מסטיקים, המשמעות קילו15 מייצר המפעל אםג.

את מחפשים בעצם הסוכריות, אנחנו של המשקל את למצוא רוצים אנחנו אם

.

שווה יהיה מסטיקים במכירת השולי הרווח" הנק' בה את מחפשים אנחנו: ", כלומר סוכריות במכירת השולי לרווח

: המשוואה על נעבוד

: השוליים הרווח עם המשוואה בניית

יהיה מסטיקים במכירת השולי (, הרווח22,15) ייצר המפעל : אם משמעותסוכריות. במכירת השולי לרווח שווה

: האילוץ את ננסחד.

המטרה( עם )פונקצית הרווח מפונקציית גרנז', המורכבת לה פונקציית את נבנה: האילוץ פונקצית 'למדא' של

: לאפס ונשווה , ולפיy , לפיx נגזור, לפי


0507 - 314 - 314





27

לאפס: נשווה

: הראשונות המשוואות2 בין נשווה

32 , הוא80 יהיה שהסכום האילוץ לייצר, תחת שיש והסוכריות המסטיקים הכמות מסטיקים.48ו- סוכריות


0507 - 314 - 314





חוברת תרגילים - פונקציות מרובות משתנים

Documents