8 8

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

УДК 530.145 (075.8)

А. А. Юрова, A. В. Юров

ОБОБЩЕННЫЕ ИНСТАНТОНЫ ФАБИНИ

Показано, что нелинейное уравнение Клейна-Гордона с отри-цательной константой связи допускает точные несингулярные рациональные солитонные решения. Для евклидовой модели с на-рушенной симметрией можно построить инстантоны, но только для случая D< 5.

We show that nonlinear Klein-Gordon equation with negative-

coupling admits exact nonsingular rational soliton solution. It is pos-sible to construct the instanton solution for the Euclidean model with broken symmetry. This regular solution be instanton only in D< 5.

Введение Теорема вириала запрещает существование локализованных мно-

гомерных структур, описываемых нелинейным уравнением Клейна-Гордона с положительно определенным потенциальным членом в ла-гранжиане [1—3]. Тем не менее остается возможность построения ре-шений, удовлетворяющих условию →|)(| μϕ x const, при ∞→2

μx . Другой вариант обойти теорему вириала — рассмотреть модели с отрицательной константой связи. Такие модели оказываются достаточно интересными в космологии и теории струн [4], поскольку достаточно естественно возни-кают в моделях расширенной супергравитации, которая, в свою очередь, является низкоэнергетичным пределом гипотетической единой М-теории. Примером решения описанного типа в четырехмерном евклидовом про-странстве являются знаменитые интантоны Фабини [5]:

2222)(

ρρ

λϕ

+=

rr , (1)

где ρ — произвольная вещественная константа, 24

1i

ixr Σ

== , i-евкли-

довы индексы, а 0>λ , взятая со знаком минус, константа связи. Отме-тим, что модель безмассова, а выражение для евклидова действия, вы-численного на решении (1), имеет вид:

λπ3

8 2)4( =ES . (2)

Вестник РГУ им. И. Канта. 2008. Вып. 4. Физико-математические науки. С. 8—11.

Обобщенные инстантоны Фабини

9 9

D=5 обобщенные инстантоны Фабини Инстантоны (1) удовлетворяют двум граничным условиям

(i) 0)( ϕϕ =∞→r ,

(ii) 0)( 0 ==rdrdϕ

и минимизируют действие в евклидовом пространстве c O(4) симмет-рией. Именно по этой причине инстантоны дают главный вклад при описании, скажем, рождения Вселенной в древесном приближении.

Целью данной работы является обобщение решений (1), в том чис-ле для массивных моделей. Общий анзац выбирается в виде:

20)(ρ

ϕϕ++

+= ii

jiij

i

xbxxaax , (3)

причем коэффициенты подразумеваются выбранными так, чтобы ре-шение было регулярным, по повторяющимся индексам имеет место суммирование и i, k =1...D. В случае O(D) симметрии уравнение прини-мает вид:

ϕϕϕϕ

ddV

drd

rD

drd

2 )(12 =

−+ . (4)

Поскольку ограничение симметричными решениями резко умень-шает число свободных параметров, мы добавим их, рассматривая мо-дель с нарушенной симметрией:

.432

)(4322

0λϕβϕϕαϕϕ −+++=

mVV (5)

Используя анзац (3), получаем искомое решение

,)()4(4)( 22

00 ρμ

ϕϕϕ

+−

+=r

Dr (6)

где ,)4(22

2202

μλϕ

ρ−

=D ,

2)( 22

00 m+−=

λϕϕα ,

23

0

220

ϕ

λϕβ

m−= .3 22

0 m+= λϕμ

Можно убедиться, что оба условия (i) и (ii) выполняются. Необхо-димое условие конечности евклидова действия выполняется, если

.12

)23( 220

20

0mV +

=λϕϕ

При этом лагранжиан имеет следующую асимптотику:

.1)()(21

62

rV

drd

→+ ϕφ

С другой стороны, для вычисления действия необходимо умножить лагранжиан на величину 1−Dr , поэтому действие оказывается конеч-ным при размерности пространства-времени, не превосходящей D=5. Варианты с D<4, по-видимому, не представляют физического интереса в квантовой космологии, случай D=4, очевидно, требует отдельного рассмотрения, и мы посвятим ему следующий параграф. Поэтому оста-ется случай с D=5, для которого евклидово действие имеет вид:

А. А. Юрова, A. В. Юров

10 10

∫∞

+==

022

0

03

42

)5( .)3(3

283

8m

drLrS EE ϕλλϕππ

Соответственно, квазиклассическая вероятность формирования до-черней Вселенной оценивается выражением )exp(~ )5(

EE SP . Случай D=4 Обычно преобразование Боголюбова c+→ϕϕ используют при нали-

чии спонтанно нарушенной симметрии, т. е. в ситуации, когда лагранжиан или гамильтониан допускает некоторую симметрию, но основное состоя-ние не инвариантно относительно соответствующего преобразования сим-метрии. Однако можно использовать преобразование Боголюбова и в более широком контексте. Рассмотрим для примера решение (6). Так как 0ϕϕ → , при ∞→r , то естественно попробовать перейти к новой полевой перемен-ной 0ϕϕΦ −= , которая стремится к нулю при ∞→r .

Выберем простейший потенциал ( constV =0 и 0>λ )

'0

4

4)( VV +=

ΦλΦ (7)

и перейдем к переменной ϕ . Получаем

''0

30

203

0

4

2)(3

4)( VcV +−+−= ϕλϕ

ϕϕλϕϕλϕϕ . (8)

Сравнивая (5) и (8) (c учетом замены λλ −→ ), получаем выражение для массы:

λϕ 30=m . (9)

Очевидно, что непосредственная подстановка выражения (9) в (6) приводит к сингулярности. Последнего можно избежать, заметив, что при D=4 мы получаем неопределенность, раскрытие которой вполне способно привести к осмысленному ответу. Таким образом, процедура «нарушения симметрии» осуществима лишь при D=4.

Удобно использовать следующую подстановку:

)4(3 20

2 −=− Dcm εϕλ (10)

и по окончанию вычислений перейти к пределу 0→ε . Кроме того, следует выбрать 4/4

0''

0 λϕ=V , чтобы действие оказалось конечным. В итоге получаем лагранжиан:

222

222220

2)2(32

crcrL

λελεεϕ

−+

= ,

используя который можно вычислить действие

,3

8 )4(2

)4(∞+−= SSE λ

π

где второе слагаемое обратно пропорционально кубу ε и расходится при 0→ε . Таким образом, вероятность формирования «пузыря» но-вой фазы имеет вид

Обобщенные инстантоны Фабини

11 11

).3

8exp()3

8exp(2

)4(2

λπ

λπ

∞∞ =−= NSP (11)

Заметим, что при вычислении амплитуд методом функционального интеграла появление «странных» мультипликативных констант типа ∞N — это общее явление. Следуя общепринятой (хотя и не обоснованной стро-го математически) технике работы с такими выражениями, можно просто сократить величину P на ∞N . В результате мы получаем выражение

),3

8exp(2

λπ

=P

которое лишь знаком в экспоненте отличается от выражения, получен-ного для обычного инстантона [6]. В случае же отрицательной констан-ты связи λλ −→ таких проблем не возникает, четырехмерное действие имеет обычный вид и приводит к тем же вероятностям, что безмассовая модель с инстантоном Фабини.

Список литературы

1. Derrrick G. H. J. Math, Ohys. 5, 1252 (1964). 2. Hobart R. Proc. Phys. Soc. 82, 201 (1963). 3. Раджараман Р. Солмтоны и инстантоны в квантовой теории поля. М., 1985. 4. Felder G., Frolov A., Kofman L. et al. Phys. Rev. 66 (2002) 023507. 5. Fubini S. Nuovo Cimento 34A (1976) 521. 6. Linde A. Nucl. Phys. B372 (1992) 421.

Об авторах А. А. Юрова — канд. физ.-мат. наук, доц., КГТУ. A. В. Юров — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.

УДК 532.546

И. К. Волянская, И. Д. Дорогая, А. А. Зайцев, А. Я. Шпилевой

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ В ОБЛАСТИ, ОГРАНИЧЕННОЙ СТОРОНАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Для определения комплексных потенциалов фильтрацион-

ных течений в области, ограниченной сторонами треугольника, использован метод отражений особых точек. Решение получено для прямоугольного треугольника в виде бесконечных рядов. Для случая точечного источника ряды выражены через тета-функ-цию Якоби. Методами теории групп изучено расположение мнимых источников и вычислены их координаты.

For determining of complex potentials of filtration flows in the

area, restricted by the sides of a triangle, the method of the reflection of

Вестник РГУ им. И. Канта. 2008. Вып. 4. Физико-математические науки. С. 11—17.