Лекции по физике. Магнетизм

16
4–32 А.Н.Огурцов. Лекции по физике. источников. Те точки поля в которых дивергенция положительна называются источниками поля, а в которых отрицательна стоками векторного поля. Используя теоремы Стокса и Гаусса, можно представить полную систему уравнений Максвелла в дифференциальн 栂挩呪 форме (характеризующих поле в каждой точке пространства): 0 div rot div rot = + = = = B t D j H D t B E r r r r r r r ρ Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных. Так, например, уравнение ρ = D r div явно демонстрирует, что источниками электрического поля являются положительные электрические заряды, а стоками отрицательные электрические заряды. Уравнение 0 div = B r отражает тот факт, что не существует источников и стоков магнитного поля — "магнитных зарядов". В случае если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла интегральная и дифференциальная эквивалентны. Однако если имеются поверхности разрыва поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей. Для того чтобы эти уравнения Максвелла в дифференциальной форме были справедливы и на границах сред, где величины, входящие в уравнения, меняются скачкообразно, необходимо дополнить эти уравнения граничными условиями, которым должно удовлетворять магнитное поле на границе раздела двух сред. Эти соотношения были рассмотрены ранее: 2 1 2 1 2 1 2 1 , , , τ τ τ τ H H B B E E D D n n n n = = = = (первое и последнее уравнения выведены для случая, когда на границе раздела нет ни свободных зарядов, ни токов проводимости). Уравнения Максвелла наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в механике. 5 th ed., 2002 А.Н.Огурцов ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ МАГНЕТИЗМ МАГНЕТИЗМ 4

Post on 13-Dec-2016

223 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: Лекции по физике. Магнетизм

4–32

А.Н.Огурцов. Лекции по физике.

источников. Те точки поля в которых дивергенция положительна называютсяисточниками поля, а в которых отрицательна — стоками векторного поля.

Используя теоремы Стокса и Гаусса, можно представить полнуюсистему уравнений Максвелла в дифференциальной форме(характеризующих поле в каждой точке пространства):

0div

rot

div

rot

=∂∂+=

=∂∂−=

BtDjH

DtBE

r

rrr

r

rr

ρ

Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического имагнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрическиезаряды, но нет зарядов магнитных.

Так, например, уравнение ρ=Dr

div явно демонстрирует, чтоисточниками электрического поля являются положительные электрическиезаряды, а стоками — отрицательные электрические заряды. Уравнение

0div =Br

отражает тот факт, что не существует источников и стоков магнитногополя — "магнитных зарядов".

В случае если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно,то обе формы уравнений Максвелла — интегральная и дифференциальная –эквивалентны. Однако если имеются поверхности разрыва — поверхности, накоторых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральнаяформа уравнений является более общей.

Для того чтобы эти уравнения Максвелла в дифференциальной формебыли справедливы и на границах сред, где величины, входящие в уравнения,меняются скачкообразно, необходимо дополнить эти уравнения граничнымиусловиями, которым должно удовлетворять магнитное поле на границераздела двух сред. Эти соотношения были рассмотрены ранее:

21212121 ,,, ττττ HHBBEEDD nnnn ====(первое и последнее уравнения выведены для случая, когда на границе

раздела нет ни свободных зарядов, ни токов проводимости).Уравнения Максвелла — наиболее общие уравнения для

электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Онииграют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законыНьютона в механике.

5th ed., 2002

А.Н.Огурцов

ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ

ММААГГННЕЕТТИИЗЗММ

МАГН

ЕТИЗМ

4

Page 2: Лекции по физике. Магнетизм

4–2

А.Н.Огурцов. Лекции по физике.

Магнитное поле

1. Основные особенности магнитного поля.В 19 веке опытным путем были исследованы законы взаимодействия

постоянных магнитов и проводников, по которым пропускался электрическийток. Опыты показали, что подобно тому, как в пространстве, окружающемэлектрические заряды, возникает электростатическое поле, так и впространстве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовоеполе, которое называется магнитным.

Были установлены два экспериментальных факта:1) магнитное поле действует на движущиеся заряды;2) движущиеся заряды создают магнитное поле.Этим магнитное поле существенно отличается от электростатического,

которое действует как на движущиеся, так и на неподвижные заряды.Магнитное поле не действует на покоящиеся заряды.Опыт показывает, что характер воздействия магнитного поля на ток

зависит от (1) формы проводника, по которому течет ток; от (2) расположенияпроводника и от (3) направления тока.2. Рамка с током. Направление магнитного поля.

Аналогично тому, как при исследовании электростатического поляиспользовался точечный пробный заряд, при исследовании магнитного поляиспользуется замкнутый плоский контур с током (рамка с током), линейныеразмеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующихмагнитное поле.

Ориентация контура в пространстве характеризуется направлениемнормали nr к контуру.

В качестве положительного направле-ния нормали принимается направление,связанное с током правилом правого винта(правилом буравчика):

За положительное направление нормалипринимается направление поступательногодвижения правого винта, головка котороговращается в направлении тока, текущего врамке.

Магнитное поле оказывает на рамку стоком ориентирующее действие, поворачиваяее определенным образом. Это свойствоиспользуется для выбора направлениямагнитного поля.

За направление магнитного поля вданной точке принимается направление, вдоль которого располагаетсяположительная нормаль к свободно подвешенной рамке с током, илинаправление, совпадающее с направлением силы, действующей на северныйполюс (N) магнитной стрелки, помещенный в данную точку поля.

4–31

Магнетизм

Для того, чтобы эта система уравнений была полной ее необходимодополнить такими соотношениями, в которые входили бы величины,характеризующие индивидуальные свойства среды, в которой возбуждаютсяэлектрические и магнитные поля. Эти соотношения называютсяматериальными соотношениями:

EjHBEDrrrrrr

γµµεε === ,, 00 ,где 0ε и 0µ — соответственно электрическая и магнитная постоянные, ε

и µ — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, γ —удельная проводимость вещества.

Из уравнений Максвелла следует, что— источниками электрического поля являются либо электрические

заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля,— магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися

электрическими зарядами (электрическими токами), либопеременными электрическими полями,

— переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым имэлектрическим полем, а переменное электрическое поле всегдасвязано с порождаемым им магнитным, т.е. электрическое и магнитноеполя неразрывно связаны друг с другом — они образуют единоеэлектромагнитное поле.

Для стационарных полей ( constE = и constB = ) уравнения Максвеллаимеют вид

∫∫∫∫ ====SLSL

dSBIdlHqdSDdlE 0;;;0rrrr

В этом случае электрические и магнитные поля независимы друг отдруга, что позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитноеполе.

Воспользуемся известными из векторного анализа теоремами Стокса иГаусса (см. стр.1-31):

∫∫

∫∫=

=

VS

SL

dVAdSA

dSAdlA

rr

rr

div

,rot

По определению, дивергенцией и ротором векторного поля Ar

в даннойточке M называют следующие производные по объёму:

V

dSAMA S

V

∫→

=

r

r

0lim)(div

V

dSAMA S

V

∫→

=],[

lim)(rot0

r

r,

где интегралы ∫S

dSAr

и ∫S

dSA ],[r

есть, соответственно, скалярный и

векторный потоки векторного поля через замкнутую поверхность S , котораяокружает данную точку M , охватывая область с объёмом V .

Дивергенция есть мера источников поля. Если в некоторой областидивергенция равна нулю, то векторное поле в этой области свободно от

Page 3: Лекции по физике. Магнетизм

4–30

А.Н.Огурцов. Лекции по физике.

Если в каком-либо проводнике имеется переменный ток, то внутрипроводника существует переменное электрическое поле. Поэтому внутрипроводника имеется и ток проводимости, и ток смещения и магнитное полепроводника определяется суммой этих двух токов.

Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимостии смещения. Плотность полного тока

tDjj∂∂+=r

rrполн

Полный ток всегда замкнут. На концах проводников обрывается лишь токпроводимости, а в диэлектрике (или в вакууме) между концами проводникаимеется ток смещения, который замыкает ток проводимости.

Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвеллприписал току смещения лишь одно — способность создавать в окружающемпространстве магнитное поле.

Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора Hr

, использовавполный ток:

∫ ∫

∂∂+=

L S

dStDjdlHr

rr

Обобщенная теорема о циркуляции вектора Hr

представляет собойвторое уравнение системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля.

45. Полная система уравнений Максвелла.Третье уравнение системы уравнений Максвелла для электромагнитного

поля это теорема Гаусса для поля Dr

. Для заряда, непрерывнораспределенного внутри замкнутой поверхности с объемной плотностью ρ , этоуравнение имеет вид:

∫ ∫=S V

dVdSD ρr

Четвертое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса для поляBr

:

∫ =S

dSB 0r

Таким образом, система уравнений Максвелла в интегральнойформе

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

=

∂∂+=

=

∂∂−=

S

L S

S V

L S

dSB

dStDjdlH

dVdSD

dStBdlE

0

;

;

r

rrr

r

rr

ρ

4–3

Магнетизм

3. Вектор магнитной индукции.Вращающий момент сил зависит как от свойств поля в данной точке, так и

от свойств рамки с током и определяется векторным произведением:],[ BpM m

rrr= ,

где mpr — вектор магнитногомомента рамки с током, B

r — вектор

магнитной индукции — силоваяхарактеристика магнитного поля. Поопределению векторного произведенияскалярная величина момента:

αsinBpM m= ,

где α — угол между векторами mpr и Br

.Для плоского контура с током I магнитный момент определяется:

nISpmrr = ,

где S — площадь поверхности контура (рамки), nr — единичный векторнормали к поверхности рамки. В этом случае вращающий момент ],[ BnISM

rrr= .

Если в данную точку магнитного поля помещать рамки с различнымимагнитными моментами, то на них действуют различные вращающие моменты,

но отношение mp

M max для всех контуров одно и то же.

Аналогично тому, как силовая векторная характеристика электростатиче-ского поля — напряженность — определялась как сила, действующая напробный заряд, силовая характеристика магнитного поля — магнитнаяиндукция B

r — определяется максимальным вращающим моментом,

действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когданормаль к рамке перпендикулярна направлению поля.

Графически магнитное поле, так же как электрическое, изображают спомощью линий магнитной индукции — линий, касательные к которым вкаждой точке совпадают с направлением вектора B

r.

Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники стоком, в то время, как линии электростатического поля — разомкнуты (ониначинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах).4. Макротоки и микротоки.

В дальнейшем мы будем различать макроскопические токи, т.е.электрические токи, протекающие по проводникам в электрических цепях имикроскопические токи, обусловленных движением электронов в атомах имолекулах.

Намагниченность постоянных магнитов является следствием существова-нием в них микротоков.

Внешнее магнитное поле оказывает ориентирующее, упорядочивающеедействие на эти микротоки. Например, если вблизи какого-то тела поместитьпроводник с током (макроток), то под действием его магнитного полямикротоки во всех атомах определенным образом ориентируются, создавая втеле дополнительное магнитное поле.

Page 4: Лекции по физике. Магнетизм

4–4

А.Н.Огурцов. Лекции по физике.

Вектор магнитной индукции Br

характеризует результирующее магнитноеполе, создаваемое всеми макро- и микротоками.

Поэтому, при одном и том же макротоке, вектор Br

в различных средахбудет иметь разные значения.

Магнитное поле макротока описывается вектором напряженностимагнитного поля H

r.

В среде магнитное поле макротоков усиливается за счет поля микротоковсреды.

5. Связь между Br

и Hr

.Для однородной изотропной среды вектор магнитной индукции:

HBrr

µµ0= ,где 0µ — магнитная постоянная (см. п.12), µ — магнитная прони-

цаемость среды (п.39), безразмерная величина, показывающая, во сколькораз магнитное поле макротоков H усиливается за счет поля микротоков среды.6. Подобие векторных характеристик электростатического и магнитного

полей.Вектор магнитной индукции B

r — аналог вектора напряженности электро-

статического поля Er

. Эти величины определяют силовые действия этих полейи зависят от свойств среды.

Аналогом вектора электрического смещения Dr

является векторнапряженности H

r магнитного поля.

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принципсуперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемогонесколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной суммемагнитных индукций полей, создаваемых каждым током или движущимсязарядом.7. Закон Био–Савара–Лапласа.

Элемент проводника ldr

с током I создает внекоторой точке A индукцию поля:

30 ],[

4 rrldIBdrrr

πµµ=

где rr — радиус-вектор, проведенный из элементаdl проводника в точку A .

Направление Bdr

перпендикулярно ldr

и rr , исовпадает с касательной к линии магнитнойиндукции. Модуль вектора Bd

r определяется

выражением:

20 sin

4 rIdldB α

πµµ= ,

где α — угол между векторами ldr

и rr .

4–29

Магнетизм

Здесь и в дальнейшем мы используем частную производной по времени,поскольку в общем случае электрическое поле может быть неоднородным, иможет зависеть не только от времени, но и от координат.

Таким образом, циркуляция вектора BEr

не равна нулю, т.е.

электрическое поле BEr

, возбуждаемое переменным магнитным полем, как исамо магнитное поле, является вихревым.

Суммарное электрическое поле складывается из электрического поля,создаваемого зарядами qE

r и вихревого электрического поля BE

r. Поскольку

циркуляция qEr

равна нулю, то циркуляция суммарного поля:

∫ ∫ ∂∂−=

L S

dStBdlEr

r

Это — первое уравнение системы уравнений Максвелла дляэлектромагнитного поля.44. Ток смещения.

Максвелл предположил, что аналогично магнитному полю и всякоеизменение электрического поля вызывает в окружающемпространстве вихревое магнитное поле (второе основное положениетеории Максвелла).

Поскольку магнитное поле есть основной, обязательный признак всякоготока, то Максвелл назвал переменное электрическое поле током смещения, вотличие от тока проводимости, обусловленного движением заряженных частиц.

Надо сказать, что термин ток смещения не является удачным. Он имеетнекоторое основание в случае диэлектриков, так как в них действительносмещаются заряды в атомах и молекулах. Однако понятие тока смещенияприменяется и для полей в вакууме, где никаких зарядов, а следовательно иникакого их смещения нет. Тем не менее этот термин сохранился в силуисторических традиций.

Плотность тока смещения:

tDj∂∂=r

rсм

Следует подчеркнуть, что ток смещения определяется производнойвектора D

r, но не самим

вектором Dr

. Так, например, вполе плоского конденсаторавектор D

r всегда направлен от

положительной пластины котрицательной. Но в случае,если электрическое полевозрастает, то tD ∂∂

r, а

следовательно и ток смещениянаправлены так, как показано на

рисунке (а). Если же электрическое поле убывает, то tD ∂∂r

направлено ототрицательной пластины к положительной, и магнитное поле противоположно(рис. (б)) по сравнению с первым случаем.

Page 5: Лекции по физике. Магнетизм

4–28

А.Н.Огурцов. Лекции по физике.

Причина такого поведения в том, что при температурах ниже точки Кюриферромагнетик разбивается на большое число микроскопических областей —доменов, самопроизвольно намагниченных до насыщения. Направление

намагничения домена определеннымобразом связано с расположением атомов вряды и слои (на рисунке схематическипоказаны домены в кристалле железа). Приотсутствии внешнего магнитного полямагнитные моменты отдельных доменовориентированы хаотически и компенси-руют друг друга. Поэтому суммарныймагнитный момент ферромагнетика равеннулю и ферромагнетик не намагничен.

Внешнее поле ориентирует по полюне магнитные моменты отдельных атомов (как это имеет место в случаепарамагнетиков), а магнитные моменты целых областей спонтаннойнамагниченности, причем домены поворачиваются по полю скачком.

Формирование доменов обусловлено квантовыми свойствами электронов.Ферромагнитными свойствами обладают вещества, в атомах которых естьнедостроенные внутренние электронные оболочки с нескомпернсированнымиспинами. В этом случае могут возникать обменные силы, которые вынуждаютспиновые магнитные моменты электронов ориентироваться параллельно другдругу. Это приводит к возникновению областей спонтанного намагничения.

Существуют вещества, в которых обменные силы вызываютантипараллельную ориентацию спиновых моментов электронов. Такиевещества называются антиферромагнетиками. Для них также существуетантиферромагнитная точка Кюри (точка Нееля), выше которой разрушаетсямагнитное упорядочение и антиферромагнетик превращается в парамагнетик.

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля.

43. Вихревое электрическое поле.Для объяснения возникновения индукционного тока в неподвижных

проводниках (второй опыт Фарадея) Максвелл предположил, что всякоепеременное магнитное поле возбуждает в окружающем пространствеэлектрическое поле, которое и является причиной возникновенияиндукционного тока в контуре (первое основное положение теории Максвелла).

Циркуляция вектора напряженности BEr

этого поля

∫ ∫Φ−==

L LBlB dt

ddlEdlEr

По определению поток вектораBr

: ∫=ΦS

dSBr

, откуда следует:

∫ ∫ ∂∂−=

L SB dS

tBdlEr

r

4–5

Магнетизм

8. Магнитное поле прямого тока.Ток течет по прямому проводу бесконечной длины. В

качестве постоянной интегрирования выберем угол α .

Из рисунка αsin

Rr = , αα

sinrddl = .

Следовательно ααπµµ dRIdB sin

40=

Угол α для всех элементов прямого проводаизменяется от 0 до π . По принципу суперпозиции:

RId

RIdBB 2

4sin

40

0

0

πµµαα

πµµ π

∫ ∫ ===

Если ток течет по отрезку провода (см. рисунок), то:

)cos(cos4 21

0 ααπµµ −=

RIB

Эта формула переходит в формулу для бесконечногодлинного проводника при 01 =α , πα =2 .

9. Магнитное поле в центре кругового тока.В данном случае сложение векторов можно заменить

сложением их модулей, учитывая 1sin =α , Rr = :

dlRIdB 2

0

4πµµ

= , откуда

RIR

RIdl

RIdBB

22

44 020

20 µµπ

πµµ

πµµ ==== ∫ ∫

Можно показать, что на расстоянии r от центра витка вдоль оси виткамагнитное поле будет:

( )322

20

2 rR

IRB+

=µµ

Напряженность магнитного поля, создаваемого круговым током, набольшом расстоянии от витка с током )( Rr >> :

333

2

3

2

3

2

0 42

42

42

222

2 rp

rIS

rRI

rIR

rIRBH m

ππππ

ππ

µµ==⋅=

⋅⋅=== ,

где ISpm = — магнитный момент витка с током.Сравним эту формулу с формулой для

электрического поля диполя (с электрическим дипольныммоментом ep ) на оси диполя (см. 3–п.13):

330

00 422

41

rp

rpED ee

πεπεεεεε ===

Очевидное подобие этих формул объясняет, почему часто говорят, чтоконтур с током подобен "магнитному диполю", имеющему равный с контуроммагнитный момент.

1α I + B

r

R

Page 6: Лекции по физике. Магнетизм

4–6

А.Н.Огурцов. Лекции по физике.

10. Закон Ампера.Действие магнитного поля на рамку с током — это пример воздействия

магнитного поля на проводник с током. Ампер установил, что сила Fdr

, скоторой магнитное поле действует на элемент проводника dl с током,находящегося в магнитном поле, равна:

],[ BdlIdFr

= ,

где dl — вектор по модулю равный dl исовпадающий по направлению с током, −B

r вектор

магнитной индукции.Наглядно направление силы Ампера принято

определять по правилу левой руки: если ладонь левойруки расположить так, чтобы в нее входил вектор B

r,

а четыре вытянутых пальца расположить понаправлению тока в проводнике, то отогнутый

большой палец покажет направление силы Ампера.11. Взаимодействие параллельных токов.

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двухтоков.

Два параллельных проводника с токами 1I и 2I находятся на расстоянии

R друг от друга. Направление сил 1Fdr

и 2Fdr

, с которыми поля 1Br

и 2Br

действуют на проводники с токами 2I и 1I , определяются по правилу левойруки.

dlBIdFRIB 121

101 ,2

4==

πµµ

.

Отсюда: dlR

IIdF 2101

24πµµ= . Аналогично

,,24 212

202 dlBIdF

RIB ==

πµµ

dlRIIdF 210

22

4πµµ= . Таким образом:

dlR

IIdFdFdF 21021

24πµµ===

Проводники с токами одинакового направления притягиваются, с токамиразного направления — отталкиваются.12. Магнитная постоянная.

В системе СИ единица измерения силы тока — ампер — вместе скилограммом, метром и секундой является основной единицей. Поопределению "ампер есть сила неизменяющегося тока, который, проходя подвум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины иничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 метраодин от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу,равную 2·10–7 ньютона на каждый метр длины".

4–27

Магнетизм

В отличие от слабомагнитных веществ, укоторых намагниченность J линейноизменяется с ростом H , у ферромагнетиков,при увеличении H , намагниченность растетсначала быстро, а затем выходит нанасыщение насJ .

Магнитная проницаемость µ ферромаг-нетиков достигает больших значений (дляжелеза — ≈5000, для сплава супермаллоя —

≈800 000).Магнитная проницаемость и магнитная

индукция B ферромагнетиков зависит от H .)(0 JHB += µ в слабых полях растет

быстро с ростом H (участок 0–1–2 на рисунке(а)), а в сильных полях, поскольку насJJ = , Bрастет с увеличением H линейно (участок 2–3).

Соответственно HJ

HB +== 10µ

µ вначале

растет с ростом H (рисунок (б)), а затем,достигая максимума, начинает уменьшаться,стремясь в случае сильных полей к единице.

Зависимость намагниченности J отнапряженности магнитного поля H вферромагнетике определяется предысториейнамагничения. Это явление называетсямагнитным гистерезисом.

Если ферромагнетик намагнитить до насыщения (кривая 0–1), а затемуменьшать H (кривая 1–2), то при 0=Hв ферромагнетике останется остаточнаянамагниченность OCJ .

Это явление используют приизготовлении постоянных магнитов.

Для того чтобы уменьшитьнамагниченность до нуля, надо приложитьпротивоположно-направленное поле(точка 3), с напряженностью CH , котораяназывается коэрцитивная сила. Придальнейшем увеличении

противоположного поля ферромагнетик перемагничивается (кривая 3–4),достигая насыщения (точка 4). Затем его можно опять размагнитить (кривая 4–5–6) и вновь перемагнитить до насыщения (кривая 6–1).

Таким образом, изменение намагниченности описывается кривой 1-2-3-4-5-6-1, которая называется петля гистерезиса.

Для каждого ферромагнетика имеется определенная температура,называемая точкой Кюри, при которой он теряет свои магнитные свойства.При нагревании выше точки Кюри ферромагнетик превращается в обычныйпарамагнетик.

Page 7: Лекции по физике. Магнетизм

4–26

А.Н.Огурцов. Лекции по физике.

41. Условия на границе раздела двух магнетиков.Рассмотрим поведение векторов B

r и H

r на границе раздела двух

однородных магнетиков с магнитнымипроницаемостями 1µ и 2µ при отсутствии награнице тока проводимости.

Построим вблизи границы разделамагнетиков 1 и 2 прямой цилиндр ничтожномалой высоты, одно основание которогонаходится в первом магнетике, другое — вовтором.

Считаем, что основания S∆ цилиндранастолько малы, что в пределах каждого изних вектор B

r неизменен.

По теореме Гаусса012 =∆−∆ SBSB nn ,

(поскольку nr и n′r противонаправлены). С учетом соотношенияHB µµ0= , нормальные составляющие

1

2

2

121 ,

µµ==

n

nnn H

HBB

Вблизи границы раздела магнетиков 1 и 2 построим небольшой замкнутыйпрямоугольный контур ABCDA длиной l . Согласно теореме о циркуляцииH

r

∫ =ABCDA

dlH 0r

поскольку токов проводимости награницах нет. Отсюда

012 =− lHlH ττ(знаки интегралов по AB и CD

разные, т.к. пути интегрированияпротивоположны, а интегралы по BC и DA бесконечно малы). Поэтому,тангенциальные составляющие

2

1

2

121 ,

µµ

τ

τττ ==

BBHH

Таким образом, при переходе через границу раздела двух магнетиковнормальная составляющая вектора B

r и тангенциальная составляющая

вектора Hr

изменяются непрерывно, а тангенциальная составляющая вектораBr

и нормальная составляющая вектора Hr

претерпевают скачок.42. Ферромагнетики и их свойства.

Помимо слабомагнитных веществ — диа- и парамагнетиков, существуютсильномагнитные вещества — ферромагнетики — вещества, обладающиеспонтанной намагниченностью, т.е. они сохраняют намагниченность приотсутствии внешнего магнитного поля.

4–7

Магнетизм

В вакууме )1( =µ сила взаимодействия на единицу длины проводника

RII

dldF 210 2

4πµµ=

при == 21 II 1А и =R 1м: =dldF

2·10–7 Н/м. Отсюда

мГн104

АН104 7

27

0−− ⋅=⋅= ππµ

где генри (Гн) — единица индуктивности — будет определена позднее.13. Единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля.

Пусть элемент проводника dl с током I перпендикулярен направлениюмагнитного поля. Закон Ампера IBdldF = , откуда

dldF

IB 1=

Единица магнитной индукции B — тесла (Тл) — магнитная индукциятакого однородного магнитного поля, которое действует с силой 1Н на каждыйметр длины прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно

направлению поля, если по этому проводнику проходит ток 1А: мА

Н1Тл1⋅

=

Из формулы HB µµ0= в вакууме )1( =µ получим 0µ

BH = .

Единица напряженности магнитного поля H — ампер на метр (А/м) —напряженность такого поля, индукция которого в вакууме равна Тл104 7−⋅π .

14. Магнитное поле свободно движущегося заряда.Проводник с током создает вокруг себя магнитное поле. Электрический ток

— это упорядоченное движение электрических зарядов. Магнитное поле Br

точечного заряда q , свободно движущегося с постоянной нерелятивистскойскоростью ( )c<<υυr :

αυπµµυ

πµµ sin

4,],[

4 20

30

rqB

rrqB ==rrr

где rr — радиус-вектор, проведенный из заряда q к точке наблюдения,α — угол между υr и rr .15. Сила Лоренца.

Так же как и на проводник с током, магнитное поле действует и наотдельный заряд, движущийся в магнитном поле.

Сила, действующая на электрический заряд q , движущийся в магнитном

поле Br

со скоростью υr , называется силой Лоренца:],[ BqFrrr

υ=или αυ sinBqF = ,

где α — угол между υr и Br

.

Page 8: Лекции по физике. Магнетизм

4–8

А.Н.Огурцов. Лекции по физике.

Сводная таблица.Проводник с током Свободно движущийся заряд

Магнитное поле 30 ],[

4 rrldIBdrrr

πµµ=

закон Био–Савара–Лапласа

30 ],[

4 rrqBrrr υ

πµµ=

Сила,действующая на

],[ BdlIdFr

=сила Ампера

],[ BqFrrr

υ=сила Лоренца

Направление силы Лоренца, так же как исилы Ампера, определяется по правилу левойруки. Сила Лоренца всегда перпендикулярнаскорости движения заряженной частицы. Поэтомуона изменяет только направление этой скорости,не изменяя ее модуля. Следовательно, силаЛоренца работы не совершает.

Постоянное магнитное поле не совершаетработы над движущейся в нем заряженной

частицей и кинетическая энергия этой частицы при движении в магнитномполе не изменяется.

Движение заряда, на который кроме магнитного поля с индукцией Br

действует и электрическое поле с напряженностью Er

описывается формулойЛоренца:

],[ BqEqFrrrr

υ+=

16. Движение заряженных частиц в магнитном поле.Считаем, что магнитное поле однородно и на частицы не действуют

электрические поля. Рассмотрим три возможных случая:1. B

rrυ — Заряженная частица движется в магнитном поле вдоль линий

магнитной индукции (угол α между векторами υr и Br

равен 0 или π ).Сила Лоренца равна нулю. Магнитное поле на частицу не действует и онадвижется равномерно и прямолинейно.

2. Brr⊥υ — Заряженная частица движется в магнитном поле перпендику-лярно линиям магнитной индукции (угол 2/πα = ).

Сила Лоренца BqF υ= : постоянна по модулю и нормальна к траекториичастицы. Частица будет двигаться по окружности радиуса R с центро-

стремительным ускорением R

an

2υ= . Из второго закона Ньютона R

mBq2υυ =

получаем радиус окружности qBmR υ= и период вращения

qBmRT π

υπ 22 == .

3. Заряженная частица движется под углом α к линиям магнитнойиндукции.

Движение частицы можно представить в виде суммы двух движений:1) равномерного прямолинейного движения вдоль поля со скоростью

αυυ cos|| = ;2) равномерного движения по окружности в плоскости, перпендикулярной полю.

4–25

Магнетизм

Магнитный момент этого суммарного тока микротоков внутри магнетика

lVI

lSlISIP ′=′=′= , где V — объем магнетика.

По определению намагниченность магнетика lI

VPJ

′== , следовательно

JB 0µ=′или в векторной форме

JBrr

0µ=′ .Следовательно,

( ) HJHBrrrr

)1(00 χµµ +=+= .Безразмерная величина

01

BB=+= χµ

называется магнитной проницаемостью вещества. Именно эта величинаиспользовалась ранее в соотношении HB

rrµµ0= .

Для диамагнетиков 1<µ , для парамагнетиков 1>µ .

40. Закон полного тока для магнитного поля в веществе.Этот закон является обобщением закона полного тока для магнитного

поля в вакууме (стр. 4-10).Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому

контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и молекулярныхтоков, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитнуюпостоянную:

)(0 IIdlBdlBL L

l ′+==∫ ∫ µr

,

где I и I ′ — соответственно алгебраические суммы макротоков (токовпроводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемыхпроизвольным замкнутым контуром L .

При этом циркуляция намагниченности Jr

по произвольному замкнутомуконтуру L равна алгебраической сумме молекулярных токов, а циркуляциявектора H

r — сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром:

IdlJL

′=∫r

, IdlHL

=∫r

Последнее выражение представляет собой теорему о циркуляциивектора H

r.

С учетом того, что сила тока I сквозь поверхность S , охватываемуюконтуром L , является потоком вектора плотности тока через эту поверхность,

∫=S

dSjIr

(стр.3-22), теорема о циркуляции вектора Hr

будет иметь вид:

∫∫ =SL

dSjdlHrr

Page 9: Лекции по физике. Магнетизм

4–24

А.Н.Огурцов. Лекции по физике.

виток будет выталкиваться и перемещаться в область более слабого поля.Поэтому парамагнетики втягиваются в область сильного поля, в то

время, как диамагнетики выталкиваются из этой области.39. Намагниченность. Магнитное поле в веществе.

Подобно тому, как для количественного описания поляризациидиэлектриков была введена поляризованность, для количественного описаниянамагничения магнетиков вводят векторную величину — намагниченность,определяемую магнитным моментом единицы объема магнетика:

Vp

VPJ am ∑==

rrr

,

где ∑= am pP rr — магнитный момент магнетика, равный векторной сумме

магнитных моментов отдельных молекул.В несильных полях намагниченность пропорциональна напряженности H

r

поля, вызывающего намагничение. Поэтому, аналогично диэлектрическойвосприимчивости, можно ввести понятие магнитной восприимчивостивещества χ :

HJrr

χ= ,χ — безразмерная величина.Для диамагнетиков χ отрицательна (поле молекулярных токов

противоположно внешнему полю), для парамагнетиков – положительна (полемолекулярных токов совпадает с внешним).

Абсолютное значение магнитной восприимчивости для диа- ипарамагнетиков очень мало — порядка 10–4 – 10–6.

Магнитное поле Br

в веществе складывается из двух полей: внешнегополя 0B

r, создаваемого намагничивающим током в вакууме, и поля B′

r

намагниченного вещества:BBB ′+=rrr

0 ,

где HBrr

00 µ= .Для описания поля, создаваемого молекулярными токами, рассмотрим

магнетик в виде кругового цилиндра сечения S и длины l , внесенного воднородное внешнее магнитное поле с индукцией 0B

r

параллельное оси цилиндра. Если рассмотреть любоесечение цилиндра, перпендикулярное его оси, то вовнутренних участках сечения магнетика молекулярныетоки соседних атомов направлены навстречу друг другу ивзаимно компенсируются. Нескомпенсированными будутлишь молекулярные токи, выходящие на поверхностьцилиндра.

Магнитную индукцию тока I ′ , текущего по боковой поверхности цилиндра,вычислим (считая для простоты 1=µ ) по формуле для соленоида с 1=N(соленоид из одного витка):

lIB′

=′ 0µ

4–9

Магнетизм

Суммарное движение будет движением поспирали, ось которой параллельна магнитномуполю. Шаг винтовой линии αυυ cos|| TTh == , где

υπRT 2= – период вращения частицы, и

qBmR υ= :

qBmh αυπ cos2=

Если магнитное поле неоднородно изаряженная частица движется под углом к линияммагнитного поля в направлении возрастания

поля, то величины R и h уменьшаются с ростом Br

. На этом основанафокусировка заряженных частиц магнитным полем.17. Эффект Холла.

Эффект Холла — это возникновение электрического поля в проводникеили полупроводнике с током при помещении его в магнитное поле.

Эффект Холла — следствие влияния силы Лоренца на движениеносителей тока. В магнитном поле B

r при протекании через проводник тока с

плотностью jr

устанавливается электрическое поле с напряженностью

],[ jBRErrr

= ,где R — постоянная Холла.

Пусть, например, металлическаяпластинка с током расположена вмагнитном поле перпендикулярном току(см. рисунок). Сила Лоренца приводит кповышению концентрации носителей тока— электронов — у верхнего краяпластинки. При этом верхний крайзарядится отрицательно, а нижний,

соответственно — положительно. Стационарное распределение зарядов будетдостигнуто, когда действие созданного таким образом электрического поля

уравновесит силу Лоренца: Bea

eeE υϕ =∆= , или Baυϕ =∆ , где −a ширина

пластинки, e — заряд электрона, ϕ∆ — поперечная (холловская) разностьпотенциалов.

Поскольку сила тока SnejSI υ== ( adS = — площадь поперечногосечения пластинки толщиной d и шириной a , n — концентрация электронов,υ — средняя скорость упорядоченного движения электронов), то

dIBR

dIB

enBa

neadI ===∆ 1ϕ

Знак постоянной Холла en

R 1= совпадает со знаком носителей тока,

поэтому эффект Холла используют для определения природы носителей тока ввеществах и определения их концентрации.

Page 10: Лекции по физике. Магнетизм

4–10

А.Н.Огурцов. Лекции по физике.

18. Теорема о циркуляции вектора Br

.Циркуляцией вектора B

r по задан-

ному замкнутому контуру L называетсяследующий интеграл по этому контуру:

где dl — элемент длины контура, направленныйвдоль обхода контура; αcosBBl = — составляющая

вектора Br

в направлении касательной к контуру, с учетомвыбранного направления обхода; α — угол междувекторами B

r и dl .

Теорема о циркуляции вектора Br

(закон полного магнитного поля ввакууме): циркуляция вектора B

r по произвольному замкнутому контуру равна

произведению магнитной постоянной 0µ на алгебраическую сумму токов,охватываемых этим контуром:

∑∫ ∫=

==n

kk

L Ll IdlBdlB

10µ

r,

где n — число проводников с токами, охватываемых контуром Lпроизвольной формы.

Эта теорема справедлива только для поля в вакууме, поскольку для поляв веществе надо учитывать молекулярные токи. Каждый ток учитываетсястолько раз, сколько он охватывается контуром.Положительным считается ток, направление которого связанос направлением обхода по контуру правилом правого винта.

Пример: магнитное поле прямого тока.Замкнутый контур представим в виде окружности радиуса r . Вкаждой точке этой окружности вектор B

r одинаков по модулю и

направлен по касательной к окружности:

∫ ∫∫ ====L LL

l IrBdlBBdldlB 02 µπ , отсюда rIB

πµ2

0=

Сравним выражения для циркуляций векторов Er

и Br

.

∑∫∫=

==n

kk

LL

IdlBdlE1

0,0 µrr

Принципиальное различие между этими формулами в том, что циркуляциявектора E

r электростатического поля всегда равна нулю. Такое поле является

потенциальным. Циркуляция вектора Br

магнитного поля не равна нулю.Такое поле называется вихревым или соленоидальным.19. Магнитное поле соленоида.

Соленоидом называется свернутый в спираль изолированный проводникпо которому течет электрический ток. Рассмотрим соленоид длиной l ,имеющий N витков. Циркуляция вектора B

r по замкнутому контуру ABCDA ,

охватывающему все N витков, равна ∫ =ABCDA

l NIdlB 0µ

∫ ∫=L L

l dlBdlBr

4–23

Магнетизм

орбите прецессии с угловой скоростью Ω .Прецессионное движение электронных орбит эквивалентно круговому

микротоку. Так как этот микроток индуцирован внешним магнитным полем, то,согласно правилу Ленца, у атома появляется магнитный момент,направленный против внешнего поля.

Наведенные составляющие магнитных полей атомов складываются иобразуют собственное магнитное поле вещества, ослабляющее внешнеемагнитное поле. Этот эффект получил название диамагнитного эффекта, авещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле противнаправления поля, называются диамагнетиками (например, Ag, Au, Cu…).

Так как диамагнитный эффект обусловлен действием внешнегомагнитного поля на электроны атомов вещества, то диамагнетизм свойственвсем веществам.

Наряду с диамагнитными веществами существуют и парамагнитные —вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле по направлениюполя (пример: редкоземельные металлы, Pt, Al…).

У парамагнитных веществ при отсутствии внешнего магнитного полямагнитные моменты электронов не компенсируют друг друга, и молекулыпарамагнетиков всегда обладают магнитным моментом (такие молекулыназываются полярными).

Вследствие теплового движения молекул их магнитные моментыориентированы беспорядочно, поэтому, в отсутствие магнитного поля,парамагнитные вещества магнитными свойствами не обладают.

При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле устанавливаетсяпреимущественная ориентация магнитных моментов атомов (молекул) пополю (полной ориентации препятствует тепловое движение атомов).

Таким образом, парамагнетик намагничивается, создавая собственноемагнитное поле, совпадающее по направлению с внешним полем иусиливающим его. Этот эффект называется парамагнитным. Если магнитныймомент атомов (молекул) велик, то парамагнитные свойства преобладают наддиамагнитными и вещество является парамагнетиком.

Пара- и диамагнетики по-разному ведут себя в неоднородных магнитныхполях.

Рассмотрим малый виток с током внеоднородном магнитном поле (см. рисунок). Силы

Fdr

, действующие на отдельные участки витка,перпендикулярны к току и к магнитному полю.Составляющие tFd

r, параллельные витку, создают

усилия, растягивающие (или сжимающие) виток.Составляющие nFd

r, перпендикулярные к

плоскости витка, складываясь, дадут некую силуFr

, стремящуюся перемещать виток в магнитномполе. Если магнитный момент тока mpr

сонаправлен с вектором магнитной индукции Br

(как изображено на рисунке), то виток будетвтягиваться в область более сильного поля. Еслиже вектор mpr противонаправлен вектору B

r, то

Page 11: Лекции по физике. Магнетизм

4–22

А.Н.Огурцов. Лекции по физике.

механическим моментом импульса lLr

, т.е. подобен волчку:

SmrmLl νω 22 ==где πνω 2= — угловая скорость электрона, Sr =2π . Вектор lL

r

называется орбитальным механическим моментом электрона. Посколькунаправление вектора lL

r также определяется по правилу правого винта, то

направления mpr и lLr

противоположны. Поэтому:

llm LLmep

rrr ⋅Γ=−=2

,

где величина

−=Γ

me

21

называется гиромагнитным отношением

орбитальных моментов,

Кл/кг1076,1 11⋅=me

— удельный заряд электрона.

Кроме орбитальных моментов, электрон обладает собственныммеханическим моментом импульса sL

r, называемый спином.

Спину электрона соответствует собственный (спиновый) магнитныймомент mspr . Проекция спина на направление вектора B

r может принимать

только одно из следующих двух значений:

Be

msB mep µ±=±=

2h

,

где π2h=h ( h – постоянная Планка), Bµ – магнетон Бора, являющийся

единицей магнитного момента электрона.Общий магнитный момент атома или молекулы равен векторной сумме

магнитных моментов (орбитальных и спиновых) входящих в атом (молекулу)электронов:

∑ ∑+= msma ppp rrr

Магнитные моменты атомных ядер в тысячи раз меньше магнитныхмоментов электронов, поэтому ими как правило пренебрегают.38. Диа- и парамагнетики.

Всякое вещество является магнетиком, т.е. способнопод действием магнитного поля приобретать магнитныймомент (намагничиваться).

На вращающийся по орбите электрон, как на замкнутыйток, в магнитном поле действует вращающий момент сил. Врезультате электрон получает дополнительное равномерноевращение, при котором вектор L

r будет описывать конус

вокруг направления индукции Br

с некоторой угловойскоростью Ω . Такое движение называется прецессией.

Теорема Лармора: действие магнитного поля наэлектронную орбиту можно свести к сообщению этой

4–11

Магнетизм

На участках AB и CD контурперпендикулярен линиям магнитной индукции,следовательно 0=lB . Можно показать, что внебесконечного соленоида магнитное поле 0=B(удалив участок CB на бесконечность, гдемагнитное поле соленоида равно нулю,поскольку магнитное поле каждого виткасоленоида уменьшается с расстоянием 3~ −r ).На участке DA контур совпадает с линией

магнитной индукции, внутри соленоида поле однородно ( BBl = ), поэтому

∫ ==DA

l NIBldlB 0µ

Магнитная индукция (бесконечного) соленоида в вакууме:

lNIB 0µ=

20. Магнитное поле тороида в вакууме.Тороидом — называется кольцевая катушка с

витками, намотанными на сердечник, имеющий формутора, по которой течет ток.

Магнитное поле отсутствует вне тороида, авнутри его оно является однородным.

Линии магнитной индукции, как следует изсоображений симметрии, есть окружности, центрыкоторых расположены на оси тороида.

В качестве контура выберем одну такуюокружность радиуса r . По теореме о циркуляции

NIrB 02 µπ = , где −N число витков тороида. Отсюда

rNIBπ

µ20=

21. Поток вектора магнитной индукции.Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через

площадку dS называется скалярная физическая величина, равнаяdSBdSBd nB ==Φ

r

где αcosBBn = — проекция вектора Br

на направление нормали nr к

площадке dS , α — угол между векторами nr и Br

, dS — вектор, модулькоторого равен dS , а направление совпадает с направлением нормали nr кплощадке.

Поток вектора Br

может быть как положительным, так иотрицательным в зависимости от знака αcos .

Поток вектора Br

связывают с контуром по которому течет ток.Положительное направление нормали к контуру связано с направлением токапо правилу правого винта. Поэтому магнитный поток, создаваемый контуромс током через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен.

Page 12: Лекции по физике. Магнетизм

4–12

А.Н.Огурцов. Лекции по физике.

Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность S :

∫ ∫==ΦS S

nB dSBdSBr

Если поле однородно и перпендикулярно ему расположена плоскаяповерхность с площадью S , то

BSB =ΦЕдиница магнитного потока — вебер (Вб): 1Вб — магнитный поток,

проходящий сквозь плоскую поверхность площадью 1м2, расположеннуюперпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1Тл(1 Вб=1 Тл·м2).22. Теорема Гаусса для магнитного поля в вакууме

Поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутуюповерхность равен нулю:

∫ =S

dSB 0r

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствиечего линии магнитной индукции не имеют ни начала ни конца и являютсязамкнутыми.23. Потокосцепление.

Магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром,называется потокосцеплением Ψ этого контура.

Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока в самомэтом контуре, называется потокосцеплением самоиндукции.

Например, найдем потокосцепление самоиндукции соленоида ссердечником с магнитной проницаемостью µ . Магнитный поток сквозь одинвиток соленоида площадью S равен BS=Φ1 . Полный магнитный поток,сцепленный со всеми витками соленоида равен:

Sl

INSNlNIBSNN

2

00

1 µµµµ ===Φ=Ψ

Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока, идущегов другом контуре, называется потокосцеплением взаимной индукции этих двухконтуров.24. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле.

Проводник длиной l (он может свободно перемещаться) с током Iнаходится в однородном магнитном поле (см. рисунок). Поле направленоперпендикулярно плоскости рисунка — из-за чертежа. Сила Ампера IBlF = .

Под ее действием проводник переместился изположения 1 в положение 2.

Работа, совершаемая магнитным полем:Φ===== IdIBdSIBldxBldxIdxFdA ],[

rrr

Использованы соотношения:ldxdS = — площадь, пересекаемая

проводником при его перемещении в магнитномполе; Φ= dBdS — поток вектора магнитной

4–21

Магнетизм

Магнитное поле длинного соленоида однородно и сосредоточено внутринего, поэтому энергия заключена в объеме соленоида и распределена в нем собъемной плотностью

222

20

0

2 BHHBVWw ==== µµ

µµЭти соотношения носят общий характер и справедливы и для

неоднородных полей, но только для сред, для которых связь между Br

и Hr

линейная (т.е. для пара- и диамагнетиков).Выражение для объемной плотности энергии магнитного поля аналогично

соответствующему выражению для объемной плотности энергии

электростатического поля: 22

20 EDE

VWw === εε

, с той разницей, что

электрические величины заменены в нем магнитными.

Магнитные свойства вещества.

37. Магнитные моменты электронов и атомов.До сих пор влияние среды на магнитные явления учитывалось формально

введением магнитной проницаемости µ . Для того, чтобы разобраться вмагнитных свойствах сред и их влиянии на магнитную индукцию, необходиморассмотреть действие магнитного поля на атомы и молекулы вещества.

Все вещества, помещенные в магнитное поле, намагничиваются,поскольку в любом теле существуют микроскопические токи (микротоки),обусловленные движением электронов в атомах и молекулах.

Для многих целей, в том числе и для объяснения многих магнитныхявлений, можно использовать квазиклассическую модель, в которойпредполагается, что атом состоит из положительно заряженного ядра, вокругкоторого обращаются электроны по круговым или эллиптическим орбитам,подобно планетам солнечной системы (планетарная модель атома).

Такие электроны, обращающиеся по орбитам, представляют собойзамкнутые электрические токи, и поэтому естественно предположить, чтоименно они являются микротоками (существование которых предполагал ещеАмпер), ответственными за намагничивание вещества.

Если электрон совершает ν оборотов в секунду, то сила тока νeI = .Орбитальный магнитный момент электрона, движущегося по круговой

орбите, площадью S :SeISpm ν==

Если электрон движется по часовой стрелке, тоток направлен против часовой стрелки и вектор mpr (всоответствии с правилом правого винта) направленперпендикулярно плоскости орбиты электрона.

Так как электронам присущ не только заряд, ноеще и масса, то каждый орбитально движущийсяэлектрон обладает не только магнитным моментом (каки всякий замкнутый ток), но еще и определенным

Page 13: Лекции по физике. Магнетизм

4–20

А.Н.Огурцов. Лекции по физике.

магнитное поле. Это вызывает во вторичной обмотке появление ЭДС взаимнойиндукции. При этом:

11

22 Θ−=Θ

NN

,

где 1N и 2N — число витков в первичной и вторичной обмотках,соответственно.

Отношение 1

2

NNk = , показывающее, во сколько раз ЭДС во вторичной

обмотке трансформатора больше (или меньше), чем в первичной, называетсякоэффициентом трансформации.

Если 1>k , то трансформатор — повышающий, если 1<k —понижающий.36. Энергия магнитного поля.

Проводник, по которому протекает электрический ток, всегда окруженмагнитным полем. Магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлениеми исчезновением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, являетсяносителем энергии. Энергия магнитного поля равна работе, которуюзатрачивает ток на создание этого поля.

Рассмотрим контур индуктивностью L , по которому течет ток I .С данным контуром сцеплен магнитный поток LI=Φ .При изменении тока на dI магнитный поток изменяется на LdId =Φ .Для такого изменения магнитного потока необходимо совершить работу

LIdIIddA =Φ= .Тогда работа по созданию магнитного потока Φ будет равна

∫ ==I LILIdIA0

2

2Энергия магнитного поля, связанного с контуром,

2

2LIW =

На примере однородного магнитного поля внутри длинного соленоидавыразим энергию магнитного поля через величины, характеризующие это полев окружающем пространстве.

Индуктивность соленоида: l

SNL2

0µµ= . Отсюда: SlINW

22

021 µµ= .

Магнитная индукция поля соленоида: lNIB µµ0= . Отсюда:

NBlIµµ0

= .

По определению вектора напряженности магнитного поля HB µµ0= .Используя эти соотношения

VBHVBW22 0

2

==µµ

где VSl = — объем соленоида.

4–13

Магнетизм

индукции, пронизывающий эту площадь. Таким образом,Φ= IddA

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равнапроизведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимсяпроводником.25. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле.

Магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости рисунка — зачертеж. Работа dA сил Ампера при перемещении контура ABCDA равна

сумме работ по перемещению проводниковABC ( 1dA ) и CDA ( 2dA ), т.е.

21 dAdAdA +=При перемещении участка CDA силы

Ампера направлены в сторону перемещения(образуют с направлением перемещения острыеуглы), поэтому 02 >dA

)( 202 Φ+Φ= ddIdAСилы, действующие на участок ABC контура, направлены против

перемещения (образуют с направлением перемещения тупые углы), поэтому01 <dA

)( 101 Φ+Φ−= ddIdAВ сумме

)( 12 Φ−Φ= ddIdA , или ∆Φ= IA , или )( 21 Ψ−Ψ= IAРабота по перемещению замкнутого контура с током в магнитном

поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитногопотока, сцепленного с контуром (или на его потокосцепление).

Электромагнитная индукция.

26. Опыты Фарадея.Опыт 1.Соленоид подключен к гальванометру. Если в соленоид

вдвигать (или выдвигать) постоянный магнит, то в моментывдвигания (или выдвигания) наблюдается отклонениестрелки гальванометра, т.е. в соленоиде индуцируется ЭДС.

Направление отклонения стрелки при вдвигании ивыдвигании противоположны. Если постоянный магнитразвернуть так, чтобы полюса поменялись местами, то инаправление отклонения стрелки изменится напротивоположное. Отклонение стрелки гальванометра тембольше, чем больше скорость движения магнитаотносительно соленоида. Такой же эффект будет, еслипостоянный магнит оставить неподвижным, а относительноего перемещать соленоид.

Page 14: Лекции по физике. Магнетизм

4–14

А.Н.Огурцов. Лекции по физике.

Опыт 2.Один соленоид (К1) подключен к источнику тока.

Другой соленоид (К2) подключен к гальванометру.Отклонение стрелки гальванометра наблюдается в моментывключения или выключения тока, в моменты его увеличенияили уменьшения или при перемещении катушек друготносительно друга. При включении и выключении стрелкаотклоняется в разные стороны, т.е. знак индуцированнойЭДС в этих случаях различен. Такой же эффект – наведениев катушке К2 ЭДС различного знака – наблюдается приувеличении или уменьшении тока в катушке К1; присближении или удалении катушек.

В опытах Фарадея было открыто явление электромагнитнойиндукции. Оно заключается в том, что в замкнутом проводящем контуре приизменении потока магнитной индукции, охватываемого этим контуром,возникает электрический ток, получивший название индукционного.

Основные свойства индукционного тока:1. Индукционный ток возникает всегда, когда происходит изменение

сцепленного с контуром потока магнитной индукции.2. Сила индукционного тока не зависит от способа изменения потока

магнитной индукции, а определяется лишь скоростью его изменения.Открытие явления электромагнитной индукции:

1) показало взаимосвязь между электрическим и магнитным полем;2) предложило способ получения электрического тока с помощью

магнитного поля.27. Закон Фарадея.

Обобщая результаты опытов, Фарадей показал, что всякий раз, когдапроисходит изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции, вконтуре возникает индукционный ток.

Возникновение индукционного тока указывает на наличие в цепиэлектродвижущей силы.

Эта ЭДС называется электродвижущей силой электромагнитнойиндукции.

Закон Фарадея: ЭДС электромагнитной индукции в контуре численноравна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозьповерхность, ограниченную этим контуром:

dtd

iΦ−=Θ

Для замкнутого контура магнитный поток Φ есть не что иное, какпотокосцепление Ψ этого контура. Поэтому в электротехнике закон Фарадеячасто записывают в форме:

dtd

iΨ−=Θ

Направление индукционного тока определяется по правилу Ленца: привсяком изменении магнитного потока сквозь поверхность, натянутую назамкнутый проводящий контур, в последнем возникает индукционный токтакого направления, что его магнитное поле противодействует изменениюмагнитного потока.

4–19

Магнетизм

34. Взаимная индукция.Взаимной индукцией называется

явление возбуждения ЭДС электро-магнитной индукции в однойэлектрической цепи при измененииэлектрического тока в другой цепи илипри изменении взаимного расположенияэтих двух цепей.

Рассмотрим два неподвижныхконтура 1 и 2 с токами 1I и 2I ,расположенных достаточно близко друг

от друга. При протекании в контуре 1 тока 1I магнитный поток пронизываетвторой контур:

12121 IL=Φ , аналогично 21212 IL=Φ .Коэффициенты пропорциональности 21L и 12L равны друг другу

LLL == 2112 и называются взаимной индуктивностью контуров.При изменении силы тока в одном из контуров, в другом индуцируется

ЭДС:

dtdIL

dtd

dtdIL

dtd

ii212

1121

2 , −=Φ−=Θ−=Φ−=Θ

Взаимная индуктивность контуров зависит от геометрической формы,размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемостиокружающей контуры среды.

Для примера рассчитаем взаимную индуктивность двух катушек,намотанных на тороидальный сердечник.

Первая катушка с числом витков 1N и током 1I создает поле

lINB 11

0µµ= . Магнитный поток сквозь один

виток второй катушки SlINBS 11

02 µµ==Φ ,

где −l длина сердечника по средней линии.Тогда полный магнитный поток(потокосцепление) сквозь вторичнуюобмотку, содержащую 2N витков:

121

022 SIlNNN µµ=Φ=Ψ . Поскольку поток Ψ создается током 1I , то

SlNN

IL 21

01

µµ=Ψ=

Данное устройство является примером трансформатора.35. Трансформаторы.

Принцип действия трансформаторов, применяемых для повышения илипонижения напряжения переменного тока, основан на явлении взаимнойиндукции. Переменный ток 1I создает в первичной обмотке переменное

Page 15: Лекции по физике. Магнетизм

4–18

А.Н.Огурцов. Лекции по физике.

33. Токи при размыкании и замыкании цепи.При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает ЭДС

самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи,называемые экстратоками самоиндукции.

Пусть в цепи сопротивлением R ииндуктивностью L под действием внешней ЭДС Θтечет постоянный ток RI /0 Θ= . В момент времени

0=t выключим источник тока. Возникает ЭДС

самоиндукции dtdILs −=Θ , препятствующая

уменьшению тока. Ток в цепи определяется законом

Ома sIR Θ= , или dtdILIR −= . Разделяем переменные: dt

LR

IdI −= , и

интегрируем по I (от 0I до I ) и по t (от 0 до t ): LRt

II −=0

ln , или

−=

τtII exp0 ,

где RL=τ — постоянная, называемая временем релаксации — время, в

течение которого сила тока уменьшается в е раз.Таким образом, при выключении источника тока сила тока убывает по

экспоненциальному закону (а не мгновенно).Оценим значение ЭДС самоиндукции при мгновенном увеличении

сопротивления от 0R до R :

−Θ=

LRt

RI exp

0, откуда

−Θ=−=Θ

LRt

RR

dtdILs exp

0

Т.е. при резком размыкании контура )( 0RR >> ЭДС самоиндукции sΘможет во много раз превысить Θ , что может привести к пробою изоляции ивыводу из строя измерительных приборов.

При замыкании цепи помимо внешней ЭДС Θ возникает ЭДС

самоиндукции dtdILs −=Θ , препятствующая возрастанию тока. По закону Ома,

sIR Θ+Θ= , или dtdILIR −Θ= . Можно показать, что решение этого уравнения

имеет вид:

−−=

τtII exp10 ,

где R

I Θ=0 — установившийся ток (при ∞→t ).

Таким образом, при включении источника тока сила тока возрастаетпо экспоненциальному закону (а не мгновенно).

4–15

Магнетизм

ЭДС электромагнитной индукции выражается в вольтах.

ВсАсВА

сАДж

смАмН

смТл

сВб 22

=⋅⋅⋅=

⋅=

⋅⋅⋅=⋅==

Φ

dtd

28. ЭДС индукции в неподвижных проводниках.Согласно закону Фарадея, возникновение ЭДС электромагнитной индукции

возможно и в случае неподвижного контура, находящегося в переменноммагнитном поле. Однако сила Лоренца на неподвижные заряды не действует,поэтому в данном случае ею нельзя объяснить возникновение ЭДС индукции.

Кроме того, опыт показывает, что ЭДС индукции не зависит от родавещества проводника, от состояния проводника, в частности, от еготемпературы, которая может быть неодинаковой вдоль проводника.Следовательно сторонние силы, индуцируемые магнитным полем, не связаны сизменением свойств проводника в магнитном поле, а обусловлены самиммагнитным полем.

Максвелл для объяснения ЭДС индукции внеподвижных проводниках предположил, чтопеременное магнитное поле возбуждает вокружающем пространстве вихревоеэлектрическое поле, которое и являетсяпричиной возникновения индукционного тока впроводнике.

На рисунке приведен пример вихревогоэлектрического поля, возникающего привозрастании магнитного поля.

Вихревое электрическое поле не является электростатическим.Силовые линии электростатического поля всегда разомкнуты — они

начинаются и заканчиваются на электрических зарядах. Именно поэтомунапряжение по замкнутому контуру в электростатическом поле всегда равнонулю, это поле не может поддерживать замкнутое движение зарядов и,следовательно, не может привести к возникновению электродвижущей силы.

Напротив, электрическое поле, возбуждаемое изменениями магнитногополя, имеет непрерывные силовые линии, т.е. представляет собой вихревоеполе. Такое поле вызывает в проводнике движение электронов по замкнутымтраекториям и приводит к возникновению ЭДС — сторонними силами являютсясилы вихревого электрического поля.

Циркуляция BEr

этого поля по любому контуру L проводникапредставляет собой ЭДС электромагнитной индукции:

∫Φ−==Θ

LBi dt

ddlEr

29. Вращение рамки в магнитном поле.Явление электромагнитной индукции применяется для преобразования

механической энергии в энергию электрического тока. Для этой целииспользуются генераторы, принцип действия которых рассмотрим на примереплоской рамки, вращающейся в однородном )( constB = магнитном поле.

Page 16: Лекции по физике. Магнетизм

4–16

А.Н.Огурцов. Лекции по физике.

Пусть рамка вращается равномерно с угловой скоростью const=ω .Магнитный момент, сцепленный с рамкойплощадью S , в любой момент времени tравен

tBSBSSBn ωα coscos ===Φгде tωα = — угол поворота рамки в

момент времени t .При вращении рамки в ней возникает

переменная ЭДС индукции:

tBSdtd

i ωω sin=Φ−=Θ

Максимальное значение ЭДС индукции ωBS=Θmax . Тогдаti ωsinmaxΘ=Θ

При равномерном вращении рамки в однородном магнитном поле в нейвозникает переменная ЭДС, изменяющаяся по гармоническому закону.

Процесс превращения механической энергии в электрическую обратим.Если по рамке, помещенной в магнитное поле, пропускать электрический ток, тона нее будет действовать вращающий момент ],[ BnISM

rrr= и рамка начнет

вращаться. На этом принципе основана работа электродвигателей.30. Вихревые токи (токи Фуко).

Индукционный ток возникает не только в линейных проводниках, но и вмассивных сплошных проводниках, помещенных в переменное магнитное поле.Эти токи замкнуты в толще проводника и называются вихревыми илитоками Фуко.

Токи Фуко также подчиняются правилу Ленца: их магнитное поленаправлено так, чтобы противодействовать изменению магнитного потока,индуцирующему вихревые токи. Поэтому массивные проводники тормозятся вмагнитном поле. Кроме того, вихревые токи вызывают сильное нагреваниепроводников. В электрических машинах, для того чтобы минимизироватьвлияние токов Фуко, сердечники трансформаторов и магнитные цепиэлектрических машин собирают из тонких пластин, изолированных друг отдруга специальным лаком или окалиной.

Джоулево тепло, выделяемое токами Фуко, используется в индукционныхметаллургических печах.

Взаимодействие вихревых токов с высокочастотным магнитным полемприводит к неравномерному распределению магнитного потока по сечениюмагнитопроводов — вытеснение магнитного потока из объема вприповерхностные области проводника. Это явление называется магнитнымскин-эффектом.

Вихревые токи возникают и в самом проводнике, по которому течетпеременный ток, что приводит к неравномерному распределению тока посечению проводника – вытеснение токов высокой частоты в приповерхностныеобласти проводника. Это явление называется электрическим скин-эффектом.31. Индуктивность контура.

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себямагнитное поле, индукция которого, по закону Био-Савара-Лапласа

4–17

Магнетизм

пропорциональна току. Поэтому сцепленный с контуром магнитный потокпропорционален току в контуре:

LI=Φ ,где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью

контура.Пример: индуктивность длинного соленоида.Потокосцепление соленоида (полный магнитный поток сквозь соленоид):

Sl

INBSN2

0µµ==Ψ , откуда:

lSNL

2

0µµ= ,

где −N число витков соленоида, −l его длина, −S площадь, −µмагнитная проницаемость сердечника.

Индуктивность контура в общем случае зависит только от геометрическойформы контура, его размеров и магнитной проницаемости той среды, в которойон находится.

В этом смысле индуктивность контура — аналог электрическойемкости уединенного проводника, которая также зависит только от формыпроводника, его размеров и диэлектрической проницаемости среды.32. Самоиндукция.

При изменении силы тока в контуре будет изменяться и сцепленный с ниммагнитный поток, а это, в свою очередь будет индуцировать ЭДС в этомконтуре. Возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении внем силы тока называется самоиндукцией.

Единица индуктивности — генри (Гн): 1Гн — индуктивность такогоконтура, магнитный поток самоиндукции которого при токе в 1А равен 1Вб(1Гн=1Вб/А=1В·с/А).

Из закона Фарадея ЭДС самоиндукции )(LIdtd

dtd

s −=Φ−=Θ .

Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды неизменяется, то constL = и ЭДС самоиндукции:

dtdILs −=Θ ,

где знак минус, обусловленный правилом Ленца, показывает, что наличиеиндуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем.

Если ток со временем возрастает, то 0<Θs , т.е. ток самоиндукциинаправлен навстречу току, обусловленному внешним источником, и замедляетего возрастание.

Если ток со временем убывает, то 0>Θ s , т.е. ток самоиндукции имееттакое же направление, как и убывающий ток в контуре, и замедляет егоубывание.

Таким образом, контур, обладая определенной индуктивностью,приобретает электрическую "инертность".