Лекции по физике. Электричество

16
3–32 А.Н.Огурцов. Лекции по физике. (вольт-амперная характеристика) представлена на следующем рисунке. На участке OA выполняется закон Ома. Затем (участок AB ) рост силы тока замедляется, а затем (участок BC ) прекращается совсем. В этом случае число ионов и электронов, создаваемых внешним ионизатором равно числу ионов и электронов достигающих электродов (и нейтрализующихся на электродах). Ток нас I , соответствующий участку BC называется током насыщения и его величина определяется мощностью ионизатора. При увеличении напряжения, первичные электроны (созданные ионизатором), ускоренные электрическим полем, в свою очередь начинают ударно ионизовать молекулы газа, образуя вторичные электроны и ионы. Общее количество электронов и ионов будет возрастать по мере приближения электронов к аноду лавинообразно. Это является причиной увеличения тока на участке CD . Описанный процесс называется ударной ионизацией. И, наконец, при значительных напряжениях между электродами газового промежутка положительные ионы, ускоренные электрическим полем, также приобретают энергию, достаточную для ионизации молекул газа, что порождает ионные лавины. Когда возникают кроме электронных лавин еще и ионные, сила тока растет уже практически без увеличения напряжения (участок DE ). Лавинообразное размножение электронов и ионов приводит к тому, что разряд становится самостоятельным, т.е. сохраняется после прекращения действия внешнего ионизатора. Напряжение, при котором возникает самостоятельный газовый разряд называется напряжением пробоя. В зависимости от давления газа, конфигурации электродов, параметров внешней цепи можно говорить о четырех типах самостоятельного разряда: 1. Тлеющий разряд возникает при низком давлении. 2. Искровой разряд возникает при большой напряженности электрического поля в газе, находящимся под давлением порядка атмосферного. 3. Дуговой разряд возникает: а) если после зажигания искрового разряда от мощного источника постепенно уменьшать расстояние между электродами; б) минуя стадию искры, если электроды (например, угольные) сблизить до соприкосновения, а потом развести. 4. Коронный разряд возникает при высоком давлении в резко неоднородном поле вблизи электродов с большой кривизной поверхности. Для возникновения самостоятельного газового разряда необходимо, чтобы концентрация и энергия вторичных ионов и электронов, образовавшихся под действием ионизатора, были достаточны для лавинного размножения носителей (число вторичных носителей должно превышать число носителей, покидающих газовый разряд вследствие рекомбинации или нейтрализации на поверхностях, окружающих газовый разряд). 5 th ed., 2002 А.Н.Огурцов ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ ЭЛЕКТРИЧЕСТВО ЭЛЕКТРИЧЕСТВО 3

Post on 08-Dec-2016

233 views

Category:

Documents


12 download

TRANSCRIPT

Page 1: Лекции по физике. Электричество

3ndash32

АНОгурцов Лекции по физике

(вольт-амперная характеристика) представлена на следующем рисункеНа участке OA выполняется закон Ома

Затем (участок AB ) рост силы токазамедляется а затем (участок BC )прекращается совсем В этом случае числоионов и электронов создаваемых внешнимионизатором равно числу ионов и электроновдостигающих электродов (и нейтрализующихсяна электродах) Ток насI соответствующийучастку BC называется током насыщения иего величина определяется мощностьюионизатора

При увеличении напряжения первичные электроны (созданныеионизатором) ускоренные электрическим полем в свою очередь начинаютударно ионизовать молекулы газа образуя вторичные электроны и ионыОбщее количество электронов и ионов будет возрастать по мере приближенияэлектронов к аноду лавинообразно Это является причиной увеличения тока научастке CD Описанный процесс называется ударной ионизацией

И наконец при значительных напряжениях между электродами газовогопромежутка положительные ионы ускоренные электрическим полем такжеприобретают энергию достаточную для ионизации молекул газа что порождаетионные лавины Когда возникают кроме электронных лавин еще и ионные силатока растет уже практически без увеличения напряжения (участок DE )

Лавинообразное размножение электронов и ионов приводит к тому чторазряд становится самостоятельным те сохраняется после прекращениядействия внешнего ионизатора Напряжение при котором возникаетсамостоятельный газовый разряд называется напряжением пробоя

В зависимости от давления газа конфигурации электродов параметроввнешней цепи можно говорить о четырех типах самостоятельного разряда

1 Тлеющий разряд mdash возникает при низком давлении2 Искровой разряд mdash возникает при большой напряженности

электрического поля в газе находящимся под давлением порядкаатмосферного

3 Дуговой разряд mdash возникает а) если после зажигания искровогоразряда от мощного источника постепенно уменьшать расстояниемежду электродами б) минуя стадию искры если электроды(например угольные) сблизить до соприкосновения а потом развести

4 Коронный разряд mdash возникает при высоком давлении в резконеоднородном поле вблизи электродов с большой кривизнойповерхности

Для возникновения самостоятельного газового разряда необходимочтобы концентрация и энергия вторичных ионов и электроновобразовавшихся под действием ионизатора были достаточны для лавинногоразмножения носителей (число вторичных носителей должно превышатьчисло носителей покидающих газовый разряд вследствие рекомбинации илинейтрализации на поверхностях окружающих газовый разряд)

5th ed 2002

АНОгурцов

ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ

ЭЭЛЛЕЕККТТРРИИЧЧЕЕССТТВВОО

ЭЛЕКТРИЧЕС

ТВО

3

3ndash2

АНОгурцов Лекции по физике

Электростатика

Электростатика mdash раздел учения об электричестве изучающийвзаимодействие неподвижных электрических зарядов и свойства постоянногоэлектрического поля1 Электрический заряд

Электрический заряд mdash это внутреннее свойство тел или частицхарактеризующее их способность к электромагнитным взаимодействиям

Единица электрического заряда mdash кулон (Кл) mdash электрический зарядпроходящий через поперечное сечение проводника при силе тока 1 ампер завремя 1секунда

Существует элементарный (минимальный) электрический заряд=e 16sdot10ndash19 Кл

Носитель элементарного отрицательного заряда mdash электрон Его масса=em 911sdot10ndash31 кг Носитель элементарного положительного заряда mdash протон

Его масса =pm 167sdot10ndash27 кгФундаментальные свойства электрического заряда установленные

опытным путем Существует в двух видах положительный и отрицательный

Одноименные заряды отталкиваются разноименные mdash притягиваются Электрический заряд инвариантен mdash его величина не зависит от

системы отсчета те от того движется он или покоится Электрический заряд дискретен mdash заряд любого тела составляет

целое кратное от элементарного электрического заряда e Электрический заряд аддитивен mdash заряд любой системы тел (частиц)

равен сумме зарядов тел (частиц) входящих в систему Электрический заряд подчиняется закону сохранения заряда

Алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутойсистемы остается неизменной какие бы процессы ни происходиливнутри данной системы

Под замкнутой системой в данном случае понимают систему которая необменивается зарядами с внешними телами

В электростатике используется физическая модель mdash точечныйэлектрический заряд mdash заряженное тело форма и размеры которогонесущественны в данной задаче2 Закон Кулона

Закон взаимодействия точечных зарядов mdash закон Кулона силавзаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядаминаходящимися в вакууме пропорциональна зарядам 1q и 2q и обратнопропорциональна квадрату расстояния r между ними

221

041

rqqF

πε=

Сила Fr

направлена по прямой соединяющей взаимодействующиезаряды те является центральной и соответствует притяжению ( 0ltF ) в

3ndash31

Электричество

41 Эмиссионные явленияРабота выхода электронов из металла mdash работа которую нужно

затратить для удаления электрона из металла в вакуумРабота выхода зависит от химической природы металлов и от чистоты их

поверхности Подобрав определенным образом покрытие поверхности можнозначительно изменить работу выхода

Работа выхода выражается в электрон-вольтах (эВ) 1эВ равен работекоторую совершают силы поля при перемещении элементарногоэлектрического заряда между точками разность потенциалов между которымиравна 1В Так как =e 16sdot10ndash19 Кл то 1эВ=16sdot10ndash19 Дж

Электронная эмиссия mdash явление испускания электронов из металловпри сообщении электронам энергии равной или большей работы выхода

1 Термоэлектронная эмиссия mdash испускание электронов нагретымиметаллами Пример использования ndash электронные лампы

2 Фотоэлектронная эмиссия mdash эмиссия электронов из металла поддействием электромагнитного излучения Пример использования mdashфотодатчики

3 Вторичная электронная эмиссия mdash испускание электроновповерхностью металлов полупроводников или диэлектриков прибомбардировке их пучком электронов Отношение числа вторичныхэлектронов 2n к числу первичных 1n вызвавших эмиссию называетсякоэффициентом вторичной электронной эмиссии 12 nn=δ Примериспользования mdash фотоэлектронные умножители

4 Автоэлектронная эмиссия mdash эмиссия электронов с поверхностиметаллов под действием сильного внешнего электрического поля

42 Газовые разрядыПод действием ионизатора (сильный нагрев жёсткое излучение потоки

частиц) нейтральные молекулы (атомы) газа расщепляются на ионы исвободные электроны mdash происходит ионизация газа

Энергия ионизации mdash энергия которую надо затратить чтобы измолекулы (атома) выбить один электрон

Рекомбинацией mdash называется процесс обратный ионизацииположительные и отрицательные ионы положительные ионы и электронывстречаясь воссоединяются между собой с образованием нейтральных атомови молекул

Прохождение электрического тока через ионизированный газ называетсягазовым разрядом

Разряд существующий только под действиемвнешних ионизаторов называется несамостоятель-ным газовым разрядом

Разряд в газе сохраняющийся после прекращениядействия внешнего ионизатора называется самостоя-ельным газовым разрядом

Рассмотрим цепь содержащую газовый промежуток(см рисунок) подвергающийся непрерывному постоян-ному по интенсивности воздействию ионизатора

В результате действия ионизатора газ приобретаетнекоторую электропроводность и в цепи потечет токзависимость которого от приложенного напряжения

3ndash30

АНОгурцов Лекции по физике

Средняя скорость направленного движения электронов

umleE

mteE

2220max ==+= υυ

Плотность тока

EEumlne

nej γυ ===2

2

где umlne

2

2

=γ mdash удельная проводимость металла

Закон Джоуля-ЛенцаК концу свободного пробега электрон под действием поля приобретает

дополнительную кинетическую энергию

22

222max

22E

um

lemEK == υ

которая при соударении электрона с ионом полностью передается решеткеЕсли minusn концентрация электронов то в единицу времени в единице

объема происходит lu

n столкновений и решетке передается энергия

222

2EE

umlne

Elu

nw K γ===

Закон ВидеманаndashФранцаОтношение теплопроводности λ к удельной проводимости γ для всех

металлов при одной и той же температуре одинаково и увеличиваетсяпропорционально температуре

Tβγλ = где

2

3

=

ekβ

Трудности классической теории1 Температурная зависимость сопротивления γ1~~ RTu

следовательно TR ~ что противоречит опытным даннымсогласно которым TR ~

2 Оценка среднего пробега электронов Чтобы получить величиныудельной проводимости γ совпадающие с опытными даннымиследует принимать l в сотни раз больше межатомных расстояний вкристалле

3 Теплоемкость металла складывается из теплоемкостикристаллической решетки и теплоемкости электронного газа Поэтомуудельная (рассчитанная на один моль) теплоемкость металла должнабыть существенно выше теплоемкости диэлектриков у которых нетсвободных электронов что противоречит эксперименту

Все эти трудности снимаются квантовой теорией

3ndash3

Электричество

случае разноименных зарядов и отталкиванию ( 0gtF ) в случае одноименныхзарядов В векторной форме сила действующая на заряд 1q со сторонызаряда 2q

rr

rqqF 122

21

012 4

1 rr

πε=

На заряд 2q со стороны заряда 1q действует сила 1221 FFrr

minus=

0ε mdash электрическая постоянная относящаяся к числу фундаментальныхфизических постоянных

2

212

0 мНКл10858sdot

sdot= minusε или мФ10858 12

0minussdot=ε Тогда

Фм109

41 9

0sdot=

πεгде фарад (Ф) mdash единица электрической емкости (п21)Если взаимодействующие заряды находятся в изотропной среде то

кулоновская сила

221

041

rqqF

επε=

где ε mdash диэлектрическая проницаемость среды mdash безразмернаявеличина показывающая во сколько раз сила взаимодействия F междузарядами в данной среде меньше их силы взаимодействия 0F в вакууме

FF0=ε

Диэлектрическая проницаемость вакуума 1=вакε Подробнее диэлектрикии их свойства будут рассмотрены ниже (п15)

Всякое заряженное тело можно рассматривать как совокупность точечныхзарядов аналогично тому как в механике всякое тело можно считатьсовокупностью материальных точек Поэтому электростатическая сила скоторой одно заряженное тело действует на другое равна геометрическойсумме сил приложенных ко всем точечным зарядам второго тела со стороныкаждого точечного заряда первого тела

Часто бывает значительно удобнее считать что заряды распределены взаряженном теле непрерывно mdash вдоль некоторой линии (например в случаезаряженного тонкого стержня) поверхности (например в случае заряженнойпластины) или объема Соответственно пользуются понятиями линейнойповерхностной и объемной плотностей зарядов

Объемная плотность электрических зарядов dVdq=ρ

где dq mdash заряд малого элемента заряженного тела объемом dV

Поверхностная плотность электрических зарядов dSdq=σ

где dq mdash заряд малого участка заряженной поверхности площадью dS

Линейная плотность электрических зарядов dldq=τ

где dq mdash заряд малого участка заряженной линии длиной dl

3ndash4

АНОгурцов Лекции по физике

3 Напряженность электростатического поляЭлектростатическим полем называется поле создаваемое неподвижными

электрическими зарядамиЭлектростатическое поле описывается двумя величинами потенциалом

(энергетическая скалярная характеристика поля) и напряженностью(силовая векторная характеристика поля)

Напряженность электростатического поля mdash векторнаяфизическая величина определяемая силой действующей наединичный положительный заряд 0q помещенный в данную точкуполя

Единица напряженности электростатического поля mdash ньютон накулон (НКл) 1 НКл=1 Вм где В (вольт) mdash единица потенциалаэлектростатического поля

Напряженность поля точечного заряда в вакууме (и в диэлектрике)

rr

rqErr

204

1πε

=

=

rr

rqErr

204

1επε

где rr mdash радиус-вектор соединяющий данную точку поля с зарядом q

В скалярной форме 204

1rqE

πε=

= 2

041

rqE

επεНаправление вектора E

r совпадает с направлением силы действующей

на положительный зарядЕсли поле создается положительным зарядом то вектор E

r направлен

вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкиваниепробного положительного заряда) Если поле создается отрицательнымзарядом то вектор E

r направлен к заряду (притяжение)

Графически электростатическое поле изобра-жают с помощью линий напряженности mdash линийкасательные к которым в каждой точке совпадают снаправлением вектора E

r (рис(а)) Линиям напря-

женности приписывается направление совпа-дающее с направлением вектора напряженностиТак как в данной точке пространства векторнапряженности имеет лишь одно направление толинии напряженности никогда не пересекаютсяДля однородного поля (когда вектор напря-женности в любой точке постоянен по модулю инаправлению) линии напряженности параллельнывектору напряженности

Если поле создается точечным зарядом то линии напряженности mdashрадиальные прямые выходящие из заряда если он положителен и входящиев него если заряд отрицателен (рис(б))

4 Поток вектора Er

Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не

только направление но и значение напряженности электростатического поляих проводят с определенной густотой число линий напряженности

0q

FEr

r=

3ndash29

Электричество

Электрические токи в металлах вакууме и газах

39 Электрические токи в металлахНосителями электрического тока в металле являются свободные

электроныПри образовании кристаллической решетки электроны внешних оболочек

атомов (валентные электроны) обобществляются и кристалл представляетсобой решетку неподвижных ионов металла между которыми хаотическидвижутся свободные электроны образуя электронный газ обладающийсвойствами идеального газа

Согласно теории ДрудеndashЛоренца электроны обладают той же энергиейтеплового движения что и молекулы одноатомного газа Средняя скоростьтеплового движения электронов

emkTuπ8=

где =k 138middot10ndash23 ДжК mdash постоянная Больцмана=em 911sdot10ndash31 кг mdash масса электрона

T mdash абсолютная (или термодинамическая) температура (в Кельвинах)При комнатной температуре ( =T 300 К) средняя скорость теплового

движения электронов равна =u 11middot105 мс Хаотическое тепловое движениеэлектронов не может привести к возникновению тока

При наложении внешнего электрического поля на металлическийпроводник в дополнение к хаотическому тепловому движению возникаетупорядоченное движение электронов (электрический ток)

Даже при предельно допустимых значениях плотности тока средняяскорость υ упорядоченного движения электронов обуславливающего

электрический ток значительно меньше их скорости теплового движения u

ultltυ

40 Основные законы электрического тока в классической теорииэлектропроводности металлов

Закон ОмаПусть в металлическом проводнике действует поле constE = Под

действием силы eEF = заряд e движется равноускоренно с ускорением

meEa = и к концу свободного пробега приобретает скорость

mteE

=maxυ

Среднее время свободного пробега электронов ul

t = определяется

средней длиной свободного пробега l и средней скоростью движения

электронов относительно кристаллической решетки uu cong+ υ

3ndash28

АНОгурцов Лекции по физике

4) В случае короткого замыкания сопротивление внешней цепи

0внешн =R и сила тока внутрr

I Θ= в этом случае ограничивается только

величиной внутреннего сопротивления источника тока38 Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

Узлом электрической цепи называется любая точка разветвления цепив которой сходится не менее трех проводников с током Ток входящий в узелсчитается положительным а ток выходящий из узла mdash отрицательным

Первое правило Кирхгофа mdash алгебраическая сумма токов сходящихся вузле равна нулю

sum =k

kI 0

Например для узла A на рисунке первое правилоКирхгофа

0654321 =minus++minusminus IIIIIIВторое правило Кирхгофа mdash в любом замкнутом контуре произвольно

выбранном в разветвленной электрической цепи алгебраическая суммапроизведений сил токов iI на сопротивление iRсоответствующих участков этого контура равнаалгебраической сумме ЭДС kΘ встречающихся вэтом контуре

sum sumΘ=i k

kii RI

Например для обхода по часовой стрелкезамкнутого контура ABCDA второе правилоКирхгофа имеет вид

32144332211 Θ+ΘminusΘ=++minus RIRIRIRIПри расчете сложных цепей с применением правил Кирхгофа необходимо

1 Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепидействительное направление токов определяется при решении задачиесли искомый ток получится положительным то его направление быловыбрано правильно а если mdash отрицательным mdash его истинноенаправление противоположно выбранному

2 Выбрать направление обхода контура и строго его придерживатьсяпроизведение IR положительно если ток на данном участке совпадаетс направлением обхода ЭДС действующие по выбранномунаправлению обхода считаются положительными против mdashотрицательными

3 Составить столько уравнений чтобы их число было равно числуискомых величин (в систему уравнений должны входить всесопротивления и ЭДС рассматриваемой цепи) каждыйрассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент несодержащийся в предыдущих контурах чтобы не получалисьуравнения которые являются простой комбинацией уже составленныхуравнений

3ndash5

Электричество

пронизывающих единицу площади поверхностиперпендикулярную линиям напряженности должно бытьравно модулю вектора E

r

Тогда число линий напряженности пронизывающихэлементарную площадку dS равно dSEdSE n=sdot αcos

где nE mdash проекция вектора Er

на нормаль nr к площадкеdS (Вектор nr mdash единичный вектор перпендикулярныйплощадке dS ) Величина

dSEdSEdSEdSEd nE

r==sdot=sdot=Φ perp αcos

называется потоком вектора напряженности черезплощадку dS Здесь ndSdS r= mdash вектор модуль которо-го равен dS а направление вектора совпадает с направлением nr к площадке

Поток вектора Er

сквозь произвольную замкнутую поверхность S

intint ==ΦSS

nE dSEdSEr

5 Принцип суперпозиции электростатических полейК кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип

независимости действия сил mdash результирующая сила действующая состороны поля на пробный заряд равна векторной сумме сил приложенных кнему со стороны каждого из зарядов создающих электростатическое поле

Напряженность результирующего поля создаваемого системой зарядовтакже равна геометрической сумме напряженностей полейсоздаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности

Эта формула выражает принцип суперпозиции(наложения) электростатических полей Он позволяетрассчитать электростатические поля любой системы неподвижных зарядовпредставив ее в виде совокупности точечных зарядов

Напомним правило определения величины вектора cr

суммы двух векторов ar и br

βα cos2cos2 2222 abbaabbac minus+=++=r

6 Теорема ГауссаВычисление напряженности поля системы электрических зарядов с

помощью принципа суперпозиции электростатических полей можнозначительно упростить используя теорему Гаусса определяющую потоквектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутуюповерхность

Рассмотрим поток вектора напряженности через сферическую поверхностьрадиуса r охватывающую точечный заряд q находящийся в ее центре

0

22

0

44 ε

ππε

qrr

qdSES

nE ===Φ intЭтот результат справедлив для любой замкнутой поверхности

произвольной формы охватывающей заряд

sum=

=n

iiEE

1

rr

ar crαβ

br

3ndash6

АНОгурцов Лекции по физике

Если замкнутая поверхность не охватывает заряда то поток сквозь нееравен нулю так как число линий напряженности входящих в поверхностьравно числу линий напряженности выходящих из нее

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности окружающей nзарядов Согласно принципу суперпозиции напряженность поля E

r

создаваемого всеми зарядами равна сумме напряженностей iEr

создаваемыхкаждым зарядом в отдельности Поэтому

sum sumsumintint sumint= ===

===sdot

==Φ

n

i

n

ii

in

i Si

S

n

ii

SnE q

qdSEdSEdSE

1 10011

1εε

rr

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме потоквектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности зарядов деленных на 0ε

Если заряд распределен в пространстве с объемной плотностьюdVdq =ρ то теорема Гаусса

intint ==ΦVS

nE dVdSE ρε0

1

7 Циркуляция вектора напряженностиЕсли в электростатическом поле точечного заряда q

из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траекторииперемещается другой точечный заряд 0q то силаприложенная к заряду совершает работу Работа силы наэлементарном перемещении dl равна

drr

qqdlr

qqFdldlFdA 20

020

0 41cos

41cos

πεα

πεα ====

r

Работа при перемещении заряда 0q из точки 1 в точку 2

intint

minus===

2

1

2

1 2

0

1

0

02

0

012 4

14

r

r

r

r rqq

rqq

rdrqqdAA

πεπεРабота 12A не зависит от траектории перемещения а определяется толькоположениями начальной и конечной точек Следовательно электростатическоеполе точечного заряда является потенциальным а электростатические силыmdash консервативными

Таким образом работа перемещения заряда в электростатическом полепо любому замкнутому контуру L равна нулю

0=intL

dA

Если переносимый заряд единичный то элемен-тарная работа сил поля на пути dl равна dlEdlE l=

r

где αcosEEl = mdash проекция вектора Er

на направление

элементарного перемещения dl

3ndash27

Электричество

Используя дифференциальную форму закона Ома Ej γ= и определение

γρ 1= получим закон ДжоуляndashЛенца в дифференциальной форме

2jEEw == γТепловое действие электрического тока используется в осветительных

лампах накаливания электросварке электронагревательных приборах и тд37 Закон Ома для неоднородного участка цепи

Рассмотрим неоднородный участок цепи 1mdash2 на котором присутствуютсилы неэлектрического происхождения (сторонние силы)

Обозначим через 12Θ mdash ЭДС на участке 1mdash2 21 ϕϕϕ minus=∆ mdashприложенную на концах участка разность потенциалов

Если участок цепи 1mdash2 неподвижен то (по закону сохранения энергии)общая работа 12A сторонних и электростатических сил совершаемая надносителями тока равна теплоте Q выделяющейся на участке

Работа сил совершаемая при перемещении заряда 0q ϕ∆+Θ= 012012 qqA

ЭДС 12Θ как и сила тока I mdash величина скалярная Если ЭДСспособствует движению положительных зарядов в выбранном направлении то

012 gtΘ если препятствует то 012 ltΘ

За время t в проводнике выделится теплота 02 )( IRqItIRRtIQ ===

Отсюда следует закон Ома для неоднородного участка цепи винтегральной форме который является обобщенным законом Ома

1221 Θ+minus= ϕϕIR

или R

I 1221 Θ+minus= ϕϕ

Частные случаи1) Если на данном участке цепи источник тока отсутствует то мы

получаем закон Ома для однородного участка цепи

RUI =

2) Если цепь замкнута ( 0=∆ϕ ) то получаем закон Ома длязамкнутой цепи

внешвнутр RrRI

+Θ=Θ=

где minusΘ ЭДС действующая в цепиminusR суммарное сопротивление всей цепи

minusвнешR сопротивление внешней цепиminusвнутрr внутреннее сопротивление источника тока

3) Если цепь разомкнута то 0=I и 1212 ϕϕ minus=Θ те ЭДСдействующая в разомкнутой цепи равна разности потенциалов наее концах

3ndash26

АНОгурцов Лекции по физике

Рассмотрим однородный проводник с сопротивлением R к концамкоторого приложено напряжение U За время dt через сечение проводникапереносится заряд Idtdq = Работа по перемещению заряда 0q между двумяточками поля равна

ϕ∆= 012 qA откуда dtR

URdtIUIdtUdqdA2

2 ====

Мощность тока

RURIUI

dtdAP

22 ====

Если размерности [ ]=I А [ ]=U В [ ]=R Ом то [ ]=A Дж и [ ]=P ВтВнесистемные единицы работы тока ватт-час (Втmiddotч) и киловатт-час

(кВтmiddotч) 1 Втmiddotч mdash работа тока мощностью 1 Вт в течении 1 ч 1 Втmiddotч=3600Втmiddotс=36middot103 Дж Аналогично 1 кВтmiddotч=1000 Втmiddotч=36middot106 Дж36 Закон ДжоуляndashЛенца

При прохождении тока по проводнику происходит рассеяние энергиивследствие столкновений носителей тока между собой и с любыми другимичастицами среды Если ток проходит по неподвижному проводнику то всяработа тока dA идет на нагревание проводника (выделение теплоты dQ )

По закону сохранения энергии dQdA =

dtR

URdtIIUdtdQ2

2 ===

Количество теплоты Q выделяющееся за конечный промежуток времениот 0 до t постоянным током I во всем объеме проводника электрическоесопротивление которого равно R получаем интегрируя предыдущеевыражение

tRIRdtIQt

2

0

2 == intЗакон ДжоуляndashЛенца (в интегральной форме) количество теплоты

выделяемое постоянным электрическим током на участке цепи равнопроизведению квадрата силы тока на время его прохождения иэлектрическое сопротивление этого участка цепи

Выделим в проводнике цилиндрический объем dSdLdV = (ось цилиндра

совпадает с направлением тока) Сопротивление этого объема dSdlR ρ= По

закону ДжоуляndashЛенца за время dt в этом объеме выделится теплота

( ) dVdtjdtjdSdSdlRdtIdQ 222 ρρ ===

Удельной тепловой мощностью тока w называется количествотеплоты выделяющееся за единицу времени в единице объема

2jdVdtdQw ρ==

3ndash7

Электричество

Интеграл int int=L L

l dlEdlEr

называется циркуляцией вектора

напряженности по заданному замкнутому контуру L Теорема о циркуляции вектора E

r

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдольлюбого замкнутого контура равна нулю

0==int intL L

l dlEdlEr

Силовое поле обладающее таким свойством называетсяпотенциальным Эта формула справедлива только для электрическогополя неподвижных зарядов (электростатического)8 Потенциальная энергия заряда

В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работаконсервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии

Поэтому работу 12A можно представить как разность потенциальныхэнергий заряда 0q в начальной и конечной точках поля заряда q

212

0

01

0

012 4

14

1 WWr

qqr

qqA minus=minus=πεπε

Потенциальная энергия заряда 0q находящегося в поле заряда q нарасстоянии r от него равна

constr

qqW += 0

041πε

Считая что при удалении заряда на бесконечность потенциальнаяэнергия обращается в нуль получаем 0=const

Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия(отталкивания) положительна для разноименных зарядов потенциальнаяэнергия из взаимодействия (притяжения) отрицательна

Если поле создается системой n точечных зарядов то потенциальнаяэнергия заряда 0q находящегося в этом поле равна сумме его потенциальныхэнергий создаваемых каждым из зарядов в отдельности

sum sum= =

==n

i

n

i ii r

qqUW1 1 0

0 4πε9 Потенциал электростатического поля

Отношение 0q

W не зависит от пробного заряда 0q и является

энергетической характеристикой поля называемой потенциалом

0qW=ϕ

Потенциал ϕ в какой-либо точке электростатического поля естьскалярная физическая величина определяемая потенциальной энергиейединичного положительного заряда помещенного в эту точку

3ndash8

АНОгурцов Лекции по физике

Например потенциал поля создаваемого точечным зарядом q равен

rq

041πε

ϕ =

10 Разность потенциаловРабота совершаемая силами электростатического поля при перемещении

заряда 0q из точки 1 в точку 2 может быть представлена какϕϕϕ ∆=minus=minus= 02102112 )( qqWWA

то есть равна произведению перемещаемого заряда на разностьпотенциалов в начальной и конечной точках

Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом полеопределяется работой совершаемой силами поля при перемещенииединичного положительного заряда из точки 1 в точку 2

0

1221 q

A=∆=minus ϕϕϕ

Пользуясь определением напряженности электростатического поляможем записать работу 12A в виде

int int int===2

1

2

1

2

10012 dlEqdlEqdlFA

rrr

Отсюда

intint ===∆=minus2

1

2

10

1221 dlEdlE

qA

l

rϕϕϕ

где интегрирование можно производить вдоль любой линии соединяющейначальную и конечную точки так как работа сил электростатического поля независит от траектории перемещения

Если перемещать заряд 0q из произвольной точки за пределы поля(на бесконечность) где потенциальная энергия а значит и потенциал равнынулю то работа сил электростатического поля ϕ0qA =infin откуда

0qAinfin=ϕ

Таким образом еще одно определение потенциала потенциал mdashфизическая величина определяемая работой по перемещению единичногоположительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность

Единица потенциала ndash вольт (В) 1В есть потенциал такой точки поля вкоторой заряд в 1Кл обладает потенциальной энергией 1Дж (1В=1Дж1Кл)

Принцип суперпозиции потенциалов электростатических полейЕсли поле создается несколькими зарядами то потенциал поля системызарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов11 Связь между напряженностью и потенциалом

Для потенциального поля между потенциальной (консервативной) силой ипотенциальной энергией существует связь

WWF minusnabla=minus= gradr

3ndash25

Электричество

В проводнике El

U = mdash напряженность электрического поля SlR ρ=

SIj =

Из закона Ома получим соотношение l

USI

ρ1= откуда Ej γ=

В векторной форме соотношениеEjrr

γ=называется законом Ома в дифференциальной форме Этот закон

связывает плотность тока в любой точке внутри проводника снапряженностью электрического поля в той же точке33 Сопротивление соединения проводников(1) Последовательное соединение n про-

водников IIII n ==== K21

sum sumsum= ==

====n

i

n

iiii

n

ii RIRIUUIR

1 11

sum=

=n

iiRR

1

(2) Параллельное соединение n провод-ников UUUU n ==== K21

sumsumsum===

====n

i i

n

i i

in

ii R

URUII

RU

111

1

sum=

=n

i iRR 1

11

34 Температурная зависимость сопротивленияОпытным путем было установлено что для большинства случаев

изменение удельного сопротивления (а значит и сопротивления) стемпературой описывается линейным законом

( )tαρρ += 10 или ( )tRR α+= 10

где ρ и 0ρ R и 0R mdash соответственно удельные сопротивления исопротивления проводника при температурах t и deg0 С (шкала Цельсия) α mdashтемпературный коэффициент сопротивления

На зависимости электрического сопротивления металлов от температурыосновано действие термометров сопротивления

Сопротивление многих металлов при очень низких температурах kT (014ndash20 К (шкала Кельвина)) называемых критическими характерных для каждоговещества скачкообразно уменьшается до нуля и металл становитсяабсолютным проводником Это явление называется сверхпроводимостью35 Работа и мощность тока

Кулоновские и сторонние силы при перемещении заряда q вдольэлектрической цепи совершают работу A

3ndash24

АНОгурцов Лекции по физике

Если на заряд 0q действуют как сторонние силы так и силыэлектростатического поля то результирующая сила

( )EEqFFF e

rrrrr+=+= стор0стор

Работа результирующей силы по перемещению заряда 0q на участке 1mdash2

( )intint minus+Θ=+=2

12101200

2

1стор012 ϕϕqqdlEqdlEqA

rr

Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю поэтомуΘ= 0qA

Напряжением U на участке 1mdash2 называется физическая величиначисленно равная суммарной работе совершаемой электростатическими исторонними силами по перемещению единичного положительного заряда наданном участке цепи

12210

1212 Θ+minus== ϕϕ

qAU

Понятие напряжения является обобщением понятия разностипотенциалов напряжение на концах участка цепи равно разностипотенциалов если участок не содержит источника тока (те на участке недействует ЭДС сторонние силы отсутствуют)32 Закон Ома Электрическое сопротивление

Закон Ома для однородного участка цепи (не содержащегоисточника тока) сила тока текущего по однородномуметаллическому проводнику пропорциональна напряжению наконце проводника (интегральная форма закона Ома)

Коэффициент пропорциональности R называется электрическим сопро-тивлением проводника

Единица электрического сопротивления mdash ом (Ом) 1 Ом mdash сопро-тивление такого проводника в котором при напряжении 1В течет постоянныйток 1А

Величина R

G 1= называется электрической проводимостью проводника

Единица электрической проводимости mdash сименс (См) 1 См mdashпроводимость участка электрической цепи сопротивлением 1 Ом

Сопротивление проводника зависит от его размеров и формы а также отматериала из которого проводник изготовлен Например дляоднородного линейного проводника длиной l и площадьюпоперечного сечения S сопротивление рассчитывается по формуле

где коэффициент пропорциональности ρ характеризующий материалпроводника называется удельным электрическим сопротивлением

Единица удельного электрического сопротивления mdash ом-метр(Омм)

Величина обратная удельному сопротивлению называетсяудельной электрической проводимостью вещества проводника

Единица удельной электрической проводимости mdash сименсна метр (Смм)

RUI =

SlR ρ=

ρ

γ 1=

3ndash9

Электричество

где nabla (набла) mdash оператор Гамильтона kz

jy

ix

rrr

partpart+

partpart+

partpart=nabla

Поскольку EqFrr

= и ϕqW = то

ϕϕ minusnabla=minus= gradEr

Знак минус показывает что вектор Er

направлен в сторону убыванияпотенциала12 Эквипотенциальные поверхности

Для графического изображения распределения потенциала используютсяэквипотенциальные поверхности mdash поверхности во всех точках которыхпотенциал имеет одно и то же значение

Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так чтобы разностипотенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностямибыли одинаковы Тогда густота эквипотенциальных поверхностей нагляднохарактеризует напряженность поля в разных точках Там где эти поверхностирасположены гуще напряженность поля больше На рисунке пунктиромизображены силовые линии сплошными линиями mdash сеченияэквипотенциальных поверхностей для положительного точечного заряда (а)диполя (б) двух одноименных зарядов (в) заряженного металлическогопроводника сложной конфигурации (г)

Для точечного заряда потенциал rq

041πε

ϕ = поэтому эквипотенциальные

поверхности mdash концентрические сферы С другой стороны линиинапряженности mdash радиальные прямые Следовательно линии напряженностиперпендикулярны эквипотенциальным поверхностям

Можно показать что во всех случаях1) вектор E

r перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и

2) всегда направлен в сторону убывания потенциала13 Примеры расчета наиболее важных симметричных электростатических

полей в вакууме1 Электростатическое поле электрического диполя в вакууме

Электрическим диполем (или двойным электрическим полюсом)называется система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов( qq minus+ ) расстояние l между которыми значительно меньше расстояния дорассматриваемых точек поля )( rl ltlt

Плечо диполя lr

mdash вектор направленный по оси диполя ототрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними

3ndash10

АНОгурцов Лекции по физике

Электрический момент диполя epr mdash вектор совпада-ющий по направлению с плечом диполя и равный произведениюмодуля заряда q на плечо l

r1) Напряженность поля диполя на продолжении

оси диполя в точке Аminus+minus+ +=minus= ϕϕϕEEEA

Пусть r mdash расстояние до точки А от серединыоси диполя Тогда учитывая что lr gtgt

30

30

20

20

24

1

24

1

24

1

24

1

rp

rql

lr

qlr

qE

e

A

πε

πεπεπε

=

==

+

minus

minus

=

20

200 4

14

1224

1rp

rql

lrq

lrq e

A πεπεπεϕ ==

+minus

minus=

2) Напряженность поля в точке B на перпендикуляре восстановленном коси диполя из его середины при lr gtgt

( ) ( ) ( )

41

241

20

220 r

lEE

rq

lrqEE B asympasymp+

==+

minus+ πεπε поэтому

30

30 )(4

1)(4

1

)(rp

rql

rlEE e

B πεπε=== +

0=BϕТочка В равноудалена от зарядов q+ и qminus

диполя поэтому потенциал поля в точке В равеннулю Вектор BE

r направлен противоположно

вектору lr

3) Во внешнем электрическом поле на концы

диполя действует пара сил которая стремитсяповернуть диполь таким образом чтобыэлектрический момент epr диполя развернулся

вдоль направления поля Er

(рис(а))Во внешнем однородном поле момент пары

сил равен αsinqElM = или ][ EpM e

rrr= Во внешнем неоднородном поле

(рис(в)) силы действующие на концы диполя неодинаковы ( )12 FFrr

gt и ихрезультирующая стремится передвинуть диполь в область поля с большейнапряженностью mdash диполь втягивается в область более сильного поля2 Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностьюdSdq=+σ Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой

плоскости и направлены от нее в обе стороны

lqpe

rr =

3ndash23

Электричество

цепи выравниваются и электростатическое поле исчезаетДля существования постоянного тока необходимо наличие в цепи

устройства способного создавать и поддерживать разность потенциаловза счет сил не электростатического происхождения

Такие устройства называются источниками токаСилы не электростатического происхождения действующие на заряды со

стороны источников тока называются стороннимиКоличественная характеристика сторонних сил mdash поле сторонних сил и

его напряженность сторEr

определяемая сторонней силой действующей наединичный положительный заряд

Природа сторонних сил может быть различной Например вгальванических элементах они возникают за счет энергии химических реакциймежду электродами и электролитами в генераторе mdash за счет механическойэнергии вращения ротора генератора в солнечных батареях mdash за счет энергиифотонов и тп Роль источника тока в электрической цепи такая же как рольнасоса который необходим для поддержания тока жидкости в гидравлическойсистеме

Под действием создаваемого поля сторонних сил электрические зарядыдвижутся внутри источника тока против сил электростатического поляблагодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепитечет постоянный электрический ток31 Электродвижущая сила и напряжение

Физическая величина определяемая работой которую совершаютсторонние силы при перемещении единичного положительного заряданазывается электродвижущей силой (ЭДС) действующей в цепи

0qA=Θ

Эта работа совершается за счет энергии затрачиваемой в источнике токапоэтому величину Θ можно назвать электродвижущей силой источника токавключенного в цепь ЭДС как и потенциал выражается в вольтах

Участок цепи на котором не действуют сторонние силы называетсяоднородным Участок на котором на носители тока действуют сторонние силыназывается неоднородным

Работа сторонних сил по перемещению заряда 0q на замкнутом участкецепи

int int== dlEqdlFA стор0стор

rr

Отсюда ЭДС действующая в замкнутой цепи mdash это циркуляция векторанапряженности поля сторонних сил

dlEint=Θ стор

r

Следовательно для поля сторонних сил циркуляция его напряженности позамкнутому контуру не равна нулю Поэтому поле сторонних сил mdashнепотенциально

ЭДС действующая на участке 1ndash2 цепи равна

dlEint=Θ2

1стор12

r

3ndash22

АНОгурцов Лекции по физике

скалярная физическая величина равная отношению заряда dq переносимогосквозь рассматриваемую поверхность за малый промежуток времени квеличине dt этого промежутка

dtdqI =

Электрический ток называется постоянным если сила тока и егонаправление не изменяются с течением времени

Для постоянного тока tqI =

где q mdash электрический заряд проходящий за время t через поперечноесечение проводника

Единица силы тока mdash ампер (А) (см Механика стр 1-2)Для характеристики направления электрического тока в разных точках

рассматриваемой поверхности и распределения силы тока по этой поверхностислужит вектор плотности тока j

r Сила тока сквозь произвольную

поверхность S определяется как поток вектора плотности тока

int=S

dSjIr

где dSndS r= ( nr ndash единичный вектор нормали (орт) к площадке dS )Плотностью электрического тока называется вектор j

r совпа-

дающий с направлением электрического тока в рассматриваемой точке ичисленно равный отношению силы тока dI сквозь малый элемент поверхностиортогональной направлению тока к площади perpdS этого элемента

perp=

dSdIj

Для постоянного тока I текущего перпендикулярно сечению S

проводника SIj =

Если за время dt через поперечное сечение S проводника переноситсязаряд dtSnedq υ= (где n e и υ mdash концентрация заряд и средняя

скорость упорядоченного движения зарядов) то сила тока SneI dtdq υ== а

плотность токаυr

rnej =

Единица плотности тока mdash Ам230 Сторонние силы

Для возникновения и существования электрического тока необходимо1) наличие свободных носителей тока mdash заряженных частиц способ-

ных перемещаться упорядоченно2) наличие электрического поля энергия которого должна каким-то

образом восполнятьсяЕсли в цепи действуют только силы электростатического поля то

происходит перемещение носителей таким образом что потенциалы всех точек

3ndash11

Электричество

В качестве Гауссовой поверхности примемповерхность цилиндра образующие которогоперпендикулярны заряженной плоскости аоснования параллельны заряженной плоскости илежат по разные стороны от нее на одинаковыхрасстояниях

Так как образующие цилиндра параллельнылиниям напряженности то поток векторанапряженности через боковую поверхностьцилиндра равен нулю а полный поток сквозь цилиндр равен суммепотоков сквозь его основания ES2 Заряд заключенный внутрицилиндра равен Sσ По теореме Гаусса 02 εσSES = откуда

E не зависит от длины цилиндра те напряженность поля на любыхрасстояниях одинакова по модулю Такое поле называется однородным

Разность потенциалов между точками лежащими на расстояниях 1x и 2xот плоскости равна

intint minus===minus2

1

2

1

)(22 12

0021

x

x

x

x

xxdxEdxεσ

εσϕϕ

3 Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженныхплоскостей с равными по абсолютному значению поверхностнымиплотностями зарядов 0gtσ и σminus

Из предыдущего примера следует что векторы напряженности 1Er

и 2Er

первой и второй плоскостей равны по модулю и всюду направленыперпендикулярно плоскостям Поэтому в пространстве вне плоскостей оникомпенсируют друг друга а в пространстве между плоскостями суммарнаянапряженность 12EE

rr= Поэтому между плоскостями

0εσ=E (в диэлектрике

0εεσ=E )

Поле между плоскостями однородное Разность потенциалов междуплоскостями

00 0021 ε

σεσϕϕ ddxEdx

dd

===minus intint (в диэлектрике 0εε

σϕ d=∆ )

4 Поле равномерно заряженной сферической поверхностиСферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена

равномерно с поверхностной плотностью 24 Rqπ

σ =

02ε

σ=E

3ndash12

АНОгурцов Лекции по физике

Поскольку система зарядов и следовательносамо поле центрально-симметрично относительноцентра сферы то линии напряженности направленырадиальноВ качестве Гауссовой поверхности выберем сферурадиуса r имеющую общий центр с заряженнойсферой Если Rr gt то внутрь поверхностипопадает весь заряд q По теореме Гаусса

0

24ε

π qEr = откуда ( )Rrr

RrqE ge==

41

20

2

20 ε

σπε

При Rr le замкнутая поверхность не содержитвнутри зарядов поэтому внутри равномернозаряженной сферы 0=E

Разность потенциалов между двумя точкамилежащими на расстояниях 1r и 2r от центра сферы( RrRr gtgt 21 ) равна

int int

minus===minus

2

1

2

1 2102

021

1144

1r

r

r

r rrqdr

rqEdr

πεπεϕϕ

Если принять rr =1 и infin=2r то потенциал поля вне сферической

поверхности rq

041πε

ϕ =

Вне заряженной сферы поле такое же как поле точечного заряда q находящегося в центре сферы Внутри заряженной сферы поля нет поэтомупотенциал всюду одинаков и такой же как на поверхности

004 εσ

πεϕ R

Rq ==

5 Поле объемно заряженного шараЗаряд q равномерно распределен в вакууме по

объему шара радиуса R с объемной плотностью

33

4 Rq

Vq

πρ == Центр шара является центром

симметрии поля1) Для поля вне шара )( Rr gt получаем тот же

результат что и в случае сферической поверхности

204

1rqE

πε=

rq

04πεϕ =

minus=minus

21021

114 rr

qπε

ϕϕ

2) При Rr = 0

2

002

0 34

341

ερ

πεϕ

ερ

πεR

rqR

RqE ====

3) Внутри шара сфера радиусом Rr lt охватывает заряд ρπ 3

34 rq =

3ndash21

Электричество

Интегрирование проводится по всем заряженным поверхностям S и по всемузаряженному объему V тел системы

На примере поля плоского конденсатора выразим энергию поля через егонапряженность Для конденсатора dSC 0εε= и Ed=∆ϕ Отсюда

VESdEW 20

20 2

121 εεεε ==

В однородном поле конденсатора его энергия распределена равномернопо всему объему поля SdV =

Объемная плотность энергии электростатического поля плоскогоконденсатора w

EDEVWw

21

21 2

0 === εε

где ED 0εε= mdash электрическое смещениеЭта формула является отражением того факта что электростатическая

энергия сосредоточена в электростатическом поле Это выражениесправедливо также и для неоднородных полей28 Пондеромоторные силы

Механические силы действующие на заряженные тела помещенные вэлектромагнитное поле называются пондеромоторными силами (от латинскихслов ponderis mdash тяжесть и motor mdash движущий)

Например в плоском конденсаторе сила с которой пластиныконденсатора притягивают друг друга совершает работу за счет уменьшения

потенциальной энергии системы С учетом Sq=σ и

0εεσ=E получаем

SESS

qdx

dWF 20

0

2

0

2

21

22εε

εεσ

εεminus=minus=minus=minus=

где знак минус указывает на то что эта сила является силой притяженияПод действием этой силы обкладки конденсатора сжимают пластинудиэлектрика помещенного между ними и в диэлектрике возникает давление

20

0

2

21

2E

SFp εε

εεσ ===

Постоянный электрический ток

29 Постоянный электрический ток сила и плотность токаЭлектродинамика mdash раздел учения об электричестве в котором

рассматриваются явления и процессы обусловленные движениемэлектрических зарядов

Электрическим током называется упорядоченное движениеэлектрических зарядов

За направление тока принимают направление движения положительныхзарядов

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I mdash

3ndash20

АНОгурцов Лекции по физике

неподвижных точечных зарядов равна

sum=

=n

iiiqW

121 ϕ

где iϕ mdash потенциал создаваемый в той точке где находится заряд iq всеми зарядами кроме i -го25 Энергия заряженного уединенного проводника

Рассмотрим уединенный проводник заряд емкость и потенциал которогоравны ϕCq Элементарная работа dA совершаемая внешними силами попреодолению кулоновских сил отталкивания при перенесении заряда dq избесконечности на проводник равна ϕϕϕ dCdqdA == Чтобы зарядитьпроводник от нулевого потенциала до ϕ необходимо совершить работу

int ==ϕ ϕϕϕ0

2

2CdCA

Энергия заряженного уединенного проводника (используя ϕqC = )

222

22 ϕϕ qC

qCW ===

26 Энергия заряженного конденсатораЭлементарная работа внешних сил по перенесению малого заряда dq с

обкладки 2 конденсатора на обкладку 1

CqdqdqdA =∆= ϕ

Работа внешних сил при увеличении заряда конденсатора от 0 до q

int ==q

Cq

CqdqA

0

2

2

Энергия заряженного конденсатора (используя ϕ∆

= qC )

( )222

221

2 ϕϕϕ ∆=minus== qCC

qW

27 Энергия электростатического поляВ общем случае электрическую энергию любой системы

заряженных неподвижных тел mdash проводников и непроводников mdash можнонайти по формуле

intint +=VS

dVdSW ϕρϕσ21

21

где σ и ρ mdash поверхностная и объемная плотности свободных зарядов ϕ mdashпотенциал результирующего поля всех свободных и связанных зарядов вточках малых элементов dS и dV заряженных поверхностей и объемов

3ndash13

Электричество

По теореме Гаусса 0

3

0

2

344ερπ

επ rqEr ==

Отсюда для точек лежащих внутри шара ( )RrRr ltlt 21 с учетом 33

4 Rqπ

ρ =

03

0 34 ερ

πεr

RqrE == int minus==minus

2

1

)(8

21

223

021

r

r

rrR

qEdrπε

ϕϕ

6 Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен

равномерно с линейной плотностью dldq=τ

Линии напряженности будут направлены порадиусам круговых сечений цилиндра содинаковой густотой во все стороныотносительно оси цилиндра

В качестве Гауссовой поверхностивыберем цилиндр радиуса r и высотой lкоаксиальный с заряженной нитью

Торцы этого цилиндра параллельнылиниям напряженности поэтому поток черезних равен нулю

Поток через боковую поверхность равенrlE π2

По теореме Гаусса (при Rr gt ) 0

2ετπ lrlE = откуда при RrRr gtgt 21

rE τ

πε021=

1

2

0021 ln

22

2

1

2

1rr

rdrEdr

r

r

r

r πετ

πετϕϕ int int ===minus

Если Rr lt то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержитпоэтому 0=E 14 Электростатическое поле в диэлектрической среде

Диэлектриками называются вещества которые при обычных условияхпрактически не проводят электрический ток

Диэлектрик как и всякое другое вещество состоит из атомов или молекулкаждая из которых в целом электрически нейтральна

Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядомq+ находящимся в так сказать центре тяжести положительных зарядов а

заряд всех электронов mdash суммарным отрицательным зарядом qminus находя-щимся в центре тяжести отрицательных зарядов то молекулы можнорассматривать как электрические диполи с электрическим моментом

Различают три типа диэлектриков1) Диэлектрики с неполярными молекулами симметричные молекулы

которых в отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент(например N2 H2 O2 CO2)

3ndash14

АНОгурцов Лекции по физике

2) Диэлектрики с полярными молекулами молекулы которыхвследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (например H2ONH3 SO2 CO)

3) Ионные диэлектрики (например NaCl KCl) Ионные кристаллыпредставляют собой пространственные решетки с правильным чередованиемионов разных знаков

Внесение диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит квозникновению отличного от нуля результирующего электрического моментадиэлектрика

Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей илипоявления под воздействием электрического поля ориентированных по полюдиполей

Соответственно трем видам диэлектриков различают три видаполяризации

1) Электронная или деформационная поляризация диэлектрика снеполярными молекулами mdash за счет деформации электронных орбит возникает

индуцированный дипольный момент у атомов илимолекул диэлектрика

2) Ориентационная или дипольная по-ляризация диэлектрика с полярными молеку-лами mdash ориента-ция имеющихся

дипольных моментов молекул по полю (этаориентация тем сильнее чем больше напря-женность электрического поля и чем нижетемпература)

3) Ионная поляризация диэлектрика сионными кристаллическими решетками mdash смещение подрешеткиположительных ионов вдоль поля а отрицательных ионов против поляприводит к возникновению дипольных моментов15 Поляризованность

Поместим пластину из однородного диэлектрика во внешнееэлектрическое поле созданное двумя бесконечными параллельнымиразноименно заряженными плоскостями

Во внешнем электрическом поле диэлектрик объемом V поляризуетсяте приобретает дипольный момент sum=

iiV pp rr где minusipr дипольный момент

одной молекулыДля количественного описания поляризации диэлектрика используется

векторная величина mdash поляризованность mdash которая определяется какдипольный момент единицы объема диэлектрика

Vp

VpP i iV sum==

rrr

В случае изотропного диэлектрика поляризованность (для большинствадиэлектриков за исключением сегнетоэлектриков) линейно зависит отнапряженности внешнего поля

EPrr

0χε=

3ndash19

Электричество

1 Емкость плоского конденсатора (две параллельные металлическиепластины площадью S каждая расположенные на расстоянии d друг от

друга (Sq=σ ))

dS

dqqC εε

εεσϕ

0

0

==∆

=

2 Емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндрадлиной l с радиусами 1r и 2r )( lq=τ )

1

2

0

1

2

0ln

2

ln2 r

rl

rr

lq

qC επε

επε

==

3 Емкость сферического конденсатора (две концентрических сферы срадиусами 1r и 2r )

12

210

210

411

4rr

rr

rrq

qCminus

=

minus

= επε

επε

23 Соединения конденсаторовУ параллельно соединенных конденсаторов nCCC K21 разность

потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова ϕ∆ Полная емкость

sumsumsum

=

== =∆

∆=

∆=

∆=

n

ii

n

ii

n

ii

CCq

qC1

11

ϕ

ϕ

ϕϕ

У последовательно соединенных кон-денсаторов nCCC K21 заряды q всехобкладок равны по модулю а суммарнаяразность потенциалов

Cq

Cqn

i i

n

ii ==∆=∆ sumsum

== 11ϕϕ

откуда

sum=

=n

i iCC 1

11

24 Энергия системы неподвижных точечных зарядовДля системы двух зарядов 1q и 2q находящихся на расстоянии r друг от

друга каждый из них в поле другого обладает потенциальной энергией

22121

02

2

011211 4

14

1 Wqrqq

rqqqW ===== ϕ

πεπεϕ

Поэтому )( 21212121

212121 ϕϕϕϕ qqqqW +=== Добавляя последова-тельно по одному заряду получим что энергия взаимодействия системы n

3ndash18

АНОгурцов Лекции по физике

εεσ0

=E где σ mdash поверхностная плотность зарядов и ε mdash диэлектрическая

проницаемость среды окружающей проводникНейтральный проводник внесенный в электростатическое поле

разрывает часть линий напряженности они заканчиваются на отрицательныхиндуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных

Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхностипроводника Явление перераспределения поверхностных зарядов напроводнике во внешнем электростатическом поле называетсяэлектростатической индукцией21 Электроемкость

Рассмотрим уединенный проводник mdash проводник удаленный от другихтел и зарядов Из опыта следует что разные проводники будучи одинаковозаряженными имеют разные потенциалы

Физическая величина C равная отношению заряда проводника q к егопотенциалу ϕ называется электрической емкостью этого проводника

ϕqC =

Электроемкость уединенного проводника численно равна зарядукоторый нужно сообщить этому проводнику для того чтобы изменить егопотенциал на единицу

Она зависит от формы и размеров проводника и от диэлектрическихсвойств окружающей среды Емкости геометрически подобных проводниковпропорциональны их линейным размерам

Пример емкость уединенного проводящего шара RqC 04πεϕ==

Единица электроемкости mdash фарад (Ф) 1Ф mdash емкость такогоуединенного проводника потенциал которого изменяется на 1В при сообщенииему заряда 1Кл Емкостью 1Ф обладает шар с радиусом 6109 sdot=R км ЕмкостьЗемли 07мФ22 Конденсаторы

Если к проводнику с зарядом q приблизить другие тела то на ихповерхности возникнут индуцированные (на проводнике) или связанные (надиэлектрике) заряды Эти заряды ослабляют поле создаваемое зарядом q тем самым понижая потенциал проводника и повышая его электроемкость

Конденсатор mdash это система из двух проводников (обкладок) содинаковыми по модулю но противоположными по знаку зарядами форма ирасположение которых таковы что поле сосредоточено в узком зазоре междуобкладками

Емкость конденсатора mdash физическая величина равная отношениюзаряда q накопленного в конденсаторе к разности потенциалов 21 ϕϕ minus междуего обкладками

ϕ∆= qC

3ndash15

Электричество

где minusχ диэлектрическая восприимчивость вещества характеризующаясвойства диэлектрика (положительная безразмерная величина)16 Диэлектрическая проницаемость среды

Вследствие поляризации на поверхностидиэлектрика появляются нескомпенсированныезаряды которые называются связанными (в отличиеот свободных зарядов которые создают внешнееполе)

Поле Er

внутри диэлектрика создаваемоесвязанными зарядами направлено против внешнегополя 0E

r создаваемого свободными зарядами

Результирующее поле внутри диэлектрика0 EEE minus=

В нашем примере поле создаваемое двумябесконечно заряженными плоскостями с поверхностнойплотностью зарядов σ 0 εσ=E Поэтому

00 εσminus= EEПолный дипольный момент диэлектрической

пластинки с толщиной d и площадью грани S PSdPVpV == с другойстороны SdqdpV σ== Отсюда P=σ

EEEEPEEE χε

χεεε

σ minus=minus=minus=minus= 00

00

00

00

Откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

εχ00

1EEE =

+=

Безразмерная величина EE01 =+= χε называется диэлектрической

проницаемостью среды Она характеризует способность диэлектриковполяризоваться в электрическом поле и показывает во сколько раз полеослабляется диэлектриком17 Электрическое смещение

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды(от ε ) Кроме того вектор напряженности E

r переходя через границу

диэлектриков претерпевает скачкообразное изменение поэтому для описания(непрерывного) электрического поля системы зарядов с учетомполяризационных свойств диэлектриков вводится вектор электрическогосмещения (электрической индукции) который для изотропной средызаписывается как

PEEEDrrrrr

+=+== 000 )1( εχεεεЕдиница электрического смещения mdash Клм2Вектор D

r описывает электростатическое поле создаваемое свободными

зарядами (те в вакууме) но при таком их распределении в пространстве какоеимеется при наличии диэлектрика

3ndash16

АНОгурцов Лекции по физике

Аналогично линиям напряженности можно ввести линии электрическогосмещения Через области поля где находятся связанные заряды линиивектора D

r проходят не прерываясь

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Dr

сквозь этуповерхность

int int==ΦS S

nD dSDdSDr

где nD ndash проекция вектора Dr

на нормаль nr к площадке dS Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике поток

вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов

sumint int=

==n

ii

S Sn qdSDdSD

1

r

Для непрерывного распределения заряда в пространстве с объемнойплотностью dVdq=ρ

int int=S V

dVdSD ρr

Другая форма записи этого соотношения с учетом определениядивергенции вектора (стр1-31)

ρ=Dr

div18 Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

При отсутствии на границе двух диэлектриков свободных зарядовциркуляция вектора E

r по контуру int =

ABCDA

dlE 0r

откуда 021 =minus lElE ττ Поэтому

21 ττ EE =Учитывая ED εε0=

2

1

2

1

εε

τ

τ =DD

По теореме Гаусса поток вектора Dr

черезцилиндр ничтожно малой высоты равен нулю (нетсвободных зарядов) 0=∆minus∆ prime SDSD nn поэтому

21 nn DD =

1

2

2

1

εε=

n

n

EE

Таким образом при переходе через границураздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора E

r

(Eτ) и нормальная составляющая вектора Dr

(Dn) изменяются непрерывно (непретерпевают скачка) а нормальная составляющая вектора E

r (En) и

тангенциальная составляющая вектора Dr

(Dτ) претерпевают скачок

3ndash17

Электричество

19 СегнетоэлектрикиСегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики у которых

в отсутствие внешнего электрического поля возникает самопроизвольнаяориентация дипольных электрических моментов составляющих его частиц

Примеры сегнетова соль NaKC4H4O6middot4H2Oтитанат бария BaTiO3

Сегнетоэлектрики состоят из доменов mdashобластей с различными направлениямиполяризованности

Температура выше которой исчезаютсегнетоэлектрические свойства mdash точка Кюри

Для сегнетоэлектриков связь между векторами Er

и Pr

нелинейная инаблюдается явление диэлектрического гистерезиса mdash сохраненияостаточной поляризованности при снятии внешнего поля

Пьезоэлектрики mdash кристаллические диэлектрики в которых при сжатииили растяжении возникает электрическая поляризация mdash прямой пьезоэффект

Обратный пьезоэффект mdash появление механической деформации поддействием электрического поля20 Проводники в электростатическом поле

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или егозарядить то на заряды проводника будет действовать электростатическоеполе в результате чего они начнут перемещаться до тех пор пока неустановится равновесное распределение зарядов при которомэлектростатическое поле внутри проводника обращается в нуль 0=E

r

Иначе если бы поле не было равно нулю то в проводнике возникло быупорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источникачто противоречит закону сохранения энергии

Следствия этого ( constE =rArr=minus= ϕϕ 0gradr

) потенциал во всех точках проводника одинаков поверхность проводника является эквипотенциальной вектор E

r направлен по нормали к каждой точке поверхности

При помещении нейтрального проводника во внешнее поле свободныезаряды (электроны и ионы) начнут перемещаться положительные mdash по полю а

отрицательные mdash против поля(рис(а)) На одном концепроводника будет избытокположительных зарядов надругом mdash отрицательных Этизаряды называютсяиндуцированными Процессбудет продолжаться до техпор пока напряженность поля

внутри проводника не станет равной нулю а линии напряженности внепроводника mdash перпендикулярными его поверхности (рис(б)) если проводнику сообщить некоторый заряд q то нескомпенсированныезаряды располагаются только на поверхности проводника причем σ=D и

Page 2: Лекции по физике. Электричество

3ndash2

АНОгурцов Лекции по физике

Электростатика

Электростатика mdash раздел учения об электричестве изучающийвзаимодействие неподвижных электрических зарядов и свойства постоянногоэлектрического поля1 Электрический заряд

Электрический заряд mdash это внутреннее свойство тел или частицхарактеризующее их способность к электромагнитным взаимодействиям

Единица электрического заряда mdash кулон (Кл) mdash электрический зарядпроходящий через поперечное сечение проводника при силе тока 1 ампер завремя 1секунда

Существует элементарный (минимальный) электрический заряд=e 16sdot10ndash19 Кл

Носитель элементарного отрицательного заряда mdash электрон Его масса=em 911sdot10ndash31 кг Носитель элементарного положительного заряда mdash протон

Его масса =pm 167sdot10ndash27 кгФундаментальные свойства электрического заряда установленные

опытным путем Существует в двух видах положительный и отрицательный

Одноименные заряды отталкиваются разноименные mdash притягиваются Электрический заряд инвариантен mdash его величина не зависит от

системы отсчета те от того движется он или покоится Электрический заряд дискретен mdash заряд любого тела составляет

целое кратное от элементарного электрического заряда e Электрический заряд аддитивен mdash заряд любой системы тел (частиц)

равен сумме зарядов тел (частиц) входящих в систему Электрический заряд подчиняется закону сохранения заряда

Алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутойсистемы остается неизменной какие бы процессы ни происходиливнутри данной системы

Под замкнутой системой в данном случае понимают систему которая необменивается зарядами с внешними телами

В электростатике используется физическая модель mdash точечныйэлектрический заряд mdash заряженное тело форма и размеры которогонесущественны в данной задаче2 Закон Кулона

Закон взаимодействия точечных зарядов mdash закон Кулона силавзаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядаминаходящимися в вакууме пропорциональна зарядам 1q и 2q и обратнопропорциональна квадрату расстояния r между ними

221

041

rqqF

πε=

Сила Fr

направлена по прямой соединяющей взаимодействующиезаряды те является центральной и соответствует притяжению ( 0ltF ) в

3ndash31

Электричество

41 Эмиссионные явленияРабота выхода электронов из металла mdash работа которую нужно

затратить для удаления электрона из металла в вакуумРабота выхода зависит от химической природы металлов и от чистоты их

поверхности Подобрав определенным образом покрытие поверхности можнозначительно изменить работу выхода

Работа выхода выражается в электрон-вольтах (эВ) 1эВ равен работекоторую совершают силы поля при перемещении элементарногоэлектрического заряда между точками разность потенциалов между которымиравна 1В Так как =e 16sdot10ndash19 Кл то 1эВ=16sdot10ndash19 Дж

Электронная эмиссия mdash явление испускания электронов из металловпри сообщении электронам энергии равной или большей работы выхода

1 Термоэлектронная эмиссия mdash испускание электронов нагретымиметаллами Пример использования ndash электронные лампы

2 Фотоэлектронная эмиссия mdash эмиссия электронов из металла поддействием электромагнитного излучения Пример использования mdashфотодатчики

3 Вторичная электронная эмиссия mdash испускание электроновповерхностью металлов полупроводников или диэлектриков прибомбардировке их пучком электронов Отношение числа вторичныхэлектронов 2n к числу первичных 1n вызвавших эмиссию называетсякоэффициентом вторичной электронной эмиссии 12 nn=δ Примериспользования mdash фотоэлектронные умножители

4 Автоэлектронная эмиссия mdash эмиссия электронов с поверхностиметаллов под действием сильного внешнего электрического поля

42 Газовые разрядыПод действием ионизатора (сильный нагрев жёсткое излучение потоки

частиц) нейтральные молекулы (атомы) газа расщепляются на ионы исвободные электроны mdash происходит ионизация газа

Энергия ионизации mdash энергия которую надо затратить чтобы измолекулы (атома) выбить один электрон

Рекомбинацией mdash называется процесс обратный ионизацииположительные и отрицательные ионы положительные ионы и электронывстречаясь воссоединяются между собой с образованием нейтральных атомови молекул

Прохождение электрического тока через ионизированный газ называетсягазовым разрядом

Разряд существующий только под действиемвнешних ионизаторов называется несамостоятель-ным газовым разрядом

Разряд в газе сохраняющийся после прекращениядействия внешнего ионизатора называется самостоя-ельным газовым разрядом

Рассмотрим цепь содержащую газовый промежуток(см рисунок) подвергающийся непрерывному постоян-ному по интенсивности воздействию ионизатора

В результате действия ионизатора газ приобретаетнекоторую электропроводность и в цепи потечет токзависимость которого от приложенного напряжения

3ndash30

АНОгурцов Лекции по физике

Средняя скорость направленного движения электронов

umleE

mteE

2220max ==+= υυ

Плотность тока

EEumlne

nej γυ ===2

2

где umlne

2

2

=γ mdash удельная проводимость металла

Закон Джоуля-ЛенцаК концу свободного пробега электрон под действием поля приобретает

дополнительную кинетическую энергию

22

222max

22E

um

lemEK == υ

которая при соударении электрона с ионом полностью передается решеткеЕсли minusn концентрация электронов то в единицу времени в единице

объема происходит lu

n столкновений и решетке передается энергия

222

2EE

umlne

Elu

nw K γ===

Закон ВидеманаndashФранцаОтношение теплопроводности λ к удельной проводимости γ для всех

металлов при одной и той же температуре одинаково и увеличиваетсяпропорционально температуре

Tβγλ = где

2

3

=

ekβ

Трудности классической теории1 Температурная зависимость сопротивления γ1~~ RTu

следовательно TR ~ что противоречит опытным даннымсогласно которым TR ~

2 Оценка среднего пробега электронов Чтобы получить величиныудельной проводимости γ совпадающие с опытными даннымиследует принимать l в сотни раз больше межатомных расстояний вкристалле

3 Теплоемкость металла складывается из теплоемкостикристаллической решетки и теплоемкости электронного газа Поэтомуудельная (рассчитанная на один моль) теплоемкость металла должнабыть существенно выше теплоемкости диэлектриков у которых нетсвободных электронов что противоречит эксперименту

Все эти трудности снимаются квантовой теорией

3ndash3

Электричество

случае разноименных зарядов и отталкиванию ( 0gtF ) в случае одноименныхзарядов В векторной форме сила действующая на заряд 1q со сторонызаряда 2q

rr

rqqF 122

21

012 4

1 rr

πε=

На заряд 2q со стороны заряда 1q действует сила 1221 FFrr

minus=

0ε mdash электрическая постоянная относящаяся к числу фундаментальныхфизических постоянных

2

212

0 мНКл10858sdot

sdot= minusε или мФ10858 12

0minussdot=ε Тогда

Фм109

41 9

0sdot=

πεгде фарад (Ф) mdash единица электрической емкости (п21)Если взаимодействующие заряды находятся в изотропной среде то

кулоновская сила

221

041

rqqF

επε=

где ε mdash диэлектрическая проницаемость среды mdash безразмернаявеличина показывающая во сколько раз сила взаимодействия F междузарядами в данной среде меньше их силы взаимодействия 0F в вакууме

FF0=ε

Диэлектрическая проницаемость вакуума 1=вакε Подробнее диэлектрикии их свойства будут рассмотрены ниже (п15)

Всякое заряженное тело можно рассматривать как совокупность точечныхзарядов аналогично тому как в механике всякое тело можно считатьсовокупностью материальных точек Поэтому электростатическая сила скоторой одно заряженное тело действует на другое равна геометрическойсумме сил приложенных ко всем точечным зарядам второго тела со стороныкаждого точечного заряда первого тела

Часто бывает значительно удобнее считать что заряды распределены взаряженном теле непрерывно mdash вдоль некоторой линии (например в случаезаряженного тонкого стержня) поверхности (например в случае заряженнойпластины) или объема Соответственно пользуются понятиями линейнойповерхностной и объемной плотностей зарядов

Объемная плотность электрических зарядов dVdq=ρ

где dq mdash заряд малого элемента заряженного тела объемом dV

Поверхностная плотность электрических зарядов dSdq=σ

где dq mdash заряд малого участка заряженной поверхности площадью dS

Линейная плотность электрических зарядов dldq=τ

где dq mdash заряд малого участка заряженной линии длиной dl

3ndash4

АНОгурцов Лекции по физике

3 Напряженность электростатического поляЭлектростатическим полем называется поле создаваемое неподвижными

электрическими зарядамиЭлектростатическое поле описывается двумя величинами потенциалом

(энергетическая скалярная характеристика поля) и напряженностью(силовая векторная характеристика поля)

Напряженность электростатического поля mdash векторнаяфизическая величина определяемая силой действующей наединичный положительный заряд 0q помещенный в данную точкуполя

Единица напряженности электростатического поля mdash ньютон накулон (НКл) 1 НКл=1 Вм где В (вольт) mdash единица потенциалаэлектростатического поля

Напряженность поля точечного заряда в вакууме (и в диэлектрике)

rr

rqErr

204

1πε

=

=

rr

rqErr

204

1επε

где rr mdash радиус-вектор соединяющий данную точку поля с зарядом q

В скалярной форме 204

1rqE

πε=

= 2

041

rqE

επεНаправление вектора E

r совпадает с направлением силы действующей

на положительный зарядЕсли поле создается положительным зарядом то вектор E

r направлен

вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкиваниепробного положительного заряда) Если поле создается отрицательнымзарядом то вектор E

r направлен к заряду (притяжение)

Графически электростатическое поле изобра-жают с помощью линий напряженности mdash линийкасательные к которым в каждой точке совпадают снаправлением вектора E

r (рис(а)) Линиям напря-

женности приписывается направление совпа-дающее с направлением вектора напряженностиТак как в данной точке пространства векторнапряженности имеет лишь одно направление толинии напряженности никогда не пересекаютсяДля однородного поля (когда вектор напря-женности в любой точке постоянен по модулю инаправлению) линии напряженности параллельнывектору напряженности

Если поле создается точечным зарядом то линии напряженности mdashрадиальные прямые выходящие из заряда если он положителен и входящиев него если заряд отрицателен (рис(б))

4 Поток вектора Er

Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не

только направление но и значение напряженности электростатического поляих проводят с определенной густотой число линий напряженности

0q

FEr

r=

3ndash29

Электричество

Электрические токи в металлах вакууме и газах

39 Электрические токи в металлахНосителями электрического тока в металле являются свободные

электроныПри образовании кристаллической решетки электроны внешних оболочек

атомов (валентные электроны) обобществляются и кристалл представляетсобой решетку неподвижных ионов металла между которыми хаотическидвижутся свободные электроны образуя электронный газ обладающийсвойствами идеального газа

Согласно теории ДрудеndashЛоренца электроны обладают той же энергиейтеплового движения что и молекулы одноатомного газа Средняя скоростьтеплового движения электронов

emkTuπ8=

где =k 138middot10ndash23 ДжК mdash постоянная Больцмана=em 911sdot10ndash31 кг mdash масса электрона

T mdash абсолютная (или термодинамическая) температура (в Кельвинах)При комнатной температуре ( =T 300 К) средняя скорость теплового

движения электронов равна =u 11middot105 мс Хаотическое тепловое движениеэлектронов не может привести к возникновению тока

При наложении внешнего электрического поля на металлическийпроводник в дополнение к хаотическому тепловому движению возникаетупорядоченное движение электронов (электрический ток)

Даже при предельно допустимых значениях плотности тока средняяскорость υ упорядоченного движения электронов обуславливающего

электрический ток значительно меньше их скорости теплового движения u

ultltυ

40 Основные законы электрического тока в классической теорииэлектропроводности металлов

Закон ОмаПусть в металлическом проводнике действует поле constE = Под

действием силы eEF = заряд e движется равноускоренно с ускорением

meEa = и к концу свободного пробега приобретает скорость

mteE

=maxυ

Среднее время свободного пробега электронов ul

t = определяется

средней длиной свободного пробега l и средней скоростью движения

электронов относительно кристаллической решетки uu cong+ υ

3ndash28

АНОгурцов Лекции по физике

4) В случае короткого замыкания сопротивление внешней цепи

0внешн =R и сила тока внутрr

I Θ= в этом случае ограничивается только

величиной внутреннего сопротивления источника тока38 Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

Узлом электрической цепи называется любая точка разветвления цепив которой сходится не менее трех проводников с током Ток входящий в узелсчитается положительным а ток выходящий из узла mdash отрицательным

Первое правило Кирхгофа mdash алгебраическая сумма токов сходящихся вузле равна нулю

sum =k

kI 0

Например для узла A на рисунке первое правилоКирхгофа

0654321 =minus++minusminus IIIIIIВторое правило Кирхгофа mdash в любом замкнутом контуре произвольно

выбранном в разветвленной электрической цепи алгебраическая суммапроизведений сил токов iI на сопротивление iRсоответствующих участков этого контура равнаалгебраической сумме ЭДС kΘ встречающихся вэтом контуре

sum sumΘ=i k

kii RI

Например для обхода по часовой стрелкезамкнутого контура ABCDA второе правилоКирхгофа имеет вид

32144332211 Θ+ΘminusΘ=++minus RIRIRIRIПри расчете сложных цепей с применением правил Кирхгофа необходимо

1 Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепидействительное направление токов определяется при решении задачиесли искомый ток получится положительным то его направление быловыбрано правильно а если mdash отрицательным mdash его истинноенаправление противоположно выбранному

2 Выбрать направление обхода контура и строго его придерживатьсяпроизведение IR положительно если ток на данном участке совпадаетс направлением обхода ЭДС действующие по выбранномунаправлению обхода считаются положительными против mdashотрицательными

3 Составить столько уравнений чтобы их число было равно числуискомых величин (в систему уравнений должны входить всесопротивления и ЭДС рассматриваемой цепи) каждыйрассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент несодержащийся в предыдущих контурах чтобы не получалисьуравнения которые являются простой комбинацией уже составленныхуравнений

3ndash5

Электричество

пронизывающих единицу площади поверхностиперпендикулярную линиям напряженности должно бытьравно модулю вектора E

r

Тогда число линий напряженности пронизывающихэлементарную площадку dS равно dSEdSE n=sdot αcos

где nE mdash проекция вектора Er

на нормаль nr к площадкеdS (Вектор nr mdash единичный вектор перпендикулярныйплощадке dS ) Величина

dSEdSEdSEdSEd nE

r==sdot=sdot=Φ perp αcos

называется потоком вектора напряженности черезплощадку dS Здесь ndSdS r= mdash вектор модуль которо-го равен dS а направление вектора совпадает с направлением nr к площадке

Поток вектора Er

сквозь произвольную замкнутую поверхность S

intint ==ΦSS

nE dSEdSEr

5 Принцип суперпозиции электростатических полейК кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип

независимости действия сил mdash результирующая сила действующая состороны поля на пробный заряд равна векторной сумме сил приложенных кнему со стороны каждого из зарядов создающих электростатическое поле

Напряженность результирующего поля создаваемого системой зарядовтакже равна геометрической сумме напряженностей полейсоздаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности

Эта формула выражает принцип суперпозиции(наложения) электростатических полей Он позволяетрассчитать электростатические поля любой системы неподвижных зарядовпредставив ее в виде совокупности точечных зарядов

Напомним правило определения величины вектора cr

суммы двух векторов ar и br

βα cos2cos2 2222 abbaabbac minus+=++=r

6 Теорема ГауссаВычисление напряженности поля системы электрических зарядов с

помощью принципа суперпозиции электростатических полей можнозначительно упростить используя теорему Гаусса определяющую потоквектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутуюповерхность

Рассмотрим поток вектора напряженности через сферическую поверхностьрадиуса r охватывающую точечный заряд q находящийся в ее центре

0

22

0

44 ε

ππε

qrr

qdSES

nE ===Φ intЭтот результат справедлив для любой замкнутой поверхности

произвольной формы охватывающей заряд

sum=

=n

iiEE

1

rr

ar crαβ

br

3ndash6

АНОгурцов Лекции по физике

Если замкнутая поверхность не охватывает заряда то поток сквозь нееравен нулю так как число линий напряженности входящих в поверхностьравно числу линий напряженности выходящих из нее

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности окружающей nзарядов Согласно принципу суперпозиции напряженность поля E

r

создаваемого всеми зарядами равна сумме напряженностей iEr

создаваемыхкаждым зарядом в отдельности Поэтому

sum sumsumintint sumint= ===

===sdot

==Φ

n

i

n

ii

in

i Si

S

n

ii

SnE q

qdSEdSEdSE

1 10011

1εε

rr

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме потоквектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности зарядов деленных на 0ε

Если заряд распределен в пространстве с объемной плотностьюdVdq =ρ то теорема Гаусса

intint ==ΦVS

nE dVdSE ρε0

1

7 Циркуляция вектора напряженностиЕсли в электростатическом поле точечного заряда q

из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траекторииперемещается другой точечный заряд 0q то силаприложенная к заряду совершает работу Работа силы наэлементарном перемещении dl равна

drr

qqdlr

qqFdldlFdA 20

020

0 41cos

41cos

πεα

πεα ====

r

Работа при перемещении заряда 0q из точки 1 в точку 2

intint

minus===

2

1

2

1 2

0

1

0

02

0

012 4

14

r

r

r

r rqq

rqq

rdrqqdAA

πεπεРабота 12A не зависит от траектории перемещения а определяется толькоположениями начальной и конечной точек Следовательно электростатическоеполе точечного заряда является потенциальным а электростатические силыmdash консервативными

Таким образом работа перемещения заряда в электростатическом полепо любому замкнутому контуру L равна нулю

0=intL

dA

Если переносимый заряд единичный то элемен-тарная работа сил поля на пути dl равна dlEdlE l=

r

где αcosEEl = mdash проекция вектора Er

на направление

элементарного перемещения dl

3ndash27

Электричество

Используя дифференциальную форму закона Ома Ej γ= и определение

γρ 1= получим закон ДжоуляndashЛенца в дифференциальной форме

2jEEw == γТепловое действие электрического тока используется в осветительных

лампах накаливания электросварке электронагревательных приборах и тд37 Закон Ома для неоднородного участка цепи

Рассмотрим неоднородный участок цепи 1mdash2 на котором присутствуютсилы неэлектрического происхождения (сторонние силы)

Обозначим через 12Θ mdash ЭДС на участке 1mdash2 21 ϕϕϕ minus=∆ mdashприложенную на концах участка разность потенциалов

Если участок цепи 1mdash2 неподвижен то (по закону сохранения энергии)общая работа 12A сторонних и электростатических сил совершаемая надносителями тока равна теплоте Q выделяющейся на участке

Работа сил совершаемая при перемещении заряда 0q ϕ∆+Θ= 012012 qqA

ЭДС 12Θ как и сила тока I mdash величина скалярная Если ЭДСспособствует движению положительных зарядов в выбранном направлении то

012 gtΘ если препятствует то 012 ltΘ

За время t в проводнике выделится теплота 02 )( IRqItIRRtIQ ===

Отсюда следует закон Ома для неоднородного участка цепи винтегральной форме который является обобщенным законом Ома

1221 Θ+minus= ϕϕIR

или R

I 1221 Θ+minus= ϕϕ

Частные случаи1) Если на данном участке цепи источник тока отсутствует то мы

получаем закон Ома для однородного участка цепи

RUI =

2) Если цепь замкнута ( 0=∆ϕ ) то получаем закон Ома длязамкнутой цепи

внешвнутр RrRI

+Θ=Θ=

где minusΘ ЭДС действующая в цепиminusR суммарное сопротивление всей цепи

minusвнешR сопротивление внешней цепиminusвнутрr внутреннее сопротивление источника тока

3) Если цепь разомкнута то 0=I и 1212 ϕϕ minus=Θ те ЭДСдействующая в разомкнутой цепи равна разности потенциалов наее концах

3ndash26

АНОгурцов Лекции по физике

Рассмотрим однородный проводник с сопротивлением R к концамкоторого приложено напряжение U За время dt через сечение проводникапереносится заряд Idtdq = Работа по перемещению заряда 0q между двумяточками поля равна

ϕ∆= 012 qA откуда dtR

URdtIUIdtUdqdA2

2 ====

Мощность тока

RURIUI

dtdAP

22 ====

Если размерности [ ]=I А [ ]=U В [ ]=R Ом то [ ]=A Дж и [ ]=P ВтВнесистемные единицы работы тока ватт-час (Втmiddotч) и киловатт-час

(кВтmiddotч) 1 Втmiddotч mdash работа тока мощностью 1 Вт в течении 1 ч 1 Втmiddotч=3600Втmiddotс=36middot103 Дж Аналогично 1 кВтmiddotч=1000 Втmiddotч=36middot106 Дж36 Закон ДжоуляndashЛенца

При прохождении тока по проводнику происходит рассеяние энергиивследствие столкновений носителей тока между собой и с любыми другимичастицами среды Если ток проходит по неподвижному проводнику то всяработа тока dA идет на нагревание проводника (выделение теплоты dQ )

По закону сохранения энергии dQdA =

dtR

URdtIIUdtdQ2

2 ===

Количество теплоты Q выделяющееся за конечный промежуток времениот 0 до t постоянным током I во всем объеме проводника электрическоесопротивление которого равно R получаем интегрируя предыдущеевыражение

tRIRdtIQt

2

0

2 == intЗакон ДжоуляndashЛенца (в интегральной форме) количество теплоты

выделяемое постоянным электрическим током на участке цепи равнопроизведению квадрата силы тока на время его прохождения иэлектрическое сопротивление этого участка цепи

Выделим в проводнике цилиндрический объем dSdLdV = (ось цилиндра

совпадает с направлением тока) Сопротивление этого объема dSdlR ρ= По

закону ДжоуляndashЛенца за время dt в этом объеме выделится теплота

( ) dVdtjdtjdSdSdlRdtIdQ 222 ρρ ===

Удельной тепловой мощностью тока w называется количествотеплоты выделяющееся за единицу времени в единице объема

2jdVdtdQw ρ==

3ndash7

Электричество

Интеграл int int=L L

l dlEdlEr

называется циркуляцией вектора

напряженности по заданному замкнутому контуру L Теорема о циркуляции вектора E

r

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдольлюбого замкнутого контура равна нулю

0==int intL L

l dlEdlEr

Силовое поле обладающее таким свойством называетсяпотенциальным Эта формула справедлива только для электрическогополя неподвижных зарядов (электростатического)8 Потенциальная энергия заряда

В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работаконсервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии

Поэтому работу 12A можно представить как разность потенциальныхэнергий заряда 0q в начальной и конечной точках поля заряда q

212

0

01

0

012 4

14

1 WWr

qqr

qqA minus=minus=πεπε

Потенциальная энергия заряда 0q находящегося в поле заряда q нарасстоянии r от него равна

constr

qqW += 0

041πε

Считая что при удалении заряда на бесконечность потенциальнаяэнергия обращается в нуль получаем 0=const

Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия(отталкивания) положительна для разноименных зарядов потенциальнаяэнергия из взаимодействия (притяжения) отрицательна

Если поле создается системой n точечных зарядов то потенциальнаяэнергия заряда 0q находящегося в этом поле равна сумме его потенциальныхэнергий создаваемых каждым из зарядов в отдельности

sum sum= =

==n

i

n

i ii r

qqUW1 1 0

0 4πε9 Потенциал электростатического поля

Отношение 0q

W не зависит от пробного заряда 0q и является

энергетической характеристикой поля называемой потенциалом

0qW=ϕ

Потенциал ϕ в какой-либо точке электростатического поля естьскалярная физическая величина определяемая потенциальной энергиейединичного положительного заряда помещенного в эту точку

3ndash8

АНОгурцов Лекции по физике

Например потенциал поля создаваемого точечным зарядом q равен

rq

041πε

ϕ =

10 Разность потенциаловРабота совершаемая силами электростатического поля при перемещении

заряда 0q из точки 1 в точку 2 может быть представлена какϕϕϕ ∆=minus=minus= 02102112 )( qqWWA

то есть равна произведению перемещаемого заряда на разностьпотенциалов в начальной и конечной точках

Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом полеопределяется работой совершаемой силами поля при перемещенииединичного положительного заряда из точки 1 в точку 2

0

1221 q

A=∆=minus ϕϕϕ

Пользуясь определением напряженности электростатического поляможем записать работу 12A в виде

int int int===2

1

2

1

2

10012 dlEqdlEqdlFA

rrr

Отсюда

intint ===∆=minus2

1

2

10

1221 dlEdlE

qA

l

rϕϕϕ

где интегрирование можно производить вдоль любой линии соединяющейначальную и конечную точки так как работа сил электростатического поля независит от траектории перемещения

Если перемещать заряд 0q из произвольной точки за пределы поля(на бесконечность) где потенциальная энергия а значит и потенциал равнынулю то работа сил электростатического поля ϕ0qA =infin откуда

0qAinfin=ϕ

Таким образом еще одно определение потенциала потенциал mdashфизическая величина определяемая работой по перемещению единичногоположительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность

Единица потенциала ndash вольт (В) 1В есть потенциал такой точки поля вкоторой заряд в 1Кл обладает потенциальной энергией 1Дж (1В=1Дж1Кл)

Принцип суперпозиции потенциалов электростатических полейЕсли поле создается несколькими зарядами то потенциал поля системызарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов11 Связь между напряженностью и потенциалом

Для потенциального поля между потенциальной (консервативной) силой ипотенциальной энергией существует связь

WWF minusnabla=minus= gradr

3ndash25

Электричество

В проводнике El

U = mdash напряженность электрического поля SlR ρ=

SIj =

Из закона Ома получим соотношение l

USI

ρ1= откуда Ej γ=

В векторной форме соотношениеEjrr

γ=называется законом Ома в дифференциальной форме Этот закон

связывает плотность тока в любой точке внутри проводника снапряженностью электрического поля в той же точке33 Сопротивление соединения проводников(1) Последовательное соединение n про-

водников IIII n ==== K21

sum sumsum= ==

====n

i

n

iiii

n

ii RIRIUUIR

1 11

sum=

=n

iiRR

1

(2) Параллельное соединение n провод-ников UUUU n ==== K21

sumsumsum===

====n

i i

n

i i

in

ii R

URUII

RU

111

1

sum=

=n

i iRR 1

11

34 Температурная зависимость сопротивленияОпытным путем было установлено что для большинства случаев

изменение удельного сопротивления (а значит и сопротивления) стемпературой описывается линейным законом

( )tαρρ += 10 или ( )tRR α+= 10

где ρ и 0ρ R и 0R mdash соответственно удельные сопротивления исопротивления проводника при температурах t и deg0 С (шкала Цельсия) α mdashтемпературный коэффициент сопротивления

На зависимости электрического сопротивления металлов от температурыосновано действие термометров сопротивления

Сопротивление многих металлов при очень низких температурах kT (014ndash20 К (шкала Кельвина)) называемых критическими характерных для каждоговещества скачкообразно уменьшается до нуля и металл становитсяабсолютным проводником Это явление называется сверхпроводимостью35 Работа и мощность тока

Кулоновские и сторонние силы при перемещении заряда q вдольэлектрической цепи совершают работу A

3ndash24

АНОгурцов Лекции по физике

Если на заряд 0q действуют как сторонние силы так и силыэлектростатического поля то результирующая сила

( )EEqFFF e

rrrrr+=+= стор0стор

Работа результирующей силы по перемещению заряда 0q на участке 1mdash2

( )intint minus+Θ=+=2

12101200

2

1стор012 ϕϕqqdlEqdlEqA

rr

Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю поэтомуΘ= 0qA

Напряжением U на участке 1mdash2 называется физическая величиначисленно равная суммарной работе совершаемой электростатическими исторонними силами по перемещению единичного положительного заряда наданном участке цепи

12210

1212 Θ+minus== ϕϕ

qAU

Понятие напряжения является обобщением понятия разностипотенциалов напряжение на концах участка цепи равно разностипотенциалов если участок не содержит источника тока (те на участке недействует ЭДС сторонние силы отсутствуют)32 Закон Ома Электрическое сопротивление

Закон Ома для однородного участка цепи (не содержащегоисточника тока) сила тока текущего по однородномуметаллическому проводнику пропорциональна напряжению наконце проводника (интегральная форма закона Ома)

Коэффициент пропорциональности R называется электрическим сопро-тивлением проводника

Единица электрического сопротивления mdash ом (Ом) 1 Ом mdash сопро-тивление такого проводника в котором при напряжении 1В течет постоянныйток 1А

Величина R

G 1= называется электрической проводимостью проводника

Единица электрической проводимости mdash сименс (См) 1 См mdashпроводимость участка электрической цепи сопротивлением 1 Ом

Сопротивление проводника зависит от его размеров и формы а также отматериала из которого проводник изготовлен Например дляоднородного линейного проводника длиной l и площадьюпоперечного сечения S сопротивление рассчитывается по формуле

где коэффициент пропорциональности ρ характеризующий материалпроводника называется удельным электрическим сопротивлением

Единица удельного электрического сопротивления mdash ом-метр(Омм)

Величина обратная удельному сопротивлению называетсяудельной электрической проводимостью вещества проводника

Единица удельной электрической проводимости mdash сименсна метр (Смм)

RUI =

SlR ρ=

ρ

γ 1=

3ndash9

Электричество

где nabla (набла) mdash оператор Гамильтона kz

jy

ix

rrr

partpart+

partpart+

partpart=nabla

Поскольку EqFrr

= и ϕqW = то

ϕϕ minusnabla=minus= gradEr

Знак минус показывает что вектор Er

направлен в сторону убыванияпотенциала12 Эквипотенциальные поверхности

Для графического изображения распределения потенциала используютсяэквипотенциальные поверхности mdash поверхности во всех точках которыхпотенциал имеет одно и то же значение

Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так чтобы разностипотенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностямибыли одинаковы Тогда густота эквипотенциальных поверхностей нагляднохарактеризует напряженность поля в разных точках Там где эти поверхностирасположены гуще напряженность поля больше На рисунке пунктиромизображены силовые линии сплошными линиями mdash сеченияэквипотенциальных поверхностей для положительного точечного заряда (а)диполя (б) двух одноименных зарядов (в) заряженного металлическогопроводника сложной конфигурации (г)

Для точечного заряда потенциал rq

041πε

ϕ = поэтому эквипотенциальные

поверхности mdash концентрические сферы С другой стороны линиинапряженности mdash радиальные прямые Следовательно линии напряженностиперпендикулярны эквипотенциальным поверхностям

Можно показать что во всех случаях1) вектор E

r перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и

2) всегда направлен в сторону убывания потенциала13 Примеры расчета наиболее важных симметричных электростатических

полей в вакууме1 Электростатическое поле электрического диполя в вакууме

Электрическим диполем (или двойным электрическим полюсом)называется система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов( qq minus+ ) расстояние l между которыми значительно меньше расстояния дорассматриваемых точек поля )( rl ltlt

Плечо диполя lr

mdash вектор направленный по оси диполя ототрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними

3ndash10

АНОгурцов Лекции по физике

Электрический момент диполя epr mdash вектор совпада-ющий по направлению с плечом диполя и равный произведениюмодуля заряда q на плечо l

r1) Напряженность поля диполя на продолжении

оси диполя в точке Аminus+minus+ +=minus= ϕϕϕEEEA

Пусть r mdash расстояние до точки А от серединыоси диполя Тогда учитывая что lr gtgt

30

30

20

20

24

1

24

1

24

1

24

1

rp

rql

lr

qlr

qE

e

A

πε

πεπεπε

=

==

+

minus

minus

=

20

200 4

14

1224

1rp

rql

lrq

lrq e

A πεπεπεϕ ==

+minus

minus=

2) Напряженность поля в точке B на перпендикуляре восстановленном коси диполя из его середины при lr gtgt

( ) ( ) ( )

41

241

20

220 r

lEE

rq

lrqEE B asympasymp+

==+

minus+ πεπε поэтому

30

30 )(4

1)(4

1

)(rp

rql

rlEE e

B πεπε=== +

0=BϕТочка В равноудалена от зарядов q+ и qminus

диполя поэтому потенциал поля в точке В равеннулю Вектор BE

r направлен противоположно

вектору lr

3) Во внешнем электрическом поле на концы

диполя действует пара сил которая стремитсяповернуть диполь таким образом чтобыэлектрический момент epr диполя развернулся

вдоль направления поля Er

(рис(а))Во внешнем однородном поле момент пары

сил равен αsinqElM = или ][ EpM e

rrr= Во внешнем неоднородном поле

(рис(в)) силы действующие на концы диполя неодинаковы ( )12 FFrr

gt и ихрезультирующая стремится передвинуть диполь в область поля с большейнапряженностью mdash диполь втягивается в область более сильного поля2 Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностьюdSdq=+σ Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой

плоскости и направлены от нее в обе стороны

lqpe

rr =

3ndash23

Электричество

цепи выравниваются и электростатическое поле исчезаетДля существования постоянного тока необходимо наличие в цепи

устройства способного создавать и поддерживать разность потенциаловза счет сил не электростатического происхождения

Такие устройства называются источниками токаСилы не электростатического происхождения действующие на заряды со

стороны источников тока называются стороннимиКоличественная характеристика сторонних сил mdash поле сторонних сил и

его напряженность сторEr

определяемая сторонней силой действующей наединичный положительный заряд

Природа сторонних сил может быть различной Например вгальванических элементах они возникают за счет энергии химических реакциймежду электродами и электролитами в генераторе mdash за счет механическойэнергии вращения ротора генератора в солнечных батареях mdash за счет энергиифотонов и тп Роль источника тока в электрической цепи такая же как рольнасоса который необходим для поддержания тока жидкости в гидравлическойсистеме

Под действием создаваемого поля сторонних сил электрические зарядыдвижутся внутри источника тока против сил электростатического поляблагодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепитечет постоянный электрический ток31 Электродвижущая сила и напряжение

Физическая величина определяемая работой которую совершаютсторонние силы при перемещении единичного положительного заряданазывается электродвижущей силой (ЭДС) действующей в цепи

0qA=Θ

Эта работа совершается за счет энергии затрачиваемой в источнике токапоэтому величину Θ можно назвать электродвижущей силой источника токавключенного в цепь ЭДС как и потенциал выражается в вольтах

Участок цепи на котором не действуют сторонние силы называетсяоднородным Участок на котором на носители тока действуют сторонние силыназывается неоднородным

Работа сторонних сил по перемещению заряда 0q на замкнутом участкецепи

int int== dlEqdlFA стор0стор

rr

Отсюда ЭДС действующая в замкнутой цепи mdash это циркуляция векторанапряженности поля сторонних сил

dlEint=Θ стор

r

Следовательно для поля сторонних сил циркуляция его напряженности позамкнутому контуру не равна нулю Поэтому поле сторонних сил mdashнепотенциально

ЭДС действующая на участке 1ndash2 цепи равна

dlEint=Θ2

1стор12

r

3ndash22

АНОгурцов Лекции по физике

скалярная физическая величина равная отношению заряда dq переносимогосквозь рассматриваемую поверхность за малый промежуток времени квеличине dt этого промежутка

dtdqI =

Электрический ток называется постоянным если сила тока и егонаправление не изменяются с течением времени

Для постоянного тока tqI =

где q mdash электрический заряд проходящий за время t через поперечноесечение проводника

Единица силы тока mdash ампер (А) (см Механика стр 1-2)Для характеристики направления электрического тока в разных точках

рассматриваемой поверхности и распределения силы тока по этой поверхностислужит вектор плотности тока j

r Сила тока сквозь произвольную

поверхность S определяется как поток вектора плотности тока

int=S

dSjIr

где dSndS r= ( nr ndash единичный вектор нормали (орт) к площадке dS )Плотностью электрического тока называется вектор j

r совпа-

дающий с направлением электрического тока в рассматриваемой точке ичисленно равный отношению силы тока dI сквозь малый элемент поверхностиортогональной направлению тока к площади perpdS этого элемента

perp=

dSdIj

Для постоянного тока I текущего перпендикулярно сечению S

проводника SIj =

Если за время dt через поперечное сечение S проводника переноситсязаряд dtSnedq υ= (где n e и υ mdash концентрация заряд и средняя

скорость упорядоченного движения зарядов) то сила тока SneI dtdq υ== а

плотность токаυr

rnej =

Единица плотности тока mdash Ам230 Сторонние силы

Для возникновения и существования электрического тока необходимо1) наличие свободных носителей тока mdash заряженных частиц способ-

ных перемещаться упорядоченно2) наличие электрического поля энергия которого должна каким-то

образом восполнятьсяЕсли в цепи действуют только силы электростатического поля то

происходит перемещение носителей таким образом что потенциалы всех точек

3ndash11

Электричество

В качестве Гауссовой поверхности примемповерхность цилиндра образующие которогоперпендикулярны заряженной плоскости аоснования параллельны заряженной плоскости илежат по разные стороны от нее на одинаковыхрасстояниях

Так как образующие цилиндра параллельнылиниям напряженности то поток векторанапряженности через боковую поверхностьцилиндра равен нулю а полный поток сквозь цилиндр равен суммепотоков сквозь его основания ES2 Заряд заключенный внутрицилиндра равен Sσ По теореме Гаусса 02 εσSES = откуда

E не зависит от длины цилиндра те напряженность поля на любыхрасстояниях одинакова по модулю Такое поле называется однородным

Разность потенциалов между точками лежащими на расстояниях 1x и 2xот плоскости равна

intint minus===minus2

1

2

1

)(22 12

0021

x

x

x

x

xxdxEdxεσ

εσϕϕ

3 Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженныхплоскостей с равными по абсолютному значению поверхностнымиплотностями зарядов 0gtσ и σminus

Из предыдущего примера следует что векторы напряженности 1Er

и 2Er

первой и второй плоскостей равны по модулю и всюду направленыперпендикулярно плоскостям Поэтому в пространстве вне плоскостей оникомпенсируют друг друга а в пространстве между плоскостями суммарнаянапряженность 12EE

rr= Поэтому между плоскостями

0εσ=E (в диэлектрике

0εεσ=E )

Поле между плоскостями однородное Разность потенциалов междуплоскостями

00 0021 ε

σεσϕϕ ddxEdx

dd

===minus intint (в диэлектрике 0εε

σϕ d=∆ )

4 Поле равномерно заряженной сферической поверхностиСферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена

равномерно с поверхностной плотностью 24 Rqπ

σ =

02ε

σ=E

3ndash12

АНОгурцов Лекции по физике

Поскольку система зарядов и следовательносамо поле центрально-симметрично относительноцентра сферы то линии напряженности направленырадиальноВ качестве Гауссовой поверхности выберем сферурадиуса r имеющую общий центр с заряженнойсферой Если Rr gt то внутрь поверхностипопадает весь заряд q По теореме Гаусса

0

24ε

π qEr = откуда ( )Rrr

RrqE ge==

41

20

2

20 ε

σπε

При Rr le замкнутая поверхность не содержитвнутри зарядов поэтому внутри равномернозаряженной сферы 0=E

Разность потенциалов между двумя точкамилежащими на расстояниях 1r и 2r от центра сферы( RrRr gtgt 21 ) равна

int int

minus===minus

2

1

2

1 2102

021

1144

1r

r

r

r rrqdr

rqEdr

πεπεϕϕ

Если принять rr =1 и infin=2r то потенциал поля вне сферической

поверхности rq

041πε

ϕ =

Вне заряженной сферы поле такое же как поле точечного заряда q находящегося в центре сферы Внутри заряженной сферы поля нет поэтомупотенциал всюду одинаков и такой же как на поверхности

004 εσ

πεϕ R

Rq ==

5 Поле объемно заряженного шараЗаряд q равномерно распределен в вакууме по

объему шара радиуса R с объемной плотностью

33

4 Rq

Vq

πρ == Центр шара является центром

симметрии поля1) Для поля вне шара )( Rr gt получаем тот же

результат что и в случае сферической поверхности

204

1rqE

πε=

rq

04πεϕ =

minus=minus

21021

114 rr

qπε

ϕϕ

2) При Rr = 0

2

002

0 34

341

ερ

πεϕ

ερ

πεR

rqR

RqE ====

3) Внутри шара сфера радиусом Rr lt охватывает заряд ρπ 3

34 rq =

3ndash21

Электричество

Интегрирование проводится по всем заряженным поверхностям S и по всемузаряженному объему V тел системы

На примере поля плоского конденсатора выразим энергию поля через егонапряженность Для конденсатора dSC 0εε= и Ed=∆ϕ Отсюда

VESdEW 20

20 2

121 εεεε ==

В однородном поле конденсатора его энергия распределена равномернопо всему объему поля SdV =

Объемная плотность энергии электростатического поля плоскогоконденсатора w

EDEVWw

21

21 2

0 === εε

где ED 0εε= mdash электрическое смещениеЭта формула является отражением того факта что электростатическая

энергия сосредоточена в электростатическом поле Это выражениесправедливо также и для неоднородных полей28 Пондеромоторные силы

Механические силы действующие на заряженные тела помещенные вэлектромагнитное поле называются пондеромоторными силами (от латинскихслов ponderis mdash тяжесть и motor mdash движущий)

Например в плоском конденсаторе сила с которой пластиныконденсатора притягивают друг друга совершает работу за счет уменьшения

потенциальной энергии системы С учетом Sq=σ и

0εεσ=E получаем

SESS

qdx

dWF 20

0

2

0

2

21

22εε

εεσ

εεminus=minus=minus=minus=

где знак минус указывает на то что эта сила является силой притяженияПод действием этой силы обкладки конденсатора сжимают пластинудиэлектрика помещенного между ними и в диэлектрике возникает давление

20

0

2

21

2E

SFp εε

εεσ ===

Постоянный электрический ток

29 Постоянный электрический ток сила и плотность токаЭлектродинамика mdash раздел учения об электричестве в котором

рассматриваются явления и процессы обусловленные движениемэлектрических зарядов

Электрическим током называется упорядоченное движениеэлектрических зарядов

За направление тока принимают направление движения положительныхзарядов

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I mdash

3ndash20

АНОгурцов Лекции по физике

неподвижных точечных зарядов равна

sum=

=n

iiiqW

121 ϕ

где iϕ mdash потенциал создаваемый в той точке где находится заряд iq всеми зарядами кроме i -го25 Энергия заряженного уединенного проводника

Рассмотрим уединенный проводник заряд емкость и потенциал которогоравны ϕCq Элементарная работа dA совершаемая внешними силами попреодолению кулоновских сил отталкивания при перенесении заряда dq избесконечности на проводник равна ϕϕϕ dCdqdA == Чтобы зарядитьпроводник от нулевого потенциала до ϕ необходимо совершить работу

int ==ϕ ϕϕϕ0

2

2CdCA

Энергия заряженного уединенного проводника (используя ϕqC = )

222

22 ϕϕ qC

qCW ===

26 Энергия заряженного конденсатораЭлементарная работа внешних сил по перенесению малого заряда dq с

обкладки 2 конденсатора на обкладку 1

CqdqdqdA =∆= ϕ

Работа внешних сил при увеличении заряда конденсатора от 0 до q

int ==q

Cq

CqdqA

0

2

2

Энергия заряженного конденсатора (используя ϕ∆

= qC )

( )222

221

2 ϕϕϕ ∆=minus== qCC

qW

27 Энергия электростатического поляВ общем случае электрическую энергию любой системы

заряженных неподвижных тел mdash проводников и непроводников mdash можнонайти по формуле

intint +=VS

dVdSW ϕρϕσ21

21

где σ и ρ mdash поверхностная и объемная плотности свободных зарядов ϕ mdashпотенциал результирующего поля всех свободных и связанных зарядов вточках малых элементов dS и dV заряженных поверхностей и объемов

3ndash13

Электричество

По теореме Гаусса 0

3

0

2

344ερπ

επ rqEr ==

Отсюда для точек лежащих внутри шара ( )RrRr ltlt 21 с учетом 33

4 Rqπ

ρ =

03

0 34 ερ

πεr

RqrE == int minus==minus

2

1

)(8

21

223

021

r

r

rrR

qEdrπε

ϕϕ

6 Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен

равномерно с линейной плотностью dldq=τ

Линии напряженности будут направлены порадиусам круговых сечений цилиндра содинаковой густотой во все стороныотносительно оси цилиндра

В качестве Гауссовой поверхностивыберем цилиндр радиуса r и высотой lкоаксиальный с заряженной нитью

Торцы этого цилиндра параллельнылиниям напряженности поэтому поток черезних равен нулю

Поток через боковую поверхность равенrlE π2

По теореме Гаусса (при Rr gt ) 0

2ετπ lrlE = откуда при RrRr gtgt 21

rE τ

πε021=

1

2

0021 ln

22

2

1

2

1rr

rdrEdr

r

r

r

r πετ

πετϕϕ int int ===minus

Если Rr lt то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержитпоэтому 0=E 14 Электростатическое поле в диэлектрической среде

Диэлектриками называются вещества которые при обычных условияхпрактически не проводят электрический ток

Диэлектрик как и всякое другое вещество состоит из атомов или молекулкаждая из которых в целом электрически нейтральна

Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядомq+ находящимся в так сказать центре тяжести положительных зарядов а

заряд всех электронов mdash суммарным отрицательным зарядом qminus находя-щимся в центре тяжести отрицательных зарядов то молекулы можнорассматривать как электрические диполи с электрическим моментом

Различают три типа диэлектриков1) Диэлектрики с неполярными молекулами симметричные молекулы

которых в отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент(например N2 H2 O2 CO2)

3ndash14

АНОгурцов Лекции по физике

2) Диэлектрики с полярными молекулами молекулы которыхвследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (например H2ONH3 SO2 CO)

3) Ионные диэлектрики (например NaCl KCl) Ионные кристаллыпредставляют собой пространственные решетки с правильным чередованиемионов разных знаков

Внесение диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит квозникновению отличного от нуля результирующего электрического моментадиэлектрика

Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей илипоявления под воздействием электрического поля ориентированных по полюдиполей

Соответственно трем видам диэлектриков различают три видаполяризации

1) Электронная или деформационная поляризация диэлектрика снеполярными молекулами mdash за счет деформации электронных орбит возникает

индуцированный дипольный момент у атомов илимолекул диэлектрика

2) Ориентационная или дипольная по-ляризация диэлектрика с полярными молеку-лами mdash ориента-ция имеющихся

дипольных моментов молекул по полю (этаориентация тем сильнее чем больше напря-женность электрического поля и чем нижетемпература)

3) Ионная поляризация диэлектрика сионными кристаллическими решетками mdash смещение подрешеткиположительных ионов вдоль поля а отрицательных ионов против поляприводит к возникновению дипольных моментов15 Поляризованность

Поместим пластину из однородного диэлектрика во внешнееэлектрическое поле созданное двумя бесконечными параллельнымиразноименно заряженными плоскостями

Во внешнем электрическом поле диэлектрик объемом V поляризуетсяте приобретает дипольный момент sum=

iiV pp rr где minusipr дипольный момент

одной молекулыДля количественного описания поляризации диэлектрика используется

векторная величина mdash поляризованность mdash которая определяется какдипольный момент единицы объема диэлектрика

Vp

VpP i iV sum==

rrr

В случае изотропного диэлектрика поляризованность (для большинствадиэлектриков за исключением сегнетоэлектриков) линейно зависит отнапряженности внешнего поля

EPrr

0χε=

3ndash19

Электричество

1 Емкость плоского конденсатора (две параллельные металлическиепластины площадью S каждая расположенные на расстоянии d друг от

друга (Sq=σ ))

dS

dqqC εε

εεσϕ

0

0

==∆

=

2 Емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндрадлиной l с радиусами 1r и 2r )( lq=τ )

1

2

0

1

2

0ln

2

ln2 r

rl

rr

lq

qC επε

επε

==

3 Емкость сферического конденсатора (две концентрических сферы срадиусами 1r и 2r )

12

210

210

411

4rr

rr

rrq

qCminus

=

minus

= επε

επε

23 Соединения конденсаторовУ параллельно соединенных конденсаторов nCCC K21 разность

потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова ϕ∆ Полная емкость

sumsumsum

=

== =∆

∆=

∆=

∆=

n

ii

n

ii

n

ii

CCq

qC1

11

ϕ

ϕ

ϕϕ

У последовательно соединенных кон-денсаторов nCCC K21 заряды q всехобкладок равны по модулю а суммарнаяразность потенциалов

Cq

Cqn

i i

n

ii ==∆=∆ sumsum

== 11ϕϕ

откуда

sum=

=n

i iCC 1

11

24 Энергия системы неподвижных точечных зарядовДля системы двух зарядов 1q и 2q находящихся на расстоянии r друг от

друга каждый из них в поле другого обладает потенциальной энергией

22121

02

2

011211 4

14

1 Wqrqq

rqqqW ===== ϕ

πεπεϕ

Поэтому )( 21212121

212121 ϕϕϕϕ qqqqW +=== Добавляя последова-тельно по одному заряду получим что энергия взаимодействия системы n

3ndash18

АНОгурцов Лекции по физике

εεσ0

=E где σ mdash поверхностная плотность зарядов и ε mdash диэлектрическая

проницаемость среды окружающей проводникНейтральный проводник внесенный в электростатическое поле

разрывает часть линий напряженности они заканчиваются на отрицательныхиндуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных

Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхностипроводника Явление перераспределения поверхностных зарядов напроводнике во внешнем электростатическом поле называетсяэлектростатической индукцией21 Электроемкость

Рассмотрим уединенный проводник mdash проводник удаленный от другихтел и зарядов Из опыта следует что разные проводники будучи одинаковозаряженными имеют разные потенциалы

Физическая величина C равная отношению заряда проводника q к егопотенциалу ϕ называется электрической емкостью этого проводника

ϕqC =

Электроемкость уединенного проводника численно равна зарядукоторый нужно сообщить этому проводнику для того чтобы изменить егопотенциал на единицу

Она зависит от формы и размеров проводника и от диэлектрическихсвойств окружающей среды Емкости геометрически подобных проводниковпропорциональны их линейным размерам

Пример емкость уединенного проводящего шара RqC 04πεϕ==

Единица электроемкости mdash фарад (Ф) 1Ф mdash емкость такогоуединенного проводника потенциал которого изменяется на 1В при сообщенииему заряда 1Кл Емкостью 1Ф обладает шар с радиусом 6109 sdot=R км ЕмкостьЗемли 07мФ22 Конденсаторы

Если к проводнику с зарядом q приблизить другие тела то на ихповерхности возникнут индуцированные (на проводнике) или связанные (надиэлектрике) заряды Эти заряды ослабляют поле создаваемое зарядом q тем самым понижая потенциал проводника и повышая его электроемкость

Конденсатор mdash это система из двух проводников (обкладок) содинаковыми по модулю но противоположными по знаку зарядами форма ирасположение которых таковы что поле сосредоточено в узком зазоре междуобкладками

Емкость конденсатора mdash физическая величина равная отношениюзаряда q накопленного в конденсаторе к разности потенциалов 21 ϕϕ minus междуего обкладками

ϕ∆= qC

3ndash15

Электричество

где minusχ диэлектрическая восприимчивость вещества характеризующаясвойства диэлектрика (положительная безразмерная величина)16 Диэлектрическая проницаемость среды

Вследствие поляризации на поверхностидиэлектрика появляются нескомпенсированныезаряды которые называются связанными (в отличиеот свободных зарядов которые создают внешнееполе)

Поле Er

внутри диэлектрика создаваемоесвязанными зарядами направлено против внешнегополя 0E

r создаваемого свободными зарядами

Результирующее поле внутри диэлектрика0 EEE minus=

В нашем примере поле создаваемое двумябесконечно заряженными плоскостями с поверхностнойплотностью зарядов σ 0 εσ=E Поэтому

00 εσminus= EEПолный дипольный момент диэлектрической

пластинки с толщиной d и площадью грани S PSdPVpV == с другойстороны SdqdpV σ== Отсюда P=σ

EEEEPEEE χε

χεεε

σ minus=minus=minus=minus= 00

00

00

00

Откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

εχ00

1EEE =

+=

Безразмерная величина EE01 =+= χε называется диэлектрической

проницаемостью среды Она характеризует способность диэлектриковполяризоваться в электрическом поле и показывает во сколько раз полеослабляется диэлектриком17 Электрическое смещение

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды(от ε ) Кроме того вектор напряженности E

r переходя через границу

диэлектриков претерпевает скачкообразное изменение поэтому для описания(непрерывного) электрического поля системы зарядов с учетомполяризационных свойств диэлектриков вводится вектор электрическогосмещения (электрической индукции) который для изотропной средызаписывается как

PEEEDrrrrr

+=+== 000 )1( εχεεεЕдиница электрического смещения mdash Клм2Вектор D

r описывает электростатическое поле создаваемое свободными

зарядами (те в вакууме) но при таком их распределении в пространстве какоеимеется при наличии диэлектрика

3ndash16

АНОгурцов Лекции по физике

Аналогично линиям напряженности можно ввести линии электрическогосмещения Через области поля где находятся связанные заряды линиивектора D

r проходят не прерываясь

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Dr

сквозь этуповерхность

int int==ΦS S

nD dSDdSDr

где nD ndash проекция вектора Dr

на нормаль nr к площадке dS Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике поток

вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов

sumint int=

==n

ii

S Sn qdSDdSD

1

r

Для непрерывного распределения заряда в пространстве с объемнойплотностью dVdq=ρ

int int=S V

dVdSD ρr

Другая форма записи этого соотношения с учетом определениядивергенции вектора (стр1-31)

ρ=Dr

div18 Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

При отсутствии на границе двух диэлектриков свободных зарядовциркуляция вектора E

r по контуру int =

ABCDA

dlE 0r

откуда 021 =minus lElE ττ Поэтому

21 ττ EE =Учитывая ED εε0=

2

1

2

1

εε

τ

τ =DD

По теореме Гаусса поток вектора Dr

черезцилиндр ничтожно малой высоты равен нулю (нетсвободных зарядов) 0=∆minus∆ prime SDSD nn поэтому

21 nn DD =

1

2

2

1

εε=

n

n

EE

Таким образом при переходе через границураздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора E

r

(Eτ) и нормальная составляющая вектора Dr

(Dn) изменяются непрерывно (непретерпевают скачка) а нормальная составляющая вектора E

r (En) и

тангенциальная составляющая вектора Dr

(Dτ) претерпевают скачок

3ndash17

Электричество

19 СегнетоэлектрикиСегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики у которых

в отсутствие внешнего электрического поля возникает самопроизвольнаяориентация дипольных электрических моментов составляющих его частиц

Примеры сегнетова соль NaKC4H4O6middot4H2Oтитанат бария BaTiO3

Сегнетоэлектрики состоят из доменов mdashобластей с различными направлениямиполяризованности

Температура выше которой исчезаютсегнетоэлектрические свойства mdash точка Кюри

Для сегнетоэлектриков связь между векторами Er

и Pr

нелинейная инаблюдается явление диэлектрического гистерезиса mdash сохраненияостаточной поляризованности при снятии внешнего поля

Пьезоэлектрики mdash кристаллические диэлектрики в которых при сжатииили растяжении возникает электрическая поляризация mdash прямой пьезоэффект

Обратный пьезоэффект mdash появление механической деформации поддействием электрического поля20 Проводники в электростатическом поле

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или егозарядить то на заряды проводника будет действовать электростатическоеполе в результате чего они начнут перемещаться до тех пор пока неустановится равновесное распределение зарядов при которомэлектростатическое поле внутри проводника обращается в нуль 0=E

r

Иначе если бы поле не было равно нулю то в проводнике возникло быупорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источникачто противоречит закону сохранения энергии

Следствия этого ( constE =rArr=minus= ϕϕ 0gradr

) потенциал во всех точках проводника одинаков поверхность проводника является эквипотенциальной вектор E

r направлен по нормали к каждой точке поверхности

При помещении нейтрального проводника во внешнее поле свободныезаряды (электроны и ионы) начнут перемещаться положительные mdash по полю а

отрицательные mdash против поля(рис(а)) На одном концепроводника будет избытокположительных зарядов надругом mdash отрицательных Этизаряды называютсяиндуцированными Процессбудет продолжаться до техпор пока напряженность поля

внутри проводника не станет равной нулю а линии напряженности внепроводника mdash перпендикулярными его поверхности (рис(б)) если проводнику сообщить некоторый заряд q то нескомпенсированныезаряды располагаются только на поверхности проводника причем σ=D и

Page 3: Лекции по физике. Электричество

3ndash30

АНОгурцов Лекции по физике

Средняя скорость направленного движения электронов

umleE

mteE

2220max ==+= υυ

Плотность тока

EEumlne

nej γυ ===2

2

где umlne

2

2

=γ mdash удельная проводимость металла

Закон Джоуля-ЛенцаК концу свободного пробега электрон под действием поля приобретает

дополнительную кинетическую энергию

22

222max

22E

um

lemEK == υ

которая при соударении электрона с ионом полностью передается решеткеЕсли minusn концентрация электронов то в единицу времени в единице

объема происходит lu

n столкновений и решетке передается энергия

222

2EE

umlne

Elu

nw K γ===

Закон ВидеманаndashФранцаОтношение теплопроводности λ к удельной проводимости γ для всех

металлов при одной и той же температуре одинаково и увеличиваетсяпропорционально температуре

Tβγλ = где

2

3

=

ekβ

Трудности классической теории1 Температурная зависимость сопротивления γ1~~ RTu

следовательно TR ~ что противоречит опытным даннымсогласно которым TR ~

2 Оценка среднего пробега электронов Чтобы получить величиныудельной проводимости γ совпадающие с опытными даннымиследует принимать l в сотни раз больше межатомных расстояний вкристалле

3 Теплоемкость металла складывается из теплоемкостикристаллической решетки и теплоемкости электронного газа Поэтомуудельная (рассчитанная на один моль) теплоемкость металла должнабыть существенно выше теплоемкости диэлектриков у которых нетсвободных электронов что противоречит эксперименту

Все эти трудности снимаются квантовой теорией

3ndash3

Электричество

случае разноименных зарядов и отталкиванию ( 0gtF ) в случае одноименныхзарядов В векторной форме сила действующая на заряд 1q со сторонызаряда 2q

rr

rqqF 122

21

012 4

1 rr

πε=

На заряд 2q со стороны заряда 1q действует сила 1221 FFrr

minus=

0ε mdash электрическая постоянная относящаяся к числу фундаментальныхфизических постоянных

2

212

0 мНКл10858sdot

sdot= minusε или мФ10858 12

0minussdot=ε Тогда

Фм109

41 9

0sdot=

πεгде фарад (Ф) mdash единица электрической емкости (п21)Если взаимодействующие заряды находятся в изотропной среде то

кулоновская сила

221

041

rqqF

επε=

где ε mdash диэлектрическая проницаемость среды mdash безразмернаявеличина показывающая во сколько раз сила взаимодействия F междузарядами в данной среде меньше их силы взаимодействия 0F в вакууме

FF0=ε

Диэлектрическая проницаемость вакуума 1=вакε Подробнее диэлектрикии их свойства будут рассмотрены ниже (п15)

Всякое заряженное тело можно рассматривать как совокупность точечныхзарядов аналогично тому как в механике всякое тело можно считатьсовокупностью материальных точек Поэтому электростатическая сила скоторой одно заряженное тело действует на другое равна геометрическойсумме сил приложенных ко всем точечным зарядам второго тела со стороныкаждого точечного заряда первого тела

Часто бывает значительно удобнее считать что заряды распределены взаряженном теле непрерывно mdash вдоль некоторой линии (например в случаезаряженного тонкого стержня) поверхности (например в случае заряженнойпластины) или объема Соответственно пользуются понятиями линейнойповерхностной и объемной плотностей зарядов

Объемная плотность электрических зарядов dVdq=ρ

где dq mdash заряд малого элемента заряженного тела объемом dV

Поверхностная плотность электрических зарядов dSdq=σ

где dq mdash заряд малого участка заряженной поверхности площадью dS

Линейная плотность электрических зарядов dldq=τ

где dq mdash заряд малого участка заряженной линии длиной dl

3ndash4

АНОгурцов Лекции по физике

3 Напряженность электростатического поляЭлектростатическим полем называется поле создаваемое неподвижными

электрическими зарядамиЭлектростатическое поле описывается двумя величинами потенциалом

(энергетическая скалярная характеристика поля) и напряженностью(силовая векторная характеристика поля)

Напряженность электростатического поля mdash векторнаяфизическая величина определяемая силой действующей наединичный положительный заряд 0q помещенный в данную точкуполя

Единица напряженности электростатического поля mdash ньютон накулон (НКл) 1 НКл=1 Вм где В (вольт) mdash единица потенциалаэлектростатического поля

Напряженность поля точечного заряда в вакууме (и в диэлектрике)

rr

rqErr

204

1πε

=

=

rr

rqErr

204

1επε

где rr mdash радиус-вектор соединяющий данную точку поля с зарядом q

В скалярной форме 204

1rqE

πε=

= 2

041

rqE

επεНаправление вектора E

r совпадает с направлением силы действующей

на положительный зарядЕсли поле создается положительным зарядом то вектор E

r направлен

вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкиваниепробного положительного заряда) Если поле создается отрицательнымзарядом то вектор E

r направлен к заряду (притяжение)

Графически электростатическое поле изобра-жают с помощью линий напряженности mdash линийкасательные к которым в каждой точке совпадают снаправлением вектора E

r (рис(а)) Линиям напря-

женности приписывается направление совпа-дающее с направлением вектора напряженностиТак как в данной точке пространства векторнапряженности имеет лишь одно направление толинии напряженности никогда не пересекаютсяДля однородного поля (когда вектор напря-женности в любой точке постоянен по модулю инаправлению) линии напряженности параллельнывектору напряженности

Если поле создается точечным зарядом то линии напряженности mdashрадиальные прямые выходящие из заряда если он положителен и входящиев него если заряд отрицателен (рис(б))

4 Поток вектора Er

Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не

только направление но и значение напряженности электростатического поляих проводят с определенной густотой число линий напряженности

0q

FEr

r=

3ndash29

Электричество

Электрические токи в металлах вакууме и газах

39 Электрические токи в металлахНосителями электрического тока в металле являются свободные

электроныПри образовании кристаллической решетки электроны внешних оболочек

атомов (валентные электроны) обобществляются и кристалл представляетсобой решетку неподвижных ионов металла между которыми хаотическидвижутся свободные электроны образуя электронный газ обладающийсвойствами идеального газа

Согласно теории ДрудеndashЛоренца электроны обладают той же энергиейтеплового движения что и молекулы одноатомного газа Средняя скоростьтеплового движения электронов

emkTuπ8=

где =k 138middot10ndash23 ДжК mdash постоянная Больцмана=em 911sdot10ndash31 кг mdash масса электрона

T mdash абсолютная (или термодинамическая) температура (в Кельвинах)При комнатной температуре ( =T 300 К) средняя скорость теплового

движения электронов равна =u 11middot105 мс Хаотическое тепловое движениеэлектронов не может привести к возникновению тока

При наложении внешнего электрического поля на металлическийпроводник в дополнение к хаотическому тепловому движению возникаетупорядоченное движение электронов (электрический ток)

Даже при предельно допустимых значениях плотности тока средняяскорость υ упорядоченного движения электронов обуславливающего

электрический ток значительно меньше их скорости теплового движения u

ultltυ

40 Основные законы электрического тока в классической теорииэлектропроводности металлов

Закон ОмаПусть в металлическом проводнике действует поле constE = Под

действием силы eEF = заряд e движется равноускоренно с ускорением

meEa = и к концу свободного пробега приобретает скорость

mteE

=maxυ

Среднее время свободного пробега электронов ul

t = определяется

средней длиной свободного пробега l и средней скоростью движения

электронов относительно кристаллической решетки uu cong+ υ

3ndash28

АНОгурцов Лекции по физике

4) В случае короткого замыкания сопротивление внешней цепи

0внешн =R и сила тока внутрr

I Θ= в этом случае ограничивается только

величиной внутреннего сопротивления источника тока38 Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

Узлом электрической цепи называется любая точка разветвления цепив которой сходится не менее трех проводников с током Ток входящий в узелсчитается положительным а ток выходящий из узла mdash отрицательным

Первое правило Кирхгофа mdash алгебраическая сумма токов сходящихся вузле равна нулю

sum =k

kI 0

Например для узла A на рисунке первое правилоКирхгофа

0654321 =minus++minusminus IIIIIIВторое правило Кирхгофа mdash в любом замкнутом контуре произвольно

выбранном в разветвленной электрической цепи алгебраическая суммапроизведений сил токов iI на сопротивление iRсоответствующих участков этого контура равнаалгебраической сумме ЭДС kΘ встречающихся вэтом контуре

sum sumΘ=i k

kii RI

Например для обхода по часовой стрелкезамкнутого контура ABCDA второе правилоКирхгофа имеет вид

32144332211 Θ+ΘminusΘ=++minus RIRIRIRIПри расчете сложных цепей с применением правил Кирхгофа необходимо

1 Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепидействительное направление токов определяется при решении задачиесли искомый ток получится положительным то его направление быловыбрано правильно а если mdash отрицательным mdash его истинноенаправление противоположно выбранному

2 Выбрать направление обхода контура и строго его придерживатьсяпроизведение IR положительно если ток на данном участке совпадаетс направлением обхода ЭДС действующие по выбранномунаправлению обхода считаются положительными против mdashотрицательными

3 Составить столько уравнений чтобы их число было равно числуискомых величин (в систему уравнений должны входить всесопротивления и ЭДС рассматриваемой цепи) каждыйрассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент несодержащийся в предыдущих контурах чтобы не получалисьуравнения которые являются простой комбинацией уже составленныхуравнений

3ndash5

Электричество

пронизывающих единицу площади поверхностиперпендикулярную линиям напряженности должно бытьравно модулю вектора E

r

Тогда число линий напряженности пронизывающихэлементарную площадку dS равно dSEdSE n=sdot αcos

где nE mdash проекция вектора Er

на нормаль nr к площадкеdS (Вектор nr mdash единичный вектор перпендикулярныйплощадке dS ) Величина

dSEdSEdSEdSEd nE

r==sdot=sdot=Φ perp αcos

называется потоком вектора напряженности черезплощадку dS Здесь ndSdS r= mdash вектор модуль которо-го равен dS а направление вектора совпадает с направлением nr к площадке

Поток вектора Er

сквозь произвольную замкнутую поверхность S

intint ==ΦSS

nE dSEdSEr

5 Принцип суперпозиции электростатических полейК кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип

независимости действия сил mdash результирующая сила действующая состороны поля на пробный заряд равна векторной сумме сил приложенных кнему со стороны каждого из зарядов создающих электростатическое поле

Напряженность результирующего поля создаваемого системой зарядовтакже равна геометрической сумме напряженностей полейсоздаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности

Эта формула выражает принцип суперпозиции(наложения) электростатических полей Он позволяетрассчитать электростатические поля любой системы неподвижных зарядовпредставив ее в виде совокупности точечных зарядов

Напомним правило определения величины вектора cr

суммы двух векторов ar и br

βα cos2cos2 2222 abbaabbac minus+=++=r

6 Теорема ГауссаВычисление напряженности поля системы электрических зарядов с

помощью принципа суперпозиции электростатических полей можнозначительно упростить используя теорему Гаусса определяющую потоквектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутуюповерхность

Рассмотрим поток вектора напряженности через сферическую поверхностьрадиуса r охватывающую точечный заряд q находящийся в ее центре

0

22

0

44 ε

ππε

qrr

qdSES

nE ===Φ intЭтот результат справедлив для любой замкнутой поверхности

произвольной формы охватывающей заряд

sum=

=n

iiEE

1

rr

ar crαβ

br

3ndash6

АНОгурцов Лекции по физике

Если замкнутая поверхность не охватывает заряда то поток сквозь нееравен нулю так как число линий напряженности входящих в поверхностьравно числу линий напряженности выходящих из нее

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности окружающей nзарядов Согласно принципу суперпозиции напряженность поля E

r

создаваемого всеми зарядами равна сумме напряженностей iEr

создаваемыхкаждым зарядом в отдельности Поэтому

sum sumsumintint sumint= ===

===sdot

==Φ

n

i

n

ii

in

i Si

S

n

ii

SnE q

qdSEdSEdSE

1 10011

1εε

rr

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме потоквектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности зарядов деленных на 0ε

Если заряд распределен в пространстве с объемной плотностьюdVdq =ρ то теорема Гаусса

intint ==ΦVS

nE dVdSE ρε0

1

7 Циркуляция вектора напряженностиЕсли в электростатическом поле точечного заряда q

из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траекторииперемещается другой точечный заряд 0q то силаприложенная к заряду совершает работу Работа силы наэлементарном перемещении dl равна

drr

qqdlr

qqFdldlFdA 20

020

0 41cos

41cos

πεα

πεα ====

r

Работа при перемещении заряда 0q из точки 1 в точку 2

intint

minus===

2

1

2

1 2

0

1

0

02

0

012 4

14

r

r

r

r rqq

rqq

rdrqqdAA

πεπεРабота 12A не зависит от траектории перемещения а определяется толькоположениями начальной и конечной точек Следовательно электростатическоеполе точечного заряда является потенциальным а электростатические силыmdash консервативными

Таким образом работа перемещения заряда в электростатическом полепо любому замкнутому контуру L равна нулю

0=intL

dA

Если переносимый заряд единичный то элемен-тарная работа сил поля на пути dl равна dlEdlE l=

r

где αcosEEl = mdash проекция вектора Er

на направление

элементарного перемещения dl

3ndash27

Электричество

Используя дифференциальную форму закона Ома Ej γ= и определение

γρ 1= получим закон ДжоуляndashЛенца в дифференциальной форме

2jEEw == γТепловое действие электрического тока используется в осветительных

лампах накаливания электросварке электронагревательных приборах и тд37 Закон Ома для неоднородного участка цепи

Рассмотрим неоднородный участок цепи 1mdash2 на котором присутствуютсилы неэлектрического происхождения (сторонние силы)

Обозначим через 12Θ mdash ЭДС на участке 1mdash2 21 ϕϕϕ minus=∆ mdashприложенную на концах участка разность потенциалов

Если участок цепи 1mdash2 неподвижен то (по закону сохранения энергии)общая работа 12A сторонних и электростатических сил совершаемая надносителями тока равна теплоте Q выделяющейся на участке

Работа сил совершаемая при перемещении заряда 0q ϕ∆+Θ= 012012 qqA

ЭДС 12Θ как и сила тока I mdash величина скалярная Если ЭДСспособствует движению положительных зарядов в выбранном направлении то

012 gtΘ если препятствует то 012 ltΘ

За время t в проводнике выделится теплота 02 )( IRqItIRRtIQ ===

Отсюда следует закон Ома для неоднородного участка цепи винтегральной форме который является обобщенным законом Ома

1221 Θ+minus= ϕϕIR

или R

I 1221 Θ+minus= ϕϕ

Частные случаи1) Если на данном участке цепи источник тока отсутствует то мы

получаем закон Ома для однородного участка цепи

RUI =

2) Если цепь замкнута ( 0=∆ϕ ) то получаем закон Ома длязамкнутой цепи

внешвнутр RrRI

+Θ=Θ=

где minusΘ ЭДС действующая в цепиminusR суммарное сопротивление всей цепи

minusвнешR сопротивление внешней цепиminusвнутрr внутреннее сопротивление источника тока

3) Если цепь разомкнута то 0=I и 1212 ϕϕ minus=Θ те ЭДСдействующая в разомкнутой цепи равна разности потенциалов наее концах

3ndash26

АНОгурцов Лекции по физике

Рассмотрим однородный проводник с сопротивлением R к концамкоторого приложено напряжение U За время dt через сечение проводникапереносится заряд Idtdq = Работа по перемещению заряда 0q между двумяточками поля равна

ϕ∆= 012 qA откуда dtR

URdtIUIdtUdqdA2

2 ====

Мощность тока

RURIUI

dtdAP

22 ====

Если размерности [ ]=I А [ ]=U В [ ]=R Ом то [ ]=A Дж и [ ]=P ВтВнесистемные единицы работы тока ватт-час (Втmiddotч) и киловатт-час

(кВтmiddotч) 1 Втmiddotч mdash работа тока мощностью 1 Вт в течении 1 ч 1 Втmiddotч=3600Втmiddotс=36middot103 Дж Аналогично 1 кВтmiddotч=1000 Втmiddotч=36middot106 Дж36 Закон ДжоуляndashЛенца

При прохождении тока по проводнику происходит рассеяние энергиивследствие столкновений носителей тока между собой и с любыми другимичастицами среды Если ток проходит по неподвижному проводнику то всяработа тока dA идет на нагревание проводника (выделение теплоты dQ )

По закону сохранения энергии dQdA =

dtR

URdtIIUdtdQ2

2 ===

Количество теплоты Q выделяющееся за конечный промежуток времениот 0 до t постоянным током I во всем объеме проводника электрическоесопротивление которого равно R получаем интегрируя предыдущеевыражение

tRIRdtIQt

2

0

2 == intЗакон ДжоуляndashЛенца (в интегральной форме) количество теплоты

выделяемое постоянным электрическим током на участке цепи равнопроизведению квадрата силы тока на время его прохождения иэлектрическое сопротивление этого участка цепи

Выделим в проводнике цилиндрический объем dSdLdV = (ось цилиндра

совпадает с направлением тока) Сопротивление этого объема dSdlR ρ= По

закону ДжоуляndashЛенца за время dt в этом объеме выделится теплота

( ) dVdtjdtjdSdSdlRdtIdQ 222 ρρ ===

Удельной тепловой мощностью тока w называется количествотеплоты выделяющееся за единицу времени в единице объема

2jdVdtdQw ρ==

3ndash7

Электричество

Интеграл int int=L L

l dlEdlEr

называется циркуляцией вектора

напряженности по заданному замкнутому контуру L Теорема о циркуляции вектора E

r

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдольлюбого замкнутого контура равна нулю

0==int intL L

l dlEdlEr

Силовое поле обладающее таким свойством называетсяпотенциальным Эта формула справедлива только для электрическогополя неподвижных зарядов (электростатического)8 Потенциальная энергия заряда

В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работаконсервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии

Поэтому работу 12A можно представить как разность потенциальныхэнергий заряда 0q в начальной и конечной точках поля заряда q

212

0

01

0

012 4

14

1 WWr

qqr

qqA minus=minus=πεπε

Потенциальная энергия заряда 0q находящегося в поле заряда q нарасстоянии r от него равна

constr

qqW += 0

041πε

Считая что при удалении заряда на бесконечность потенциальнаяэнергия обращается в нуль получаем 0=const

Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия(отталкивания) положительна для разноименных зарядов потенциальнаяэнергия из взаимодействия (притяжения) отрицательна

Если поле создается системой n точечных зарядов то потенциальнаяэнергия заряда 0q находящегося в этом поле равна сумме его потенциальныхэнергий создаваемых каждым из зарядов в отдельности

sum sum= =

==n

i

n

i ii r

qqUW1 1 0

0 4πε9 Потенциал электростатического поля

Отношение 0q

W не зависит от пробного заряда 0q и является

энергетической характеристикой поля называемой потенциалом

0qW=ϕ

Потенциал ϕ в какой-либо точке электростатического поля естьскалярная физическая величина определяемая потенциальной энергиейединичного положительного заряда помещенного в эту точку

3ndash8

АНОгурцов Лекции по физике

Например потенциал поля создаваемого точечным зарядом q равен

rq

041πε

ϕ =

10 Разность потенциаловРабота совершаемая силами электростатического поля при перемещении

заряда 0q из точки 1 в точку 2 может быть представлена какϕϕϕ ∆=minus=minus= 02102112 )( qqWWA

то есть равна произведению перемещаемого заряда на разностьпотенциалов в начальной и конечной точках

Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом полеопределяется работой совершаемой силами поля при перемещенииединичного положительного заряда из точки 1 в точку 2

0

1221 q

A=∆=minus ϕϕϕ

Пользуясь определением напряженности электростатического поляможем записать работу 12A в виде

int int int===2

1

2

1

2

10012 dlEqdlEqdlFA

rrr

Отсюда

intint ===∆=minus2

1

2

10

1221 dlEdlE

qA

l

rϕϕϕ

где интегрирование можно производить вдоль любой линии соединяющейначальную и конечную точки так как работа сил электростатического поля независит от траектории перемещения

Если перемещать заряд 0q из произвольной точки за пределы поля(на бесконечность) где потенциальная энергия а значит и потенциал равнынулю то работа сил электростатического поля ϕ0qA =infin откуда

0qAinfin=ϕ

Таким образом еще одно определение потенциала потенциал mdashфизическая величина определяемая работой по перемещению единичногоположительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность

Единица потенциала ndash вольт (В) 1В есть потенциал такой точки поля вкоторой заряд в 1Кл обладает потенциальной энергией 1Дж (1В=1Дж1Кл)

Принцип суперпозиции потенциалов электростатических полейЕсли поле создается несколькими зарядами то потенциал поля системызарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов11 Связь между напряженностью и потенциалом

Для потенциального поля между потенциальной (консервативной) силой ипотенциальной энергией существует связь

WWF minusnabla=minus= gradr

3ndash25

Электричество

В проводнике El

U = mdash напряженность электрического поля SlR ρ=

SIj =

Из закона Ома получим соотношение l

USI

ρ1= откуда Ej γ=

В векторной форме соотношениеEjrr

γ=называется законом Ома в дифференциальной форме Этот закон

связывает плотность тока в любой точке внутри проводника снапряженностью электрического поля в той же точке33 Сопротивление соединения проводников(1) Последовательное соединение n про-

водников IIII n ==== K21

sum sumsum= ==

====n

i

n

iiii

n

ii RIRIUUIR

1 11

sum=

=n

iiRR

1

(2) Параллельное соединение n провод-ников UUUU n ==== K21

sumsumsum===

====n

i i

n

i i

in

ii R

URUII

RU

111

1

sum=

=n

i iRR 1

11

34 Температурная зависимость сопротивленияОпытным путем было установлено что для большинства случаев

изменение удельного сопротивления (а значит и сопротивления) стемпературой описывается линейным законом

( )tαρρ += 10 или ( )tRR α+= 10

где ρ и 0ρ R и 0R mdash соответственно удельные сопротивления исопротивления проводника при температурах t и deg0 С (шкала Цельсия) α mdashтемпературный коэффициент сопротивления

На зависимости электрического сопротивления металлов от температурыосновано действие термометров сопротивления

Сопротивление многих металлов при очень низких температурах kT (014ndash20 К (шкала Кельвина)) называемых критическими характерных для каждоговещества скачкообразно уменьшается до нуля и металл становитсяабсолютным проводником Это явление называется сверхпроводимостью35 Работа и мощность тока

Кулоновские и сторонние силы при перемещении заряда q вдольэлектрической цепи совершают работу A

3ndash24

АНОгурцов Лекции по физике

Если на заряд 0q действуют как сторонние силы так и силыэлектростатического поля то результирующая сила

( )EEqFFF e

rrrrr+=+= стор0стор

Работа результирующей силы по перемещению заряда 0q на участке 1mdash2

( )intint minus+Θ=+=2

12101200

2

1стор012 ϕϕqqdlEqdlEqA

rr

Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю поэтомуΘ= 0qA

Напряжением U на участке 1mdash2 называется физическая величиначисленно равная суммарной работе совершаемой электростатическими исторонними силами по перемещению единичного положительного заряда наданном участке цепи

12210

1212 Θ+minus== ϕϕ

qAU

Понятие напряжения является обобщением понятия разностипотенциалов напряжение на концах участка цепи равно разностипотенциалов если участок не содержит источника тока (те на участке недействует ЭДС сторонние силы отсутствуют)32 Закон Ома Электрическое сопротивление

Закон Ома для однородного участка цепи (не содержащегоисточника тока) сила тока текущего по однородномуметаллическому проводнику пропорциональна напряжению наконце проводника (интегральная форма закона Ома)

Коэффициент пропорциональности R называется электрическим сопро-тивлением проводника

Единица электрического сопротивления mdash ом (Ом) 1 Ом mdash сопро-тивление такого проводника в котором при напряжении 1В течет постоянныйток 1А

Величина R

G 1= называется электрической проводимостью проводника

Единица электрической проводимости mdash сименс (См) 1 См mdashпроводимость участка электрической цепи сопротивлением 1 Ом

Сопротивление проводника зависит от его размеров и формы а также отматериала из которого проводник изготовлен Например дляоднородного линейного проводника длиной l и площадьюпоперечного сечения S сопротивление рассчитывается по формуле

где коэффициент пропорциональности ρ характеризующий материалпроводника называется удельным электрическим сопротивлением

Единица удельного электрического сопротивления mdash ом-метр(Омм)

Величина обратная удельному сопротивлению называетсяудельной электрической проводимостью вещества проводника

Единица удельной электрической проводимости mdash сименсна метр (Смм)

RUI =

SlR ρ=

ρ

γ 1=

3ndash9

Электричество

где nabla (набла) mdash оператор Гамильтона kz

jy

ix

rrr

partpart+

partpart+

partpart=nabla

Поскольку EqFrr

= и ϕqW = то

ϕϕ minusnabla=minus= gradEr

Знак минус показывает что вектор Er

направлен в сторону убыванияпотенциала12 Эквипотенциальные поверхности

Для графического изображения распределения потенциала используютсяэквипотенциальные поверхности mdash поверхности во всех точках которыхпотенциал имеет одно и то же значение

Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так чтобы разностипотенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностямибыли одинаковы Тогда густота эквипотенциальных поверхностей нагляднохарактеризует напряженность поля в разных точках Там где эти поверхностирасположены гуще напряженность поля больше На рисунке пунктиромизображены силовые линии сплошными линиями mdash сеченияэквипотенциальных поверхностей для положительного точечного заряда (а)диполя (б) двух одноименных зарядов (в) заряженного металлическогопроводника сложной конфигурации (г)

Для точечного заряда потенциал rq

041πε

ϕ = поэтому эквипотенциальные

поверхности mdash концентрические сферы С другой стороны линиинапряженности mdash радиальные прямые Следовательно линии напряженностиперпендикулярны эквипотенциальным поверхностям

Можно показать что во всех случаях1) вектор E

r перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и

2) всегда направлен в сторону убывания потенциала13 Примеры расчета наиболее важных симметричных электростатических

полей в вакууме1 Электростатическое поле электрического диполя в вакууме

Электрическим диполем (или двойным электрическим полюсом)называется система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов( qq minus+ ) расстояние l между которыми значительно меньше расстояния дорассматриваемых точек поля )( rl ltlt

Плечо диполя lr

mdash вектор направленный по оси диполя ототрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними

3ndash10

АНОгурцов Лекции по физике

Электрический момент диполя epr mdash вектор совпада-ющий по направлению с плечом диполя и равный произведениюмодуля заряда q на плечо l

r1) Напряженность поля диполя на продолжении

оси диполя в точке Аminus+minus+ +=minus= ϕϕϕEEEA

Пусть r mdash расстояние до точки А от серединыоси диполя Тогда учитывая что lr gtgt

30

30

20

20

24

1

24

1

24

1

24

1

rp

rql

lr

qlr

qE

e

A

πε

πεπεπε

=

==

+

minus

minus

=

20

200 4

14

1224

1rp

rql

lrq

lrq e

A πεπεπεϕ ==

+minus

minus=

2) Напряженность поля в точке B на перпендикуляре восстановленном коси диполя из его середины при lr gtgt

( ) ( ) ( )

41

241

20

220 r

lEE

rq

lrqEE B asympasymp+

==+

minus+ πεπε поэтому

30

30 )(4

1)(4

1

)(rp

rql

rlEE e

B πεπε=== +

0=BϕТочка В равноудалена от зарядов q+ и qminus

диполя поэтому потенциал поля в точке В равеннулю Вектор BE

r направлен противоположно

вектору lr

3) Во внешнем электрическом поле на концы

диполя действует пара сил которая стремитсяповернуть диполь таким образом чтобыэлектрический момент epr диполя развернулся

вдоль направления поля Er

(рис(а))Во внешнем однородном поле момент пары

сил равен αsinqElM = или ][ EpM e

rrr= Во внешнем неоднородном поле

(рис(в)) силы действующие на концы диполя неодинаковы ( )12 FFrr

gt и ихрезультирующая стремится передвинуть диполь в область поля с большейнапряженностью mdash диполь втягивается в область более сильного поля2 Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностьюdSdq=+σ Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой

плоскости и направлены от нее в обе стороны

lqpe

rr =

3ndash23

Электричество

цепи выравниваются и электростатическое поле исчезаетДля существования постоянного тока необходимо наличие в цепи

устройства способного создавать и поддерживать разность потенциаловза счет сил не электростатического происхождения

Такие устройства называются источниками токаСилы не электростатического происхождения действующие на заряды со

стороны источников тока называются стороннимиКоличественная характеристика сторонних сил mdash поле сторонних сил и

его напряженность сторEr

определяемая сторонней силой действующей наединичный положительный заряд

Природа сторонних сил может быть различной Например вгальванических элементах они возникают за счет энергии химических реакциймежду электродами и электролитами в генераторе mdash за счет механическойэнергии вращения ротора генератора в солнечных батареях mdash за счет энергиифотонов и тп Роль источника тока в электрической цепи такая же как рольнасоса который необходим для поддержания тока жидкости в гидравлическойсистеме

Под действием создаваемого поля сторонних сил электрические зарядыдвижутся внутри источника тока против сил электростатического поляблагодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепитечет постоянный электрический ток31 Электродвижущая сила и напряжение

Физическая величина определяемая работой которую совершаютсторонние силы при перемещении единичного положительного заряданазывается электродвижущей силой (ЭДС) действующей в цепи

0qA=Θ

Эта работа совершается за счет энергии затрачиваемой в источнике токапоэтому величину Θ можно назвать электродвижущей силой источника токавключенного в цепь ЭДС как и потенциал выражается в вольтах

Участок цепи на котором не действуют сторонние силы называетсяоднородным Участок на котором на носители тока действуют сторонние силыназывается неоднородным

Работа сторонних сил по перемещению заряда 0q на замкнутом участкецепи

int int== dlEqdlFA стор0стор

rr

Отсюда ЭДС действующая в замкнутой цепи mdash это циркуляция векторанапряженности поля сторонних сил

dlEint=Θ стор

r

Следовательно для поля сторонних сил циркуляция его напряженности позамкнутому контуру не равна нулю Поэтому поле сторонних сил mdashнепотенциально

ЭДС действующая на участке 1ndash2 цепи равна

dlEint=Θ2

1стор12

r

3ndash22

АНОгурцов Лекции по физике

скалярная физическая величина равная отношению заряда dq переносимогосквозь рассматриваемую поверхность за малый промежуток времени квеличине dt этого промежутка

dtdqI =

Электрический ток называется постоянным если сила тока и егонаправление не изменяются с течением времени

Для постоянного тока tqI =

где q mdash электрический заряд проходящий за время t через поперечноесечение проводника

Единица силы тока mdash ампер (А) (см Механика стр 1-2)Для характеристики направления электрического тока в разных точках

рассматриваемой поверхности и распределения силы тока по этой поверхностислужит вектор плотности тока j

r Сила тока сквозь произвольную

поверхность S определяется как поток вектора плотности тока

int=S

dSjIr

где dSndS r= ( nr ndash единичный вектор нормали (орт) к площадке dS )Плотностью электрического тока называется вектор j

r совпа-

дающий с направлением электрического тока в рассматриваемой точке ичисленно равный отношению силы тока dI сквозь малый элемент поверхностиортогональной направлению тока к площади perpdS этого элемента

perp=

dSdIj

Для постоянного тока I текущего перпендикулярно сечению S

проводника SIj =

Если за время dt через поперечное сечение S проводника переноситсязаряд dtSnedq υ= (где n e и υ mdash концентрация заряд и средняя

скорость упорядоченного движения зарядов) то сила тока SneI dtdq υ== а

плотность токаυr

rnej =

Единица плотности тока mdash Ам230 Сторонние силы

Для возникновения и существования электрического тока необходимо1) наличие свободных носителей тока mdash заряженных частиц способ-

ных перемещаться упорядоченно2) наличие электрического поля энергия которого должна каким-то

образом восполнятьсяЕсли в цепи действуют только силы электростатического поля то

происходит перемещение носителей таким образом что потенциалы всех точек

3ndash11

Электричество

В качестве Гауссовой поверхности примемповерхность цилиндра образующие которогоперпендикулярны заряженной плоскости аоснования параллельны заряженной плоскости илежат по разные стороны от нее на одинаковыхрасстояниях

Так как образующие цилиндра параллельнылиниям напряженности то поток векторанапряженности через боковую поверхностьцилиндра равен нулю а полный поток сквозь цилиндр равен суммепотоков сквозь его основания ES2 Заряд заключенный внутрицилиндра равен Sσ По теореме Гаусса 02 εσSES = откуда

E не зависит от длины цилиндра те напряженность поля на любыхрасстояниях одинакова по модулю Такое поле называется однородным

Разность потенциалов между точками лежащими на расстояниях 1x и 2xот плоскости равна

intint minus===minus2

1

2

1

)(22 12

0021

x

x

x

x

xxdxEdxεσ

εσϕϕ

3 Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженныхплоскостей с равными по абсолютному значению поверхностнымиплотностями зарядов 0gtσ и σminus

Из предыдущего примера следует что векторы напряженности 1Er

и 2Er

первой и второй плоскостей равны по модулю и всюду направленыперпендикулярно плоскостям Поэтому в пространстве вне плоскостей оникомпенсируют друг друга а в пространстве между плоскостями суммарнаянапряженность 12EE

rr= Поэтому между плоскостями

0εσ=E (в диэлектрике

0εεσ=E )

Поле между плоскостями однородное Разность потенциалов междуплоскостями

00 0021 ε

σεσϕϕ ddxEdx

dd

===minus intint (в диэлектрике 0εε

σϕ d=∆ )

4 Поле равномерно заряженной сферической поверхностиСферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена

равномерно с поверхностной плотностью 24 Rqπ

σ =

02ε

σ=E

3ndash12

АНОгурцов Лекции по физике

Поскольку система зарядов и следовательносамо поле центрально-симметрично относительноцентра сферы то линии напряженности направленырадиальноВ качестве Гауссовой поверхности выберем сферурадиуса r имеющую общий центр с заряженнойсферой Если Rr gt то внутрь поверхностипопадает весь заряд q По теореме Гаусса

0

24ε

π qEr = откуда ( )Rrr

RrqE ge==

41

20

2

20 ε

σπε

При Rr le замкнутая поверхность не содержитвнутри зарядов поэтому внутри равномернозаряженной сферы 0=E

Разность потенциалов между двумя точкамилежащими на расстояниях 1r и 2r от центра сферы( RrRr gtgt 21 ) равна

int int

minus===minus

2

1

2

1 2102

021

1144

1r

r

r

r rrqdr

rqEdr

πεπεϕϕ

Если принять rr =1 и infin=2r то потенциал поля вне сферической

поверхности rq

041πε

ϕ =

Вне заряженной сферы поле такое же как поле точечного заряда q находящегося в центре сферы Внутри заряженной сферы поля нет поэтомупотенциал всюду одинаков и такой же как на поверхности

004 εσ

πεϕ R

Rq ==

5 Поле объемно заряженного шараЗаряд q равномерно распределен в вакууме по

объему шара радиуса R с объемной плотностью

33

4 Rq

Vq

πρ == Центр шара является центром

симметрии поля1) Для поля вне шара )( Rr gt получаем тот же

результат что и в случае сферической поверхности

204

1rqE

πε=

rq

04πεϕ =

minus=minus

21021

114 rr

qπε

ϕϕ

2) При Rr = 0

2

002

0 34

341

ερ

πεϕ

ερ

πεR

rqR

RqE ====

3) Внутри шара сфера радиусом Rr lt охватывает заряд ρπ 3

34 rq =

3ndash21

Электричество

Интегрирование проводится по всем заряженным поверхностям S и по всемузаряженному объему V тел системы

На примере поля плоского конденсатора выразим энергию поля через егонапряженность Для конденсатора dSC 0εε= и Ed=∆ϕ Отсюда

VESdEW 20

20 2

121 εεεε ==

В однородном поле конденсатора его энергия распределена равномернопо всему объему поля SdV =

Объемная плотность энергии электростатического поля плоскогоконденсатора w

EDEVWw

21

21 2

0 === εε

где ED 0εε= mdash электрическое смещениеЭта формула является отражением того факта что электростатическая

энергия сосредоточена в электростатическом поле Это выражениесправедливо также и для неоднородных полей28 Пондеромоторные силы

Механические силы действующие на заряженные тела помещенные вэлектромагнитное поле называются пондеромоторными силами (от латинскихслов ponderis mdash тяжесть и motor mdash движущий)

Например в плоском конденсаторе сила с которой пластиныконденсатора притягивают друг друга совершает работу за счет уменьшения

потенциальной энергии системы С учетом Sq=σ и

0εεσ=E получаем

SESS

qdx

dWF 20

0

2

0

2

21

22εε

εεσ

εεminus=minus=minus=minus=

где знак минус указывает на то что эта сила является силой притяженияПод действием этой силы обкладки конденсатора сжимают пластинудиэлектрика помещенного между ними и в диэлектрике возникает давление

20

0

2

21

2E

SFp εε

εεσ ===

Постоянный электрический ток

29 Постоянный электрический ток сила и плотность токаЭлектродинамика mdash раздел учения об электричестве в котором

рассматриваются явления и процессы обусловленные движениемэлектрических зарядов

Электрическим током называется упорядоченное движениеэлектрических зарядов

За направление тока принимают направление движения положительныхзарядов

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I mdash

3ndash20

АНОгурцов Лекции по физике

неподвижных точечных зарядов равна

sum=

=n

iiiqW

121 ϕ

где iϕ mdash потенциал создаваемый в той точке где находится заряд iq всеми зарядами кроме i -го25 Энергия заряженного уединенного проводника

Рассмотрим уединенный проводник заряд емкость и потенциал которогоравны ϕCq Элементарная работа dA совершаемая внешними силами попреодолению кулоновских сил отталкивания при перенесении заряда dq избесконечности на проводник равна ϕϕϕ dCdqdA == Чтобы зарядитьпроводник от нулевого потенциала до ϕ необходимо совершить работу

int ==ϕ ϕϕϕ0

2

2CdCA

Энергия заряженного уединенного проводника (используя ϕqC = )

222

22 ϕϕ qC

qCW ===

26 Энергия заряженного конденсатораЭлементарная работа внешних сил по перенесению малого заряда dq с

обкладки 2 конденсатора на обкладку 1

CqdqdqdA =∆= ϕ

Работа внешних сил при увеличении заряда конденсатора от 0 до q

int ==q

Cq

CqdqA

0

2

2

Энергия заряженного конденсатора (используя ϕ∆

= qC )

( )222

221

2 ϕϕϕ ∆=minus== qCC

qW

27 Энергия электростатического поляВ общем случае электрическую энергию любой системы

заряженных неподвижных тел mdash проводников и непроводников mdash можнонайти по формуле

intint +=VS

dVdSW ϕρϕσ21

21

где σ и ρ mdash поверхностная и объемная плотности свободных зарядов ϕ mdashпотенциал результирующего поля всех свободных и связанных зарядов вточках малых элементов dS и dV заряженных поверхностей и объемов

3ndash13

Электричество

По теореме Гаусса 0

3

0

2

344ερπ

επ rqEr ==

Отсюда для точек лежащих внутри шара ( )RrRr ltlt 21 с учетом 33

4 Rqπ

ρ =

03

0 34 ερ

πεr

RqrE == int minus==minus

2

1

)(8

21

223

021

r

r

rrR

qEdrπε

ϕϕ

6 Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен

равномерно с линейной плотностью dldq=τ

Линии напряженности будут направлены порадиусам круговых сечений цилиндра содинаковой густотой во все стороныотносительно оси цилиндра

В качестве Гауссовой поверхностивыберем цилиндр радиуса r и высотой lкоаксиальный с заряженной нитью

Торцы этого цилиндра параллельнылиниям напряженности поэтому поток черезних равен нулю

Поток через боковую поверхность равенrlE π2

По теореме Гаусса (при Rr gt ) 0

2ετπ lrlE = откуда при RrRr gtgt 21

rE τ

πε021=

1

2

0021 ln

22

2

1

2

1rr

rdrEdr

r

r

r

r πετ

πετϕϕ int int ===minus

Если Rr lt то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержитпоэтому 0=E 14 Электростатическое поле в диэлектрической среде

Диэлектриками называются вещества которые при обычных условияхпрактически не проводят электрический ток

Диэлектрик как и всякое другое вещество состоит из атомов или молекулкаждая из которых в целом электрически нейтральна

Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядомq+ находящимся в так сказать центре тяжести положительных зарядов а

заряд всех электронов mdash суммарным отрицательным зарядом qminus находя-щимся в центре тяжести отрицательных зарядов то молекулы можнорассматривать как электрические диполи с электрическим моментом

Различают три типа диэлектриков1) Диэлектрики с неполярными молекулами симметричные молекулы

которых в отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент(например N2 H2 O2 CO2)

3ndash14

АНОгурцов Лекции по физике

2) Диэлектрики с полярными молекулами молекулы которыхвследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (например H2ONH3 SO2 CO)

3) Ионные диэлектрики (например NaCl KCl) Ионные кристаллыпредставляют собой пространственные решетки с правильным чередованиемионов разных знаков

Внесение диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит квозникновению отличного от нуля результирующего электрического моментадиэлектрика

Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей илипоявления под воздействием электрического поля ориентированных по полюдиполей

Соответственно трем видам диэлектриков различают три видаполяризации

1) Электронная или деформационная поляризация диэлектрика снеполярными молекулами mdash за счет деформации электронных орбит возникает

индуцированный дипольный момент у атомов илимолекул диэлектрика

2) Ориентационная или дипольная по-ляризация диэлектрика с полярными молеку-лами mdash ориента-ция имеющихся

дипольных моментов молекул по полю (этаориентация тем сильнее чем больше напря-женность электрического поля и чем нижетемпература)

3) Ионная поляризация диэлектрика сионными кристаллическими решетками mdash смещение подрешеткиположительных ионов вдоль поля а отрицательных ионов против поляприводит к возникновению дипольных моментов15 Поляризованность

Поместим пластину из однородного диэлектрика во внешнееэлектрическое поле созданное двумя бесконечными параллельнымиразноименно заряженными плоскостями

Во внешнем электрическом поле диэлектрик объемом V поляризуетсяте приобретает дипольный момент sum=

iiV pp rr где minusipr дипольный момент

одной молекулыДля количественного описания поляризации диэлектрика используется

векторная величина mdash поляризованность mdash которая определяется какдипольный момент единицы объема диэлектрика

Vp

VpP i iV sum==

rrr

В случае изотропного диэлектрика поляризованность (для большинствадиэлектриков за исключением сегнетоэлектриков) линейно зависит отнапряженности внешнего поля

EPrr

0χε=

3ndash19

Электричество

1 Емкость плоского конденсатора (две параллельные металлическиепластины площадью S каждая расположенные на расстоянии d друг от

друга (Sq=σ ))

dS

dqqC εε

εεσϕ

0

0

==∆

=

2 Емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндрадлиной l с радиусами 1r и 2r )( lq=τ )

1

2

0

1

2

0ln

2

ln2 r

rl

rr

lq

qC επε

επε

==

3 Емкость сферического конденсатора (две концентрических сферы срадиусами 1r и 2r )

12

210

210

411

4rr

rr

rrq

qCminus

=

minus

= επε

επε

23 Соединения конденсаторовУ параллельно соединенных конденсаторов nCCC K21 разность

потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова ϕ∆ Полная емкость

sumsumsum

=

== =∆

∆=

∆=

∆=

n

ii

n

ii

n

ii

CCq

qC1

11

ϕ

ϕ

ϕϕ

У последовательно соединенных кон-денсаторов nCCC K21 заряды q всехобкладок равны по модулю а суммарнаяразность потенциалов

Cq

Cqn

i i

n

ii ==∆=∆ sumsum

== 11ϕϕ

откуда

sum=

=n

i iCC 1

11

24 Энергия системы неподвижных точечных зарядовДля системы двух зарядов 1q и 2q находящихся на расстоянии r друг от

друга каждый из них в поле другого обладает потенциальной энергией

22121

02

2

011211 4

14

1 Wqrqq

rqqqW ===== ϕ

πεπεϕ

Поэтому )( 21212121

212121 ϕϕϕϕ qqqqW +=== Добавляя последова-тельно по одному заряду получим что энергия взаимодействия системы n

3ndash18

АНОгурцов Лекции по физике

εεσ0

=E где σ mdash поверхностная плотность зарядов и ε mdash диэлектрическая

проницаемость среды окружающей проводникНейтральный проводник внесенный в электростатическое поле

разрывает часть линий напряженности они заканчиваются на отрицательныхиндуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных

Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхностипроводника Явление перераспределения поверхностных зарядов напроводнике во внешнем электростатическом поле называетсяэлектростатической индукцией21 Электроемкость

Рассмотрим уединенный проводник mdash проводник удаленный от другихтел и зарядов Из опыта следует что разные проводники будучи одинаковозаряженными имеют разные потенциалы

Физическая величина C равная отношению заряда проводника q к егопотенциалу ϕ называется электрической емкостью этого проводника

ϕqC =

Электроемкость уединенного проводника численно равна зарядукоторый нужно сообщить этому проводнику для того чтобы изменить егопотенциал на единицу

Она зависит от формы и размеров проводника и от диэлектрическихсвойств окружающей среды Емкости геометрически подобных проводниковпропорциональны их линейным размерам

Пример емкость уединенного проводящего шара RqC 04πεϕ==

Единица электроемкости mdash фарад (Ф) 1Ф mdash емкость такогоуединенного проводника потенциал которого изменяется на 1В при сообщенииему заряда 1Кл Емкостью 1Ф обладает шар с радиусом 6109 sdot=R км ЕмкостьЗемли 07мФ22 Конденсаторы

Если к проводнику с зарядом q приблизить другие тела то на ихповерхности возникнут индуцированные (на проводнике) или связанные (надиэлектрике) заряды Эти заряды ослабляют поле создаваемое зарядом q тем самым понижая потенциал проводника и повышая его электроемкость

Конденсатор mdash это система из двух проводников (обкладок) содинаковыми по модулю но противоположными по знаку зарядами форма ирасположение которых таковы что поле сосредоточено в узком зазоре междуобкладками

Емкость конденсатора mdash физическая величина равная отношениюзаряда q накопленного в конденсаторе к разности потенциалов 21 ϕϕ minus междуего обкладками

ϕ∆= qC

3ndash15

Электричество

где minusχ диэлектрическая восприимчивость вещества характеризующаясвойства диэлектрика (положительная безразмерная величина)16 Диэлектрическая проницаемость среды

Вследствие поляризации на поверхностидиэлектрика появляются нескомпенсированныезаряды которые называются связанными (в отличиеот свободных зарядов которые создают внешнееполе)

Поле Er

внутри диэлектрика создаваемоесвязанными зарядами направлено против внешнегополя 0E

r создаваемого свободными зарядами

Результирующее поле внутри диэлектрика0 EEE minus=

В нашем примере поле создаваемое двумябесконечно заряженными плоскостями с поверхностнойплотностью зарядов σ 0 εσ=E Поэтому

00 εσminus= EEПолный дипольный момент диэлектрической

пластинки с толщиной d и площадью грани S PSdPVpV == с другойстороны SdqdpV σ== Отсюда P=σ

EEEEPEEE χε

χεεε

σ minus=minus=minus=minus= 00

00

00

00

Откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

εχ00

1EEE =

+=

Безразмерная величина EE01 =+= χε называется диэлектрической

проницаемостью среды Она характеризует способность диэлектриковполяризоваться в электрическом поле и показывает во сколько раз полеослабляется диэлектриком17 Электрическое смещение

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды(от ε ) Кроме того вектор напряженности E

r переходя через границу

диэлектриков претерпевает скачкообразное изменение поэтому для описания(непрерывного) электрического поля системы зарядов с учетомполяризационных свойств диэлектриков вводится вектор электрическогосмещения (электрической индукции) который для изотропной средызаписывается как

PEEEDrrrrr

+=+== 000 )1( εχεεεЕдиница электрического смещения mdash Клм2Вектор D

r описывает электростатическое поле создаваемое свободными

зарядами (те в вакууме) но при таком их распределении в пространстве какоеимеется при наличии диэлектрика

3ndash16

АНОгурцов Лекции по физике

Аналогично линиям напряженности можно ввести линии электрическогосмещения Через области поля где находятся связанные заряды линиивектора D

r проходят не прерываясь

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Dr

сквозь этуповерхность

int int==ΦS S

nD dSDdSDr

где nD ndash проекция вектора Dr

на нормаль nr к площадке dS Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике поток

вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов

sumint int=

==n

ii

S Sn qdSDdSD

1

r

Для непрерывного распределения заряда в пространстве с объемнойплотностью dVdq=ρ

int int=S V

dVdSD ρr

Другая форма записи этого соотношения с учетом определениядивергенции вектора (стр1-31)

ρ=Dr

div18 Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

При отсутствии на границе двух диэлектриков свободных зарядовциркуляция вектора E

r по контуру int =

ABCDA

dlE 0r

откуда 021 =minus lElE ττ Поэтому

21 ττ EE =Учитывая ED εε0=

2

1

2

1

εε

τ

τ =DD

По теореме Гаусса поток вектора Dr

черезцилиндр ничтожно малой высоты равен нулю (нетсвободных зарядов) 0=∆minus∆ prime SDSD nn поэтому

21 nn DD =

1

2

2

1

εε=

n

n

EE

Таким образом при переходе через границураздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора E

r

(Eτ) и нормальная составляющая вектора Dr

(Dn) изменяются непрерывно (непретерпевают скачка) а нормальная составляющая вектора E

r (En) и

тангенциальная составляющая вектора Dr

(Dτ) претерпевают скачок

3ndash17

Электричество

19 СегнетоэлектрикиСегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики у которых

в отсутствие внешнего электрического поля возникает самопроизвольнаяориентация дипольных электрических моментов составляющих его частиц

Примеры сегнетова соль NaKC4H4O6middot4H2Oтитанат бария BaTiO3

Сегнетоэлектрики состоят из доменов mdashобластей с различными направлениямиполяризованности

Температура выше которой исчезаютсегнетоэлектрические свойства mdash точка Кюри

Для сегнетоэлектриков связь между векторами Er

и Pr

нелинейная инаблюдается явление диэлектрического гистерезиса mdash сохраненияостаточной поляризованности при снятии внешнего поля

Пьезоэлектрики mdash кристаллические диэлектрики в которых при сжатииили растяжении возникает электрическая поляризация mdash прямой пьезоэффект

Обратный пьезоэффект mdash появление механической деформации поддействием электрического поля20 Проводники в электростатическом поле

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или егозарядить то на заряды проводника будет действовать электростатическоеполе в результате чего они начнут перемещаться до тех пор пока неустановится равновесное распределение зарядов при которомэлектростатическое поле внутри проводника обращается в нуль 0=E

r

Иначе если бы поле не было равно нулю то в проводнике возникло быупорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источникачто противоречит закону сохранения энергии

Следствия этого ( constE =rArr=minus= ϕϕ 0gradr

) потенциал во всех точках проводника одинаков поверхность проводника является эквипотенциальной вектор E

r направлен по нормали к каждой точке поверхности

При помещении нейтрального проводника во внешнее поле свободныезаряды (электроны и ионы) начнут перемещаться положительные mdash по полю а

отрицательные mdash против поля(рис(а)) На одном концепроводника будет избытокположительных зарядов надругом mdash отрицательных Этизаряды называютсяиндуцированными Процессбудет продолжаться до техпор пока напряженность поля

внутри проводника не станет равной нулю а линии напряженности внепроводника mdash перпендикулярными его поверхности (рис(б)) если проводнику сообщить некоторый заряд q то нескомпенсированныезаряды располагаются только на поверхности проводника причем σ=D и

Page 4: Лекции по физике. Электричество

3ndash4

АНОгурцов Лекции по физике

3 Напряженность электростатического поляЭлектростатическим полем называется поле создаваемое неподвижными

электрическими зарядамиЭлектростатическое поле описывается двумя величинами потенциалом

(энергетическая скалярная характеристика поля) и напряженностью(силовая векторная характеристика поля)

Напряженность электростатического поля mdash векторнаяфизическая величина определяемая силой действующей наединичный положительный заряд 0q помещенный в данную точкуполя

Единица напряженности электростатического поля mdash ньютон накулон (НКл) 1 НКл=1 Вм где В (вольт) mdash единица потенциалаэлектростатического поля

Напряженность поля точечного заряда в вакууме (и в диэлектрике)

rr

rqErr

204

1πε

=

=

rr

rqErr

204

1επε

где rr mdash радиус-вектор соединяющий данную точку поля с зарядом q

В скалярной форме 204

1rqE

πε=

= 2

041

rqE

επεНаправление вектора E

r совпадает с направлением силы действующей

на положительный зарядЕсли поле создается положительным зарядом то вектор E

r направлен

вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкиваниепробного положительного заряда) Если поле создается отрицательнымзарядом то вектор E

r направлен к заряду (притяжение)

Графически электростатическое поле изобра-жают с помощью линий напряженности mdash линийкасательные к которым в каждой точке совпадают снаправлением вектора E

r (рис(а)) Линиям напря-

женности приписывается направление совпа-дающее с направлением вектора напряженностиТак как в данной точке пространства векторнапряженности имеет лишь одно направление толинии напряженности никогда не пересекаютсяДля однородного поля (когда вектор напря-женности в любой точке постоянен по модулю инаправлению) линии напряженности параллельнывектору напряженности

Если поле создается точечным зарядом то линии напряженности mdashрадиальные прямые выходящие из заряда если он положителен и входящиев него если заряд отрицателен (рис(б))

4 Поток вектора Er

Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не

только направление но и значение напряженности электростатического поляих проводят с определенной густотой число линий напряженности

0q

FEr

r=

3ndash29

Электричество

Электрические токи в металлах вакууме и газах

39 Электрические токи в металлахНосителями электрического тока в металле являются свободные

электроныПри образовании кристаллической решетки электроны внешних оболочек

атомов (валентные электроны) обобществляются и кристалл представляетсобой решетку неподвижных ионов металла между которыми хаотическидвижутся свободные электроны образуя электронный газ обладающийсвойствами идеального газа

Согласно теории ДрудеndashЛоренца электроны обладают той же энергиейтеплового движения что и молекулы одноатомного газа Средняя скоростьтеплового движения электронов

emkTuπ8=

где =k 138middot10ndash23 ДжК mdash постоянная Больцмана=em 911sdot10ndash31 кг mdash масса электрона

T mdash абсолютная (или термодинамическая) температура (в Кельвинах)При комнатной температуре ( =T 300 К) средняя скорость теплового

движения электронов равна =u 11middot105 мс Хаотическое тепловое движениеэлектронов не может привести к возникновению тока

При наложении внешнего электрического поля на металлическийпроводник в дополнение к хаотическому тепловому движению возникаетупорядоченное движение электронов (электрический ток)

Даже при предельно допустимых значениях плотности тока средняяскорость υ упорядоченного движения электронов обуславливающего

электрический ток значительно меньше их скорости теплового движения u

ultltυ

40 Основные законы электрического тока в классической теорииэлектропроводности металлов

Закон ОмаПусть в металлическом проводнике действует поле constE = Под

действием силы eEF = заряд e движется равноускоренно с ускорением

meEa = и к концу свободного пробега приобретает скорость

mteE

=maxυ

Среднее время свободного пробега электронов ul

t = определяется

средней длиной свободного пробега l и средней скоростью движения

электронов относительно кристаллической решетки uu cong+ υ

3ndash28

АНОгурцов Лекции по физике

4) В случае короткого замыкания сопротивление внешней цепи

0внешн =R и сила тока внутрr

I Θ= в этом случае ограничивается только

величиной внутреннего сопротивления источника тока38 Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

Узлом электрической цепи называется любая точка разветвления цепив которой сходится не менее трех проводников с током Ток входящий в узелсчитается положительным а ток выходящий из узла mdash отрицательным

Первое правило Кирхгофа mdash алгебраическая сумма токов сходящихся вузле равна нулю

sum =k

kI 0

Например для узла A на рисунке первое правилоКирхгофа

0654321 =minus++minusminus IIIIIIВторое правило Кирхгофа mdash в любом замкнутом контуре произвольно

выбранном в разветвленной электрической цепи алгебраическая суммапроизведений сил токов iI на сопротивление iRсоответствующих участков этого контура равнаалгебраической сумме ЭДС kΘ встречающихся вэтом контуре

sum sumΘ=i k

kii RI

Например для обхода по часовой стрелкезамкнутого контура ABCDA второе правилоКирхгофа имеет вид

32144332211 Θ+ΘminusΘ=++minus RIRIRIRIПри расчете сложных цепей с применением правил Кирхгофа необходимо

1 Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепидействительное направление токов определяется при решении задачиесли искомый ток получится положительным то его направление быловыбрано правильно а если mdash отрицательным mdash его истинноенаправление противоположно выбранному

2 Выбрать направление обхода контура и строго его придерживатьсяпроизведение IR положительно если ток на данном участке совпадаетс направлением обхода ЭДС действующие по выбранномунаправлению обхода считаются положительными против mdashотрицательными

3 Составить столько уравнений чтобы их число было равно числуискомых величин (в систему уравнений должны входить всесопротивления и ЭДС рассматриваемой цепи) каждыйрассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент несодержащийся в предыдущих контурах чтобы не получалисьуравнения которые являются простой комбинацией уже составленныхуравнений

3ndash5

Электричество

пронизывающих единицу площади поверхностиперпендикулярную линиям напряженности должно бытьравно модулю вектора E

r

Тогда число линий напряженности пронизывающихэлементарную площадку dS равно dSEdSE n=sdot αcos

где nE mdash проекция вектора Er

на нормаль nr к площадкеdS (Вектор nr mdash единичный вектор перпендикулярныйплощадке dS ) Величина

dSEdSEdSEdSEd nE

r==sdot=sdot=Φ perp αcos

называется потоком вектора напряженности черезплощадку dS Здесь ndSdS r= mdash вектор модуль которо-го равен dS а направление вектора совпадает с направлением nr к площадке

Поток вектора Er

сквозь произвольную замкнутую поверхность S

intint ==ΦSS

nE dSEdSEr

5 Принцип суперпозиции электростатических полейК кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип

независимости действия сил mdash результирующая сила действующая состороны поля на пробный заряд равна векторной сумме сил приложенных кнему со стороны каждого из зарядов создающих электростатическое поле

Напряженность результирующего поля создаваемого системой зарядовтакже равна геометрической сумме напряженностей полейсоздаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности

Эта формула выражает принцип суперпозиции(наложения) электростатических полей Он позволяетрассчитать электростатические поля любой системы неподвижных зарядовпредставив ее в виде совокупности точечных зарядов

Напомним правило определения величины вектора cr

суммы двух векторов ar и br

βα cos2cos2 2222 abbaabbac minus+=++=r

6 Теорема ГауссаВычисление напряженности поля системы электрических зарядов с

помощью принципа суперпозиции электростатических полей можнозначительно упростить используя теорему Гаусса определяющую потоквектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутуюповерхность

Рассмотрим поток вектора напряженности через сферическую поверхностьрадиуса r охватывающую точечный заряд q находящийся в ее центре

0

22

0

44 ε

ππε

qrr

qdSES

nE ===Φ intЭтот результат справедлив для любой замкнутой поверхности

произвольной формы охватывающей заряд

sum=

=n

iiEE

1

rr

ar crαβ

br

3ndash6

АНОгурцов Лекции по физике

Если замкнутая поверхность не охватывает заряда то поток сквозь нееравен нулю так как число линий напряженности входящих в поверхностьравно числу линий напряженности выходящих из нее

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности окружающей nзарядов Согласно принципу суперпозиции напряженность поля E

r

создаваемого всеми зарядами равна сумме напряженностей iEr

создаваемыхкаждым зарядом в отдельности Поэтому

sum sumsumintint sumint= ===

===sdot

==Φ

n

i

n

ii

in

i Si

S

n

ii

SnE q

qdSEdSEdSE

1 10011

1εε

rr

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме потоквектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности зарядов деленных на 0ε

Если заряд распределен в пространстве с объемной плотностьюdVdq =ρ то теорема Гаусса

intint ==ΦVS

nE dVdSE ρε0

1

7 Циркуляция вектора напряженностиЕсли в электростатическом поле точечного заряда q

из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траекторииперемещается другой точечный заряд 0q то силаприложенная к заряду совершает работу Работа силы наэлементарном перемещении dl равна

drr

qqdlr

qqFdldlFdA 20

020

0 41cos

41cos

πεα

πεα ====

r

Работа при перемещении заряда 0q из точки 1 в точку 2

intint

minus===

2

1

2

1 2

0

1

0

02

0

012 4

14

r

r

r

r rqq

rqq

rdrqqdAA

πεπεРабота 12A не зависит от траектории перемещения а определяется толькоположениями начальной и конечной точек Следовательно электростатическоеполе точечного заряда является потенциальным а электростатические силыmdash консервативными

Таким образом работа перемещения заряда в электростатическом полепо любому замкнутому контуру L равна нулю

0=intL

dA

Если переносимый заряд единичный то элемен-тарная работа сил поля на пути dl равна dlEdlE l=

r

где αcosEEl = mdash проекция вектора Er

на направление

элементарного перемещения dl

3ndash27

Электричество

Используя дифференциальную форму закона Ома Ej γ= и определение

γρ 1= получим закон ДжоуляndashЛенца в дифференциальной форме

2jEEw == γТепловое действие электрического тока используется в осветительных

лампах накаливания электросварке электронагревательных приборах и тд37 Закон Ома для неоднородного участка цепи

Рассмотрим неоднородный участок цепи 1mdash2 на котором присутствуютсилы неэлектрического происхождения (сторонние силы)

Обозначим через 12Θ mdash ЭДС на участке 1mdash2 21 ϕϕϕ minus=∆ mdashприложенную на концах участка разность потенциалов

Если участок цепи 1mdash2 неподвижен то (по закону сохранения энергии)общая работа 12A сторонних и электростатических сил совершаемая надносителями тока равна теплоте Q выделяющейся на участке

Работа сил совершаемая при перемещении заряда 0q ϕ∆+Θ= 012012 qqA

ЭДС 12Θ как и сила тока I mdash величина скалярная Если ЭДСспособствует движению положительных зарядов в выбранном направлении то

012 gtΘ если препятствует то 012 ltΘ

За время t в проводнике выделится теплота 02 )( IRqItIRRtIQ ===

Отсюда следует закон Ома для неоднородного участка цепи винтегральной форме который является обобщенным законом Ома

1221 Θ+minus= ϕϕIR

или R

I 1221 Θ+minus= ϕϕ

Частные случаи1) Если на данном участке цепи источник тока отсутствует то мы

получаем закон Ома для однородного участка цепи

RUI =

2) Если цепь замкнута ( 0=∆ϕ ) то получаем закон Ома длязамкнутой цепи

внешвнутр RrRI

+Θ=Θ=

где minusΘ ЭДС действующая в цепиminusR суммарное сопротивление всей цепи

minusвнешR сопротивление внешней цепиminusвнутрr внутреннее сопротивление источника тока

3) Если цепь разомкнута то 0=I и 1212 ϕϕ minus=Θ те ЭДСдействующая в разомкнутой цепи равна разности потенциалов наее концах

3ndash26

АНОгурцов Лекции по физике

Рассмотрим однородный проводник с сопротивлением R к концамкоторого приложено напряжение U За время dt через сечение проводникапереносится заряд Idtdq = Работа по перемещению заряда 0q между двумяточками поля равна

ϕ∆= 012 qA откуда dtR

URdtIUIdtUdqdA2

2 ====

Мощность тока

RURIUI

dtdAP

22 ====

Если размерности [ ]=I А [ ]=U В [ ]=R Ом то [ ]=A Дж и [ ]=P ВтВнесистемные единицы работы тока ватт-час (Втmiddotч) и киловатт-час

(кВтmiddotч) 1 Втmiddotч mdash работа тока мощностью 1 Вт в течении 1 ч 1 Втmiddotч=3600Втmiddotс=36middot103 Дж Аналогично 1 кВтmiddotч=1000 Втmiddotч=36middot106 Дж36 Закон ДжоуляndashЛенца

При прохождении тока по проводнику происходит рассеяние энергиивследствие столкновений носителей тока между собой и с любыми другимичастицами среды Если ток проходит по неподвижному проводнику то всяработа тока dA идет на нагревание проводника (выделение теплоты dQ )

По закону сохранения энергии dQdA =

dtR

URdtIIUdtdQ2

2 ===

Количество теплоты Q выделяющееся за конечный промежуток времениот 0 до t постоянным током I во всем объеме проводника электрическоесопротивление которого равно R получаем интегрируя предыдущеевыражение

tRIRdtIQt

2

0

2 == intЗакон ДжоуляndashЛенца (в интегральной форме) количество теплоты

выделяемое постоянным электрическим током на участке цепи равнопроизведению квадрата силы тока на время его прохождения иэлектрическое сопротивление этого участка цепи

Выделим в проводнике цилиндрический объем dSdLdV = (ось цилиндра

совпадает с направлением тока) Сопротивление этого объема dSdlR ρ= По

закону ДжоуляndashЛенца за время dt в этом объеме выделится теплота

( ) dVdtjdtjdSdSdlRdtIdQ 222 ρρ ===

Удельной тепловой мощностью тока w называется количествотеплоты выделяющееся за единицу времени в единице объема

2jdVdtdQw ρ==

3ndash7

Электричество

Интеграл int int=L L

l dlEdlEr

называется циркуляцией вектора

напряженности по заданному замкнутому контуру L Теорема о циркуляции вектора E

r

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдольлюбого замкнутого контура равна нулю

0==int intL L

l dlEdlEr

Силовое поле обладающее таким свойством называетсяпотенциальным Эта формула справедлива только для электрическогополя неподвижных зарядов (электростатического)8 Потенциальная энергия заряда

В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работаконсервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии

Поэтому работу 12A можно представить как разность потенциальныхэнергий заряда 0q в начальной и конечной точках поля заряда q

212

0

01

0

012 4

14

1 WWr

qqr

qqA minus=minus=πεπε

Потенциальная энергия заряда 0q находящегося в поле заряда q нарасстоянии r от него равна

constr

qqW += 0

041πε

Считая что при удалении заряда на бесконечность потенциальнаяэнергия обращается в нуль получаем 0=const

Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия(отталкивания) положительна для разноименных зарядов потенциальнаяэнергия из взаимодействия (притяжения) отрицательна

Если поле создается системой n точечных зарядов то потенциальнаяэнергия заряда 0q находящегося в этом поле равна сумме его потенциальныхэнергий создаваемых каждым из зарядов в отдельности

sum sum= =

==n

i

n

i ii r

qqUW1 1 0

0 4πε9 Потенциал электростатического поля

Отношение 0q

W не зависит от пробного заряда 0q и является

энергетической характеристикой поля называемой потенциалом

0qW=ϕ

Потенциал ϕ в какой-либо точке электростатического поля естьскалярная физическая величина определяемая потенциальной энергиейединичного положительного заряда помещенного в эту точку

3ndash8

АНОгурцов Лекции по физике

Например потенциал поля создаваемого точечным зарядом q равен

rq

041πε

ϕ =

10 Разность потенциаловРабота совершаемая силами электростатического поля при перемещении

заряда 0q из точки 1 в точку 2 может быть представлена какϕϕϕ ∆=minus=minus= 02102112 )( qqWWA

то есть равна произведению перемещаемого заряда на разностьпотенциалов в начальной и конечной точках

Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом полеопределяется работой совершаемой силами поля при перемещенииединичного положительного заряда из точки 1 в точку 2

0

1221 q

A=∆=minus ϕϕϕ

Пользуясь определением напряженности электростатического поляможем записать работу 12A в виде

int int int===2

1

2

1

2

10012 dlEqdlEqdlFA

rrr

Отсюда

intint ===∆=minus2

1

2

10

1221 dlEdlE

qA

l

rϕϕϕ

где интегрирование можно производить вдоль любой линии соединяющейначальную и конечную точки так как работа сил электростатического поля независит от траектории перемещения

Если перемещать заряд 0q из произвольной точки за пределы поля(на бесконечность) где потенциальная энергия а значит и потенциал равнынулю то работа сил электростатического поля ϕ0qA =infin откуда

0qAinfin=ϕ

Таким образом еще одно определение потенциала потенциал mdashфизическая величина определяемая работой по перемещению единичногоположительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность

Единица потенциала ndash вольт (В) 1В есть потенциал такой точки поля вкоторой заряд в 1Кл обладает потенциальной энергией 1Дж (1В=1Дж1Кл)

Принцип суперпозиции потенциалов электростатических полейЕсли поле создается несколькими зарядами то потенциал поля системызарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов11 Связь между напряженностью и потенциалом

Для потенциального поля между потенциальной (консервативной) силой ипотенциальной энергией существует связь

WWF minusnabla=minus= gradr

3ndash25

Электричество

В проводнике El

U = mdash напряженность электрического поля SlR ρ=

SIj =

Из закона Ома получим соотношение l

USI

ρ1= откуда Ej γ=

В векторной форме соотношениеEjrr

γ=называется законом Ома в дифференциальной форме Этот закон

связывает плотность тока в любой точке внутри проводника снапряженностью электрического поля в той же точке33 Сопротивление соединения проводников(1) Последовательное соединение n про-

водников IIII n ==== K21

sum sumsum= ==

====n

i

n

iiii

n

ii RIRIUUIR

1 11

sum=

=n

iiRR

1

(2) Параллельное соединение n провод-ников UUUU n ==== K21

sumsumsum===

====n

i i

n

i i

in

ii R

URUII

RU

111

1

sum=

=n

i iRR 1

11

34 Температурная зависимость сопротивленияОпытным путем было установлено что для большинства случаев

изменение удельного сопротивления (а значит и сопротивления) стемпературой описывается линейным законом

( )tαρρ += 10 или ( )tRR α+= 10

где ρ и 0ρ R и 0R mdash соответственно удельные сопротивления исопротивления проводника при температурах t и deg0 С (шкала Цельсия) α mdashтемпературный коэффициент сопротивления

На зависимости электрического сопротивления металлов от температурыосновано действие термометров сопротивления

Сопротивление многих металлов при очень низких температурах kT (014ndash20 К (шкала Кельвина)) называемых критическими характерных для каждоговещества скачкообразно уменьшается до нуля и металл становитсяабсолютным проводником Это явление называется сверхпроводимостью35 Работа и мощность тока

Кулоновские и сторонние силы при перемещении заряда q вдольэлектрической цепи совершают работу A

3ndash24

АНОгурцов Лекции по физике

Если на заряд 0q действуют как сторонние силы так и силыэлектростатического поля то результирующая сила

( )EEqFFF e

rrrrr+=+= стор0стор

Работа результирующей силы по перемещению заряда 0q на участке 1mdash2

( )intint minus+Θ=+=2

12101200

2

1стор012 ϕϕqqdlEqdlEqA

rr

Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю поэтомуΘ= 0qA

Напряжением U на участке 1mdash2 называется физическая величиначисленно равная суммарной работе совершаемой электростатическими исторонними силами по перемещению единичного положительного заряда наданном участке цепи

12210

1212 Θ+minus== ϕϕ

qAU

Понятие напряжения является обобщением понятия разностипотенциалов напряжение на концах участка цепи равно разностипотенциалов если участок не содержит источника тока (те на участке недействует ЭДС сторонние силы отсутствуют)32 Закон Ома Электрическое сопротивление

Закон Ома для однородного участка цепи (не содержащегоисточника тока) сила тока текущего по однородномуметаллическому проводнику пропорциональна напряжению наконце проводника (интегральная форма закона Ома)

Коэффициент пропорциональности R называется электрическим сопро-тивлением проводника

Единица электрического сопротивления mdash ом (Ом) 1 Ом mdash сопро-тивление такого проводника в котором при напряжении 1В течет постоянныйток 1А

Величина R

G 1= называется электрической проводимостью проводника

Единица электрической проводимости mdash сименс (См) 1 См mdashпроводимость участка электрической цепи сопротивлением 1 Ом

Сопротивление проводника зависит от его размеров и формы а также отматериала из которого проводник изготовлен Например дляоднородного линейного проводника длиной l и площадьюпоперечного сечения S сопротивление рассчитывается по формуле

где коэффициент пропорциональности ρ характеризующий материалпроводника называется удельным электрическим сопротивлением

Единица удельного электрического сопротивления mdash ом-метр(Омм)

Величина обратная удельному сопротивлению называетсяудельной электрической проводимостью вещества проводника

Единица удельной электрической проводимости mdash сименсна метр (Смм)

RUI =

SlR ρ=

ρ

γ 1=

3ndash9

Электричество

где nabla (набла) mdash оператор Гамильтона kz

jy

ix

rrr

partpart+

partpart+

partpart=nabla

Поскольку EqFrr

= и ϕqW = то

ϕϕ minusnabla=minus= gradEr

Знак минус показывает что вектор Er

направлен в сторону убыванияпотенциала12 Эквипотенциальные поверхности

Для графического изображения распределения потенциала используютсяэквипотенциальные поверхности mdash поверхности во всех точках которыхпотенциал имеет одно и то же значение

Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так чтобы разностипотенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностямибыли одинаковы Тогда густота эквипотенциальных поверхностей нагляднохарактеризует напряженность поля в разных точках Там где эти поверхностирасположены гуще напряженность поля больше На рисунке пунктиромизображены силовые линии сплошными линиями mdash сеченияэквипотенциальных поверхностей для положительного точечного заряда (а)диполя (б) двух одноименных зарядов (в) заряженного металлическогопроводника сложной конфигурации (г)

Для точечного заряда потенциал rq

041πε

ϕ = поэтому эквипотенциальные

поверхности mdash концентрические сферы С другой стороны линиинапряженности mdash радиальные прямые Следовательно линии напряженностиперпендикулярны эквипотенциальным поверхностям

Можно показать что во всех случаях1) вектор E

r перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и

2) всегда направлен в сторону убывания потенциала13 Примеры расчета наиболее важных симметричных электростатических

полей в вакууме1 Электростатическое поле электрического диполя в вакууме

Электрическим диполем (или двойным электрическим полюсом)называется система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов( qq minus+ ) расстояние l между которыми значительно меньше расстояния дорассматриваемых точек поля )( rl ltlt

Плечо диполя lr

mdash вектор направленный по оси диполя ототрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними

3ndash10

АНОгурцов Лекции по физике

Электрический момент диполя epr mdash вектор совпада-ющий по направлению с плечом диполя и равный произведениюмодуля заряда q на плечо l

r1) Напряженность поля диполя на продолжении

оси диполя в точке Аminus+minus+ +=minus= ϕϕϕEEEA

Пусть r mdash расстояние до точки А от серединыоси диполя Тогда учитывая что lr gtgt

30

30

20

20

24

1

24

1

24

1

24

1

rp

rql

lr

qlr

qE

e

A

πε

πεπεπε

=

==

+

minus

minus

=

20

200 4

14

1224

1rp

rql

lrq

lrq e

A πεπεπεϕ ==

+minus

minus=

2) Напряженность поля в точке B на перпендикуляре восстановленном коси диполя из его середины при lr gtgt

( ) ( ) ( )

41

241

20

220 r

lEE

rq

lrqEE B asympasymp+

==+

minus+ πεπε поэтому

30

30 )(4

1)(4

1

)(rp

rql

rlEE e

B πεπε=== +

0=BϕТочка В равноудалена от зарядов q+ и qminus

диполя поэтому потенциал поля в точке В равеннулю Вектор BE

r направлен противоположно

вектору lr

3) Во внешнем электрическом поле на концы

диполя действует пара сил которая стремитсяповернуть диполь таким образом чтобыэлектрический момент epr диполя развернулся

вдоль направления поля Er

(рис(а))Во внешнем однородном поле момент пары

сил равен αsinqElM = или ][ EpM e

rrr= Во внешнем неоднородном поле

(рис(в)) силы действующие на концы диполя неодинаковы ( )12 FFrr

gt и ихрезультирующая стремится передвинуть диполь в область поля с большейнапряженностью mdash диполь втягивается в область более сильного поля2 Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностьюdSdq=+σ Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой

плоскости и направлены от нее в обе стороны

lqpe

rr =

3ndash23

Электричество

цепи выравниваются и электростатическое поле исчезаетДля существования постоянного тока необходимо наличие в цепи

устройства способного создавать и поддерживать разность потенциаловза счет сил не электростатического происхождения

Такие устройства называются источниками токаСилы не электростатического происхождения действующие на заряды со

стороны источников тока называются стороннимиКоличественная характеристика сторонних сил mdash поле сторонних сил и

его напряженность сторEr

определяемая сторонней силой действующей наединичный положительный заряд

Природа сторонних сил может быть различной Например вгальванических элементах они возникают за счет энергии химических реакциймежду электродами и электролитами в генераторе mdash за счет механическойэнергии вращения ротора генератора в солнечных батареях mdash за счет энергиифотонов и тп Роль источника тока в электрической цепи такая же как рольнасоса который необходим для поддержания тока жидкости в гидравлическойсистеме

Под действием создаваемого поля сторонних сил электрические зарядыдвижутся внутри источника тока против сил электростатического поляблагодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепитечет постоянный электрический ток31 Электродвижущая сила и напряжение

Физическая величина определяемая работой которую совершаютсторонние силы при перемещении единичного положительного заряданазывается электродвижущей силой (ЭДС) действующей в цепи

0qA=Θ

Эта работа совершается за счет энергии затрачиваемой в источнике токапоэтому величину Θ можно назвать электродвижущей силой источника токавключенного в цепь ЭДС как и потенциал выражается в вольтах

Участок цепи на котором не действуют сторонние силы называетсяоднородным Участок на котором на носители тока действуют сторонние силыназывается неоднородным

Работа сторонних сил по перемещению заряда 0q на замкнутом участкецепи

int int== dlEqdlFA стор0стор

rr

Отсюда ЭДС действующая в замкнутой цепи mdash это циркуляция векторанапряженности поля сторонних сил

dlEint=Θ стор

r

Следовательно для поля сторонних сил циркуляция его напряженности позамкнутому контуру не равна нулю Поэтому поле сторонних сил mdashнепотенциально

ЭДС действующая на участке 1ndash2 цепи равна

dlEint=Θ2

1стор12

r

3ndash22

АНОгурцов Лекции по физике

скалярная физическая величина равная отношению заряда dq переносимогосквозь рассматриваемую поверхность за малый промежуток времени квеличине dt этого промежутка

dtdqI =

Электрический ток называется постоянным если сила тока и егонаправление не изменяются с течением времени

Для постоянного тока tqI =

где q mdash электрический заряд проходящий за время t через поперечноесечение проводника

Единица силы тока mdash ампер (А) (см Механика стр 1-2)Для характеристики направления электрического тока в разных точках

рассматриваемой поверхности и распределения силы тока по этой поверхностислужит вектор плотности тока j

r Сила тока сквозь произвольную

поверхность S определяется как поток вектора плотности тока

int=S

dSjIr

где dSndS r= ( nr ndash единичный вектор нормали (орт) к площадке dS )Плотностью электрического тока называется вектор j

r совпа-

дающий с направлением электрического тока в рассматриваемой точке ичисленно равный отношению силы тока dI сквозь малый элемент поверхностиортогональной направлению тока к площади perpdS этого элемента

perp=

dSdIj

Для постоянного тока I текущего перпендикулярно сечению S

проводника SIj =

Если за время dt через поперечное сечение S проводника переноситсязаряд dtSnedq υ= (где n e и υ mdash концентрация заряд и средняя

скорость упорядоченного движения зарядов) то сила тока SneI dtdq υ== а

плотность токаυr

rnej =

Единица плотности тока mdash Ам230 Сторонние силы

Для возникновения и существования электрического тока необходимо1) наличие свободных носителей тока mdash заряженных частиц способ-

ных перемещаться упорядоченно2) наличие электрического поля энергия которого должна каким-то

образом восполнятьсяЕсли в цепи действуют только силы электростатического поля то

происходит перемещение носителей таким образом что потенциалы всех точек

3ndash11

Электричество

В качестве Гауссовой поверхности примемповерхность цилиндра образующие которогоперпендикулярны заряженной плоскости аоснования параллельны заряженной плоскости илежат по разные стороны от нее на одинаковыхрасстояниях

Так как образующие цилиндра параллельнылиниям напряженности то поток векторанапряженности через боковую поверхностьцилиндра равен нулю а полный поток сквозь цилиндр равен суммепотоков сквозь его основания ES2 Заряд заключенный внутрицилиндра равен Sσ По теореме Гаусса 02 εσSES = откуда

E не зависит от длины цилиндра те напряженность поля на любыхрасстояниях одинакова по модулю Такое поле называется однородным

Разность потенциалов между точками лежащими на расстояниях 1x и 2xот плоскости равна

intint minus===minus2

1

2

1

)(22 12

0021

x

x

x

x

xxdxEdxεσ

εσϕϕ

3 Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженныхплоскостей с равными по абсолютному значению поверхностнымиплотностями зарядов 0gtσ и σminus

Из предыдущего примера следует что векторы напряженности 1Er

и 2Er

первой и второй плоскостей равны по модулю и всюду направленыперпендикулярно плоскостям Поэтому в пространстве вне плоскостей оникомпенсируют друг друга а в пространстве между плоскостями суммарнаянапряженность 12EE

rr= Поэтому между плоскостями

0εσ=E (в диэлектрике

0εεσ=E )

Поле между плоскостями однородное Разность потенциалов междуплоскостями

00 0021 ε

σεσϕϕ ddxEdx

dd

===minus intint (в диэлектрике 0εε

σϕ d=∆ )

4 Поле равномерно заряженной сферической поверхностиСферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена

равномерно с поверхностной плотностью 24 Rqπ

σ =

02ε

σ=E

3ndash12

АНОгурцов Лекции по физике

Поскольку система зарядов и следовательносамо поле центрально-симметрично относительноцентра сферы то линии напряженности направленырадиальноВ качестве Гауссовой поверхности выберем сферурадиуса r имеющую общий центр с заряженнойсферой Если Rr gt то внутрь поверхностипопадает весь заряд q По теореме Гаусса

0

24ε

π qEr = откуда ( )Rrr

RrqE ge==

41

20

2

20 ε

σπε

При Rr le замкнутая поверхность не содержитвнутри зарядов поэтому внутри равномернозаряженной сферы 0=E

Разность потенциалов между двумя точкамилежащими на расстояниях 1r и 2r от центра сферы( RrRr gtgt 21 ) равна

int int

minus===minus

2

1

2

1 2102

021

1144

1r

r

r

r rrqdr

rqEdr

πεπεϕϕ

Если принять rr =1 и infin=2r то потенциал поля вне сферической

поверхности rq

041πε

ϕ =

Вне заряженной сферы поле такое же как поле точечного заряда q находящегося в центре сферы Внутри заряженной сферы поля нет поэтомупотенциал всюду одинаков и такой же как на поверхности

004 εσ

πεϕ R

Rq ==

5 Поле объемно заряженного шараЗаряд q равномерно распределен в вакууме по

объему шара радиуса R с объемной плотностью

33

4 Rq

Vq

πρ == Центр шара является центром

симметрии поля1) Для поля вне шара )( Rr gt получаем тот же

результат что и в случае сферической поверхности

204

1rqE

πε=

rq

04πεϕ =

minus=minus

21021

114 rr

qπε

ϕϕ

2) При Rr = 0

2

002

0 34

341

ερ

πεϕ

ερ

πεR

rqR

RqE ====

3) Внутри шара сфера радиусом Rr lt охватывает заряд ρπ 3

34 rq =

3ndash21

Электричество

Интегрирование проводится по всем заряженным поверхностям S и по всемузаряженному объему V тел системы

На примере поля плоского конденсатора выразим энергию поля через егонапряженность Для конденсатора dSC 0εε= и Ed=∆ϕ Отсюда

VESdEW 20

20 2

121 εεεε ==

В однородном поле конденсатора его энергия распределена равномернопо всему объему поля SdV =

Объемная плотность энергии электростатического поля плоскогоконденсатора w

EDEVWw

21

21 2

0 === εε

где ED 0εε= mdash электрическое смещениеЭта формула является отражением того факта что электростатическая

энергия сосредоточена в электростатическом поле Это выражениесправедливо также и для неоднородных полей28 Пондеромоторные силы

Механические силы действующие на заряженные тела помещенные вэлектромагнитное поле называются пондеромоторными силами (от латинскихслов ponderis mdash тяжесть и motor mdash движущий)

Например в плоском конденсаторе сила с которой пластиныконденсатора притягивают друг друга совершает работу за счет уменьшения

потенциальной энергии системы С учетом Sq=σ и

0εεσ=E получаем

SESS

qdx

dWF 20

0

2

0

2

21

22εε

εεσ

εεminus=minus=minus=minus=

где знак минус указывает на то что эта сила является силой притяженияПод действием этой силы обкладки конденсатора сжимают пластинудиэлектрика помещенного между ними и в диэлектрике возникает давление

20

0

2

21

2E

SFp εε

εεσ ===

Постоянный электрический ток

29 Постоянный электрический ток сила и плотность токаЭлектродинамика mdash раздел учения об электричестве в котором

рассматриваются явления и процессы обусловленные движениемэлектрических зарядов

Электрическим током называется упорядоченное движениеэлектрических зарядов

За направление тока принимают направление движения положительныхзарядов

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I mdash

3ndash20

АНОгурцов Лекции по физике

неподвижных точечных зарядов равна

sum=

=n

iiiqW

121 ϕ

где iϕ mdash потенциал создаваемый в той точке где находится заряд iq всеми зарядами кроме i -го25 Энергия заряженного уединенного проводника

Рассмотрим уединенный проводник заряд емкость и потенциал которогоравны ϕCq Элементарная работа dA совершаемая внешними силами попреодолению кулоновских сил отталкивания при перенесении заряда dq избесконечности на проводник равна ϕϕϕ dCdqdA == Чтобы зарядитьпроводник от нулевого потенциала до ϕ необходимо совершить работу

int ==ϕ ϕϕϕ0

2

2CdCA

Энергия заряженного уединенного проводника (используя ϕqC = )

222

22 ϕϕ qC

qCW ===

26 Энергия заряженного конденсатораЭлементарная работа внешних сил по перенесению малого заряда dq с

обкладки 2 конденсатора на обкладку 1

CqdqdqdA =∆= ϕ

Работа внешних сил при увеличении заряда конденсатора от 0 до q

int ==q

Cq

CqdqA

0

2

2

Энергия заряженного конденсатора (используя ϕ∆

= qC )

( )222

221

2 ϕϕϕ ∆=minus== qCC

qW

27 Энергия электростатического поляВ общем случае электрическую энергию любой системы

заряженных неподвижных тел mdash проводников и непроводников mdash можнонайти по формуле

intint +=VS

dVdSW ϕρϕσ21

21

где σ и ρ mdash поверхностная и объемная плотности свободных зарядов ϕ mdashпотенциал результирующего поля всех свободных и связанных зарядов вточках малых элементов dS и dV заряженных поверхностей и объемов

3ndash13

Электричество

По теореме Гаусса 0

3

0

2

344ερπ

επ rqEr ==

Отсюда для точек лежащих внутри шара ( )RrRr ltlt 21 с учетом 33

4 Rqπ

ρ =

03

0 34 ερ

πεr

RqrE == int minus==minus

2

1

)(8

21

223

021

r

r

rrR

qEdrπε

ϕϕ

6 Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен

равномерно с линейной плотностью dldq=τ

Линии напряженности будут направлены порадиусам круговых сечений цилиндра содинаковой густотой во все стороныотносительно оси цилиндра

В качестве Гауссовой поверхностивыберем цилиндр радиуса r и высотой lкоаксиальный с заряженной нитью

Торцы этого цилиндра параллельнылиниям напряженности поэтому поток черезних равен нулю

Поток через боковую поверхность равенrlE π2

По теореме Гаусса (при Rr gt ) 0

2ετπ lrlE = откуда при RrRr gtgt 21

rE τ

πε021=

1

2

0021 ln

22

2

1

2

1rr

rdrEdr

r

r

r

r πετ

πετϕϕ int int ===minus

Если Rr lt то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержитпоэтому 0=E 14 Электростатическое поле в диэлектрической среде

Диэлектриками называются вещества которые при обычных условияхпрактически не проводят электрический ток

Диэлектрик как и всякое другое вещество состоит из атомов или молекулкаждая из которых в целом электрически нейтральна

Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядомq+ находящимся в так сказать центре тяжести положительных зарядов а

заряд всех электронов mdash суммарным отрицательным зарядом qminus находя-щимся в центре тяжести отрицательных зарядов то молекулы можнорассматривать как электрические диполи с электрическим моментом

Различают три типа диэлектриков1) Диэлектрики с неполярными молекулами симметричные молекулы

которых в отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент(например N2 H2 O2 CO2)

3ndash14

АНОгурцов Лекции по физике

2) Диэлектрики с полярными молекулами молекулы которыхвследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (например H2ONH3 SO2 CO)

3) Ионные диэлектрики (например NaCl KCl) Ионные кристаллыпредставляют собой пространственные решетки с правильным чередованиемионов разных знаков

Внесение диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит квозникновению отличного от нуля результирующего электрического моментадиэлектрика

Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей илипоявления под воздействием электрического поля ориентированных по полюдиполей

Соответственно трем видам диэлектриков различают три видаполяризации

1) Электронная или деформационная поляризация диэлектрика снеполярными молекулами mdash за счет деформации электронных орбит возникает

индуцированный дипольный момент у атомов илимолекул диэлектрика

2) Ориентационная или дипольная по-ляризация диэлектрика с полярными молеку-лами mdash ориента-ция имеющихся

дипольных моментов молекул по полю (этаориентация тем сильнее чем больше напря-женность электрического поля и чем нижетемпература)

3) Ионная поляризация диэлектрика сионными кристаллическими решетками mdash смещение подрешеткиположительных ионов вдоль поля а отрицательных ионов против поляприводит к возникновению дипольных моментов15 Поляризованность

Поместим пластину из однородного диэлектрика во внешнееэлектрическое поле созданное двумя бесконечными параллельнымиразноименно заряженными плоскостями

Во внешнем электрическом поле диэлектрик объемом V поляризуетсяте приобретает дипольный момент sum=

iiV pp rr где minusipr дипольный момент

одной молекулыДля количественного описания поляризации диэлектрика используется

векторная величина mdash поляризованность mdash которая определяется какдипольный момент единицы объема диэлектрика

Vp

VpP i iV sum==

rrr

В случае изотропного диэлектрика поляризованность (для большинствадиэлектриков за исключением сегнетоэлектриков) линейно зависит отнапряженности внешнего поля

EPrr

0χε=

3ndash19

Электричество

1 Емкость плоского конденсатора (две параллельные металлическиепластины площадью S каждая расположенные на расстоянии d друг от

друга (Sq=σ ))

dS

dqqC εε

εεσϕ

0

0

==∆

=

2 Емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндрадлиной l с радиусами 1r и 2r )( lq=τ )

1

2

0

1

2

0ln

2

ln2 r

rl

rr

lq

qC επε

επε

==

3 Емкость сферического конденсатора (две концентрических сферы срадиусами 1r и 2r )

12

210

210

411

4rr

rr

rrq

qCminus

=

minus

= επε

επε

23 Соединения конденсаторовУ параллельно соединенных конденсаторов nCCC K21 разность

потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова ϕ∆ Полная емкость

sumsumsum

=

== =∆

∆=

∆=

∆=

n

ii

n

ii

n

ii

CCq

qC1

11

ϕ

ϕ

ϕϕ

У последовательно соединенных кон-денсаторов nCCC K21 заряды q всехобкладок равны по модулю а суммарнаяразность потенциалов

Cq

Cqn

i i

n

ii ==∆=∆ sumsum

== 11ϕϕ

откуда

sum=

=n

i iCC 1

11

24 Энергия системы неподвижных точечных зарядовДля системы двух зарядов 1q и 2q находящихся на расстоянии r друг от

друга каждый из них в поле другого обладает потенциальной энергией

22121

02

2

011211 4

14

1 Wqrqq

rqqqW ===== ϕ

πεπεϕ

Поэтому )( 21212121

212121 ϕϕϕϕ qqqqW +=== Добавляя последова-тельно по одному заряду получим что энергия взаимодействия системы n

3ndash18

АНОгурцов Лекции по физике

εεσ0

=E где σ mdash поверхностная плотность зарядов и ε mdash диэлектрическая

проницаемость среды окружающей проводникНейтральный проводник внесенный в электростатическое поле

разрывает часть линий напряженности они заканчиваются на отрицательныхиндуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных

Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхностипроводника Явление перераспределения поверхностных зарядов напроводнике во внешнем электростатическом поле называетсяэлектростатической индукцией21 Электроемкость

Рассмотрим уединенный проводник mdash проводник удаленный от другихтел и зарядов Из опыта следует что разные проводники будучи одинаковозаряженными имеют разные потенциалы

Физическая величина C равная отношению заряда проводника q к егопотенциалу ϕ называется электрической емкостью этого проводника

ϕqC =

Электроемкость уединенного проводника численно равна зарядукоторый нужно сообщить этому проводнику для того чтобы изменить егопотенциал на единицу

Она зависит от формы и размеров проводника и от диэлектрическихсвойств окружающей среды Емкости геометрически подобных проводниковпропорциональны их линейным размерам

Пример емкость уединенного проводящего шара RqC 04πεϕ==

Единица электроемкости mdash фарад (Ф) 1Ф mdash емкость такогоуединенного проводника потенциал которого изменяется на 1В при сообщенииему заряда 1Кл Емкостью 1Ф обладает шар с радиусом 6109 sdot=R км ЕмкостьЗемли 07мФ22 Конденсаторы

Если к проводнику с зарядом q приблизить другие тела то на ихповерхности возникнут индуцированные (на проводнике) или связанные (надиэлектрике) заряды Эти заряды ослабляют поле создаваемое зарядом q тем самым понижая потенциал проводника и повышая его электроемкость

Конденсатор mdash это система из двух проводников (обкладок) содинаковыми по модулю но противоположными по знаку зарядами форма ирасположение которых таковы что поле сосредоточено в узком зазоре междуобкладками

Емкость конденсатора mdash физическая величина равная отношениюзаряда q накопленного в конденсаторе к разности потенциалов 21 ϕϕ minus междуего обкладками

ϕ∆= qC

3ndash15

Электричество

где minusχ диэлектрическая восприимчивость вещества характеризующаясвойства диэлектрика (положительная безразмерная величина)16 Диэлектрическая проницаемость среды

Вследствие поляризации на поверхностидиэлектрика появляются нескомпенсированныезаряды которые называются связанными (в отличиеот свободных зарядов которые создают внешнееполе)

Поле Er

внутри диэлектрика создаваемоесвязанными зарядами направлено против внешнегополя 0E

r создаваемого свободными зарядами

Результирующее поле внутри диэлектрика0 EEE minus=

В нашем примере поле создаваемое двумябесконечно заряженными плоскостями с поверхностнойплотностью зарядов σ 0 εσ=E Поэтому

00 εσminus= EEПолный дипольный момент диэлектрической

пластинки с толщиной d и площадью грани S PSdPVpV == с другойстороны SdqdpV σ== Отсюда P=σ

EEEEPEEE χε

χεεε

σ minus=minus=minus=minus= 00

00

00

00

Откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

εχ00

1EEE =

+=

Безразмерная величина EE01 =+= χε называется диэлектрической

проницаемостью среды Она характеризует способность диэлектриковполяризоваться в электрическом поле и показывает во сколько раз полеослабляется диэлектриком17 Электрическое смещение

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды(от ε ) Кроме того вектор напряженности E

r переходя через границу

диэлектриков претерпевает скачкообразное изменение поэтому для описания(непрерывного) электрического поля системы зарядов с учетомполяризационных свойств диэлектриков вводится вектор электрическогосмещения (электрической индукции) который для изотропной средызаписывается как

PEEEDrrrrr

+=+== 000 )1( εχεεεЕдиница электрического смещения mdash Клм2Вектор D

r описывает электростатическое поле создаваемое свободными

зарядами (те в вакууме) но при таком их распределении в пространстве какоеимеется при наличии диэлектрика

3ndash16

АНОгурцов Лекции по физике

Аналогично линиям напряженности можно ввести линии электрическогосмещения Через области поля где находятся связанные заряды линиивектора D

r проходят не прерываясь

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Dr

сквозь этуповерхность

int int==ΦS S

nD dSDdSDr

где nD ndash проекция вектора Dr

на нормаль nr к площадке dS Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике поток

вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов

sumint int=

==n

ii

S Sn qdSDdSD

1

r

Для непрерывного распределения заряда в пространстве с объемнойплотностью dVdq=ρ

int int=S V

dVdSD ρr

Другая форма записи этого соотношения с учетом определениядивергенции вектора (стр1-31)

ρ=Dr

div18 Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

При отсутствии на границе двух диэлектриков свободных зарядовциркуляция вектора E

r по контуру int =

ABCDA

dlE 0r

откуда 021 =minus lElE ττ Поэтому

21 ττ EE =Учитывая ED εε0=

2

1

2

1

εε

τ

τ =DD

По теореме Гаусса поток вектора Dr

черезцилиндр ничтожно малой высоты равен нулю (нетсвободных зарядов) 0=∆minus∆ prime SDSD nn поэтому

21 nn DD =

1

2

2

1

εε=

n

n

EE

Таким образом при переходе через границураздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора E

r

(Eτ) и нормальная составляющая вектора Dr

(Dn) изменяются непрерывно (непретерпевают скачка) а нормальная составляющая вектора E

r (En) и

тангенциальная составляющая вектора Dr

(Dτ) претерпевают скачок

3ndash17

Электричество

19 СегнетоэлектрикиСегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики у которых

в отсутствие внешнего электрического поля возникает самопроизвольнаяориентация дипольных электрических моментов составляющих его частиц

Примеры сегнетова соль NaKC4H4O6middot4H2Oтитанат бария BaTiO3

Сегнетоэлектрики состоят из доменов mdashобластей с различными направлениямиполяризованности

Температура выше которой исчезаютсегнетоэлектрические свойства mdash точка Кюри

Для сегнетоэлектриков связь между векторами Er

и Pr

нелинейная инаблюдается явление диэлектрического гистерезиса mdash сохраненияостаточной поляризованности при снятии внешнего поля

Пьезоэлектрики mdash кристаллические диэлектрики в которых при сжатииили растяжении возникает электрическая поляризация mdash прямой пьезоэффект

Обратный пьезоэффект mdash появление механической деформации поддействием электрического поля20 Проводники в электростатическом поле

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или егозарядить то на заряды проводника будет действовать электростатическоеполе в результате чего они начнут перемещаться до тех пор пока неустановится равновесное распределение зарядов при которомэлектростатическое поле внутри проводника обращается в нуль 0=E

r

Иначе если бы поле не было равно нулю то в проводнике возникло быупорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источникачто противоречит закону сохранения энергии

Следствия этого ( constE =rArr=minus= ϕϕ 0gradr

) потенциал во всех точках проводника одинаков поверхность проводника является эквипотенциальной вектор E

r направлен по нормали к каждой точке поверхности

При помещении нейтрального проводника во внешнее поле свободныезаряды (электроны и ионы) начнут перемещаться положительные mdash по полю а

отрицательные mdash против поля(рис(а)) На одном концепроводника будет избытокположительных зарядов надругом mdash отрицательных Этизаряды называютсяиндуцированными Процессбудет продолжаться до техпор пока напряженность поля

внутри проводника не станет равной нулю а линии напряженности внепроводника mdash перпендикулярными его поверхности (рис(б)) если проводнику сообщить некоторый заряд q то нескомпенсированныезаряды располагаются только на поверхности проводника причем σ=D и

Page 5: Лекции по физике. Электричество

3ndash28

АНОгурцов Лекции по физике

4) В случае короткого замыкания сопротивление внешней цепи

0внешн =R и сила тока внутрr

I Θ= в этом случае ограничивается только

величиной внутреннего сопротивления источника тока38 Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

Узлом электрической цепи называется любая точка разветвления цепив которой сходится не менее трех проводников с током Ток входящий в узелсчитается положительным а ток выходящий из узла mdash отрицательным

Первое правило Кирхгофа mdash алгебраическая сумма токов сходящихся вузле равна нулю

sum =k

kI 0

Например для узла A на рисунке первое правилоКирхгофа

0654321 =minus++minusminus IIIIIIВторое правило Кирхгофа mdash в любом замкнутом контуре произвольно

выбранном в разветвленной электрической цепи алгебраическая суммапроизведений сил токов iI на сопротивление iRсоответствующих участков этого контура равнаалгебраической сумме ЭДС kΘ встречающихся вэтом контуре

sum sumΘ=i k

kii RI

Например для обхода по часовой стрелкезамкнутого контура ABCDA второе правилоКирхгофа имеет вид

32144332211 Θ+ΘminusΘ=++minus RIRIRIRIПри расчете сложных цепей с применением правил Кирхгофа необходимо

1 Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепидействительное направление токов определяется при решении задачиесли искомый ток получится положительным то его направление быловыбрано правильно а если mdash отрицательным mdash его истинноенаправление противоположно выбранному

2 Выбрать направление обхода контура и строго его придерживатьсяпроизведение IR положительно если ток на данном участке совпадаетс направлением обхода ЭДС действующие по выбранномунаправлению обхода считаются положительными против mdashотрицательными

3 Составить столько уравнений чтобы их число было равно числуискомых величин (в систему уравнений должны входить всесопротивления и ЭДС рассматриваемой цепи) каждыйрассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент несодержащийся в предыдущих контурах чтобы не получалисьуравнения которые являются простой комбинацией уже составленныхуравнений

3ndash5

Электричество

пронизывающих единицу площади поверхностиперпендикулярную линиям напряженности должно бытьравно модулю вектора E

r

Тогда число линий напряженности пронизывающихэлементарную площадку dS равно dSEdSE n=sdot αcos

где nE mdash проекция вектора Er

на нормаль nr к площадкеdS (Вектор nr mdash единичный вектор перпендикулярныйплощадке dS ) Величина

dSEdSEdSEdSEd nE

r==sdot=sdot=Φ perp αcos

называется потоком вектора напряженности черезплощадку dS Здесь ndSdS r= mdash вектор модуль которо-го равен dS а направление вектора совпадает с направлением nr к площадке

Поток вектора Er

сквозь произвольную замкнутую поверхность S

intint ==ΦSS

nE dSEdSEr

5 Принцип суперпозиции электростатических полейК кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип

независимости действия сил mdash результирующая сила действующая состороны поля на пробный заряд равна векторной сумме сил приложенных кнему со стороны каждого из зарядов создающих электростатическое поле

Напряженность результирующего поля создаваемого системой зарядовтакже равна геометрической сумме напряженностей полейсоздаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности

Эта формула выражает принцип суперпозиции(наложения) электростатических полей Он позволяетрассчитать электростатические поля любой системы неподвижных зарядовпредставив ее в виде совокупности точечных зарядов

Напомним правило определения величины вектора cr

суммы двух векторов ar и br

βα cos2cos2 2222 abbaabbac minus+=++=r

6 Теорема ГауссаВычисление напряженности поля системы электрических зарядов с

помощью принципа суперпозиции электростатических полей можнозначительно упростить используя теорему Гаусса определяющую потоквектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутуюповерхность

Рассмотрим поток вектора напряженности через сферическую поверхностьрадиуса r охватывающую точечный заряд q находящийся в ее центре

0

22

0

44 ε

ππε

qrr

qdSES

nE ===Φ intЭтот результат справедлив для любой замкнутой поверхности

произвольной формы охватывающей заряд

sum=

=n

iiEE

1

rr

ar crαβ

br

3ndash6

АНОгурцов Лекции по физике

Если замкнутая поверхность не охватывает заряда то поток сквозь нееравен нулю так как число линий напряженности входящих в поверхностьравно числу линий напряженности выходящих из нее

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности окружающей nзарядов Согласно принципу суперпозиции напряженность поля E

r

создаваемого всеми зарядами равна сумме напряженностей iEr

создаваемыхкаждым зарядом в отдельности Поэтому

sum sumsumintint sumint= ===

===sdot

==Φ

n

i

n

ii

in

i Si

S

n

ii

SnE q

qdSEdSEdSE

1 10011

1εε

rr

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме потоквектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности зарядов деленных на 0ε

Если заряд распределен в пространстве с объемной плотностьюdVdq =ρ то теорема Гаусса

intint ==ΦVS

nE dVdSE ρε0

1

7 Циркуляция вектора напряженностиЕсли в электростатическом поле точечного заряда q

из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траекторииперемещается другой точечный заряд 0q то силаприложенная к заряду совершает работу Работа силы наэлементарном перемещении dl равна

drr

qqdlr

qqFdldlFdA 20

020

0 41cos

41cos

πεα

πεα ====

r

Работа при перемещении заряда 0q из точки 1 в точку 2

intint

minus===

2

1

2

1 2

0

1

0

02

0

012 4

14

r

r

r

r rqq

rqq

rdrqqdAA

πεπεРабота 12A не зависит от траектории перемещения а определяется толькоположениями начальной и конечной точек Следовательно электростатическоеполе точечного заряда является потенциальным а электростатические силыmdash консервативными

Таким образом работа перемещения заряда в электростатическом полепо любому замкнутому контуру L равна нулю

0=intL

dA

Если переносимый заряд единичный то элемен-тарная работа сил поля на пути dl равна dlEdlE l=

r

где αcosEEl = mdash проекция вектора Er

на направление

элементарного перемещения dl

3ndash27

Электричество

Используя дифференциальную форму закона Ома Ej γ= и определение

γρ 1= получим закон ДжоуляndashЛенца в дифференциальной форме

2jEEw == γТепловое действие электрического тока используется в осветительных

лампах накаливания электросварке электронагревательных приборах и тд37 Закон Ома для неоднородного участка цепи

Рассмотрим неоднородный участок цепи 1mdash2 на котором присутствуютсилы неэлектрического происхождения (сторонние силы)

Обозначим через 12Θ mdash ЭДС на участке 1mdash2 21 ϕϕϕ minus=∆ mdashприложенную на концах участка разность потенциалов

Если участок цепи 1mdash2 неподвижен то (по закону сохранения энергии)общая работа 12A сторонних и электростатических сил совершаемая надносителями тока равна теплоте Q выделяющейся на участке

Работа сил совершаемая при перемещении заряда 0q ϕ∆+Θ= 012012 qqA

ЭДС 12Θ как и сила тока I mdash величина скалярная Если ЭДСспособствует движению положительных зарядов в выбранном направлении то

012 gtΘ если препятствует то 012 ltΘ

За время t в проводнике выделится теплота 02 )( IRqItIRRtIQ ===

Отсюда следует закон Ома для неоднородного участка цепи винтегральной форме который является обобщенным законом Ома

1221 Θ+minus= ϕϕIR

или R

I 1221 Θ+minus= ϕϕ

Частные случаи1) Если на данном участке цепи источник тока отсутствует то мы

получаем закон Ома для однородного участка цепи

RUI =

2) Если цепь замкнута ( 0=∆ϕ ) то получаем закон Ома длязамкнутой цепи

внешвнутр RrRI

+Θ=Θ=

где minusΘ ЭДС действующая в цепиminusR суммарное сопротивление всей цепи

minusвнешR сопротивление внешней цепиminusвнутрr внутреннее сопротивление источника тока

3) Если цепь разомкнута то 0=I и 1212 ϕϕ minus=Θ те ЭДСдействующая в разомкнутой цепи равна разности потенциалов наее концах

3ndash26

АНОгурцов Лекции по физике

Рассмотрим однородный проводник с сопротивлением R к концамкоторого приложено напряжение U За время dt через сечение проводникапереносится заряд Idtdq = Работа по перемещению заряда 0q между двумяточками поля равна

ϕ∆= 012 qA откуда dtR

URdtIUIdtUdqdA2

2 ====

Мощность тока

RURIUI

dtdAP

22 ====

Если размерности [ ]=I А [ ]=U В [ ]=R Ом то [ ]=A Дж и [ ]=P ВтВнесистемные единицы работы тока ватт-час (Втmiddotч) и киловатт-час

(кВтmiddotч) 1 Втmiddotч mdash работа тока мощностью 1 Вт в течении 1 ч 1 Втmiddotч=3600Втmiddotс=36middot103 Дж Аналогично 1 кВтmiddotч=1000 Втmiddotч=36middot106 Дж36 Закон ДжоуляndashЛенца

При прохождении тока по проводнику происходит рассеяние энергиивследствие столкновений носителей тока между собой и с любыми другимичастицами среды Если ток проходит по неподвижному проводнику то всяработа тока dA идет на нагревание проводника (выделение теплоты dQ )

По закону сохранения энергии dQdA =

dtR

URdtIIUdtdQ2

2 ===

Количество теплоты Q выделяющееся за конечный промежуток времениот 0 до t постоянным током I во всем объеме проводника электрическоесопротивление которого равно R получаем интегрируя предыдущеевыражение

tRIRdtIQt

2

0

2 == intЗакон ДжоуляndashЛенца (в интегральной форме) количество теплоты

выделяемое постоянным электрическим током на участке цепи равнопроизведению квадрата силы тока на время его прохождения иэлектрическое сопротивление этого участка цепи

Выделим в проводнике цилиндрический объем dSdLdV = (ось цилиндра

совпадает с направлением тока) Сопротивление этого объема dSdlR ρ= По

закону ДжоуляndashЛенца за время dt в этом объеме выделится теплота

( ) dVdtjdtjdSdSdlRdtIdQ 222 ρρ ===

Удельной тепловой мощностью тока w называется количествотеплоты выделяющееся за единицу времени в единице объема

2jdVdtdQw ρ==

3ndash7

Электричество

Интеграл int int=L L

l dlEdlEr

называется циркуляцией вектора

напряженности по заданному замкнутому контуру L Теорема о циркуляции вектора E

r

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдольлюбого замкнутого контура равна нулю

0==int intL L

l dlEdlEr

Силовое поле обладающее таким свойством называетсяпотенциальным Эта формула справедлива только для электрическогополя неподвижных зарядов (электростатического)8 Потенциальная энергия заряда

В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работаконсервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии

Поэтому работу 12A можно представить как разность потенциальныхэнергий заряда 0q в начальной и конечной точках поля заряда q

212

0

01

0

012 4

14

1 WWr

qqr

qqA minus=minus=πεπε

Потенциальная энергия заряда 0q находящегося в поле заряда q нарасстоянии r от него равна

constr

qqW += 0

041πε

Считая что при удалении заряда на бесконечность потенциальнаяэнергия обращается в нуль получаем 0=const

Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия(отталкивания) положительна для разноименных зарядов потенциальнаяэнергия из взаимодействия (притяжения) отрицательна

Если поле создается системой n точечных зарядов то потенциальнаяэнергия заряда 0q находящегося в этом поле равна сумме его потенциальныхэнергий создаваемых каждым из зарядов в отдельности

sum sum= =

==n

i

n

i ii r

qqUW1 1 0

0 4πε9 Потенциал электростатического поля

Отношение 0q

W не зависит от пробного заряда 0q и является

энергетической характеристикой поля называемой потенциалом

0qW=ϕ

Потенциал ϕ в какой-либо точке электростатического поля естьскалярная физическая величина определяемая потенциальной энергиейединичного положительного заряда помещенного в эту точку

3ndash8

АНОгурцов Лекции по физике

Например потенциал поля создаваемого точечным зарядом q равен

rq

041πε

ϕ =

10 Разность потенциаловРабота совершаемая силами электростатического поля при перемещении

заряда 0q из точки 1 в точку 2 может быть представлена какϕϕϕ ∆=minus=minus= 02102112 )( qqWWA

то есть равна произведению перемещаемого заряда на разностьпотенциалов в начальной и конечной точках

Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом полеопределяется работой совершаемой силами поля при перемещенииединичного положительного заряда из точки 1 в точку 2

0

1221 q

A=∆=minus ϕϕϕ

Пользуясь определением напряженности электростатического поляможем записать работу 12A в виде

int int int===2

1

2

1

2

10012 dlEqdlEqdlFA

rrr

Отсюда

intint ===∆=minus2

1

2

10

1221 dlEdlE

qA

l

rϕϕϕ

где интегрирование можно производить вдоль любой линии соединяющейначальную и конечную точки так как работа сил электростатического поля независит от траектории перемещения

Если перемещать заряд 0q из произвольной точки за пределы поля(на бесконечность) где потенциальная энергия а значит и потенциал равнынулю то работа сил электростатического поля ϕ0qA =infin откуда

0qAinfin=ϕ

Таким образом еще одно определение потенциала потенциал mdashфизическая величина определяемая работой по перемещению единичногоположительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность

Единица потенциала ndash вольт (В) 1В есть потенциал такой точки поля вкоторой заряд в 1Кл обладает потенциальной энергией 1Дж (1В=1Дж1Кл)

Принцип суперпозиции потенциалов электростатических полейЕсли поле создается несколькими зарядами то потенциал поля системызарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов11 Связь между напряженностью и потенциалом

Для потенциального поля между потенциальной (консервативной) силой ипотенциальной энергией существует связь

WWF minusnabla=minus= gradr

3ndash25

Электричество

В проводнике El

U = mdash напряженность электрического поля SlR ρ=

SIj =

Из закона Ома получим соотношение l

USI

ρ1= откуда Ej γ=

В векторной форме соотношениеEjrr

γ=называется законом Ома в дифференциальной форме Этот закон

связывает плотность тока в любой точке внутри проводника снапряженностью электрического поля в той же точке33 Сопротивление соединения проводников(1) Последовательное соединение n про-

водников IIII n ==== K21

sum sumsum= ==

====n

i

n

iiii

n

ii RIRIUUIR

1 11

sum=

=n

iiRR

1

(2) Параллельное соединение n провод-ников UUUU n ==== K21

sumsumsum===

====n

i i

n

i i

in

ii R

URUII

RU

111

1

sum=

=n

i iRR 1

11

34 Температурная зависимость сопротивленияОпытным путем было установлено что для большинства случаев

изменение удельного сопротивления (а значит и сопротивления) стемпературой описывается линейным законом

( )tαρρ += 10 или ( )tRR α+= 10

где ρ и 0ρ R и 0R mdash соответственно удельные сопротивления исопротивления проводника при температурах t и deg0 С (шкала Цельсия) α mdashтемпературный коэффициент сопротивления

На зависимости электрического сопротивления металлов от температурыосновано действие термометров сопротивления

Сопротивление многих металлов при очень низких температурах kT (014ndash20 К (шкала Кельвина)) называемых критическими характерных для каждоговещества скачкообразно уменьшается до нуля и металл становитсяабсолютным проводником Это явление называется сверхпроводимостью35 Работа и мощность тока

Кулоновские и сторонние силы при перемещении заряда q вдольэлектрической цепи совершают работу A

3ndash24

АНОгурцов Лекции по физике

Если на заряд 0q действуют как сторонние силы так и силыэлектростатического поля то результирующая сила

( )EEqFFF e

rrrrr+=+= стор0стор

Работа результирующей силы по перемещению заряда 0q на участке 1mdash2

( )intint minus+Θ=+=2

12101200

2

1стор012 ϕϕqqdlEqdlEqA

rr

Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю поэтомуΘ= 0qA

Напряжением U на участке 1mdash2 называется физическая величиначисленно равная суммарной работе совершаемой электростатическими исторонними силами по перемещению единичного положительного заряда наданном участке цепи

12210

1212 Θ+minus== ϕϕ

qAU

Понятие напряжения является обобщением понятия разностипотенциалов напряжение на концах участка цепи равно разностипотенциалов если участок не содержит источника тока (те на участке недействует ЭДС сторонние силы отсутствуют)32 Закон Ома Электрическое сопротивление

Закон Ома для однородного участка цепи (не содержащегоисточника тока) сила тока текущего по однородномуметаллическому проводнику пропорциональна напряжению наконце проводника (интегральная форма закона Ома)

Коэффициент пропорциональности R называется электрическим сопро-тивлением проводника

Единица электрического сопротивления mdash ом (Ом) 1 Ом mdash сопро-тивление такого проводника в котором при напряжении 1В течет постоянныйток 1А

Величина R

G 1= называется электрической проводимостью проводника

Единица электрической проводимости mdash сименс (См) 1 См mdashпроводимость участка электрической цепи сопротивлением 1 Ом

Сопротивление проводника зависит от его размеров и формы а также отматериала из которого проводник изготовлен Например дляоднородного линейного проводника длиной l и площадьюпоперечного сечения S сопротивление рассчитывается по формуле

где коэффициент пропорциональности ρ характеризующий материалпроводника называется удельным электрическим сопротивлением

Единица удельного электрического сопротивления mdash ом-метр(Омм)

Величина обратная удельному сопротивлению называетсяудельной электрической проводимостью вещества проводника

Единица удельной электрической проводимости mdash сименсна метр (Смм)

RUI =

SlR ρ=

ρ

γ 1=

3ndash9

Электричество

где nabla (набла) mdash оператор Гамильтона kz

jy

ix

rrr

partpart+

partpart+

partpart=nabla

Поскольку EqFrr

= и ϕqW = то

ϕϕ minusnabla=minus= gradEr

Знак минус показывает что вектор Er

направлен в сторону убыванияпотенциала12 Эквипотенциальные поверхности

Для графического изображения распределения потенциала используютсяэквипотенциальные поверхности mdash поверхности во всех точках которыхпотенциал имеет одно и то же значение

Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так чтобы разностипотенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностямибыли одинаковы Тогда густота эквипотенциальных поверхностей нагляднохарактеризует напряженность поля в разных точках Там где эти поверхностирасположены гуще напряженность поля больше На рисунке пунктиромизображены силовые линии сплошными линиями mdash сеченияэквипотенциальных поверхностей для положительного точечного заряда (а)диполя (б) двух одноименных зарядов (в) заряженного металлическогопроводника сложной конфигурации (г)

Для точечного заряда потенциал rq

041πε

ϕ = поэтому эквипотенциальные

поверхности mdash концентрические сферы С другой стороны линиинапряженности mdash радиальные прямые Следовательно линии напряженностиперпендикулярны эквипотенциальным поверхностям

Можно показать что во всех случаях1) вектор E

r перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и

2) всегда направлен в сторону убывания потенциала13 Примеры расчета наиболее важных симметричных электростатических

полей в вакууме1 Электростатическое поле электрического диполя в вакууме

Электрическим диполем (или двойным электрическим полюсом)называется система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов( qq minus+ ) расстояние l между которыми значительно меньше расстояния дорассматриваемых точек поля )( rl ltlt

Плечо диполя lr

mdash вектор направленный по оси диполя ототрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними

3ndash10

АНОгурцов Лекции по физике

Электрический момент диполя epr mdash вектор совпада-ющий по направлению с плечом диполя и равный произведениюмодуля заряда q на плечо l

r1) Напряженность поля диполя на продолжении

оси диполя в точке Аminus+minus+ +=minus= ϕϕϕEEEA

Пусть r mdash расстояние до точки А от серединыоси диполя Тогда учитывая что lr gtgt

30

30

20

20

24

1

24

1

24

1

24

1

rp

rql

lr

qlr

qE

e

A

πε

πεπεπε

=

==

+

minus

minus

=

20

200 4

14

1224

1rp

rql

lrq

lrq e

A πεπεπεϕ ==

+minus

minus=

2) Напряженность поля в точке B на перпендикуляре восстановленном коси диполя из его середины при lr gtgt

( ) ( ) ( )

41

241

20

220 r

lEE

rq

lrqEE B asympasymp+

==+

minus+ πεπε поэтому

30

30 )(4

1)(4

1

)(rp

rql

rlEE e

B πεπε=== +

0=BϕТочка В равноудалена от зарядов q+ и qminus

диполя поэтому потенциал поля в точке В равеннулю Вектор BE

r направлен противоположно

вектору lr

3) Во внешнем электрическом поле на концы

диполя действует пара сил которая стремитсяповернуть диполь таким образом чтобыэлектрический момент epr диполя развернулся

вдоль направления поля Er

(рис(а))Во внешнем однородном поле момент пары

сил равен αsinqElM = или ][ EpM e

rrr= Во внешнем неоднородном поле

(рис(в)) силы действующие на концы диполя неодинаковы ( )12 FFrr

gt и ихрезультирующая стремится передвинуть диполь в область поля с большейнапряженностью mdash диполь втягивается в область более сильного поля2 Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностьюdSdq=+σ Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой

плоскости и направлены от нее в обе стороны

lqpe

rr =

3ndash23

Электричество

цепи выравниваются и электростатическое поле исчезаетДля существования постоянного тока необходимо наличие в цепи

устройства способного создавать и поддерживать разность потенциаловза счет сил не электростатического происхождения

Такие устройства называются источниками токаСилы не электростатического происхождения действующие на заряды со

стороны источников тока называются стороннимиКоличественная характеристика сторонних сил mdash поле сторонних сил и

его напряженность сторEr

определяемая сторонней силой действующей наединичный положительный заряд

Природа сторонних сил может быть различной Например вгальванических элементах они возникают за счет энергии химических реакциймежду электродами и электролитами в генераторе mdash за счет механическойэнергии вращения ротора генератора в солнечных батареях mdash за счет энергиифотонов и тп Роль источника тока в электрической цепи такая же как рольнасоса который необходим для поддержания тока жидкости в гидравлическойсистеме

Под действием создаваемого поля сторонних сил электрические зарядыдвижутся внутри источника тока против сил электростатического поляблагодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепитечет постоянный электрический ток31 Электродвижущая сила и напряжение

Физическая величина определяемая работой которую совершаютсторонние силы при перемещении единичного положительного заряданазывается электродвижущей силой (ЭДС) действующей в цепи

0qA=Θ

Эта работа совершается за счет энергии затрачиваемой в источнике токапоэтому величину Θ можно назвать электродвижущей силой источника токавключенного в цепь ЭДС как и потенциал выражается в вольтах

Участок цепи на котором не действуют сторонние силы называетсяоднородным Участок на котором на носители тока действуют сторонние силыназывается неоднородным

Работа сторонних сил по перемещению заряда 0q на замкнутом участкецепи

int int== dlEqdlFA стор0стор

rr

Отсюда ЭДС действующая в замкнутой цепи mdash это циркуляция векторанапряженности поля сторонних сил

dlEint=Θ стор

r

Следовательно для поля сторонних сил циркуляция его напряженности позамкнутому контуру не равна нулю Поэтому поле сторонних сил mdashнепотенциально

ЭДС действующая на участке 1ndash2 цепи равна

dlEint=Θ2

1стор12

r

3ndash22

АНОгурцов Лекции по физике

скалярная физическая величина равная отношению заряда dq переносимогосквозь рассматриваемую поверхность за малый промежуток времени квеличине dt этого промежутка

dtdqI =

Электрический ток называется постоянным если сила тока и егонаправление не изменяются с течением времени

Для постоянного тока tqI =

где q mdash электрический заряд проходящий за время t через поперечноесечение проводника

Единица силы тока mdash ампер (А) (см Механика стр 1-2)Для характеристики направления электрического тока в разных точках

рассматриваемой поверхности и распределения силы тока по этой поверхностислужит вектор плотности тока j

r Сила тока сквозь произвольную

поверхность S определяется как поток вектора плотности тока

int=S

dSjIr

где dSndS r= ( nr ndash единичный вектор нормали (орт) к площадке dS )Плотностью электрического тока называется вектор j

r совпа-

дающий с направлением электрического тока в рассматриваемой точке ичисленно равный отношению силы тока dI сквозь малый элемент поверхностиортогональной направлению тока к площади perpdS этого элемента

perp=

dSdIj

Для постоянного тока I текущего перпендикулярно сечению S

проводника SIj =

Если за время dt через поперечное сечение S проводника переноситсязаряд dtSnedq υ= (где n e и υ mdash концентрация заряд и средняя

скорость упорядоченного движения зарядов) то сила тока SneI dtdq υ== а

плотность токаυr

rnej =

Единица плотности тока mdash Ам230 Сторонние силы

Для возникновения и существования электрического тока необходимо1) наличие свободных носителей тока mdash заряженных частиц способ-

ных перемещаться упорядоченно2) наличие электрического поля энергия которого должна каким-то

образом восполнятьсяЕсли в цепи действуют только силы электростатического поля то

происходит перемещение носителей таким образом что потенциалы всех точек

3ndash11

Электричество

В качестве Гауссовой поверхности примемповерхность цилиндра образующие которогоперпендикулярны заряженной плоскости аоснования параллельны заряженной плоскости илежат по разные стороны от нее на одинаковыхрасстояниях

Так как образующие цилиндра параллельнылиниям напряженности то поток векторанапряженности через боковую поверхностьцилиндра равен нулю а полный поток сквозь цилиндр равен суммепотоков сквозь его основания ES2 Заряд заключенный внутрицилиндра равен Sσ По теореме Гаусса 02 εσSES = откуда

E не зависит от длины цилиндра те напряженность поля на любыхрасстояниях одинакова по модулю Такое поле называется однородным

Разность потенциалов между точками лежащими на расстояниях 1x и 2xот плоскости равна

intint minus===minus2

1

2

1

)(22 12

0021

x

x

x

x

xxdxEdxεσ

εσϕϕ

3 Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженныхплоскостей с равными по абсолютному значению поверхностнымиплотностями зарядов 0gtσ и σminus

Из предыдущего примера следует что векторы напряженности 1Er

и 2Er

первой и второй плоскостей равны по модулю и всюду направленыперпендикулярно плоскостям Поэтому в пространстве вне плоскостей оникомпенсируют друг друга а в пространстве между плоскостями суммарнаянапряженность 12EE

rr= Поэтому между плоскостями

0εσ=E (в диэлектрике

0εεσ=E )

Поле между плоскостями однородное Разность потенциалов междуплоскостями

00 0021 ε

σεσϕϕ ddxEdx

dd

===minus intint (в диэлектрике 0εε

σϕ d=∆ )

4 Поле равномерно заряженной сферической поверхностиСферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена

равномерно с поверхностной плотностью 24 Rqπ

σ =

02ε

σ=E

3ndash12

АНОгурцов Лекции по физике

Поскольку система зарядов и следовательносамо поле центрально-симметрично относительноцентра сферы то линии напряженности направленырадиальноВ качестве Гауссовой поверхности выберем сферурадиуса r имеющую общий центр с заряженнойсферой Если Rr gt то внутрь поверхностипопадает весь заряд q По теореме Гаусса

0

24ε

π qEr = откуда ( )Rrr

RrqE ge==

41

20

2

20 ε

σπε

При Rr le замкнутая поверхность не содержитвнутри зарядов поэтому внутри равномернозаряженной сферы 0=E

Разность потенциалов между двумя точкамилежащими на расстояниях 1r и 2r от центра сферы( RrRr gtgt 21 ) равна

int int

minus===minus

2

1

2

1 2102

021

1144

1r

r

r

r rrqdr

rqEdr

πεπεϕϕ

Если принять rr =1 и infin=2r то потенциал поля вне сферической

поверхности rq

041πε

ϕ =

Вне заряженной сферы поле такое же как поле точечного заряда q находящегося в центре сферы Внутри заряженной сферы поля нет поэтомупотенциал всюду одинаков и такой же как на поверхности

004 εσ

πεϕ R

Rq ==

5 Поле объемно заряженного шараЗаряд q равномерно распределен в вакууме по

объему шара радиуса R с объемной плотностью

33

4 Rq

Vq

πρ == Центр шара является центром

симметрии поля1) Для поля вне шара )( Rr gt получаем тот же

результат что и в случае сферической поверхности

204

1rqE

πε=

rq

04πεϕ =

minus=minus

21021

114 rr

qπε

ϕϕ

2) При Rr = 0

2

002

0 34

341

ερ

πεϕ

ερ

πεR

rqR

RqE ====

3) Внутри шара сфера радиусом Rr lt охватывает заряд ρπ 3

34 rq =

3ndash21

Электричество

Интегрирование проводится по всем заряженным поверхностям S и по всемузаряженному объему V тел системы

На примере поля плоского конденсатора выразим энергию поля через егонапряженность Для конденсатора dSC 0εε= и Ed=∆ϕ Отсюда

VESdEW 20

20 2

121 εεεε ==

В однородном поле конденсатора его энергия распределена равномернопо всему объему поля SdV =

Объемная плотность энергии электростатического поля плоскогоконденсатора w

EDEVWw

21

21 2

0 === εε

где ED 0εε= mdash электрическое смещениеЭта формула является отражением того факта что электростатическая

энергия сосредоточена в электростатическом поле Это выражениесправедливо также и для неоднородных полей28 Пондеромоторные силы

Механические силы действующие на заряженные тела помещенные вэлектромагнитное поле называются пондеромоторными силами (от латинскихслов ponderis mdash тяжесть и motor mdash движущий)

Например в плоском конденсаторе сила с которой пластиныконденсатора притягивают друг друга совершает работу за счет уменьшения

потенциальной энергии системы С учетом Sq=σ и

0εεσ=E получаем

SESS

qdx

dWF 20

0

2

0

2

21

22εε

εεσ

εεminus=minus=minus=minus=

где знак минус указывает на то что эта сила является силой притяженияПод действием этой силы обкладки конденсатора сжимают пластинудиэлектрика помещенного между ними и в диэлектрике возникает давление

20

0

2

21

2E

SFp εε

εεσ ===

Постоянный электрический ток

29 Постоянный электрический ток сила и плотность токаЭлектродинамика mdash раздел учения об электричестве в котором

рассматриваются явления и процессы обусловленные движениемэлектрических зарядов

Электрическим током называется упорядоченное движениеэлектрических зарядов

За направление тока принимают направление движения положительныхзарядов

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I mdash

3ndash20

АНОгурцов Лекции по физике

неподвижных точечных зарядов равна

sum=

=n

iiiqW

121 ϕ

где iϕ mdash потенциал создаваемый в той точке где находится заряд iq всеми зарядами кроме i -го25 Энергия заряженного уединенного проводника

Рассмотрим уединенный проводник заряд емкость и потенциал которогоравны ϕCq Элементарная работа dA совершаемая внешними силами попреодолению кулоновских сил отталкивания при перенесении заряда dq избесконечности на проводник равна ϕϕϕ dCdqdA == Чтобы зарядитьпроводник от нулевого потенциала до ϕ необходимо совершить работу

int ==ϕ ϕϕϕ0

2

2CdCA

Энергия заряженного уединенного проводника (используя ϕqC = )

222

22 ϕϕ qC

qCW ===

26 Энергия заряженного конденсатораЭлементарная работа внешних сил по перенесению малого заряда dq с

обкладки 2 конденсатора на обкладку 1

CqdqdqdA =∆= ϕ

Работа внешних сил при увеличении заряда конденсатора от 0 до q

int ==q

Cq

CqdqA

0

2

2

Энергия заряженного конденсатора (используя ϕ∆

= qC )

( )222

221

2 ϕϕϕ ∆=minus== qCC

qW

27 Энергия электростатического поляВ общем случае электрическую энергию любой системы

заряженных неподвижных тел mdash проводников и непроводников mdash можнонайти по формуле

intint +=VS

dVdSW ϕρϕσ21

21

где σ и ρ mdash поверхностная и объемная плотности свободных зарядов ϕ mdashпотенциал результирующего поля всех свободных и связанных зарядов вточках малых элементов dS и dV заряженных поверхностей и объемов

3ndash13

Электричество

По теореме Гаусса 0

3

0

2

344ερπ

επ rqEr ==

Отсюда для точек лежащих внутри шара ( )RrRr ltlt 21 с учетом 33

4 Rqπ

ρ =

03

0 34 ερ

πεr

RqrE == int minus==minus

2

1

)(8

21

223

021

r

r

rrR

qEdrπε

ϕϕ

6 Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен

равномерно с линейной плотностью dldq=τ

Линии напряженности будут направлены порадиусам круговых сечений цилиндра содинаковой густотой во все стороныотносительно оси цилиндра

В качестве Гауссовой поверхностивыберем цилиндр радиуса r и высотой lкоаксиальный с заряженной нитью

Торцы этого цилиндра параллельнылиниям напряженности поэтому поток черезних равен нулю

Поток через боковую поверхность равенrlE π2

По теореме Гаусса (при Rr gt ) 0

2ετπ lrlE = откуда при RrRr gtgt 21

rE τ

πε021=

1

2

0021 ln

22

2

1

2

1rr

rdrEdr

r

r

r

r πετ

πετϕϕ int int ===minus

Если Rr lt то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержитпоэтому 0=E 14 Электростатическое поле в диэлектрической среде

Диэлектриками называются вещества которые при обычных условияхпрактически не проводят электрический ток

Диэлектрик как и всякое другое вещество состоит из атомов или молекулкаждая из которых в целом электрически нейтральна

Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядомq+ находящимся в так сказать центре тяжести положительных зарядов а

заряд всех электронов mdash суммарным отрицательным зарядом qminus находя-щимся в центре тяжести отрицательных зарядов то молекулы можнорассматривать как электрические диполи с электрическим моментом

Различают три типа диэлектриков1) Диэлектрики с неполярными молекулами симметричные молекулы

которых в отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент(например N2 H2 O2 CO2)

3ndash14

АНОгурцов Лекции по физике

2) Диэлектрики с полярными молекулами молекулы которыхвследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (например H2ONH3 SO2 CO)

3) Ионные диэлектрики (например NaCl KCl) Ионные кристаллыпредставляют собой пространственные решетки с правильным чередованиемионов разных знаков

Внесение диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит квозникновению отличного от нуля результирующего электрического моментадиэлектрика

Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей илипоявления под воздействием электрического поля ориентированных по полюдиполей

Соответственно трем видам диэлектриков различают три видаполяризации

1) Электронная или деформационная поляризация диэлектрика снеполярными молекулами mdash за счет деформации электронных орбит возникает

индуцированный дипольный момент у атомов илимолекул диэлектрика

2) Ориентационная или дипольная по-ляризация диэлектрика с полярными молеку-лами mdash ориента-ция имеющихся

дипольных моментов молекул по полю (этаориентация тем сильнее чем больше напря-женность электрического поля и чем нижетемпература)

3) Ионная поляризация диэлектрика сионными кристаллическими решетками mdash смещение подрешеткиположительных ионов вдоль поля а отрицательных ионов против поляприводит к возникновению дипольных моментов15 Поляризованность

Поместим пластину из однородного диэлектрика во внешнееэлектрическое поле созданное двумя бесконечными параллельнымиразноименно заряженными плоскостями

Во внешнем электрическом поле диэлектрик объемом V поляризуетсяте приобретает дипольный момент sum=

iiV pp rr где minusipr дипольный момент

одной молекулыДля количественного описания поляризации диэлектрика используется

векторная величина mdash поляризованность mdash которая определяется какдипольный момент единицы объема диэлектрика

Vp

VpP i iV sum==

rrr

В случае изотропного диэлектрика поляризованность (для большинствадиэлектриков за исключением сегнетоэлектриков) линейно зависит отнапряженности внешнего поля

EPrr

0χε=

3ndash19

Электричество

1 Емкость плоского конденсатора (две параллельные металлическиепластины площадью S каждая расположенные на расстоянии d друг от

друга (Sq=σ ))

dS

dqqC εε

εεσϕ

0

0

==∆

=

2 Емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндрадлиной l с радиусами 1r и 2r )( lq=τ )

1

2

0

1

2

0ln

2

ln2 r

rl

rr

lq

qC επε

επε

==

3 Емкость сферического конденсатора (две концентрических сферы срадиусами 1r и 2r )

12

210

210

411

4rr

rr

rrq

qCminus

=

minus

= επε

επε

23 Соединения конденсаторовУ параллельно соединенных конденсаторов nCCC K21 разность

потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова ϕ∆ Полная емкость

sumsumsum

=

== =∆

∆=

∆=

∆=

n

ii

n

ii

n

ii

CCq

qC1

11

ϕ

ϕ

ϕϕ

У последовательно соединенных кон-денсаторов nCCC K21 заряды q всехобкладок равны по модулю а суммарнаяразность потенциалов

Cq

Cqn

i i

n

ii ==∆=∆ sumsum

== 11ϕϕ

откуда

sum=

=n

i iCC 1

11

24 Энергия системы неподвижных точечных зарядовДля системы двух зарядов 1q и 2q находящихся на расстоянии r друг от

друга каждый из них в поле другого обладает потенциальной энергией

22121

02

2

011211 4

14

1 Wqrqq

rqqqW ===== ϕ

πεπεϕ

Поэтому )( 21212121

212121 ϕϕϕϕ qqqqW +=== Добавляя последова-тельно по одному заряду получим что энергия взаимодействия системы n

3ndash18

АНОгурцов Лекции по физике

εεσ0

=E где σ mdash поверхностная плотность зарядов и ε mdash диэлектрическая

проницаемость среды окружающей проводникНейтральный проводник внесенный в электростатическое поле

разрывает часть линий напряженности они заканчиваются на отрицательныхиндуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных

Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхностипроводника Явление перераспределения поверхностных зарядов напроводнике во внешнем электростатическом поле называетсяэлектростатической индукцией21 Электроемкость

Рассмотрим уединенный проводник mdash проводник удаленный от другихтел и зарядов Из опыта следует что разные проводники будучи одинаковозаряженными имеют разные потенциалы

Физическая величина C равная отношению заряда проводника q к егопотенциалу ϕ называется электрической емкостью этого проводника

ϕqC =

Электроемкость уединенного проводника численно равна зарядукоторый нужно сообщить этому проводнику для того чтобы изменить егопотенциал на единицу

Она зависит от формы и размеров проводника и от диэлектрическихсвойств окружающей среды Емкости геометрически подобных проводниковпропорциональны их линейным размерам

Пример емкость уединенного проводящего шара RqC 04πεϕ==

Единица электроемкости mdash фарад (Ф) 1Ф mdash емкость такогоуединенного проводника потенциал которого изменяется на 1В при сообщенииему заряда 1Кл Емкостью 1Ф обладает шар с радиусом 6109 sdot=R км ЕмкостьЗемли 07мФ22 Конденсаторы

Если к проводнику с зарядом q приблизить другие тела то на ихповерхности возникнут индуцированные (на проводнике) или связанные (надиэлектрике) заряды Эти заряды ослабляют поле создаваемое зарядом q тем самым понижая потенциал проводника и повышая его электроемкость

Конденсатор mdash это система из двух проводников (обкладок) содинаковыми по модулю но противоположными по знаку зарядами форма ирасположение которых таковы что поле сосредоточено в узком зазоре междуобкладками

Емкость конденсатора mdash физическая величина равная отношениюзаряда q накопленного в конденсаторе к разности потенциалов 21 ϕϕ minus междуего обкладками

ϕ∆= qC

3ndash15

Электричество

где minusχ диэлектрическая восприимчивость вещества характеризующаясвойства диэлектрика (положительная безразмерная величина)16 Диэлектрическая проницаемость среды

Вследствие поляризации на поверхностидиэлектрика появляются нескомпенсированныезаряды которые называются связанными (в отличиеот свободных зарядов которые создают внешнееполе)

Поле Er

внутри диэлектрика создаваемоесвязанными зарядами направлено против внешнегополя 0E

r создаваемого свободными зарядами

Результирующее поле внутри диэлектрика0 EEE minus=

В нашем примере поле создаваемое двумябесконечно заряженными плоскостями с поверхностнойплотностью зарядов σ 0 εσ=E Поэтому

00 εσminus= EEПолный дипольный момент диэлектрической

пластинки с толщиной d и площадью грани S PSdPVpV == с другойстороны SdqdpV σ== Отсюда P=σ

EEEEPEEE χε

χεεε

σ minus=minus=minus=minus= 00

00

00

00

Откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

εχ00

1EEE =

+=

Безразмерная величина EE01 =+= χε называется диэлектрической

проницаемостью среды Она характеризует способность диэлектриковполяризоваться в электрическом поле и показывает во сколько раз полеослабляется диэлектриком17 Электрическое смещение

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды(от ε ) Кроме того вектор напряженности E

r переходя через границу

диэлектриков претерпевает скачкообразное изменение поэтому для описания(непрерывного) электрического поля системы зарядов с учетомполяризационных свойств диэлектриков вводится вектор электрическогосмещения (электрической индукции) который для изотропной средызаписывается как

PEEEDrrrrr

+=+== 000 )1( εχεεεЕдиница электрического смещения mdash Клм2Вектор D

r описывает электростатическое поле создаваемое свободными

зарядами (те в вакууме) но при таком их распределении в пространстве какоеимеется при наличии диэлектрика

3ndash16

АНОгурцов Лекции по физике

Аналогично линиям напряженности можно ввести линии электрическогосмещения Через области поля где находятся связанные заряды линиивектора D

r проходят не прерываясь

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Dr

сквозь этуповерхность

int int==ΦS S

nD dSDdSDr

где nD ndash проекция вектора Dr

на нормаль nr к площадке dS Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике поток

вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов

sumint int=

==n

ii

S Sn qdSDdSD

1

r

Для непрерывного распределения заряда в пространстве с объемнойплотностью dVdq=ρ

int int=S V

dVdSD ρr

Другая форма записи этого соотношения с учетом определениядивергенции вектора (стр1-31)

ρ=Dr

div18 Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

При отсутствии на границе двух диэлектриков свободных зарядовциркуляция вектора E

r по контуру int =

ABCDA

dlE 0r

откуда 021 =minus lElE ττ Поэтому

21 ττ EE =Учитывая ED εε0=

2

1

2

1

εε

τ

τ =DD

По теореме Гаусса поток вектора Dr

черезцилиндр ничтожно малой высоты равен нулю (нетсвободных зарядов) 0=∆minus∆ prime SDSD nn поэтому

21 nn DD =

1

2

2

1

εε=

n

n

EE

Таким образом при переходе через границураздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора E

r

(Eτ) и нормальная составляющая вектора Dr

(Dn) изменяются непрерывно (непретерпевают скачка) а нормальная составляющая вектора E

r (En) и

тангенциальная составляющая вектора Dr

(Dτ) претерпевают скачок

3ndash17

Электричество

19 СегнетоэлектрикиСегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики у которых

в отсутствие внешнего электрического поля возникает самопроизвольнаяориентация дипольных электрических моментов составляющих его частиц

Примеры сегнетова соль NaKC4H4O6middot4H2Oтитанат бария BaTiO3

Сегнетоэлектрики состоят из доменов mdashобластей с различными направлениямиполяризованности

Температура выше которой исчезаютсегнетоэлектрические свойства mdash точка Кюри

Для сегнетоэлектриков связь между векторами Er

и Pr

нелинейная инаблюдается явление диэлектрического гистерезиса mdash сохраненияостаточной поляризованности при снятии внешнего поля

Пьезоэлектрики mdash кристаллические диэлектрики в которых при сжатииили растяжении возникает электрическая поляризация mdash прямой пьезоэффект

Обратный пьезоэффект mdash появление механической деформации поддействием электрического поля20 Проводники в электростатическом поле

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или егозарядить то на заряды проводника будет действовать электростатическоеполе в результате чего они начнут перемещаться до тех пор пока неустановится равновесное распределение зарядов при которомэлектростатическое поле внутри проводника обращается в нуль 0=E

r

Иначе если бы поле не было равно нулю то в проводнике возникло быупорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источникачто противоречит закону сохранения энергии

Следствия этого ( constE =rArr=minus= ϕϕ 0gradr

) потенциал во всех точках проводника одинаков поверхность проводника является эквипотенциальной вектор E

r направлен по нормали к каждой точке поверхности

При помещении нейтрального проводника во внешнее поле свободныезаряды (электроны и ионы) начнут перемещаться положительные mdash по полю а

отрицательные mdash против поля(рис(а)) На одном концепроводника будет избытокположительных зарядов надругом mdash отрицательных Этизаряды называютсяиндуцированными Процессбудет продолжаться до техпор пока напряженность поля

внутри проводника не станет равной нулю а линии напряженности внепроводника mdash перпендикулярными его поверхности (рис(б)) если проводнику сообщить некоторый заряд q то нескомпенсированныезаряды располагаются только на поверхности проводника причем σ=D и

Page 6: Лекции по физике. Электричество

3ndash6

АНОгурцов Лекции по физике

Если замкнутая поверхность не охватывает заряда то поток сквозь нееравен нулю так как число линий напряженности входящих в поверхностьравно числу линий напряженности выходящих из нее

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности окружающей nзарядов Согласно принципу суперпозиции напряженность поля E

r

создаваемого всеми зарядами равна сумме напряженностей iEr

создаваемыхкаждым зарядом в отдельности Поэтому

sum sumsumintint sumint= ===

===sdot

==Φ

n

i

n

ii

in

i Si

S

n

ii

SnE q

qdSEdSEdSE

1 10011

1εε

rr

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме потоквектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности зарядов деленных на 0ε

Если заряд распределен в пространстве с объемной плотностьюdVdq =ρ то теорема Гаусса

intint ==ΦVS

nE dVdSE ρε0

1

7 Циркуляция вектора напряженностиЕсли в электростатическом поле точечного заряда q

из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траекторииперемещается другой точечный заряд 0q то силаприложенная к заряду совершает работу Работа силы наэлементарном перемещении dl равна

drr

qqdlr

qqFdldlFdA 20

020

0 41cos

41cos

πεα

πεα ====

r

Работа при перемещении заряда 0q из точки 1 в точку 2

intint

minus===

2

1

2

1 2

0

1

0

02

0

012 4

14

r

r

r

r rqq

rqq

rdrqqdAA

πεπεРабота 12A не зависит от траектории перемещения а определяется толькоположениями начальной и конечной точек Следовательно электростатическоеполе точечного заряда является потенциальным а электростатические силыmdash консервативными

Таким образом работа перемещения заряда в электростатическом полепо любому замкнутому контуру L равна нулю

0=intL

dA

Если переносимый заряд единичный то элемен-тарная работа сил поля на пути dl равна dlEdlE l=

r

где αcosEEl = mdash проекция вектора Er

на направление

элементарного перемещения dl

3ndash27

Электричество

Используя дифференциальную форму закона Ома Ej γ= и определение

γρ 1= получим закон ДжоуляndashЛенца в дифференциальной форме

2jEEw == γТепловое действие электрического тока используется в осветительных

лампах накаливания электросварке электронагревательных приборах и тд37 Закон Ома для неоднородного участка цепи

Рассмотрим неоднородный участок цепи 1mdash2 на котором присутствуютсилы неэлектрического происхождения (сторонние силы)

Обозначим через 12Θ mdash ЭДС на участке 1mdash2 21 ϕϕϕ minus=∆ mdashприложенную на концах участка разность потенциалов

Если участок цепи 1mdash2 неподвижен то (по закону сохранения энергии)общая работа 12A сторонних и электростатических сил совершаемая надносителями тока равна теплоте Q выделяющейся на участке

Работа сил совершаемая при перемещении заряда 0q ϕ∆+Θ= 012012 qqA

ЭДС 12Θ как и сила тока I mdash величина скалярная Если ЭДСспособствует движению положительных зарядов в выбранном направлении то

012 gtΘ если препятствует то 012 ltΘ

За время t в проводнике выделится теплота 02 )( IRqItIRRtIQ ===

Отсюда следует закон Ома для неоднородного участка цепи винтегральной форме который является обобщенным законом Ома

1221 Θ+minus= ϕϕIR

или R

I 1221 Θ+minus= ϕϕ

Частные случаи1) Если на данном участке цепи источник тока отсутствует то мы

получаем закон Ома для однородного участка цепи

RUI =

2) Если цепь замкнута ( 0=∆ϕ ) то получаем закон Ома длязамкнутой цепи

внешвнутр RrRI

+Θ=Θ=

где minusΘ ЭДС действующая в цепиminusR суммарное сопротивление всей цепи

minusвнешR сопротивление внешней цепиminusвнутрr внутреннее сопротивление источника тока

3) Если цепь разомкнута то 0=I и 1212 ϕϕ minus=Θ те ЭДСдействующая в разомкнутой цепи равна разности потенциалов наее концах

3ndash26

АНОгурцов Лекции по физике

Рассмотрим однородный проводник с сопротивлением R к концамкоторого приложено напряжение U За время dt через сечение проводникапереносится заряд Idtdq = Работа по перемещению заряда 0q между двумяточками поля равна

ϕ∆= 012 qA откуда dtR

URdtIUIdtUdqdA2

2 ====

Мощность тока

RURIUI

dtdAP

22 ====

Если размерности [ ]=I А [ ]=U В [ ]=R Ом то [ ]=A Дж и [ ]=P ВтВнесистемные единицы работы тока ватт-час (Втmiddotч) и киловатт-час

(кВтmiddotч) 1 Втmiddotч mdash работа тока мощностью 1 Вт в течении 1 ч 1 Втmiddotч=3600Втmiddotс=36middot103 Дж Аналогично 1 кВтmiddotч=1000 Втmiddotч=36middot106 Дж36 Закон ДжоуляndashЛенца

При прохождении тока по проводнику происходит рассеяние энергиивследствие столкновений носителей тока между собой и с любыми другимичастицами среды Если ток проходит по неподвижному проводнику то всяработа тока dA идет на нагревание проводника (выделение теплоты dQ )

По закону сохранения энергии dQdA =

dtR

URdtIIUdtdQ2

2 ===

Количество теплоты Q выделяющееся за конечный промежуток времениот 0 до t постоянным током I во всем объеме проводника электрическоесопротивление которого равно R получаем интегрируя предыдущеевыражение

tRIRdtIQt

2

0

2 == intЗакон ДжоуляndashЛенца (в интегральной форме) количество теплоты

выделяемое постоянным электрическим током на участке цепи равнопроизведению квадрата силы тока на время его прохождения иэлектрическое сопротивление этого участка цепи

Выделим в проводнике цилиндрический объем dSdLdV = (ось цилиндра

совпадает с направлением тока) Сопротивление этого объема dSdlR ρ= По

закону ДжоуляndashЛенца за время dt в этом объеме выделится теплота

( ) dVdtjdtjdSdSdlRdtIdQ 222 ρρ ===

Удельной тепловой мощностью тока w называется количествотеплоты выделяющееся за единицу времени в единице объема

2jdVdtdQw ρ==

3ndash7

Электричество

Интеграл int int=L L

l dlEdlEr

называется циркуляцией вектора

напряженности по заданному замкнутому контуру L Теорема о циркуляции вектора E

r

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдольлюбого замкнутого контура равна нулю

0==int intL L

l dlEdlEr

Силовое поле обладающее таким свойством называетсяпотенциальным Эта формула справедлива только для электрическогополя неподвижных зарядов (электростатического)8 Потенциальная энергия заряда

В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работаконсервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии

Поэтому работу 12A можно представить как разность потенциальныхэнергий заряда 0q в начальной и конечной точках поля заряда q

212

0

01

0

012 4

14

1 WWr

qqr

qqA minus=minus=πεπε

Потенциальная энергия заряда 0q находящегося в поле заряда q нарасстоянии r от него равна

constr

qqW += 0

041πε

Считая что при удалении заряда на бесконечность потенциальнаяэнергия обращается в нуль получаем 0=const

Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия(отталкивания) положительна для разноименных зарядов потенциальнаяэнергия из взаимодействия (притяжения) отрицательна

Если поле создается системой n точечных зарядов то потенциальнаяэнергия заряда 0q находящегося в этом поле равна сумме его потенциальныхэнергий создаваемых каждым из зарядов в отдельности

sum sum= =

==n

i

n

i ii r

qqUW1 1 0

0 4πε9 Потенциал электростатического поля

Отношение 0q

W не зависит от пробного заряда 0q и является

энергетической характеристикой поля называемой потенциалом

0qW=ϕ

Потенциал ϕ в какой-либо точке электростатического поля естьскалярная физическая величина определяемая потенциальной энергиейединичного положительного заряда помещенного в эту точку

3ndash8

АНОгурцов Лекции по физике

Например потенциал поля создаваемого точечным зарядом q равен

rq

041πε

ϕ =

10 Разность потенциаловРабота совершаемая силами электростатического поля при перемещении

заряда 0q из точки 1 в точку 2 может быть представлена какϕϕϕ ∆=minus=minus= 02102112 )( qqWWA

то есть равна произведению перемещаемого заряда на разностьпотенциалов в начальной и конечной точках

Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом полеопределяется работой совершаемой силами поля при перемещенииединичного положительного заряда из точки 1 в точку 2

0

1221 q

A=∆=minus ϕϕϕ

Пользуясь определением напряженности электростатического поляможем записать работу 12A в виде

int int int===2

1

2

1

2

10012 dlEqdlEqdlFA

rrr

Отсюда

intint ===∆=minus2

1

2

10

1221 dlEdlE

qA

l

rϕϕϕ

где интегрирование можно производить вдоль любой линии соединяющейначальную и конечную точки так как работа сил электростатического поля независит от траектории перемещения

Если перемещать заряд 0q из произвольной точки за пределы поля(на бесконечность) где потенциальная энергия а значит и потенциал равнынулю то работа сил электростатического поля ϕ0qA =infin откуда

0qAinfin=ϕ

Таким образом еще одно определение потенциала потенциал mdashфизическая величина определяемая работой по перемещению единичногоположительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность

Единица потенциала ndash вольт (В) 1В есть потенциал такой точки поля вкоторой заряд в 1Кл обладает потенциальной энергией 1Дж (1В=1Дж1Кл)

Принцип суперпозиции потенциалов электростатических полейЕсли поле создается несколькими зарядами то потенциал поля системызарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов11 Связь между напряженностью и потенциалом

Для потенциального поля между потенциальной (консервативной) силой ипотенциальной энергией существует связь

WWF minusnabla=minus= gradr

3ndash25

Электричество

В проводнике El

U = mdash напряженность электрического поля SlR ρ=

SIj =

Из закона Ома получим соотношение l

USI

ρ1= откуда Ej γ=

В векторной форме соотношениеEjrr

γ=называется законом Ома в дифференциальной форме Этот закон

связывает плотность тока в любой точке внутри проводника снапряженностью электрического поля в той же точке33 Сопротивление соединения проводников(1) Последовательное соединение n про-

водников IIII n ==== K21

sum sumsum= ==

====n

i

n

iiii

n

ii RIRIUUIR

1 11

sum=

=n

iiRR

1

(2) Параллельное соединение n провод-ников UUUU n ==== K21

sumsumsum===

====n

i i

n

i i

in

ii R

URUII

RU

111

1

sum=

=n

i iRR 1

11

34 Температурная зависимость сопротивленияОпытным путем было установлено что для большинства случаев

изменение удельного сопротивления (а значит и сопротивления) стемпературой описывается линейным законом

( )tαρρ += 10 или ( )tRR α+= 10

где ρ и 0ρ R и 0R mdash соответственно удельные сопротивления исопротивления проводника при температурах t и deg0 С (шкала Цельсия) α mdashтемпературный коэффициент сопротивления

На зависимости электрического сопротивления металлов от температурыосновано действие термометров сопротивления

Сопротивление многих металлов при очень низких температурах kT (014ndash20 К (шкала Кельвина)) называемых критическими характерных для каждоговещества скачкообразно уменьшается до нуля и металл становитсяабсолютным проводником Это явление называется сверхпроводимостью35 Работа и мощность тока

Кулоновские и сторонние силы при перемещении заряда q вдольэлектрической цепи совершают работу A

3ndash24

АНОгурцов Лекции по физике

Если на заряд 0q действуют как сторонние силы так и силыэлектростатического поля то результирующая сила

( )EEqFFF e

rrrrr+=+= стор0стор

Работа результирующей силы по перемещению заряда 0q на участке 1mdash2

( )intint minus+Θ=+=2

12101200

2

1стор012 ϕϕqqdlEqdlEqA

rr

Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю поэтомуΘ= 0qA

Напряжением U на участке 1mdash2 называется физическая величиначисленно равная суммарной работе совершаемой электростатическими исторонними силами по перемещению единичного положительного заряда наданном участке цепи

12210

1212 Θ+minus== ϕϕ

qAU

Понятие напряжения является обобщением понятия разностипотенциалов напряжение на концах участка цепи равно разностипотенциалов если участок не содержит источника тока (те на участке недействует ЭДС сторонние силы отсутствуют)32 Закон Ома Электрическое сопротивление

Закон Ома для однородного участка цепи (не содержащегоисточника тока) сила тока текущего по однородномуметаллическому проводнику пропорциональна напряжению наконце проводника (интегральная форма закона Ома)

Коэффициент пропорциональности R называется электрическим сопро-тивлением проводника

Единица электрического сопротивления mdash ом (Ом) 1 Ом mdash сопро-тивление такого проводника в котором при напряжении 1В течет постоянныйток 1А

Величина R

G 1= называется электрической проводимостью проводника

Единица электрической проводимости mdash сименс (См) 1 См mdashпроводимость участка электрической цепи сопротивлением 1 Ом

Сопротивление проводника зависит от его размеров и формы а также отматериала из которого проводник изготовлен Например дляоднородного линейного проводника длиной l и площадьюпоперечного сечения S сопротивление рассчитывается по формуле

где коэффициент пропорциональности ρ характеризующий материалпроводника называется удельным электрическим сопротивлением

Единица удельного электрического сопротивления mdash ом-метр(Омм)

Величина обратная удельному сопротивлению называетсяудельной электрической проводимостью вещества проводника

Единица удельной электрической проводимости mdash сименсна метр (Смм)

RUI =

SlR ρ=

ρ

γ 1=

3ndash9

Электричество

где nabla (набла) mdash оператор Гамильтона kz

jy

ix

rrr

partpart+

partpart+

partpart=nabla

Поскольку EqFrr

= и ϕqW = то

ϕϕ minusnabla=minus= gradEr

Знак минус показывает что вектор Er

направлен в сторону убыванияпотенциала12 Эквипотенциальные поверхности

Для графического изображения распределения потенциала используютсяэквипотенциальные поверхности mdash поверхности во всех точках которыхпотенциал имеет одно и то же значение

Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так чтобы разностипотенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностямибыли одинаковы Тогда густота эквипотенциальных поверхностей нагляднохарактеризует напряженность поля в разных точках Там где эти поверхностирасположены гуще напряженность поля больше На рисунке пунктиромизображены силовые линии сплошными линиями mdash сеченияэквипотенциальных поверхностей для положительного точечного заряда (а)диполя (б) двух одноименных зарядов (в) заряженного металлическогопроводника сложной конфигурации (г)

Для точечного заряда потенциал rq

041πε

ϕ = поэтому эквипотенциальные

поверхности mdash концентрические сферы С другой стороны линиинапряженности mdash радиальные прямые Следовательно линии напряженностиперпендикулярны эквипотенциальным поверхностям

Можно показать что во всех случаях1) вектор E

r перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и

2) всегда направлен в сторону убывания потенциала13 Примеры расчета наиболее важных симметричных электростатических

полей в вакууме1 Электростатическое поле электрического диполя в вакууме

Электрическим диполем (или двойным электрическим полюсом)называется система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов( qq minus+ ) расстояние l между которыми значительно меньше расстояния дорассматриваемых точек поля )( rl ltlt

Плечо диполя lr

mdash вектор направленный по оси диполя ототрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними

3ndash10

АНОгурцов Лекции по физике

Электрический момент диполя epr mdash вектор совпада-ющий по направлению с плечом диполя и равный произведениюмодуля заряда q на плечо l

r1) Напряженность поля диполя на продолжении

оси диполя в точке Аminus+minus+ +=minus= ϕϕϕEEEA

Пусть r mdash расстояние до точки А от серединыоси диполя Тогда учитывая что lr gtgt

30

30

20

20

24

1

24

1

24

1

24

1

rp

rql

lr

qlr

qE

e

A

πε

πεπεπε

=

==

+

minus

minus

=

20

200 4

14

1224

1rp

rql

lrq

lrq e

A πεπεπεϕ ==

+minus

minus=

2) Напряженность поля в точке B на перпендикуляре восстановленном коси диполя из его середины при lr gtgt

( ) ( ) ( )

41

241

20

220 r

lEE

rq

lrqEE B asympasymp+

==+

minus+ πεπε поэтому

30

30 )(4

1)(4

1

)(rp

rql

rlEE e

B πεπε=== +

0=BϕТочка В равноудалена от зарядов q+ и qminus

диполя поэтому потенциал поля в точке В равеннулю Вектор BE

r направлен противоположно

вектору lr

3) Во внешнем электрическом поле на концы

диполя действует пара сил которая стремитсяповернуть диполь таким образом чтобыэлектрический момент epr диполя развернулся

вдоль направления поля Er

(рис(а))Во внешнем однородном поле момент пары

сил равен αsinqElM = или ][ EpM e

rrr= Во внешнем неоднородном поле

(рис(в)) силы действующие на концы диполя неодинаковы ( )12 FFrr

gt и ихрезультирующая стремится передвинуть диполь в область поля с большейнапряженностью mdash диполь втягивается в область более сильного поля2 Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностьюdSdq=+σ Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой

плоскости и направлены от нее в обе стороны

lqpe

rr =

3ndash23

Электричество

цепи выравниваются и электростатическое поле исчезаетДля существования постоянного тока необходимо наличие в цепи

устройства способного создавать и поддерживать разность потенциаловза счет сил не электростатического происхождения

Такие устройства называются источниками токаСилы не электростатического происхождения действующие на заряды со

стороны источников тока называются стороннимиКоличественная характеристика сторонних сил mdash поле сторонних сил и

его напряженность сторEr

определяемая сторонней силой действующей наединичный положительный заряд

Природа сторонних сил может быть различной Например вгальванических элементах они возникают за счет энергии химических реакциймежду электродами и электролитами в генераторе mdash за счет механическойэнергии вращения ротора генератора в солнечных батареях mdash за счет энергиифотонов и тп Роль источника тока в электрической цепи такая же как рольнасоса который необходим для поддержания тока жидкости в гидравлическойсистеме

Под действием создаваемого поля сторонних сил электрические зарядыдвижутся внутри источника тока против сил электростатического поляблагодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепитечет постоянный электрический ток31 Электродвижущая сила и напряжение

Физическая величина определяемая работой которую совершаютсторонние силы при перемещении единичного положительного заряданазывается электродвижущей силой (ЭДС) действующей в цепи

0qA=Θ

Эта работа совершается за счет энергии затрачиваемой в источнике токапоэтому величину Θ можно назвать электродвижущей силой источника токавключенного в цепь ЭДС как и потенциал выражается в вольтах

Участок цепи на котором не действуют сторонние силы называетсяоднородным Участок на котором на носители тока действуют сторонние силыназывается неоднородным

Работа сторонних сил по перемещению заряда 0q на замкнутом участкецепи

int int== dlEqdlFA стор0стор

rr

Отсюда ЭДС действующая в замкнутой цепи mdash это циркуляция векторанапряженности поля сторонних сил

dlEint=Θ стор

r

Следовательно для поля сторонних сил циркуляция его напряженности позамкнутому контуру не равна нулю Поэтому поле сторонних сил mdashнепотенциально

ЭДС действующая на участке 1ndash2 цепи равна

dlEint=Θ2

1стор12

r

3ndash22

АНОгурцов Лекции по физике

скалярная физическая величина равная отношению заряда dq переносимогосквозь рассматриваемую поверхность за малый промежуток времени квеличине dt этого промежутка

dtdqI =

Электрический ток называется постоянным если сила тока и егонаправление не изменяются с течением времени

Для постоянного тока tqI =

где q mdash электрический заряд проходящий за время t через поперечноесечение проводника

Единица силы тока mdash ампер (А) (см Механика стр 1-2)Для характеристики направления электрического тока в разных точках

рассматриваемой поверхности и распределения силы тока по этой поверхностислужит вектор плотности тока j

r Сила тока сквозь произвольную

поверхность S определяется как поток вектора плотности тока

int=S

dSjIr

где dSndS r= ( nr ndash единичный вектор нормали (орт) к площадке dS )Плотностью электрического тока называется вектор j

r совпа-

дающий с направлением электрического тока в рассматриваемой точке ичисленно равный отношению силы тока dI сквозь малый элемент поверхностиортогональной направлению тока к площади perpdS этого элемента

perp=

dSdIj

Для постоянного тока I текущего перпендикулярно сечению S

проводника SIj =

Если за время dt через поперечное сечение S проводника переноситсязаряд dtSnedq υ= (где n e и υ mdash концентрация заряд и средняя

скорость упорядоченного движения зарядов) то сила тока SneI dtdq υ== а

плотность токаυr

rnej =

Единица плотности тока mdash Ам230 Сторонние силы

Для возникновения и существования электрического тока необходимо1) наличие свободных носителей тока mdash заряженных частиц способ-

ных перемещаться упорядоченно2) наличие электрического поля энергия которого должна каким-то

образом восполнятьсяЕсли в цепи действуют только силы электростатического поля то

происходит перемещение носителей таким образом что потенциалы всех точек

3ndash11

Электричество

В качестве Гауссовой поверхности примемповерхность цилиндра образующие которогоперпендикулярны заряженной плоскости аоснования параллельны заряженной плоскости илежат по разные стороны от нее на одинаковыхрасстояниях

Так как образующие цилиндра параллельнылиниям напряженности то поток векторанапряженности через боковую поверхностьцилиндра равен нулю а полный поток сквозь цилиндр равен суммепотоков сквозь его основания ES2 Заряд заключенный внутрицилиндра равен Sσ По теореме Гаусса 02 εσSES = откуда

E не зависит от длины цилиндра те напряженность поля на любыхрасстояниях одинакова по модулю Такое поле называется однородным

Разность потенциалов между точками лежащими на расстояниях 1x и 2xот плоскости равна

intint minus===minus2

1

2

1

)(22 12

0021

x

x

x

x

xxdxEdxεσ

εσϕϕ

3 Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженныхплоскостей с равными по абсолютному значению поверхностнымиплотностями зарядов 0gtσ и σminus

Из предыдущего примера следует что векторы напряженности 1Er

и 2Er

первой и второй плоскостей равны по модулю и всюду направленыперпендикулярно плоскостям Поэтому в пространстве вне плоскостей оникомпенсируют друг друга а в пространстве между плоскостями суммарнаянапряженность 12EE

rr= Поэтому между плоскостями

0εσ=E (в диэлектрике

0εεσ=E )

Поле между плоскостями однородное Разность потенциалов междуплоскостями

00 0021 ε

σεσϕϕ ddxEdx

dd

===minus intint (в диэлектрике 0εε

σϕ d=∆ )

4 Поле равномерно заряженной сферической поверхностиСферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена

равномерно с поверхностной плотностью 24 Rqπ

σ =

02ε

σ=E

3ndash12

АНОгурцов Лекции по физике

Поскольку система зарядов и следовательносамо поле центрально-симметрично относительноцентра сферы то линии напряженности направленырадиальноВ качестве Гауссовой поверхности выберем сферурадиуса r имеющую общий центр с заряженнойсферой Если Rr gt то внутрь поверхностипопадает весь заряд q По теореме Гаусса

0

24ε

π qEr = откуда ( )Rrr

RrqE ge==

41

20

2

20 ε

σπε

При Rr le замкнутая поверхность не содержитвнутри зарядов поэтому внутри равномернозаряженной сферы 0=E

Разность потенциалов между двумя точкамилежащими на расстояниях 1r и 2r от центра сферы( RrRr gtgt 21 ) равна

int int

minus===minus

2

1

2

1 2102

021

1144

1r

r

r

r rrqdr

rqEdr

πεπεϕϕ

Если принять rr =1 и infin=2r то потенциал поля вне сферической

поверхности rq

041πε

ϕ =

Вне заряженной сферы поле такое же как поле точечного заряда q находящегося в центре сферы Внутри заряженной сферы поля нет поэтомупотенциал всюду одинаков и такой же как на поверхности

004 εσ

πεϕ R

Rq ==

5 Поле объемно заряженного шараЗаряд q равномерно распределен в вакууме по

объему шара радиуса R с объемной плотностью

33

4 Rq

Vq

πρ == Центр шара является центром

симметрии поля1) Для поля вне шара )( Rr gt получаем тот же

результат что и в случае сферической поверхности

204

1rqE

πε=

rq

04πεϕ =

minus=minus

21021

114 rr

qπε

ϕϕ

2) При Rr = 0

2

002

0 34

341

ερ

πεϕ

ερ

πεR

rqR

RqE ====

3) Внутри шара сфера радиусом Rr lt охватывает заряд ρπ 3

34 rq =

3ndash21

Электричество

Интегрирование проводится по всем заряженным поверхностям S и по всемузаряженному объему V тел системы

На примере поля плоского конденсатора выразим энергию поля через егонапряженность Для конденсатора dSC 0εε= и Ed=∆ϕ Отсюда

VESdEW 20

20 2

121 εεεε ==

В однородном поле конденсатора его энергия распределена равномернопо всему объему поля SdV =

Объемная плотность энергии электростатического поля плоскогоконденсатора w

EDEVWw

21

21 2

0 === εε

где ED 0εε= mdash электрическое смещениеЭта формула является отражением того факта что электростатическая

энергия сосредоточена в электростатическом поле Это выражениесправедливо также и для неоднородных полей28 Пондеромоторные силы

Механические силы действующие на заряженные тела помещенные вэлектромагнитное поле называются пондеромоторными силами (от латинскихслов ponderis mdash тяжесть и motor mdash движущий)

Например в плоском конденсаторе сила с которой пластиныконденсатора притягивают друг друга совершает работу за счет уменьшения

потенциальной энергии системы С учетом Sq=σ и

0εεσ=E получаем

SESS

qdx

dWF 20

0

2

0

2

21

22εε

εεσ

εεminus=minus=minus=minus=

где знак минус указывает на то что эта сила является силой притяженияПод действием этой силы обкладки конденсатора сжимают пластинудиэлектрика помещенного между ними и в диэлектрике возникает давление

20

0

2

21

2E

SFp εε

εεσ ===

Постоянный электрический ток

29 Постоянный электрический ток сила и плотность токаЭлектродинамика mdash раздел учения об электричестве в котором

рассматриваются явления и процессы обусловленные движениемэлектрических зарядов

Электрическим током называется упорядоченное движениеэлектрических зарядов

За направление тока принимают направление движения положительныхзарядов

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I mdash

3ndash20

АНОгурцов Лекции по физике

неподвижных точечных зарядов равна

sum=

=n

iiiqW

121 ϕ

где iϕ mdash потенциал создаваемый в той точке где находится заряд iq всеми зарядами кроме i -го25 Энергия заряженного уединенного проводника

Рассмотрим уединенный проводник заряд емкость и потенциал которогоравны ϕCq Элементарная работа dA совершаемая внешними силами попреодолению кулоновских сил отталкивания при перенесении заряда dq избесконечности на проводник равна ϕϕϕ dCdqdA == Чтобы зарядитьпроводник от нулевого потенциала до ϕ необходимо совершить работу

int ==ϕ ϕϕϕ0

2

2CdCA

Энергия заряженного уединенного проводника (используя ϕqC = )

222

22 ϕϕ qC

qCW ===

26 Энергия заряженного конденсатораЭлементарная работа внешних сил по перенесению малого заряда dq с

обкладки 2 конденсатора на обкладку 1

CqdqdqdA =∆= ϕ

Работа внешних сил при увеличении заряда конденсатора от 0 до q

int ==q

Cq

CqdqA

0

2

2

Энергия заряженного конденсатора (используя ϕ∆

= qC )

( )222

221

2 ϕϕϕ ∆=minus== qCC

qW

27 Энергия электростатического поляВ общем случае электрическую энергию любой системы

заряженных неподвижных тел mdash проводников и непроводников mdash можнонайти по формуле

intint +=VS

dVdSW ϕρϕσ21

21

где σ и ρ mdash поверхностная и объемная плотности свободных зарядов ϕ mdashпотенциал результирующего поля всех свободных и связанных зарядов вточках малых элементов dS и dV заряженных поверхностей и объемов

3ndash13

Электричество

По теореме Гаусса 0

3

0

2

344ερπ

επ rqEr ==

Отсюда для точек лежащих внутри шара ( )RrRr ltlt 21 с учетом 33

4 Rqπ

ρ =

03

0 34 ερ

πεr

RqrE == int minus==minus

2

1

)(8

21

223

021

r

r

rrR

qEdrπε

ϕϕ

6 Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен

равномерно с линейной плотностью dldq=τ

Линии напряженности будут направлены порадиусам круговых сечений цилиндра содинаковой густотой во все стороныотносительно оси цилиндра

В качестве Гауссовой поверхностивыберем цилиндр радиуса r и высотой lкоаксиальный с заряженной нитью

Торцы этого цилиндра параллельнылиниям напряженности поэтому поток черезних равен нулю

Поток через боковую поверхность равенrlE π2

По теореме Гаусса (при Rr gt ) 0

2ετπ lrlE = откуда при RrRr gtgt 21

rE τ

πε021=

1

2

0021 ln

22

2

1

2

1rr

rdrEdr

r

r

r

r πετ

πετϕϕ int int ===minus

Если Rr lt то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержитпоэтому 0=E 14 Электростатическое поле в диэлектрической среде

Диэлектриками называются вещества которые при обычных условияхпрактически не проводят электрический ток

Диэлектрик как и всякое другое вещество состоит из атомов или молекулкаждая из которых в целом электрически нейтральна

Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядомq+ находящимся в так сказать центре тяжести положительных зарядов а

заряд всех электронов mdash суммарным отрицательным зарядом qminus находя-щимся в центре тяжести отрицательных зарядов то молекулы можнорассматривать как электрические диполи с электрическим моментом

Различают три типа диэлектриков1) Диэлектрики с неполярными молекулами симметричные молекулы

которых в отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент(например N2 H2 O2 CO2)

3ndash14

АНОгурцов Лекции по физике

2) Диэлектрики с полярными молекулами молекулы которыхвследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (например H2ONH3 SO2 CO)

3) Ионные диэлектрики (например NaCl KCl) Ионные кристаллыпредставляют собой пространственные решетки с правильным чередованиемионов разных знаков

Внесение диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит квозникновению отличного от нуля результирующего электрического моментадиэлектрика

Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей илипоявления под воздействием электрического поля ориентированных по полюдиполей

Соответственно трем видам диэлектриков различают три видаполяризации

1) Электронная или деформационная поляризация диэлектрика снеполярными молекулами mdash за счет деформации электронных орбит возникает

индуцированный дипольный момент у атомов илимолекул диэлектрика

2) Ориентационная или дипольная по-ляризация диэлектрика с полярными молеку-лами mdash ориента-ция имеющихся

дипольных моментов молекул по полю (этаориентация тем сильнее чем больше напря-женность электрического поля и чем нижетемпература)

3) Ионная поляризация диэлектрика сионными кристаллическими решетками mdash смещение подрешеткиположительных ионов вдоль поля а отрицательных ионов против поляприводит к возникновению дипольных моментов15 Поляризованность

Поместим пластину из однородного диэлектрика во внешнееэлектрическое поле созданное двумя бесконечными параллельнымиразноименно заряженными плоскостями

Во внешнем электрическом поле диэлектрик объемом V поляризуетсяте приобретает дипольный момент sum=

iiV pp rr где minusipr дипольный момент

одной молекулыДля количественного описания поляризации диэлектрика используется

векторная величина mdash поляризованность mdash которая определяется какдипольный момент единицы объема диэлектрика

Vp

VpP i iV sum==

rrr

В случае изотропного диэлектрика поляризованность (для большинствадиэлектриков за исключением сегнетоэлектриков) линейно зависит отнапряженности внешнего поля

EPrr

0χε=

3ndash19

Электричество

1 Емкость плоского конденсатора (две параллельные металлическиепластины площадью S каждая расположенные на расстоянии d друг от

друга (Sq=σ ))

dS

dqqC εε

εεσϕ

0

0

==∆

=

2 Емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндрадлиной l с радиусами 1r и 2r )( lq=τ )

1

2

0

1

2

0ln

2

ln2 r

rl

rr

lq

qC επε

επε

==

3 Емкость сферического конденсатора (две концентрических сферы срадиусами 1r и 2r )

12

210

210

411

4rr

rr

rrq

qCminus

=

minus

= επε

επε

23 Соединения конденсаторовУ параллельно соединенных конденсаторов nCCC K21 разность

потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова ϕ∆ Полная емкость

sumsumsum

=

== =∆

∆=

∆=

∆=

n

ii

n

ii

n

ii

CCq

qC1

11

ϕ

ϕ

ϕϕ

У последовательно соединенных кон-денсаторов nCCC K21 заряды q всехобкладок равны по модулю а суммарнаяразность потенциалов

Cq

Cqn

i i

n

ii ==∆=∆ sumsum

== 11ϕϕ

откуда

sum=

=n

i iCC 1

11

24 Энергия системы неподвижных точечных зарядовДля системы двух зарядов 1q и 2q находящихся на расстоянии r друг от

друга каждый из них в поле другого обладает потенциальной энергией

22121

02

2

011211 4

14

1 Wqrqq

rqqqW ===== ϕ

πεπεϕ

Поэтому )( 21212121

212121 ϕϕϕϕ qqqqW +=== Добавляя последова-тельно по одному заряду получим что энергия взаимодействия системы n

3ndash18

АНОгурцов Лекции по физике

εεσ0

=E где σ mdash поверхностная плотность зарядов и ε mdash диэлектрическая

проницаемость среды окружающей проводникНейтральный проводник внесенный в электростатическое поле

разрывает часть линий напряженности они заканчиваются на отрицательныхиндуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных

Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхностипроводника Явление перераспределения поверхностных зарядов напроводнике во внешнем электростатическом поле называетсяэлектростатической индукцией21 Электроемкость

Рассмотрим уединенный проводник mdash проводник удаленный от другихтел и зарядов Из опыта следует что разные проводники будучи одинаковозаряженными имеют разные потенциалы

Физическая величина C равная отношению заряда проводника q к егопотенциалу ϕ называется электрической емкостью этого проводника

ϕqC =

Электроемкость уединенного проводника численно равна зарядукоторый нужно сообщить этому проводнику для того чтобы изменить егопотенциал на единицу

Она зависит от формы и размеров проводника и от диэлектрическихсвойств окружающей среды Емкости геометрически подобных проводниковпропорциональны их линейным размерам

Пример емкость уединенного проводящего шара RqC 04πεϕ==

Единица электроемкости mdash фарад (Ф) 1Ф mdash емкость такогоуединенного проводника потенциал которого изменяется на 1В при сообщенииему заряда 1Кл Емкостью 1Ф обладает шар с радиусом 6109 sdot=R км ЕмкостьЗемли 07мФ22 Конденсаторы

Если к проводнику с зарядом q приблизить другие тела то на ихповерхности возникнут индуцированные (на проводнике) или связанные (надиэлектрике) заряды Эти заряды ослабляют поле создаваемое зарядом q тем самым понижая потенциал проводника и повышая его электроемкость

Конденсатор mdash это система из двух проводников (обкладок) содинаковыми по модулю но противоположными по знаку зарядами форма ирасположение которых таковы что поле сосредоточено в узком зазоре междуобкладками

Емкость конденсатора mdash физическая величина равная отношениюзаряда q накопленного в конденсаторе к разности потенциалов 21 ϕϕ minus междуего обкладками

ϕ∆= qC

3ndash15

Электричество

где minusχ диэлектрическая восприимчивость вещества характеризующаясвойства диэлектрика (положительная безразмерная величина)16 Диэлектрическая проницаемость среды

Вследствие поляризации на поверхностидиэлектрика появляются нескомпенсированныезаряды которые называются связанными (в отличиеот свободных зарядов которые создают внешнееполе)

Поле Er

внутри диэлектрика создаваемоесвязанными зарядами направлено против внешнегополя 0E

r создаваемого свободными зарядами

Результирующее поле внутри диэлектрика0 EEE minus=

В нашем примере поле создаваемое двумябесконечно заряженными плоскостями с поверхностнойплотностью зарядов σ 0 εσ=E Поэтому

00 εσminus= EEПолный дипольный момент диэлектрической

пластинки с толщиной d и площадью грани S PSdPVpV == с другойстороны SdqdpV σ== Отсюда P=σ

EEEEPEEE χε

χεεε

σ minus=minus=minus=minus= 00

00

00

00

Откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

εχ00

1EEE =

+=

Безразмерная величина EE01 =+= χε называется диэлектрической

проницаемостью среды Она характеризует способность диэлектриковполяризоваться в электрическом поле и показывает во сколько раз полеослабляется диэлектриком17 Электрическое смещение

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды(от ε ) Кроме того вектор напряженности E

r переходя через границу

диэлектриков претерпевает скачкообразное изменение поэтому для описания(непрерывного) электрического поля системы зарядов с учетомполяризационных свойств диэлектриков вводится вектор электрическогосмещения (электрической индукции) который для изотропной средызаписывается как

PEEEDrrrrr

+=+== 000 )1( εχεεεЕдиница электрического смещения mdash Клм2Вектор D

r описывает электростатическое поле создаваемое свободными

зарядами (те в вакууме) но при таком их распределении в пространстве какоеимеется при наличии диэлектрика

3ndash16

АНОгурцов Лекции по физике

Аналогично линиям напряженности можно ввести линии электрическогосмещения Через области поля где находятся связанные заряды линиивектора D

r проходят не прерываясь

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Dr

сквозь этуповерхность

int int==ΦS S

nD dSDdSDr

где nD ndash проекция вектора Dr

на нормаль nr к площадке dS Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике поток

вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов

sumint int=

==n

ii

S Sn qdSDdSD

1

r

Для непрерывного распределения заряда в пространстве с объемнойплотностью dVdq=ρ

int int=S V

dVdSD ρr

Другая форма записи этого соотношения с учетом определениядивергенции вектора (стр1-31)

ρ=Dr

div18 Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

При отсутствии на границе двух диэлектриков свободных зарядовциркуляция вектора E

r по контуру int =

ABCDA

dlE 0r

откуда 021 =minus lElE ττ Поэтому

21 ττ EE =Учитывая ED εε0=

2

1

2

1

εε

τ

τ =DD

По теореме Гаусса поток вектора Dr

черезцилиндр ничтожно малой высоты равен нулю (нетсвободных зарядов) 0=∆minus∆ prime SDSD nn поэтому

21 nn DD =

1

2

2

1

εε=

n

n

EE

Таким образом при переходе через границураздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора E

r

(Eτ) и нормальная составляющая вектора Dr

(Dn) изменяются непрерывно (непретерпевают скачка) а нормальная составляющая вектора E

r (En) и

тангенциальная составляющая вектора Dr

(Dτ) претерпевают скачок

3ndash17

Электричество

19 СегнетоэлектрикиСегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики у которых

в отсутствие внешнего электрического поля возникает самопроизвольнаяориентация дипольных электрических моментов составляющих его частиц

Примеры сегнетова соль NaKC4H4O6middot4H2Oтитанат бария BaTiO3

Сегнетоэлектрики состоят из доменов mdashобластей с различными направлениямиполяризованности

Температура выше которой исчезаютсегнетоэлектрические свойства mdash точка Кюри

Для сегнетоэлектриков связь между векторами Er

и Pr

нелинейная инаблюдается явление диэлектрического гистерезиса mdash сохраненияостаточной поляризованности при снятии внешнего поля

Пьезоэлектрики mdash кристаллические диэлектрики в которых при сжатииили растяжении возникает электрическая поляризация mdash прямой пьезоэффект

Обратный пьезоэффект mdash появление механической деформации поддействием электрического поля20 Проводники в электростатическом поле

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или егозарядить то на заряды проводника будет действовать электростатическоеполе в результате чего они начнут перемещаться до тех пор пока неустановится равновесное распределение зарядов при которомэлектростатическое поле внутри проводника обращается в нуль 0=E

r

Иначе если бы поле не было равно нулю то в проводнике возникло быупорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источникачто противоречит закону сохранения энергии

Следствия этого ( constE =rArr=minus= ϕϕ 0gradr

) потенциал во всех точках проводника одинаков поверхность проводника является эквипотенциальной вектор E

r направлен по нормали к каждой точке поверхности

При помещении нейтрального проводника во внешнее поле свободныезаряды (электроны и ионы) начнут перемещаться положительные mdash по полю а

отрицательные mdash против поля(рис(а)) На одном концепроводника будет избытокположительных зарядов надругом mdash отрицательных Этизаряды называютсяиндуцированными Процессбудет продолжаться до техпор пока напряженность поля

внутри проводника не станет равной нулю а линии напряженности внепроводника mdash перпендикулярными его поверхности (рис(б)) если проводнику сообщить некоторый заряд q то нескомпенсированныезаряды располагаются только на поверхности проводника причем σ=D и

Page 7: Лекции по физике. Электричество

3ndash26

АНОгурцов Лекции по физике

Рассмотрим однородный проводник с сопротивлением R к концамкоторого приложено напряжение U За время dt через сечение проводникапереносится заряд Idtdq = Работа по перемещению заряда 0q между двумяточками поля равна

ϕ∆= 012 qA откуда dtR

URdtIUIdtUdqdA2

2 ====

Мощность тока

RURIUI

dtdAP

22 ====

Если размерности [ ]=I А [ ]=U В [ ]=R Ом то [ ]=A Дж и [ ]=P ВтВнесистемные единицы работы тока ватт-час (Втmiddotч) и киловатт-час

(кВтmiddotч) 1 Втmiddotч mdash работа тока мощностью 1 Вт в течении 1 ч 1 Втmiddotч=3600Втmiddotс=36middot103 Дж Аналогично 1 кВтmiddotч=1000 Втmiddotч=36middot106 Дж36 Закон ДжоуляndashЛенца

При прохождении тока по проводнику происходит рассеяние энергиивследствие столкновений носителей тока между собой и с любыми другимичастицами среды Если ток проходит по неподвижному проводнику то всяработа тока dA идет на нагревание проводника (выделение теплоты dQ )

По закону сохранения энергии dQdA =

dtR

URdtIIUdtdQ2

2 ===

Количество теплоты Q выделяющееся за конечный промежуток времениот 0 до t постоянным током I во всем объеме проводника электрическоесопротивление которого равно R получаем интегрируя предыдущеевыражение

tRIRdtIQt

2

0

2 == intЗакон ДжоуляndashЛенца (в интегральной форме) количество теплоты

выделяемое постоянным электрическим током на участке цепи равнопроизведению квадрата силы тока на время его прохождения иэлектрическое сопротивление этого участка цепи

Выделим в проводнике цилиндрический объем dSdLdV = (ось цилиндра

совпадает с направлением тока) Сопротивление этого объема dSdlR ρ= По

закону ДжоуляndashЛенца за время dt в этом объеме выделится теплота

( ) dVdtjdtjdSdSdlRdtIdQ 222 ρρ ===

Удельной тепловой мощностью тока w называется количествотеплоты выделяющееся за единицу времени в единице объема

2jdVdtdQw ρ==

3ndash7

Электричество

Интеграл int int=L L

l dlEdlEr

называется циркуляцией вектора

напряженности по заданному замкнутому контуру L Теорема о циркуляции вектора E

r

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдольлюбого замкнутого контура равна нулю

0==int intL L

l dlEdlEr

Силовое поле обладающее таким свойством называетсяпотенциальным Эта формула справедлива только для электрическогополя неподвижных зарядов (электростатического)8 Потенциальная энергия заряда

В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работаконсервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии

Поэтому работу 12A можно представить как разность потенциальныхэнергий заряда 0q в начальной и конечной точках поля заряда q

212

0

01

0

012 4

14

1 WWr

qqr

qqA minus=minus=πεπε

Потенциальная энергия заряда 0q находящегося в поле заряда q нарасстоянии r от него равна

constr

qqW += 0

041πε

Считая что при удалении заряда на бесконечность потенциальнаяэнергия обращается в нуль получаем 0=const

Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия(отталкивания) положительна для разноименных зарядов потенциальнаяэнергия из взаимодействия (притяжения) отрицательна

Если поле создается системой n точечных зарядов то потенциальнаяэнергия заряда 0q находящегося в этом поле равна сумме его потенциальныхэнергий создаваемых каждым из зарядов в отдельности

sum sum= =

==n

i

n

i ii r

qqUW1 1 0

0 4πε9 Потенциал электростатического поля

Отношение 0q

W не зависит от пробного заряда 0q и является

энергетической характеристикой поля называемой потенциалом

0qW=ϕ

Потенциал ϕ в какой-либо точке электростатического поля естьскалярная физическая величина определяемая потенциальной энергиейединичного положительного заряда помещенного в эту точку

3ndash8

АНОгурцов Лекции по физике

Например потенциал поля создаваемого точечным зарядом q равен

rq

041πε

ϕ =

10 Разность потенциаловРабота совершаемая силами электростатического поля при перемещении

заряда 0q из точки 1 в точку 2 может быть представлена какϕϕϕ ∆=minus=minus= 02102112 )( qqWWA

то есть равна произведению перемещаемого заряда на разностьпотенциалов в начальной и конечной точках

Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом полеопределяется работой совершаемой силами поля при перемещенииединичного положительного заряда из точки 1 в точку 2

0

1221 q

A=∆=minus ϕϕϕ

Пользуясь определением напряженности электростатического поляможем записать работу 12A в виде

int int int===2

1

2

1

2

10012 dlEqdlEqdlFA

rrr

Отсюда

intint ===∆=minus2

1

2

10

1221 dlEdlE

qA

l

rϕϕϕ

где интегрирование можно производить вдоль любой линии соединяющейначальную и конечную точки так как работа сил электростатического поля независит от траектории перемещения

Если перемещать заряд 0q из произвольной точки за пределы поля(на бесконечность) где потенциальная энергия а значит и потенциал равнынулю то работа сил электростатического поля ϕ0qA =infin откуда

0qAinfin=ϕ

Таким образом еще одно определение потенциала потенциал mdashфизическая величина определяемая работой по перемещению единичногоположительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность

Единица потенциала ndash вольт (В) 1В есть потенциал такой точки поля вкоторой заряд в 1Кл обладает потенциальной энергией 1Дж (1В=1Дж1Кл)

Принцип суперпозиции потенциалов электростатических полейЕсли поле создается несколькими зарядами то потенциал поля системызарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов11 Связь между напряженностью и потенциалом

Для потенциального поля между потенциальной (консервативной) силой ипотенциальной энергией существует связь

WWF minusnabla=minus= gradr

3ndash25

Электричество

В проводнике El

U = mdash напряженность электрического поля SlR ρ=

SIj =

Из закона Ома получим соотношение l

USI

ρ1= откуда Ej γ=

В векторной форме соотношениеEjrr

γ=называется законом Ома в дифференциальной форме Этот закон

связывает плотность тока в любой точке внутри проводника снапряженностью электрического поля в той же точке33 Сопротивление соединения проводников(1) Последовательное соединение n про-

водников IIII n ==== K21

sum sumsum= ==

====n

i

n

iiii

n

ii RIRIUUIR

1 11

sum=

=n

iiRR

1

(2) Параллельное соединение n провод-ников UUUU n ==== K21

sumsumsum===

====n

i i

n

i i

in

ii R

URUII

RU

111

1

sum=

=n

i iRR 1

11

34 Температурная зависимость сопротивленияОпытным путем было установлено что для большинства случаев

изменение удельного сопротивления (а значит и сопротивления) стемпературой описывается линейным законом

( )tαρρ += 10 или ( )tRR α+= 10

где ρ и 0ρ R и 0R mdash соответственно удельные сопротивления исопротивления проводника при температурах t и deg0 С (шкала Цельсия) α mdashтемпературный коэффициент сопротивления

На зависимости электрического сопротивления металлов от температурыосновано действие термометров сопротивления

Сопротивление многих металлов при очень низких температурах kT (014ndash20 К (шкала Кельвина)) называемых критическими характерных для каждоговещества скачкообразно уменьшается до нуля и металл становитсяабсолютным проводником Это явление называется сверхпроводимостью35 Работа и мощность тока

Кулоновские и сторонние силы при перемещении заряда q вдольэлектрической цепи совершают работу A

3ndash24

АНОгурцов Лекции по физике

Если на заряд 0q действуют как сторонние силы так и силыэлектростатического поля то результирующая сила

( )EEqFFF e

rrrrr+=+= стор0стор

Работа результирующей силы по перемещению заряда 0q на участке 1mdash2

( )intint minus+Θ=+=2

12101200

2

1стор012 ϕϕqqdlEqdlEqA

rr

Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю поэтомуΘ= 0qA

Напряжением U на участке 1mdash2 называется физическая величиначисленно равная суммарной работе совершаемой электростатическими исторонними силами по перемещению единичного положительного заряда наданном участке цепи

12210

1212 Θ+minus== ϕϕ

qAU

Понятие напряжения является обобщением понятия разностипотенциалов напряжение на концах участка цепи равно разностипотенциалов если участок не содержит источника тока (те на участке недействует ЭДС сторонние силы отсутствуют)32 Закон Ома Электрическое сопротивление

Закон Ома для однородного участка цепи (не содержащегоисточника тока) сила тока текущего по однородномуметаллическому проводнику пропорциональна напряжению наконце проводника (интегральная форма закона Ома)

Коэффициент пропорциональности R называется электрическим сопро-тивлением проводника

Единица электрического сопротивления mdash ом (Ом) 1 Ом mdash сопро-тивление такого проводника в котором при напряжении 1В течет постоянныйток 1А

Величина R

G 1= называется электрической проводимостью проводника

Единица электрической проводимости mdash сименс (См) 1 См mdashпроводимость участка электрической цепи сопротивлением 1 Ом

Сопротивление проводника зависит от его размеров и формы а также отматериала из которого проводник изготовлен Например дляоднородного линейного проводника длиной l и площадьюпоперечного сечения S сопротивление рассчитывается по формуле

где коэффициент пропорциональности ρ характеризующий материалпроводника называется удельным электрическим сопротивлением

Единица удельного электрического сопротивления mdash ом-метр(Омм)

Величина обратная удельному сопротивлению называетсяудельной электрической проводимостью вещества проводника

Единица удельной электрической проводимости mdash сименсна метр (Смм)

RUI =

SlR ρ=

ρ

γ 1=

3ndash9

Электричество

где nabla (набла) mdash оператор Гамильтона kz

jy

ix

rrr

partpart+

partpart+

partpart=nabla

Поскольку EqFrr

= и ϕqW = то

ϕϕ minusnabla=minus= gradEr

Знак минус показывает что вектор Er

направлен в сторону убыванияпотенциала12 Эквипотенциальные поверхности

Для графического изображения распределения потенциала используютсяэквипотенциальные поверхности mdash поверхности во всех точках которыхпотенциал имеет одно и то же значение

Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так чтобы разностипотенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностямибыли одинаковы Тогда густота эквипотенциальных поверхностей нагляднохарактеризует напряженность поля в разных точках Там где эти поверхностирасположены гуще напряженность поля больше На рисунке пунктиромизображены силовые линии сплошными линиями mdash сеченияэквипотенциальных поверхностей для положительного точечного заряда (а)диполя (б) двух одноименных зарядов (в) заряженного металлическогопроводника сложной конфигурации (г)

Для точечного заряда потенциал rq

041πε

ϕ = поэтому эквипотенциальные

поверхности mdash концентрические сферы С другой стороны линиинапряженности mdash радиальные прямые Следовательно линии напряженностиперпендикулярны эквипотенциальным поверхностям

Можно показать что во всех случаях1) вектор E

r перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и

2) всегда направлен в сторону убывания потенциала13 Примеры расчета наиболее важных симметричных электростатических

полей в вакууме1 Электростатическое поле электрического диполя в вакууме

Электрическим диполем (или двойным электрическим полюсом)называется система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов( qq minus+ ) расстояние l между которыми значительно меньше расстояния дорассматриваемых точек поля )( rl ltlt

Плечо диполя lr

mdash вектор направленный по оси диполя ототрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними

3ndash10

АНОгурцов Лекции по физике

Электрический момент диполя epr mdash вектор совпада-ющий по направлению с плечом диполя и равный произведениюмодуля заряда q на плечо l

r1) Напряженность поля диполя на продолжении

оси диполя в точке Аminus+minus+ +=minus= ϕϕϕEEEA

Пусть r mdash расстояние до точки А от серединыоси диполя Тогда учитывая что lr gtgt

30

30

20

20

24

1

24

1

24

1

24

1

rp

rql

lr

qlr

qE

e

A

πε

πεπεπε

=

==

+

minus

minus

=

20

200 4

14

1224

1rp

rql

lrq

lrq e

A πεπεπεϕ ==

+minus

minus=

2) Напряженность поля в точке B на перпендикуляре восстановленном коси диполя из его середины при lr gtgt

( ) ( ) ( )

41

241

20

220 r

lEE

rq

lrqEE B asympasymp+

==+

minus+ πεπε поэтому

30

30 )(4

1)(4

1

)(rp

rql

rlEE e

B πεπε=== +

0=BϕТочка В равноудалена от зарядов q+ и qminus

диполя поэтому потенциал поля в точке В равеннулю Вектор BE

r направлен противоположно

вектору lr

3) Во внешнем электрическом поле на концы

диполя действует пара сил которая стремитсяповернуть диполь таким образом чтобыэлектрический момент epr диполя развернулся

вдоль направления поля Er

(рис(а))Во внешнем однородном поле момент пары

сил равен αsinqElM = или ][ EpM e

rrr= Во внешнем неоднородном поле

(рис(в)) силы действующие на концы диполя неодинаковы ( )12 FFrr

gt и ихрезультирующая стремится передвинуть диполь в область поля с большейнапряженностью mdash диполь втягивается в область более сильного поля2 Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностьюdSdq=+σ Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой

плоскости и направлены от нее в обе стороны

lqpe

rr =

3ndash23

Электричество

цепи выравниваются и электростатическое поле исчезаетДля существования постоянного тока необходимо наличие в цепи

устройства способного создавать и поддерживать разность потенциаловза счет сил не электростатического происхождения

Такие устройства называются источниками токаСилы не электростатического происхождения действующие на заряды со

стороны источников тока называются стороннимиКоличественная характеристика сторонних сил mdash поле сторонних сил и

его напряженность сторEr

определяемая сторонней силой действующей наединичный положительный заряд

Природа сторонних сил может быть различной Например вгальванических элементах они возникают за счет энергии химических реакциймежду электродами и электролитами в генераторе mdash за счет механическойэнергии вращения ротора генератора в солнечных батареях mdash за счет энергиифотонов и тп Роль источника тока в электрической цепи такая же как рольнасоса который необходим для поддержания тока жидкости в гидравлическойсистеме

Под действием создаваемого поля сторонних сил электрические зарядыдвижутся внутри источника тока против сил электростатического поляблагодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепитечет постоянный электрический ток31 Электродвижущая сила и напряжение

Физическая величина определяемая работой которую совершаютсторонние силы при перемещении единичного положительного заряданазывается электродвижущей силой (ЭДС) действующей в цепи

0qA=Θ

Эта работа совершается за счет энергии затрачиваемой в источнике токапоэтому величину Θ можно назвать электродвижущей силой источника токавключенного в цепь ЭДС как и потенциал выражается в вольтах

Участок цепи на котором не действуют сторонние силы называетсяоднородным Участок на котором на носители тока действуют сторонние силыназывается неоднородным

Работа сторонних сил по перемещению заряда 0q на замкнутом участкецепи

int int== dlEqdlFA стор0стор

rr

Отсюда ЭДС действующая в замкнутой цепи mdash это циркуляция векторанапряженности поля сторонних сил

dlEint=Θ стор

r

Следовательно для поля сторонних сил циркуляция его напряженности позамкнутому контуру не равна нулю Поэтому поле сторонних сил mdashнепотенциально

ЭДС действующая на участке 1ndash2 цепи равна

dlEint=Θ2

1стор12

r

3ndash22

АНОгурцов Лекции по физике

скалярная физическая величина равная отношению заряда dq переносимогосквозь рассматриваемую поверхность за малый промежуток времени квеличине dt этого промежутка

dtdqI =

Электрический ток называется постоянным если сила тока и егонаправление не изменяются с течением времени

Для постоянного тока tqI =

где q mdash электрический заряд проходящий за время t через поперечноесечение проводника

Единица силы тока mdash ампер (А) (см Механика стр 1-2)Для характеристики направления электрического тока в разных точках

рассматриваемой поверхности и распределения силы тока по этой поверхностислужит вектор плотности тока j

r Сила тока сквозь произвольную

поверхность S определяется как поток вектора плотности тока

int=S

dSjIr

где dSndS r= ( nr ndash единичный вектор нормали (орт) к площадке dS )Плотностью электрического тока называется вектор j

r совпа-

дающий с направлением электрического тока в рассматриваемой точке ичисленно равный отношению силы тока dI сквозь малый элемент поверхностиортогональной направлению тока к площади perpdS этого элемента

perp=

dSdIj

Для постоянного тока I текущего перпендикулярно сечению S

проводника SIj =

Если за время dt через поперечное сечение S проводника переноситсязаряд dtSnedq υ= (где n e и υ mdash концентрация заряд и средняя

скорость упорядоченного движения зарядов) то сила тока SneI dtdq υ== а

плотность токаυr

rnej =

Единица плотности тока mdash Ам230 Сторонние силы

Для возникновения и существования электрического тока необходимо1) наличие свободных носителей тока mdash заряженных частиц способ-

ных перемещаться упорядоченно2) наличие электрического поля энергия которого должна каким-то

образом восполнятьсяЕсли в цепи действуют только силы электростатического поля то

происходит перемещение носителей таким образом что потенциалы всех точек

3ndash11

Электричество

В качестве Гауссовой поверхности примемповерхность цилиндра образующие которогоперпендикулярны заряженной плоскости аоснования параллельны заряженной плоскости илежат по разные стороны от нее на одинаковыхрасстояниях

Так как образующие цилиндра параллельнылиниям напряженности то поток векторанапряженности через боковую поверхностьцилиндра равен нулю а полный поток сквозь цилиндр равен суммепотоков сквозь его основания ES2 Заряд заключенный внутрицилиндра равен Sσ По теореме Гаусса 02 εσSES = откуда

E не зависит от длины цилиндра те напряженность поля на любыхрасстояниях одинакова по модулю Такое поле называется однородным

Разность потенциалов между точками лежащими на расстояниях 1x и 2xот плоскости равна

intint minus===minus2

1

2

1

)(22 12

0021

x

x

x

x

xxdxEdxεσ

εσϕϕ

3 Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженныхплоскостей с равными по абсолютному значению поверхностнымиплотностями зарядов 0gtσ и σminus

Из предыдущего примера следует что векторы напряженности 1Er

и 2Er

первой и второй плоскостей равны по модулю и всюду направленыперпендикулярно плоскостям Поэтому в пространстве вне плоскостей оникомпенсируют друг друга а в пространстве между плоскостями суммарнаянапряженность 12EE

rr= Поэтому между плоскостями

0εσ=E (в диэлектрике

0εεσ=E )

Поле между плоскостями однородное Разность потенциалов междуплоскостями

00 0021 ε

σεσϕϕ ddxEdx

dd

===minus intint (в диэлектрике 0εε

σϕ d=∆ )

4 Поле равномерно заряженной сферической поверхностиСферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена

равномерно с поверхностной плотностью 24 Rqπ

σ =

02ε

σ=E

3ndash12

АНОгурцов Лекции по физике

Поскольку система зарядов и следовательносамо поле центрально-симметрично относительноцентра сферы то линии напряженности направленырадиальноВ качестве Гауссовой поверхности выберем сферурадиуса r имеющую общий центр с заряженнойсферой Если Rr gt то внутрь поверхностипопадает весь заряд q По теореме Гаусса

0

24ε

π qEr = откуда ( )Rrr

RrqE ge==

41

20

2

20 ε

σπε

При Rr le замкнутая поверхность не содержитвнутри зарядов поэтому внутри равномернозаряженной сферы 0=E

Разность потенциалов между двумя точкамилежащими на расстояниях 1r и 2r от центра сферы( RrRr gtgt 21 ) равна

int int

minus===minus

2

1

2

1 2102

021

1144

1r

r

r

r rrqdr

rqEdr

πεπεϕϕ

Если принять rr =1 и infin=2r то потенциал поля вне сферической

поверхности rq

041πε

ϕ =

Вне заряженной сферы поле такое же как поле точечного заряда q находящегося в центре сферы Внутри заряженной сферы поля нет поэтомупотенциал всюду одинаков и такой же как на поверхности

004 εσ

πεϕ R

Rq ==

5 Поле объемно заряженного шараЗаряд q равномерно распределен в вакууме по

объему шара радиуса R с объемной плотностью

33

4 Rq

Vq

πρ == Центр шара является центром

симметрии поля1) Для поля вне шара )( Rr gt получаем тот же

результат что и в случае сферической поверхности

204

1rqE

πε=

rq

04πεϕ =

minus=minus

21021

114 rr

qπε

ϕϕ

2) При Rr = 0

2

002

0 34

341

ερ

πεϕ

ερ

πεR

rqR

RqE ====

3) Внутри шара сфера радиусом Rr lt охватывает заряд ρπ 3

34 rq =

3ndash21

Электричество

Интегрирование проводится по всем заряженным поверхностям S и по всемузаряженному объему V тел системы

На примере поля плоского конденсатора выразим энергию поля через егонапряженность Для конденсатора dSC 0εε= и Ed=∆ϕ Отсюда

VESdEW 20

20 2

121 εεεε ==

В однородном поле конденсатора его энергия распределена равномернопо всему объему поля SdV =

Объемная плотность энергии электростатического поля плоскогоконденсатора w

EDEVWw

21

21 2

0 === εε

где ED 0εε= mdash электрическое смещениеЭта формула является отражением того факта что электростатическая

энергия сосредоточена в электростатическом поле Это выражениесправедливо также и для неоднородных полей28 Пондеромоторные силы

Механические силы действующие на заряженные тела помещенные вэлектромагнитное поле называются пондеромоторными силами (от латинскихслов ponderis mdash тяжесть и motor mdash движущий)

Например в плоском конденсаторе сила с которой пластиныконденсатора притягивают друг друга совершает работу за счет уменьшения

потенциальной энергии системы С учетом Sq=σ и

0εεσ=E получаем

SESS

qdx

dWF 20

0

2

0

2

21

22εε

εεσ

εεminus=minus=minus=minus=

где знак минус указывает на то что эта сила является силой притяженияПод действием этой силы обкладки конденсатора сжимают пластинудиэлектрика помещенного между ними и в диэлектрике возникает давление

20

0

2

21

2E

SFp εε

εεσ ===

Постоянный электрический ток

29 Постоянный электрический ток сила и плотность токаЭлектродинамика mdash раздел учения об электричестве в котором

рассматриваются явления и процессы обусловленные движениемэлектрических зарядов

Электрическим током называется упорядоченное движениеэлектрических зарядов

За направление тока принимают направление движения положительныхзарядов

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I mdash

3ndash20

АНОгурцов Лекции по физике

неподвижных точечных зарядов равна

sum=

=n

iiiqW

121 ϕ

где iϕ mdash потенциал создаваемый в той точке где находится заряд iq всеми зарядами кроме i -го25 Энергия заряженного уединенного проводника

Рассмотрим уединенный проводник заряд емкость и потенциал которогоравны ϕCq Элементарная работа dA совершаемая внешними силами попреодолению кулоновских сил отталкивания при перенесении заряда dq избесконечности на проводник равна ϕϕϕ dCdqdA == Чтобы зарядитьпроводник от нулевого потенциала до ϕ необходимо совершить работу

int ==ϕ ϕϕϕ0

2

2CdCA

Энергия заряженного уединенного проводника (используя ϕqC = )

222

22 ϕϕ qC

qCW ===

26 Энергия заряженного конденсатораЭлементарная работа внешних сил по перенесению малого заряда dq с

обкладки 2 конденсатора на обкладку 1

CqdqdqdA =∆= ϕ

Работа внешних сил при увеличении заряда конденсатора от 0 до q

int ==q

Cq

CqdqA

0

2

2

Энергия заряженного конденсатора (используя ϕ∆

= qC )

( )222

221

2 ϕϕϕ ∆=minus== qCC

qW

27 Энергия электростатического поляВ общем случае электрическую энергию любой системы

заряженных неподвижных тел mdash проводников и непроводников mdash можнонайти по формуле

intint +=VS

dVdSW ϕρϕσ21

21

где σ и ρ mdash поверхностная и объемная плотности свободных зарядов ϕ mdashпотенциал результирующего поля всех свободных и связанных зарядов вточках малых элементов dS и dV заряженных поверхностей и объемов

3ndash13

Электричество

По теореме Гаусса 0

3

0

2

344ερπ

επ rqEr ==

Отсюда для точек лежащих внутри шара ( )RrRr ltlt 21 с учетом 33

4 Rqπ

ρ =

03

0 34 ερ

πεr

RqrE == int minus==minus

2

1

)(8

21

223

021

r

r

rrR

qEdrπε

ϕϕ

6 Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен

равномерно с линейной плотностью dldq=τ

Линии напряженности будут направлены порадиусам круговых сечений цилиндра содинаковой густотой во все стороныотносительно оси цилиндра

В качестве Гауссовой поверхностивыберем цилиндр радиуса r и высотой lкоаксиальный с заряженной нитью

Торцы этого цилиндра параллельнылиниям напряженности поэтому поток черезних равен нулю

Поток через боковую поверхность равенrlE π2

По теореме Гаусса (при Rr gt ) 0

2ετπ lrlE = откуда при RrRr gtgt 21

rE τ

πε021=

1

2

0021 ln

22

2

1

2

1rr

rdrEdr

r

r

r

r πετ

πετϕϕ int int ===minus

Если Rr lt то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержитпоэтому 0=E 14 Электростатическое поле в диэлектрической среде

Диэлектриками называются вещества которые при обычных условияхпрактически не проводят электрический ток

Диэлектрик как и всякое другое вещество состоит из атомов или молекулкаждая из которых в целом электрически нейтральна

Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядомq+ находящимся в так сказать центре тяжести положительных зарядов а

заряд всех электронов mdash суммарным отрицательным зарядом qminus находя-щимся в центре тяжести отрицательных зарядов то молекулы можнорассматривать как электрические диполи с электрическим моментом

Различают три типа диэлектриков1) Диэлектрики с неполярными молекулами симметричные молекулы

которых в отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент(например N2 H2 O2 CO2)

3ndash14

АНОгурцов Лекции по физике

2) Диэлектрики с полярными молекулами молекулы которыхвследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (например H2ONH3 SO2 CO)

3) Ионные диэлектрики (например NaCl KCl) Ионные кристаллыпредставляют собой пространственные решетки с правильным чередованиемионов разных знаков

Внесение диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит квозникновению отличного от нуля результирующего электрического моментадиэлектрика

Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей илипоявления под воздействием электрического поля ориентированных по полюдиполей

Соответственно трем видам диэлектриков различают три видаполяризации

1) Электронная или деформационная поляризация диэлектрика снеполярными молекулами mdash за счет деформации электронных орбит возникает

индуцированный дипольный момент у атомов илимолекул диэлектрика

2) Ориентационная или дипольная по-ляризация диэлектрика с полярными молеку-лами mdash ориента-ция имеющихся

дипольных моментов молекул по полю (этаориентация тем сильнее чем больше напря-женность электрического поля и чем нижетемпература)

3) Ионная поляризация диэлектрика сионными кристаллическими решетками mdash смещение подрешеткиположительных ионов вдоль поля а отрицательных ионов против поляприводит к возникновению дипольных моментов15 Поляризованность

Поместим пластину из однородного диэлектрика во внешнееэлектрическое поле созданное двумя бесконечными параллельнымиразноименно заряженными плоскостями

Во внешнем электрическом поле диэлектрик объемом V поляризуетсяте приобретает дипольный момент sum=

iiV pp rr где minusipr дипольный момент

одной молекулыДля количественного описания поляризации диэлектрика используется

векторная величина mdash поляризованность mdash которая определяется какдипольный момент единицы объема диэлектрика

Vp

VpP i iV sum==

rrr

В случае изотропного диэлектрика поляризованность (для большинствадиэлектриков за исключением сегнетоэлектриков) линейно зависит отнапряженности внешнего поля

EPrr

0χε=

3ndash19

Электричество

1 Емкость плоского конденсатора (две параллельные металлическиепластины площадью S каждая расположенные на расстоянии d друг от

друга (Sq=σ ))

dS

dqqC εε

εεσϕ

0

0

==∆

=

2 Емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндрадлиной l с радиусами 1r и 2r )( lq=τ )

1

2

0

1

2

0ln

2

ln2 r

rl

rr

lq

qC επε

επε

==

3 Емкость сферического конденсатора (две концентрических сферы срадиусами 1r и 2r )

12

210

210

411

4rr

rr

rrq

qCminus

=

minus

= επε

επε

23 Соединения конденсаторовУ параллельно соединенных конденсаторов nCCC K21 разность

потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова ϕ∆ Полная емкость

sumsumsum

=

== =∆

∆=

∆=

∆=

n

ii

n

ii

n

ii

CCq

qC1

11

ϕ

ϕ

ϕϕ

У последовательно соединенных кон-денсаторов nCCC K21 заряды q всехобкладок равны по модулю а суммарнаяразность потенциалов

Cq

Cqn

i i

n

ii ==∆=∆ sumsum

== 11ϕϕ

откуда

sum=

=n

i iCC 1

11

24 Энергия системы неподвижных точечных зарядовДля системы двух зарядов 1q и 2q находящихся на расстоянии r друг от

друга каждый из них в поле другого обладает потенциальной энергией

22121

02

2

011211 4

14

1 Wqrqq

rqqqW ===== ϕ

πεπεϕ

Поэтому )( 21212121

212121 ϕϕϕϕ qqqqW +=== Добавляя последова-тельно по одному заряду получим что энергия взаимодействия системы n

3ndash18

АНОгурцов Лекции по физике

εεσ0

=E где σ mdash поверхностная плотность зарядов и ε mdash диэлектрическая

проницаемость среды окружающей проводникНейтральный проводник внесенный в электростатическое поле

разрывает часть линий напряженности они заканчиваются на отрицательныхиндуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных

Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхностипроводника Явление перераспределения поверхностных зарядов напроводнике во внешнем электростатическом поле называетсяэлектростатической индукцией21 Электроемкость

Рассмотрим уединенный проводник mdash проводник удаленный от другихтел и зарядов Из опыта следует что разные проводники будучи одинаковозаряженными имеют разные потенциалы

Физическая величина C равная отношению заряда проводника q к егопотенциалу ϕ называется электрической емкостью этого проводника

ϕqC =

Электроемкость уединенного проводника численно равна зарядукоторый нужно сообщить этому проводнику для того чтобы изменить егопотенциал на единицу

Она зависит от формы и размеров проводника и от диэлектрическихсвойств окружающей среды Емкости геометрически подобных проводниковпропорциональны их линейным размерам

Пример емкость уединенного проводящего шара RqC 04πεϕ==

Единица электроемкости mdash фарад (Ф) 1Ф mdash емкость такогоуединенного проводника потенциал которого изменяется на 1В при сообщенииему заряда 1Кл Емкостью 1Ф обладает шар с радиусом 6109 sdot=R км ЕмкостьЗемли 07мФ22 Конденсаторы

Если к проводнику с зарядом q приблизить другие тела то на ихповерхности возникнут индуцированные (на проводнике) или связанные (надиэлектрике) заряды Эти заряды ослабляют поле создаваемое зарядом q тем самым понижая потенциал проводника и повышая его электроемкость

Конденсатор mdash это система из двух проводников (обкладок) содинаковыми по модулю но противоположными по знаку зарядами форма ирасположение которых таковы что поле сосредоточено в узком зазоре междуобкладками

Емкость конденсатора mdash физическая величина равная отношениюзаряда q накопленного в конденсаторе к разности потенциалов 21 ϕϕ minus междуего обкладками

ϕ∆= qC

3ndash15

Электричество

где minusχ диэлектрическая восприимчивость вещества характеризующаясвойства диэлектрика (положительная безразмерная величина)16 Диэлектрическая проницаемость среды

Вследствие поляризации на поверхностидиэлектрика появляются нескомпенсированныезаряды которые называются связанными (в отличиеот свободных зарядов которые создают внешнееполе)

Поле Er

внутри диэлектрика создаваемоесвязанными зарядами направлено против внешнегополя 0E

r создаваемого свободными зарядами

Результирующее поле внутри диэлектрика0 EEE minus=

В нашем примере поле создаваемое двумябесконечно заряженными плоскостями с поверхностнойплотностью зарядов σ 0 εσ=E Поэтому

00 εσminus= EEПолный дипольный момент диэлектрической

пластинки с толщиной d и площадью грани S PSdPVpV == с другойстороны SdqdpV σ== Отсюда P=σ

EEEEPEEE χε

χεεε

σ minus=minus=minus=minus= 00

00

00

00

Откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

εχ00

1EEE =

+=

Безразмерная величина EE01 =+= χε называется диэлектрической

проницаемостью среды Она характеризует способность диэлектриковполяризоваться в электрическом поле и показывает во сколько раз полеослабляется диэлектриком17 Электрическое смещение

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды(от ε ) Кроме того вектор напряженности E

r переходя через границу

диэлектриков претерпевает скачкообразное изменение поэтому для описания(непрерывного) электрического поля системы зарядов с учетомполяризационных свойств диэлектриков вводится вектор электрическогосмещения (электрической индукции) который для изотропной средызаписывается как

PEEEDrrrrr

+=+== 000 )1( εχεεεЕдиница электрического смещения mdash Клм2Вектор D

r описывает электростатическое поле создаваемое свободными

зарядами (те в вакууме) но при таком их распределении в пространстве какоеимеется при наличии диэлектрика

3ndash16

АНОгурцов Лекции по физике

Аналогично линиям напряженности можно ввести линии электрическогосмещения Через области поля где находятся связанные заряды линиивектора D

r проходят не прерываясь

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Dr

сквозь этуповерхность

int int==ΦS S

nD dSDdSDr

где nD ndash проекция вектора Dr

на нормаль nr к площадке dS Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике поток

вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов

sumint int=

==n

ii

S Sn qdSDdSD

1

r

Для непрерывного распределения заряда в пространстве с объемнойплотностью dVdq=ρ

int int=S V

dVdSD ρr

Другая форма записи этого соотношения с учетом определениядивергенции вектора (стр1-31)

ρ=Dr

div18 Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

При отсутствии на границе двух диэлектриков свободных зарядовциркуляция вектора E

r по контуру int =

ABCDA

dlE 0r

откуда 021 =minus lElE ττ Поэтому

21 ττ EE =Учитывая ED εε0=

2

1

2

1

εε

τ

τ =DD

По теореме Гаусса поток вектора Dr

черезцилиндр ничтожно малой высоты равен нулю (нетсвободных зарядов) 0=∆minus∆ prime SDSD nn поэтому

21 nn DD =

1

2

2

1

εε=

n

n

EE

Таким образом при переходе через границураздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора E

r

(Eτ) и нормальная составляющая вектора Dr

(Dn) изменяются непрерывно (непретерпевают скачка) а нормальная составляющая вектора E

r (En) и

тангенциальная составляющая вектора Dr

(Dτ) претерпевают скачок

3ndash17

Электричество

19 СегнетоэлектрикиСегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики у которых

в отсутствие внешнего электрического поля возникает самопроизвольнаяориентация дипольных электрических моментов составляющих его частиц

Примеры сегнетова соль NaKC4H4O6middot4H2Oтитанат бария BaTiO3

Сегнетоэлектрики состоят из доменов mdashобластей с различными направлениямиполяризованности

Температура выше которой исчезаютсегнетоэлектрические свойства mdash точка Кюри

Для сегнетоэлектриков связь между векторами Er

и Pr

нелинейная инаблюдается явление диэлектрического гистерезиса mdash сохраненияостаточной поляризованности при снятии внешнего поля

Пьезоэлектрики mdash кристаллические диэлектрики в которых при сжатииили растяжении возникает электрическая поляризация mdash прямой пьезоэффект

Обратный пьезоэффект mdash появление механической деформации поддействием электрического поля20 Проводники в электростатическом поле

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или егозарядить то на заряды проводника будет действовать электростатическоеполе в результате чего они начнут перемещаться до тех пор пока неустановится равновесное распределение зарядов при которомэлектростатическое поле внутри проводника обращается в нуль 0=E

r

Иначе если бы поле не было равно нулю то в проводнике возникло быупорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источникачто противоречит закону сохранения энергии

Следствия этого ( constE =rArr=minus= ϕϕ 0gradr

) потенциал во всех точках проводника одинаков поверхность проводника является эквипотенциальной вектор E

r направлен по нормали к каждой точке поверхности

При помещении нейтрального проводника во внешнее поле свободныезаряды (электроны и ионы) начнут перемещаться положительные mdash по полю а

отрицательные mdash против поля(рис(а)) На одном концепроводника будет избытокположительных зарядов надругом mdash отрицательных Этизаряды называютсяиндуцированными Процессбудет продолжаться до техпор пока напряженность поля

внутри проводника не станет равной нулю а линии напряженности внепроводника mdash перпендикулярными его поверхности (рис(б)) если проводнику сообщить некоторый заряд q то нескомпенсированныезаряды располагаются только на поверхности проводника причем σ=D и

Page 8: Лекции по физике. Электричество

3ndash8

АНОгурцов Лекции по физике

Например потенциал поля создаваемого точечным зарядом q равен

rq

041πε

ϕ =

10 Разность потенциаловРабота совершаемая силами электростатического поля при перемещении

заряда 0q из точки 1 в точку 2 может быть представлена какϕϕϕ ∆=minus=minus= 02102112 )( qqWWA

то есть равна произведению перемещаемого заряда на разностьпотенциалов в начальной и конечной точках

Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом полеопределяется работой совершаемой силами поля при перемещенииединичного положительного заряда из точки 1 в точку 2

0

1221 q

A=∆=minus ϕϕϕ

Пользуясь определением напряженности электростатического поляможем записать работу 12A в виде

int int int===2

1

2

1

2

10012 dlEqdlEqdlFA

rrr

Отсюда

intint ===∆=minus2

1

2

10

1221 dlEdlE

qA

l

rϕϕϕ

где интегрирование можно производить вдоль любой линии соединяющейначальную и конечную точки так как работа сил электростатического поля независит от траектории перемещения

Если перемещать заряд 0q из произвольной точки за пределы поля(на бесконечность) где потенциальная энергия а значит и потенциал равнынулю то работа сил электростатического поля ϕ0qA =infin откуда

0qAinfin=ϕ

Таким образом еще одно определение потенциала потенциал mdashфизическая величина определяемая работой по перемещению единичногоположительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность

Единица потенциала ndash вольт (В) 1В есть потенциал такой точки поля вкоторой заряд в 1Кл обладает потенциальной энергией 1Дж (1В=1Дж1Кл)

Принцип суперпозиции потенциалов электростатических полейЕсли поле создается несколькими зарядами то потенциал поля системызарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов11 Связь между напряженностью и потенциалом

Для потенциального поля между потенциальной (консервативной) силой ипотенциальной энергией существует связь

WWF minusnabla=minus= gradr

3ndash25

Электричество

В проводнике El

U = mdash напряженность электрического поля SlR ρ=

SIj =

Из закона Ома получим соотношение l

USI

ρ1= откуда Ej γ=

В векторной форме соотношениеEjrr

γ=называется законом Ома в дифференциальной форме Этот закон

связывает плотность тока в любой точке внутри проводника снапряженностью электрического поля в той же точке33 Сопротивление соединения проводников(1) Последовательное соединение n про-

водников IIII n ==== K21

sum sumsum= ==

====n

i

n

iiii

n

ii RIRIUUIR

1 11

sum=

=n

iiRR

1

(2) Параллельное соединение n провод-ников UUUU n ==== K21

sumsumsum===

====n

i i

n

i i

in

ii R

URUII

RU

111

1

sum=

=n

i iRR 1

11

34 Температурная зависимость сопротивленияОпытным путем было установлено что для большинства случаев

изменение удельного сопротивления (а значит и сопротивления) стемпературой описывается линейным законом

( )tαρρ += 10 или ( )tRR α+= 10

где ρ и 0ρ R и 0R mdash соответственно удельные сопротивления исопротивления проводника при температурах t и deg0 С (шкала Цельсия) α mdashтемпературный коэффициент сопротивления

На зависимости электрического сопротивления металлов от температурыосновано действие термометров сопротивления

Сопротивление многих металлов при очень низких температурах kT (014ndash20 К (шкала Кельвина)) называемых критическими характерных для каждоговещества скачкообразно уменьшается до нуля и металл становитсяабсолютным проводником Это явление называется сверхпроводимостью35 Работа и мощность тока

Кулоновские и сторонние силы при перемещении заряда q вдольэлектрической цепи совершают работу A

3ndash24

АНОгурцов Лекции по физике

Если на заряд 0q действуют как сторонние силы так и силыэлектростатического поля то результирующая сила

( )EEqFFF e

rrrrr+=+= стор0стор

Работа результирующей силы по перемещению заряда 0q на участке 1mdash2

( )intint minus+Θ=+=2

12101200

2

1стор012 ϕϕqqdlEqdlEqA

rr

Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю поэтомуΘ= 0qA

Напряжением U на участке 1mdash2 называется физическая величиначисленно равная суммарной работе совершаемой электростатическими исторонними силами по перемещению единичного положительного заряда наданном участке цепи

12210

1212 Θ+minus== ϕϕ

qAU

Понятие напряжения является обобщением понятия разностипотенциалов напряжение на концах участка цепи равно разностипотенциалов если участок не содержит источника тока (те на участке недействует ЭДС сторонние силы отсутствуют)32 Закон Ома Электрическое сопротивление

Закон Ома для однородного участка цепи (не содержащегоисточника тока) сила тока текущего по однородномуметаллическому проводнику пропорциональна напряжению наконце проводника (интегральная форма закона Ома)

Коэффициент пропорциональности R называется электрическим сопро-тивлением проводника

Единица электрического сопротивления mdash ом (Ом) 1 Ом mdash сопро-тивление такого проводника в котором при напряжении 1В течет постоянныйток 1А

Величина R

G 1= называется электрической проводимостью проводника

Единица электрической проводимости mdash сименс (См) 1 См mdashпроводимость участка электрической цепи сопротивлением 1 Ом

Сопротивление проводника зависит от его размеров и формы а также отматериала из которого проводник изготовлен Например дляоднородного линейного проводника длиной l и площадьюпоперечного сечения S сопротивление рассчитывается по формуле

где коэффициент пропорциональности ρ характеризующий материалпроводника называется удельным электрическим сопротивлением

Единица удельного электрического сопротивления mdash ом-метр(Омм)

Величина обратная удельному сопротивлению называетсяудельной электрической проводимостью вещества проводника

Единица удельной электрической проводимости mdash сименсна метр (Смм)

RUI =

SlR ρ=

ρ

γ 1=

3ndash9

Электричество

где nabla (набла) mdash оператор Гамильтона kz

jy

ix

rrr

partpart+

partpart+

partpart=nabla

Поскольку EqFrr

= и ϕqW = то

ϕϕ minusnabla=minus= gradEr

Знак минус показывает что вектор Er

направлен в сторону убыванияпотенциала12 Эквипотенциальные поверхности

Для графического изображения распределения потенциала используютсяэквипотенциальные поверхности mdash поверхности во всех точках которыхпотенциал имеет одно и то же значение

Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так чтобы разностипотенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностямибыли одинаковы Тогда густота эквипотенциальных поверхностей нагляднохарактеризует напряженность поля в разных точках Там где эти поверхностирасположены гуще напряженность поля больше На рисунке пунктиромизображены силовые линии сплошными линиями mdash сеченияэквипотенциальных поверхностей для положительного точечного заряда (а)диполя (б) двух одноименных зарядов (в) заряженного металлическогопроводника сложной конфигурации (г)

Для точечного заряда потенциал rq

041πε

ϕ = поэтому эквипотенциальные

поверхности mdash концентрические сферы С другой стороны линиинапряженности mdash радиальные прямые Следовательно линии напряженностиперпендикулярны эквипотенциальным поверхностям

Можно показать что во всех случаях1) вектор E

r перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и

2) всегда направлен в сторону убывания потенциала13 Примеры расчета наиболее важных симметричных электростатических

полей в вакууме1 Электростатическое поле электрического диполя в вакууме

Электрическим диполем (или двойным электрическим полюсом)называется система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов( qq minus+ ) расстояние l между которыми значительно меньше расстояния дорассматриваемых точек поля )( rl ltlt

Плечо диполя lr

mdash вектор направленный по оси диполя ототрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними

3ndash10

АНОгурцов Лекции по физике

Электрический момент диполя epr mdash вектор совпада-ющий по направлению с плечом диполя и равный произведениюмодуля заряда q на плечо l

r1) Напряженность поля диполя на продолжении

оси диполя в точке Аminus+minus+ +=minus= ϕϕϕEEEA

Пусть r mdash расстояние до точки А от серединыоси диполя Тогда учитывая что lr gtgt

30

30

20

20

24

1

24

1

24

1

24

1

rp

rql

lr

qlr

qE

e

A

πε

πεπεπε

=

==

+

minus

minus

=

20

200 4

14

1224

1rp

rql

lrq

lrq e

A πεπεπεϕ ==

+minus

minus=

2) Напряженность поля в точке B на перпендикуляре восстановленном коси диполя из его середины при lr gtgt

( ) ( ) ( )

41

241

20

220 r

lEE

rq

lrqEE B asympasymp+

==+

minus+ πεπε поэтому

30

30 )(4

1)(4

1

)(rp

rql

rlEE e

B πεπε=== +

0=BϕТочка В равноудалена от зарядов q+ и qminus

диполя поэтому потенциал поля в точке В равеннулю Вектор BE

r направлен противоположно

вектору lr

3) Во внешнем электрическом поле на концы

диполя действует пара сил которая стремитсяповернуть диполь таким образом чтобыэлектрический момент epr диполя развернулся

вдоль направления поля Er

(рис(а))Во внешнем однородном поле момент пары

сил равен αsinqElM = или ][ EpM e

rrr= Во внешнем неоднородном поле

(рис(в)) силы действующие на концы диполя неодинаковы ( )12 FFrr

gt и ихрезультирующая стремится передвинуть диполь в область поля с большейнапряженностью mdash диполь втягивается в область более сильного поля2 Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностьюdSdq=+σ Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой

плоскости и направлены от нее в обе стороны

lqpe

rr =

3ndash23

Электричество

цепи выравниваются и электростатическое поле исчезаетДля существования постоянного тока необходимо наличие в цепи

устройства способного создавать и поддерживать разность потенциаловза счет сил не электростатического происхождения

Такие устройства называются источниками токаСилы не электростатического происхождения действующие на заряды со

стороны источников тока называются стороннимиКоличественная характеристика сторонних сил mdash поле сторонних сил и

его напряженность сторEr

определяемая сторонней силой действующей наединичный положительный заряд

Природа сторонних сил может быть различной Например вгальванических элементах они возникают за счет энергии химических реакциймежду электродами и электролитами в генераторе mdash за счет механическойэнергии вращения ротора генератора в солнечных батареях mdash за счет энергиифотонов и тп Роль источника тока в электрической цепи такая же как рольнасоса который необходим для поддержания тока жидкости в гидравлическойсистеме

Под действием создаваемого поля сторонних сил электрические зарядыдвижутся внутри источника тока против сил электростатического поляблагодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепитечет постоянный электрический ток31 Электродвижущая сила и напряжение

Физическая величина определяемая работой которую совершаютсторонние силы при перемещении единичного положительного заряданазывается электродвижущей силой (ЭДС) действующей в цепи

0qA=Θ

Эта работа совершается за счет энергии затрачиваемой в источнике токапоэтому величину Θ можно назвать электродвижущей силой источника токавключенного в цепь ЭДС как и потенциал выражается в вольтах

Участок цепи на котором не действуют сторонние силы называетсяоднородным Участок на котором на носители тока действуют сторонние силыназывается неоднородным

Работа сторонних сил по перемещению заряда 0q на замкнутом участкецепи

int int== dlEqdlFA стор0стор

rr

Отсюда ЭДС действующая в замкнутой цепи mdash это циркуляция векторанапряженности поля сторонних сил

dlEint=Θ стор

r

Следовательно для поля сторонних сил циркуляция его напряженности позамкнутому контуру не равна нулю Поэтому поле сторонних сил mdashнепотенциально

ЭДС действующая на участке 1ndash2 цепи равна

dlEint=Θ2

1стор12

r

3ndash22

АНОгурцов Лекции по физике

скалярная физическая величина равная отношению заряда dq переносимогосквозь рассматриваемую поверхность за малый промежуток времени квеличине dt этого промежутка

dtdqI =

Электрический ток называется постоянным если сила тока и егонаправление не изменяются с течением времени

Для постоянного тока tqI =

где q mdash электрический заряд проходящий за время t через поперечноесечение проводника

Единица силы тока mdash ампер (А) (см Механика стр 1-2)Для характеристики направления электрического тока в разных точках

рассматриваемой поверхности и распределения силы тока по этой поверхностислужит вектор плотности тока j

r Сила тока сквозь произвольную

поверхность S определяется как поток вектора плотности тока

int=S

dSjIr

где dSndS r= ( nr ndash единичный вектор нормали (орт) к площадке dS )Плотностью электрического тока называется вектор j

r совпа-

дающий с направлением электрического тока в рассматриваемой точке ичисленно равный отношению силы тока dI сквозь малый элемент поверхностиортогональной направлению тока к площади perpdS этого элемента

perp=

dSdIj

Для постоянного тока I текущего перпендикулярно сечению S

проводника SIj =

Если за время dt через поперечное сечение S проводника переноситсязаряд dtSnedq υ= (где n e и υ mdash концентрация заряд и средняя

скорость упорядоченного движения зарядов) то сила тока SneI dtdq υ== а

плотность токаυr

rnej =

Единица плотности тока mdash Ам230 Сторонние силы

Для возникновения и существования электрического тока необходимо1) наличие свободных носителей тока mdash заряженных частиц способ-

ных перемещаться упорядоченно2) наличие электрического поля энергия которого должна каким-то

образом восполнятьсяЕсли в цепи действуют только силы электростатического поля то

происходит перемещение носителей таким образом что потенциалы всех точек

3ndash11

Электричество

В качестве Гауссовой поверхности примемповерхность цилиндра образующие которогоперпендикулярны заряженной плоскости аоснования параллельны заряженной плоскости илежат по разные стороны от нее на одинаковыхрасстояниях

Так как образующие цилиндра параллельнылиниям напряженности то поток векторанапряженности через боковую поверхностьцилиндра равен нулю а полный поток сквозь цилиндр равен суммепотоков сквозь его основания ES2 Заряд заключенный внутрицилиндра равен Sσ По теореме Гаусса 02 εσSES = откуда

E не зависит от длины цилиндра те напряженность поля на любыхрасстояниях одинакова по модулю Такое поле называется однородным

Разность потенциалов между точками лежащими на расстояниях 1x и 2xот плоскости равна

intint minus===minus2

1

2

1

)(22 12

0021

x

x

x

x

xxdxEdxεσ

εσϕϕ

3 Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженныхплоскостей с равными по абсолютному значению поверхностнымиплотностями зарядов 0gtσ и σminus

Из предыдущего примера следует что векторы напряженности 1Er

и 2Er

первой и второй плоскостей равны по модулю и всюду направленыперпендикулярно плоскостям Поэтому в пространстве вне плоскостей оникомпенсируют друг друга а в пространстве между плоскостями суммарнаянапряженность 12EE

rr= Поэтому между плоскостями

0εσ=E (в диэлектрике

0εεσ=E )

Поле между плоскостями однородное Разность потенциалов междуплоскостями

00 0021 ε

σεσϕϕ ddxEdx

dd

===minus intint (в диэлектрике 0εε

σϕ d=∆ )

4 Поле равномерно заряженной сферической поверхностиСферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена

равномерно с поверхностной плотностью 24 Rqπ

σ =

02ε

σ=E

3ndash12

АНОгурцов Лекции по физике

Поскольку система зарядов и следовательносамо поле центрально-симметрично относительноцентра сферы то линии напряженности направленырадиальноВ качестве Гауссовой поверхности выберем сферурадиуса r имеющую общий центр с заряженнойсферой Если Rr gt то внутрь поверхностипопадает весь заряд q По теореме Гаусса

0

24ε

π qEr = откуда ( )Rrr

RrqE ge==

41

20

2

20 ε

σπε

При Rr le замкнутая поверхность не содержитвнутри зарядов поэтому внутри равномернозаряженной сферы 0=E

Разность потенциалов между двумя точкамилежащими на расстояниях 1r и 2r от центра сферы( RrRr gtgt 21 ) равна

int int

minus===minus

2

1

2

1 2102

021

1144

1r

r

r

r rrqdr

rqEdr

πεπεϕϕ

Если принять rr =1 и infin=2r то потенциал поля вне сферической

поверхности rq

041πε

ϕ =

Вне заряженной сферы поле такое же как поле точечного заряда q находящегося в центре сферы Внутри заряженной сферы поля нет поэтомупотенциал всюду одинаков и такой же как на поверхности

004 εσ

πεϕ R

Rq ==

5 Поле объемно заряженного шараЗаряд q равномерно распределен в вакууме по

объему шара радиуса R с объемной плотностью

33

4 Rq

Vq

πρ == Центр шара является центром

симметрии поля1) Для поля вне шара )( Rr gt получаем тот же

результат что и в случае сферической поверхности

204

1rqE

πε=

rq

04πεϕ =

minus=minus

21021

114 rr

qπε

ϕϕ

2) При Rr = 0

2

002

0 34

341

ερ

πεϕ

ερ

πεR

rqR

RqE ====

3) Внутри шара сфера радиусом Rr lt охватывает заряд ρπ 3

34 rq =

3ndash21

Электричество

Интегрирование проводится по всем заряженным поверхностям S и по всемузаряженному объему V тел системы

На примере поля плоского конденсатора выразим энергию поля через егонапряженность Для конденсатора dSC 0εε= и Ed=∆ϕ Отсюда

VESdEW 20

20 2

121 εεεε ==

В однородном поле конденсатора его энергия распределена равномернопо всему объему поля SdV =

Объемная плотность энергии электростатического поля плоскогоконденсатора w

EDEVWw

21

21 2

0 === εε

где ED 0εε= mdash электрическое смещениеЭта формула является отражением того факта что электростатическая

энергия сосредоточена в электростатическом поле Это выражениесправедливо также и для неоднородных полей28 Пондеромоторные силы

Механические силы действующие на заряженные тела помещенные вэлектромагнитное поле называются пондеромоторными силами (от латинскихслов ponderis mdash тяжесть и motor mdash движущий)

Например в плоском конденсаторе сила с которой пластиныконденсатора притягивают друг друга совершает работу за счет уменьшения

потенциальной энергии системы С учетом Sq=σ и

0εεσ=E получаем

SESS

qdx

dWF 20

0

2

0

2

21

22εε

εεσ

εεminus=minus=minus=minus=

где знак минус указывает на то что эта сила является силой притяженияПод действием этой силы обкладки конденсатора сжимают пластинудиэлектрика помещенного между ними и в диэлектрике возникает давление

20

0

2

21

2E

SFp εε

εεσ ===

Постоянный электрический ток

29 Постоянный электрический ток сила и плотность токаЭлектродинамика mdash раздел учения об электричестве в котором

рассматриваются явления и процессы обусловленные движениемэлектрических зарядов

Электрическим током называется упорядоченное движениеэлектрических зарядов

За направление тока принимают направление движения положительныхзарядов

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I mdash

3ndash20

АНОгурцов Лекции по физике

неподвижных точечных зарядов равна

sum=

=n

iiiqW

121 ϕ

где iϕ mdash потенциал создаваемый в той точке где находится заряд iq всеми зарядами кроме i -го25 Энергия заряженного уединенного проводника

Рассмотрим уединенный проводник заряд емкость и потенциал которогоравны ϕCq Элементарная работа dA совершаемая внешними силами попреодолению кулоновских сил отталкивания при перенесении заряда dq избесконечности на проводник равна ϕϕϕ dCdqdA == Чтобы зарядитьпроводник от нулевого потенциала до ϕ необходимо совершить работу

int ==ϕ ϕϕϕ0

2

2CdCA

Энергия заряженного уединенного проводника (используя ϕqC = )

222

22 ϕϕ qC

qCW ===

26 Энергия заряженного конденсатораЭлементарная работа внешних сил по перенесению малого заряда dq с

обкладки 2 конденсатора на обкладку 1

CqdqdqdA =∆= ϕ

Работа внешних сил при увеличении заряда конденсатора от 0 до q

int ==q

Cq

CqdqA

0

2

2

Энергия заряженного конденсатора (используя ϕ∆

= qC )

( )222

221

2 ϕϕϕ ∆=minus== qCC

qW

27 Энергия электростатического поляВ общем случае электрическую энергию любой системы

заряженных неподвижных тел mdash проводников и непроводников mdash можнонайти по формуле

intint +=VS

dVdSW ϕρϕσ21

21

где σ и ρ mdash поверхностная и объемная плотности свободных зарядов ϕ mdashпотенциал результирующего поля всех свободных и связанных зарядов вточках малых элементов dS и dV заряженных поверхностей и объемов

3ndash13

Электричество

По теореме Гаусса 0

3

0

2

344ερπ

επ rqEr ==

Отсюда для точек лежащих внутри шара ( )RrRr ltlt 21 с учетом 33

4 Rqπ

ρ =

03

0 34 ερ

πεr

RqrE == int minus==minus

2

1

)(8

21

223

021

r

r

rrR

qEdrπε

ϕϕ

6 Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен

равномерно с линейной плотностью dldq=τ

Линии напряженности будут направлены порадиусам круговых сечений цилиндра содинаковой густотой во все стороныотносительно оси цилиндра

В качестве Гауссовой поверхностивыберем цилиндр радиуса r и высотой lкоаксиальный с заряженной нитью

Торцы этого цилиндра параллельнылиниям напряженности поэтому поток черезних равен нулю

Поток через боковую поверхность равенrlE π2

По теореме Гаусса (при Rr gt ) 0

2ετπ lrlE = откуда при RrRr gtgt 21

rE τ

πε021=

1

2

0021 ln

22

2

1

2

1rr

rdrEdr

r

r

r

r πετ

πετϕϕ int int ===minus

Если Rr lt то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержитпоэтому 0=E 14 Электростатическое поле в диэлектрической среде

Диэлектриками называются вещества которые при обычных условияхпрактически не проводят электрический ток

Диэлектрик как и всякое другое вещество состоит из атомов или молекулкаждая из которых в целом электрически нейтральна

Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядомq+ находящимся в так сказать центре тяжести положительных зарядов а

заряд всех электронов mdash суммарным отрицательным зарядом qminus находя-щимся в центре тяжести отрицательных зарядов то молекулы можнорассматривать как электрические диполи с электрическим моментом

Различают три типа диэлектриков1) Диэлектрики с неполярными молекулами симметричные молекулы

которых в отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент(например N2 H2 O2 CO2)

3ndash14

АНОгурцов Лекции по физике

2) Диэлектрики с полярными молекулами молекулы которыхвследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (например H2ONH3 SO2 CO)

3) Ионные диэлектрики (например NaCl KCl) Ионные кристаллыпредставляют собой пространственные решетки с правильным чередованиемионов разных знаков

Внесение диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит квозникновению отличного от нуля результирующего электрического моментадиэлектрика

Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей илипоявления под воздействием электрического поля ориентированных по полюдиполей

Соответственно трем видам диэлектриков различают три видаполяризации

1) Электронная или деформационная поляризация диэлектрика снеполярными молекулами mdash за счет деформации электронных орбит возникает

индуцированный дипольный момент у атомов илимолекул диэлектрика

2) Ориентационная или дипольная по-ляризация диэлектрика с полярными молеку-лами mdash ориента-ция имеющихся

дипольных моментов молекул по полю (этаориентация тем сильнее чем больше напря-женность электрического поля и чем нижетемпература)

3) Ионная поляризация диэлектрика сионными кристаллическими решетками mdash смещение подрешеткиположительных ионов вдоль поля а отрицательных ионов против поляприводит к возникновению дипольных моментов15 Поляризованность

Поместим пластину из однородного диэлектрика во внешнееэлектрическое поле созданное двумя бесконечными параллельнымиразноименно заряженными плоскостями

Во внешнем электрическом поле диэлектрик объемом V поляризуетсяте приобретает дипольный момент sum=

iiV pp rr где minusipr дипольный момент

одной молекулыДля количественного описания поляризации диэлектрика используется

векторная величина mdash поляризованность mdash которая определяется какдипольный момент единицы объема диэлектрика

Vp

VpP i iV sum==

rrr

В случае изотропного диэлектрика поляризованность (для большинствадиэлектриков за исключением сегнетоэлектриков) линейно зависит отнапряженности внешнего поля

EPrr

0χε=

3ndash19

Электричество

1 Емкость плоского конденсатора (две параллельные металлическиепластины площадью S каждая расположенные на расстоянии d друг от

друга (Sq=σ ))

dS

dqqC εε

εεσϕ

0

0

==∆

=

2 Емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндрадлиной l с радиусами 1r и 2r )( lq=τ )

1

2

0

1

2

0ln

2

ln2 r

rl

rr

lq

qC επε

επε

==

3 Емкость сферического конденсатора (две концентрических сферы срадиусами 1r и 2r )

12

210

210

411

4rr

rr

rrq

qCminus

=

minus

= επε

επε

23 Соединения конденсаторовУ параллельно соединенных конденсаторов nCCC K21 разность

потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова ϕ∆ Полная емкость

sumsumsum

=

== =∆

∆=

∆=

∆=

n

ii

n

ii

n

ii

CCq

qC1

11

ϕ

ϕ

ϕϕ

У последовательно соединенных кон-денсаторов nCCC K21 заряды q всехобкладок равны по модулю а суммарнаяразность потенциалов

Cq

Cqn

i i

n

ii ==∆=∆ sumsum

== 11ϕϕ

откуда

sum=

=n

i iCC 1

11

24 Энергия системы неподвижных точечных зарядовДля системы двух зарядов 1q и 2q находящихся на расстоянии r друг от

друга каждый из них в поле другого обладает потенциальной энергией

22121

02

2

011211 4

14

1 Wqrqq

rqqqW ===== ϕ

πεπεϕ

Поэтому )( 21212121

212121 ϕϕϕϕ qqqqW +=== Добавляя последова-тельно по одному заряду получим что энергия взаимодействия системы n

3ndash18

АНОгурцов Лекции по физике

εεσ0

=E где σ mdash поверхностная плотность зарядов и ε mdash диэлектрическая

проницаемость среды окружающей проводникНейтральный проводник внесенный в электростатическое поле

разрывает часть линий напряженности они заканчиваются на отрицательныхиндуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных

Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхностипроводника Явление перераспределения поверхностных зарядов напроводнике во внешнем электростатическом поле называетсяэлектростатической индукцией21 Электроемкость

Рассмотрим уединенный проводник mdash проводник удаленный от другихтел и зарядов Из опыта следует что разные проводники будучи одинаковозаряженными имеют разные потенциалы

Физическая величина C равная отношению заряда проводника q к егопотенциалу ϕ называется электрической емкостью этого проводника

ϕqC =

Электроемкость уединенного проводника численно равна зарядукоторый нужно сообщить этому проводнику для того чтобы изменить егопотенциал на единицу

Она зависит от формы и размеров проводника и от диэлектрическихсвойств окружающей среды Емкости геометрически подобных проводниковпропорциональны их линейным размерам

Пример емкость уединенного проводящего шара RqC 04πεϕ==

Единица электроемкости mdash фарад (Ф) 1Ф mdash емкость такогоуединенного проводника потенциал которого изменяется на 1В при сообщенииему заряда 1Кл Емкостью 1Ф обладает шар с радиусом 6109 sdot=R км ЕмкостьЗемли 07мФ22 Конденсаторы

Если к проводнику с зарядом q приблизить другие тела то на ихповерхности возникнут индуцированные (на проводнике) или связанные (надиэлектрике) заряды Эти заряды ослабляют поле создаваемое зарядом q тем самым понижая потенциал проводника и повышая его электроемкость

Конденсатор mdash это система из двух проводников (обкладок) содинаковыми по модулю но противоположными по знаку зарядами форма ирасположение которых таковы что поле сосредоточено в узком зазоре междуобкладками

Емкость конденсатора mdash физическая величина равная отношениюзаряда q накопленного в конденсаторе к разности потенциалов 21 ϕϕ minus междуего обкладками

ϕ∆= qC

3ndash15

Электричество

где minusχ диэлектрическая восприимчивость вещества характеризующаясвойства диэлектрика (положительная безразмерная величина)16 Диэлектрическая проницаемость среды

Вследствие поляризации на поверхностидиэлектрика появляются нескомпенсированныезаряды которые называются связанными (в отличиеот свободных зарядов которые создают внешнееполе)

Поле Er

внутри диэлектрика создаваемоесвязанными зарядами направлено против внешнегополя 0E

r создаваемого свободными зарядами

Результирующее поле внутри диэлектрика0 EEE minus=

В нашем примере поле создаваемое двумябесконечно заряженными плоскостями с поверхностнойплотностью зарядов σ 0 εσ=E Поэтому

00 εσminus= EEПолный дипольный момент диэлектрической

пластинки с толщиной d и площадью грани S PSdPVpV == с другойстороны SdqdpV σ== Отсюда P=σ

EEEEPEEE χε

χεεε

σ minus=minus=minus=minus= 00

00

00

00

Откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

εχ00

1EEE =

+=

Безразмерная величина EE01 =+= χε называется диэлектрической

проницаемостью среды Она характеризует способность диэлектриковполяризоваться в электрическом поле и показывает во сколько раз полеослабляется диэлектриком17 Электрическое смещение

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды(от ε ) Кроме того вектор напряженности E

r переходя через границу

диэлектриков претерпевает скачкообразное изменение поэтому для описания(непрерывного) электрического поля системы зарядов с учетомполяризационных свойств диэлектриков вводится вектор электрическогосмещения (электрической индукции) который для изотропной средызаписывается как

PEEEDrrrrr

+=+== 000 )1( εχεεεЕдиница электрического смещения mdash Клм2Вектор D

r описывает электростатическое поле создаваемое свободными

зарядами (те в вакууме) но при таком их распределении в пространстве какоеимеется при наличии диэлектрика

3ndash16

АНОгурцов Лекции по физике

Аналогично линиям напряженности можно ввести линии электрическогосмещения Через области поля где находятся связанные заряды линиивектора D

r проходят не прерываясь

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Dr

сквозь этуповерхность

int int==ΦS S

nD dSDdSDr

где nD ndash проекция вектора Dr

на нормаль nr к площадке dS Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике поток

вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов

sumint int=

==n

ii

S Sn qdSDdSD

1

r

Для непрерывного распределения заряда в пространстве с объемнойплотностью dVdq=ρ

int int=S V

dVdSD ρr

Другая форма записи этого соотношения с учетом определениядивергенции вектора (стр1-31)

ρ=Dr

div18 Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

При отсутствии на границе двух диэлектриков свободных зарядовциркуляция вектора E

r по контуру int =

ABCDA

dlE 0r

откуда 021 =minus lElE ττ Поэтому

21 ττ EE =Учитывая ED εε0=

2

1

2

1

εε

τ

τ =DD

По теореме Гаусса поток вектора Dr

черезцилиндр ничтожно малой высоты равен нулю (нетсвободных зарядов) 0=∆minus∆ prime SDSD nn поэтому

21 nn DD =

1

2

2

1

εε=

n

n

EE

Таким образом при переходе через границураздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора E

r

(Eτ) и нормальная составляющая вектора Dr

(Dn) изменяются непрерывно (непретерпевают скачка) а нормальная составляющая вектора E

r (En) и

тангенциальная составляющая вектора Dr

(Dτ) претерпевают скачок

3ndash17

Электричество

19 СегнетоэлектрикиСегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики у которых

в отсутствие внешнего электрического поля возникает самопроизвольнаяориентация дипольных электрических моментов составляющих его частиц

Примеры сегнетова соль NaKC4H4O6middot4H2Oтитанат бария BaTiO3

Сегнетоэлектрики состоят из доменов mdashобластей с различными направлениямиполяризованности

Температура выше которой исчезаютсегнетоэлектрические свойства mdash точка Кюри

Для сегнетоэлектриков связь между векторами Er

и Pr

нелинейная инаблюдается явление диэлектрического гистерезиса mdash сохраненияостаточной поляризованности при снятии внешнего поля

Пьезоэлектрики mdash кристаллические диэлектрики в которых при сжатииили растяжении возникает электрическая поляризация mdash прямой пьезоэффект

Обратный пьезоэффект mdash появление механической деформации поддействием электрического поля20 Проводники в электростатическом поле

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или егозарядить то на заряды проводника будет действовать электростатическоеполе в результате чего они начнут перемещаться до тех пор пока неустановится равновесное распределение зарядов при которомэлектростатическое поле внутри проводника обращается в нуль 0=E

r

Иначе если бы поле не было равно нулю то в проводнике возникло быупорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источникачто противоречит закону сохранения энергии

Следствия этого ( constE =rArr=minus= ϕϕ 0gradr

) потенциал во всех точках проводника одинаков поверхность проводника является эквипотенциальной вектор E

r направлен по нормали к каждой точке поверхности

При помещении нейтрального проводника во внешнее поле свободныезаряды (электроны и ионы) начнут перемещаться положительные mdash по полю а

отрицательные mdash против поля(рис(а)) На одном концепроводника будет избытокположительных зарядов надругом mdash отрицательных Этизаряды называютсяиндуцированными Процессбудет продолжаться до техпор пока напряженность поля

внутри проводника не станет равной нулю а линии напряженности внепроводника mdash перпендикулярными его поверхности (рис(б)) если проводнику сообщить некоторый заряд q то нескомпенсированныезаряды располагаются только на поверхности проводника причем σ=D и

Page 9: Лекции по физике. Электричество

3ndash24

АНОгурцов Лекции по физике

Если на заряд 0q действуют как сторонние силы так и силыэлектростатического поля то результирующая сила

( )EEqFFF e

rrrrr+=+= стор0стор

Работа результирующей силы по перемещению заряда 0q на участке 1mdash2

( )intint minus+Θ=+=2

12101200

2

1стор012 ϕϕqqdlEqdlEqA

rr

Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю поэтомуΘ= 0qA

Напряжением U на участке 1mdash2 называется физическая величиначисленно равная суммарной работе совершаемой электростатическими исторонними силами по перемещению единичного положительного заряда наданном участке цепи

12210

1212 Θ+minus== ϕϕ

qAU

Понятие напряжения является обобщением понятия разностипотенциалов напряжение на концах участка цепи равно разностипотенциалов если участок не содержит источника тока (те на участке недействует ЭДС сторонние силы отсутствуют)32 Закон Ома Электрическое сопротивление

Закон Ома для однородного участка цепи (не содержащегоисточника тока) сила тока текущего по однородномуметаллическому проводнику пропорциональна напряжению наконце проводника (интегральная форма закона Ома)

Коэффициент пропорциональности R называется электрическим сопро-тивлением проводника

Единица электрического сопротивления mdash ом (Ом) 1 Ом mdash сопро-тивление такого проводника в котором при напряжении 1В течет постоянныйток 1А

Величина R

G 1= называется электрической проводимостью проводника

Единица электрической проводимости mdash сименс (См) 1 См mdashпроводимость участка электрической цепи сопротивлением 1 Ом

Сопротивление проводника зависит от его размеров и формы а также отматериала из которого проводник изготовлен Например дляоднородного линейного проводника длиной l и площадьюпоперечного сечения S сопротивление рассчитывается по формуле

где коэффициент пропорциональности ρ характеризующий материалпроводника называется удельным электрическим сопротивлением

Единица удельного электрического сопротивления mdash ом-метр(Омм)

Величина обратная удельному сопротивлению называетсяудельной электрической проводимостью вещества проводника

Единица удельной электрической проводимости mdash сименсна метр (Смм)

RUI =

SlR ρ=

ρ

γ 1=

3ndash9

Электричество

где nabla (набла) mdash оператор Гамильтона kz

jy

ix

rrr

partpart+

partpart+

partpart=nabla

Поскольку EqFrr

= и ϕqW = то

ϕϕ minusnabla=minus= gradEr

Знак минус показывает что вектор Er

направлен в сторону убыванияпотенциала12 Эквипотенциальные поверхности

Для графического изображения распределения потенциала используютсяэквипотенциальные поверхности mdash поверхности во всех точках которыхпотенциал имеет одно и то же значение

Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так чтобы разностипотенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностямибыли одинаковы Тогда густота эквипотенциальных поверхностей нагляднохарактеризует напряженность поля в разных точках Там где эти поверхностирасположены гуще напряженность поля больше На рисунке пунктиромизображены силовые линии сплошными линиями mdash сеченияэквипотенциальных поверхностей для положительного точечного заряда (а)диполя (б) двух одноименных зарядов (в) заряженного металлическогопроводника сложной конфигурации (г)

Для точечного заряда потенциал rq

041πε

ϕ = поэтому эквипотенциальные

поверхности mdash концентрические сферы С другой стороны линиинапряженности mdash радиальные прямые Следовательно линии напряженностиперпендикулярны эквипотенциальным поверхностям

Можно показать что во всех случаях1) вектор E

r перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и

2) всегда направлен в сторону убывания потенциала13 Примеры расчета наиболее важных симметричных электростатических

полей в вакууме1 Электростатическое поле электрического диполя в вакууме

Электрическим диполем (или двойным электрическим полюсом)называется система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов( qq minus+ ) расстояние l между которыми значительно меньше расстояния дорассматриваемых точек поля )( rl ltlt

Плечо диполя lr

mdash вектор направленный по оси диполя ототрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними

3ndash10

АНОгурцов Лекции по физике

Электрический момент диполя epr mdash вектор совпада-ющий по направлению с плечом диполя и равный произведениюмодуля заряда q на плечо l

r1) Напряженность поля диполя на продолжении

оси диполя в точке Аminus+minus+ +=minus= ϕϕϕEEEA

Пусть r mdash расстояние до точки А от серединыоси диполя Тогда учитывая что lr gtgt

30

30

20

20

24

1

24

1

24

1

24

1

rp

rql

lr

qlr

qE

e

A

πε

πεπεπε

=

==

+

minus

minus

=

20

200 4

14

1224

1rp

rql

lrq

lrq e

A πεπεπεϕ ==

+minus

minus=

2) Напряженность поля в точке B на перпендикуляре восстановленном коси диполя из его середины при lr gtgt

( ) ( ) ( )

41

241

20

220 r

lEE

rq

lrqEE B asympasymp+

==+

minus+ πεπε поэтому

30

30 )(4

1)(4

1

)(rp

rql

rlEE e

B πεπε=== +

0=BϕТочка В равноудалена от зарядов q+ и qminus

диполя поэтому потенциал поля в точке В равеннулю Вектор BE

r направлен противоположно

вектору lr

3) Во внешнем электрическом поле на концы

диполя действует пара сил которая стремитсяповернуть диполь таким образом чтобыэлектрический момент epr диполя развернулся

вдоль направления поля Er

(рис(а))Во внешнем однородном поле момент пары

сил равен αsinqElM = или ][ EpM e

rrr= Во внешнем неоднородном поле

(рис(в)) силы действующие на концы диполя неодинаковы ( )12 FFrr

gt и ихрезультирующая стремится передвинуть диполь в область поля с большейнапряженностью mdash диполь втягивается в область более сильного поля2 Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностьюdSdq=+σ Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой

плоскости и направлены от нее в обе стороны

lqpe

rr =

3ndash23

Электричество

цепи выравниваются и электростатическое поле исчезаетДля существования постоянного тока необходимо наличие в цепи

устройства способного создавать и поддерживать разность потенциаловза счет сил не электростатического происхождения

Такие устройства называются источниками токаСилы не электростатического происхождения действующие на заряды со

стороны источников тока называются стороннимиКоличественная характеристика сторонних сил mdash поле сторонних сил и

его напряженность сторEr

определяемая сторонней силой действующей наединичный положительный заряд

Природа сторонних сил может быть различной Например вгальванических элементах они возникают за счет энергии химических реакциймежду электродами и электролитами в генераторе mdash за счет механическойэнергии вращения ротора генератора в солнечных батареях mdash за счет энергиифотонов и тп Роль источника тока в электрической цепи такая же как рольнасоса который необходим для поддержания тока жидкости в гидравлическойсистеме

Под действием создаваемого поля сторонних сил электрические зарядыдвижутся внутри источника тока против сил электростатического поляблагодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепитечет постоянный электрический ток31 Электродвижущая сила и напряжение

Физическая величина определяемая работой которую совершаютсторонние силы при перемещении единичного положительного заряданазывается электродвижущей силой (ЭДС) действующей в цепи

0qA=Θ

Эта работа совершается за счет энергии затрачиваемой в источнике токапоэтому величину Θ можно назвать электродвижущей силой источника токавключенного в цепь ЭДС как и потенциал выражается в вольтах

Участок цепи на котором не действуют сторонние силы называетсяоднородным Участок на котором на носители тока действуют сторонние силыназывается неоднородным

Работа сторонних сил по перемещению заряда 0q на замкнутом участкецепи

int int== dlEqdlFA стор0стор

rr

Отсюда ЭДС действующая в замкнутой цепи mdash это циркуляция векторанапряженности поля сторонних сил

dlEint=Θ стор

r

Следовательно для поля сторонних сил циркуляция его напряженности позамкнутому контуру не равна нулю Поэтому поле сторонних сил mdashнепотенциально

ЭДС действующая на участке 1ndash2 цепи равна

dlEint=Θ2

1стор12

r

3ndash22

АНОгурцов Лекции по физике

скалярная физическая величина равная отношению заряда dq переносимогосквозь рассматриваемую поверхность за малый промежуток времени квеличине dt этого промежутка

dtdqI =

Электрический ток называется постоянным если сила тока и егонаправление не изменяются с течением времени

Для постоянного тока tqI =

где q mdash электрический заряд проходящий за время t через поперечноесечение проводника

Единица силы тока mdash ампер (А) (см Механика стр 1-2)Для характеристики направления электрического тока в разных точках

рассматриваемой поверхности и распределения силы тока по этой поверхностислужит вектор плотности тока j

r Сила тока сквозь произвольную

поверхность S определяется как поток вектора плотности тока

int=S

dSjIr

где dSndS r= ( nr ndash единичный вектор нормали (орт) к площадке dS )Плотностью электрического тока называется вектор j

r совпа-

дающий с направлением электрического тока в рассматриваемой точке ичисленно равный отношению силы тока dI сквозь малый элемент поверхностиортогональной направлению тока к площади perpdS этого элемента

perp=

dSdIj

Для постоянного тока I текущего перпендикулярно сечению S

проводника SIj =

Если за время dt через поперечное сечение S проводника переноситсязаряд dtSnedq υ= (где n e и υ mdash концентрация заряд и средняя

скорость упорядоченного движения зарядов) то сила тока SneI dtdq υ== а

плотность токаυr

rnej =

Единица плотности тока mdash Ам230 Сторонние силы

Для возникновения и существования электрического тока необходимо1) наличие свободных носителей тока mdash заряженных частиц способ-

ных перемещаться упорядоченно2) наличие электрического поля энергия которого должна каким-то

образом восполнятьсяЕсли в цепи действуют только силы электростатического поля то

происходит перемещение носителей таким образом что потенциалы всех точек

3ndash11

Электричество

В качестве Гауссовой поверхности примемповерхность цилиндра образующие которогоперпендикулярны заряженной плоскости аоснования параллельны заряженной плоскости илежат по разные стороны от нее на одинаковыхрасстояниях

Так как образующие цилиндра параллельнылиниям напряженности то поток векторанапряженности через боковую поверхностьцилиндра равен нулю а полный поток сквозь цилиндр равен суммепотоков сквозь его основания ES2 Заряд заключенный внутрицилиндра равен Sσ По теореме Гаусса 02 εσSES = откуда

E не зависит от длины цилиндра те напряженность поля на любыхрасстояниях одинакова по модулю Такое поле называется однородным

Разность потенциалов между точками лежащими на расстояниях 1x и 2xот плоскости равна

intint minus===minus2

1

2

1

)(22 12

0021

x

x

x

x

xxdxEdxεσ

εσϕϕ

3 Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженныхплоскостей с равными по абсолютному значению поверхностнымиплотностями зарядов 0gtσ и σminus

Из предыдущего примера следует что векторы напряженности 1Er

и 2Er

первой и второй плоскостей равны по модулю и всюду направленыперпендикулярно плоскостям Поэтому в пространстве вне плоскостей оникомпенсируют друг друга а в пространстве между плоскостями суммарнаянапряженность 12EE

rr= Поэтому между плоскостями

0εσ=E (в диэлектрике

0εεσ=E )

Поле между плоскостями однородное Разность потенциалов междуплоскостями

00 0021 ε

σεσϕϕ ddxEdx

dd

===minus intint (в диэлектрике 0εε

σϕ d=∆ )

4 Поле равномерно заряженной сферической поверхностиСферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена

равномерно с поверхностной плотностью 24 Rqπ

σ =

02ε

σ=E

3ndash12

АНОгурцов Лекции по физике

Поскольку система зарядов и следовательносамо поле центрально-симметрично относительноцентра сферы то линии напряженности направленырадиальноВ качестве Гауссовой поверхности выберем сферурадиуса r имеющую общий центр с заряженнойсферой Если Rr gt то внутрь поверхностипопадает весь заряд q По теореме Гаусса

0

24ε

π qEr = откуда ( )Rrr

RrqE ge==

41

20

2

20 ε

σπε

При Rr le замкнутая поверхность не содержитвнутри зарядов поэтому внутри равномернозаряженной сферы 0=E

Разность потенциалов между двумя точкамилежащими на расстояниях 1r и 2r от центра сферы( RrRr gtgt 21 ) равна

int int

minus===minus

2

1

2

1 2102

021

1144

1r

r

r

r rrqdr

rqEdr

πεπεϕϕ

Если принять rr =1 и infin=2r то потенциал поля вне сферической

поверхности rq

041πε

ϕ =

Вне заряженной сферы поле такое же как поле точечного заряда q находящегося в центре сферы Внутри заряженной сферы поля нет поэтомупотенциал всюду одинаков и такой же как на поверхности

004 εσ

πεϕ R

Rq ==

5 Поле объемно заряженного шараЗаряд q равномерно распределен в вакууме по

объему шара радиуса R с объемной плотностью

33

4 Rq

Vq

πρ == Центр шара является центром

симметрии поля1) Для поля вне шара )( Rr gt получаем тот же

результат что и в случае сферической поверхности

204

1rqE

πε=

rq

04πεϕ =

minus=minus

21021

114 rr

qπε

ϕϕ

2) При Rr = 0

2

002

0 34

341

ερ

πεϕ

ερ

πεR

rqR

RqE ====

3) Внутри шара сфера радиусом Rr lt охватывает заряд ρπ 3

34 rq =

3ndash21

Электричество

Интегрирование проводится по всем заряженным поверхностям S и по всемузаряженному объему V тел системы

На примере поля плоского конденсатора выразим энергию поля через егонапряженность Для конденсатора dSC 0εε= и Ed=∆ϕ Отсюда

VESdEW 20

20 2

121 εεεε ==

В однородном поле конденсатора его энергия распределена равномернопо всему объему поля SdV =

Объемная плотность энергии электростатического поля плоскогоконденсатора w

EDEVWw

21

21 2

0 === εε

где ED 0εε= mdash электрическое смещениеЭта формула является отражением того факта что электростатическая

энергия сосредоточена в электростатическом поле Это выражениесправедливо также и для неоднородных полей28 Пондеромоторные силы

Механические силы действующие на заряженные тела помещенные вэлектромагнитное поле называются пондеромоторными силами (от латинскихслов ponderis mdash тяжесть и motor mdash движущий)

Например в плоском конденсаторе сила с которой пластиныконденсатора притягивают друг друга совершает работу за счет уменьшения

потенциальной энергии системы С учетом Sq=σ и

0εεσ=E получаем

SESS

qdx

dWF 20

0

2

0

2

21

22εε

εεσ

εεminus=minus=minus=minus=

где знак минус указывает на то что эта сила является силой притяженияПод действием этой силы обкладки конденсатора сжимают пластинудиэлектрика помещенного между ними и в диэлектрике возникает давление

20

0

2

21

2E

SFp εε

εεσ ===

Постоянный электрический ток

29 Постоянный электрический ток сила и плотность токаЭлектродинамика mdash раздел учения об электричестве в котором

рассматриваются явления и процессы обусловленные движениемэлектрических зарядов

Электрическим током называется упорядоченное движениеэлектрических зарядов

За направление тока принимают направление движения положительныхзарядов

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I mdash

3ndash20

АНОгурцов Лекции по физике

неподвижных точечных зарядов равна

sum=

=n

iiiqW

121 ϕ

где iϕ mdash потенциал создаваемый в той точке где находится заряд iq всеми зарядами кроме i -го25 Энергия заряженного уединенного проводника

Рассмотрим уединенный проводник заряд емкость и потенциал которогоравны ϕCq Элементарная работа dA совершаемая внешними силами попреодолению кулоновских сил отталкивания при перенесении заряда dq избесконечности на проводник равна ϕϕϕ dCdqdA == Чтобы зарядитьпроводник от нулевого потенциала до ϕ необходимо совершить работу

int ==ϕ ϕϕϕ0

2

2CdCA

Энергия заряженного уединенного проводника (используя ϕqC = )

222

22 ϕϕ qC

qCW ===

26 Энергия заряженного конденсатораЭлементарная работа внешних сил по перенесению малого заряда dq с

обкладки 2 конденсатора на обкладку 1

CqdqdqdA =∆= ϕ

Работа внешних сил при увеличении заряда конденсатора от 0 до q

int ==q

Cq

CqdqA

0

2

2

Энергия заряженного конденсатора (используя ϕ∆

= qC )

( )222

221

2 ϕϕϕ ∆=minus== qCC

qW

27 Энергия электростатического поляВ общем случае электрическую энергию любой системы

заряженных неподвижных тел mdash проводников и непроводников mdash можнонайти по формуле

intint +=VS

dVdSW ϕρϕσ21

21

где σ и ρ mdash поверхностная и объемная плотности свободных зарядов ϕ mdashпотенциал результирующего поля всех свободных и связанных зарядов вточках малых элементов dS и dV заряженных поверхностей и объемов

3ndash13

Электричество

По теореме Гаусса 0

3

0

2

344ερπ

επ rqEr ==

Отсюда для точек лежащих внутри шара ( )RrRr ltlt 21 с учетом 33

4 Rqπ

ρ =

03

0 34 ερ

πεr

RqrE == int minus==minus

2

1

)(8

21

223

021

r

r

rrR

qEdrπε

ϕϕ

6 Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен

равномерно с линейной плотностью dldq=τ

Линии напряженности будут направлены порадиусам круговых сечений цилиндра содинаковой густотой во все стороныотносительно оси цилиндра

В качестве Гауссовой поверхностивыберем цилиндр радиуса r и высотой lкоаксиальный с заряженной нитью

Торцы этого цилиндра параллельнылиниям напряженности поэтому поток черезних равен нулю

Поток через боковую поверхность равенrlE π2

По теореме Гаусса (при Rr gt ) 0

2ετπ lrlE = откуда при RrRr gtgt 21

rE τ

πε021=

1

2

0021 ln

22

2

1

2

1rr

rdrEdr

r

r

r

r πετ

πετϕϕ int int ===minus

Если Rr lt то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержитпоэтому 0=E 14 Электростатическое поле в диэлектрической среде

Диэлектриками называются вещества которые при обычных условияхпрактически не проводят электрический ток

Диэлектрик как и всякое другое вещество состоит из атомов или молекулкаждая из которых в целом электрически нейтральна

Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядомq+ находящимся в так сказать центре тяжести положительных зарядов а

заряд всех электронов mdash суммарным отрицательным зарядом qminus находя-щимся в центре тяжести отрицательных зарядов то молекулы можнорассматривать как электрические диполи с электрическим моментом

Различают три типа диэлектриков1) Диэлектрики с неполярными молекулами симметричные молекулы

которых в отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент(например N2 H2 O2 CO2)

3ndash14

АНОгурцов Лекции по физике

2) Диэлектрики с полярными молекулами молекулы которыхвследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (например H2ONH3 SO2 CO)

3) Ионные диэлектрики (например NaCl KCl) Ионные кристаллыпредставляют собой пространственные решетки с правильным чередованиемионов разных знаков

Внесение диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит квозникновению отличного от нуля результирующего электрического моментадиэлектрика

Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей илипоявления под воздействием электрического поля ориентированных по полюдиполей

Соответственно трем видам диэлектриков различают три видаполяризации

1) Электронная или деформационная поляризация диэлектрика снеполярными молекулами mdash за счет деформации электронных орбит возникает

индуцированный дипольный момент у атомов илимолекул диэлектрика

2) Ориентационная или дипольная по-ляризация диэлектрика с полярными молеку-лами mdash ориента-ция имеющихся

дипольных моментов молекул по полю (этаориентация тем сильнее чем больше напря-женность электрического поля и чем нижетемпература)

3) Ионная поляризация диэлектрика сионными кристаллическими решетками mdash смещение подрешеткиположительных ионов вдоль поля а отрицательных ионов против поляприводит к возникновению дипольных моментов15 Поляризованность

Поместим пластину из однородного диэлектрика во внешнееэлектрическое поле созданное двумя бесконечными параллельнымиразноименно заряженными плоскостями

Во внешнем электрическом поле диэлектрик объемом V поляризуетсяте приобретает дипольный момент sum=

iiV pp rr где minusipr дипольный момент

одной молекулыДля количественного описания поляризации диэлектрика используется

векторная величина mdash поляризованность mdash которая определяется какдипольный момент единицы объема диэлектрика

Vp

VpP i iV sum==

rrr

В случае изотропного диэлектрика поляризованность (для большинствадиэлектриков за исключением сегнетоэлектриков) линейно зависит отнапряженности внешнего поля

EPrr

0χε=

3ndash19

Электричество

1 Емкость плоского конденсатора (две параллельные металлическиепластины площадью S каждая расположенные на расстоянии d друг от

друга (Sq=σ ))

dS

dqqC εε

εεσϕ

0

0

==∆

=

2 Емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндрадлиной l с радиусами 1r и 2r )( lq=τ )

1

2

0

1

2

0ln

2

ln2 r

rl

rr

lq

qC επε

επε

==

3 Емкость сферического конденсатора (две концентрических сферы срадиусами 1r и 2r )

12

210

210

411

4rr

rr

rrq

qCminus

=

minus

= επε

επε

23 Соединения конденсаторовУ параллельно соединенных конденсаторов nCCC K21 разность

потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова ϕ∆ Полная емкость

sumsumsum

=

== =∆

∆=

∆=

∆=

n

ii

n

ii

n

ii

CCq

qC1

11

ϕ

ϕ

ϕϕ

У последовательно соединенных кон-денсаторов nCCC K21 заряды q всехобкладок равны по модулю а суммарнаяразность потенциалов

Cq

Cqn

i i

n

ii ==∆=∆ sumsum

== 11ϕϕ

откуда

sum=

=n

i iCC 1

11

24 Энергия системы неподвижных точечных зарядовДля системы двух зарядов 1q и 2q находящихся на расстоянии r друг от

друга каждый из них в поле другого обладает потенциальной энергией

22121

02

2

011211 4

14

1 Wqrqq

rqqqW ===== ϕ

πεπεϕ

Поэтому )( 21212121

212121 ϕϕϕϕ qqqqW +=== Добавляя последова-тельно по одному заряду получим что энергия взаимодействия системы n

3ndash18

АНОгурцов Лекции по физике

εεσ0

=E где σ mdash поверхностная плотность зарядов и ε mdash диэлектрическая

проницаемость среды окружающей проводникНейтральный проводник внесенный в электростатическое поле

разрывает часть линий напряженности они заканчиваются на отрицательныхиндуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных

Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхностипроводника Явление перераспределения поверхностных зарядов напроводнике во внешнем электростатическом поле называетсяэлектростатической индукцией21 Электроемкость

Рассмотрим уединенный проводник mdash проводник удаленный от другихтел и зарядов Из опыта следует что разные проводники будучи одинаковозаряженными имеют разные потенциалы

Физическая величина C равная отношению заряда проводника q к егопотенциалу ϕ называется электрической емкостью этого проводника

ϕqC =

Электроемкость уединенного проводника численно равна зарядукоторый нужно сообщить этому проводнику для того чтобы изменить егопотенциал на единицу

Она зависит от формы и размеров проводника и от диэлектрическихсвойств окружающей среды Емкости геометрически подобных проводниковпропорциональны их линейным размерам

Пример емкость уединенного проводящего шара RqC 04πεϕ==

Единица электроемкости mdash фарад (Ф) 1Ф mdash емкость такогоуединенного проводника потенциал которого изменяется на 1В при сообщенииему заряда 1Кл Емкостью 1Ф обладает шар с радиусом 6109 sdot=R км ЕмкостьЗемли 07мФ22 Конденсаторы

Если к проводнику с зарядом q приблизить другие тела то на ихповерхности возникнут индуцированные (на проводнике) или связанные (надиэлектрике) заряды Эти заряды ослабляют поле создаваемое зарядом q тем самым понижая потенциал проводника и повышая его электроемкость

Конденсатор mdash это система из двух проводников (обкладок) содинаковыми по модулю но противоположными по знаку зарядами форма ирасположение которых таковы что поле сосредоточено в узком зазоре междуобкладками

Емкость конденсатора mdash физическая величина равная отношениюзаряда q накопленного в конденсаторе к разности потенциалов 21 ϕϕ minus междуего обкладками

ϕ∆= qC

3ndash15

Электричество

где minusχ диэлектрическая восприимчивость вещества характеризующаясвойства диэлектрика (положительная безразмерная величина)16 Диэлектрическая проницаемость среды

Вследствие поляризации на поверхностидиэлектрика появляются нескомпенсированныезаряды которые называются связанными (в отличиеот свободных зарядов которые создают внешнееполе)

Поле Er

внутри диэлектрика создаваемоесвязанными зарядами направлено против внешнегополя 0E

r создаваемого свободными зарядами

Результирующее поле внутри диэлектрика0 EEE minus=

В нашем примере поле создаваемое двумябесконечно заряженными плоскостями с поверхностнойплотностью зарядов σ 0 εσ=E Поэтому

00 εσminus= EEПолный дипольный момент диэлектрической

пластинки с толщиной d и площадью грани S PSdPVpV == с другойстороны SdqdpV σ== Отсюда P=σ

EEEEPEEE χε

χεεε

σ minus=minus=minus=minus= 00

00

00

00

Откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

εχ00

1EEE =

+=

Безразмерная величина EE01 =+= χε называется диэлектрической

проницаемостью среды Она характеризует способность диэлектриковполяризоваться в электрическом поле и показывает во сколько раз полеослабляется диэлектриком17 Электрическое смещение

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды(от ε ) Кроме того вектор напряженности E

r переходя через границу

диэлектриков претерпевает скачкообразное изменение поэтому для описания(непрерывного) электрического поля системы зарядов с учетомполяризационных свойств диэлектриков вводится вектор электрическогосмещения (электрической индукции) который для изотропной средызаписывается как

PEEEDrrrrr

+=+== 000 )1( εχεεεЕдиница электрического смещения mdash Клм2Вектор D

r описывает электростатическое поле создаваемое свободными

зарядами (те в вакууме) но при таком их распределении в пространстве какоеимеется при наличии диэлектрика

3ndash16

АНОгурцов Лекции по физике

Аналогично линиям напряженности можно ввести линии электрическогосмещения Через области поля где находятся связанные заряды линиивектора D

r проходят не прерываясь

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Dr

сквозь этуповерхность

int int==ΦS S

nD dSDdSDr

где nD ndash проекция вектора Dr

на нормаль nr к площадке dS Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике поток

вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов

sumint int=

==n

ii

S Sn qdSDdSD

1

r

Для непрерывного распределения заряда в пространстве с объемнойплотностью dVdq=ρ

int int=S V

dVdSD ρr

Другая форма записи этого соотношения с учетом определениядивергенции вектора (стр1-31)

ρ=Dr

div18 Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

При отсутствии на границе двух диэлектриков свободных зарядовциркуляция вектора E

r по контуру int =

ABCDA

dlE 0r

откуда 021 =minus lElE ττ Поэтому

21 ττ EE =Учитывая ED εε0=

2

1

2

1

εε

τ

τ =DD

По теореме Гаусса поток вектора Dr

черезцилиндр ничтожно малой высоты равен нулю (нетсвободных зарядов) 0=∆minus∆ prime SDSD nn поэтому

21 nn DD =

1

2

2

1

εε=

n

n

EE

Таким образом при переходе через границураздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора E

r

(Eτ) и нормальная составляющая вектора Dr

(Dn) изменяются непрерывно (непретерпевают скачка) а нормальная составляющая вектора E

r (En) и

тангенциальная составляющая вектора Dr

(Dτ) претерпевают скачок

3ndash17

Электричество

19 СегнетоэлектрикиСегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики у которых

в отсутствие внешнего электрического поля возникает самопроизвольнаяориентация дипольных электрических моментов составляющих его частиц

Примеры сегнетова соль NaKC4H4O6middot4H2Oтитанат бария BaTiO3

Сегнетоэлектрики состоят из доменов mdashобластей с различными направлениямиполяризованности

Температура выше которой исчезаютсегнетоэлектрические свойства mdash точка Кюри

Для сегнетоэлектриков связь между векторами Er

и Pr

нелинейная инаблюдается явление диэлектрического гистерезиса mdash сохраненияостаточной поляризованности при снятии внешнего поля

Пьезоэлектрики mdash кристаллические диэлектрики в которых при сжатииили растяжении возникает электрическая поляризация mdash прямой пьезоэффект

Обратный пьезоэффект mdash появление механической деформации поддействием электрического поля20 Проводники в электростатическом поле

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или егозарядить то на заряды проводника будет действовать электростатическоеполе в результате чего они начнут перемещаться до тех пор пока неустановится равновесное распределение зарядов при которомэлектростатическое поле внутри проводника обращается в нуль 0=E

r

Иначе если бы поле не было равно нулю то в проводнике возникло быупорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источникачто противоречит закону сохранения энергии

Следствия этого ( constE =rArr=minus= ϕϕ 0gradr

) потенциал во всех точках проводника одинаков поверхность проводника является эквипотенциальной вектор E

r направлен по нормали к каждой точке поверхности

При помещении нейтрального проводника во внешнее поле свободныезаряды (электроны и ионы) начнут перемещаться положительные mdash по полю а

отрицательные mdash против поля(рис(а)) На одном концепроводника будет избытокположительных зарядов надругом mdash отрицательных Этизаряды называютсяиндуцированными Процессбудет продолжаться до техпор пока напряженность поля

внутри проводника не станет равной нулю а линии напряженности внепроводника mdash перпендикулярными его поверхности (рис(б)) если проводнику сообщить некоторый заряд q то нескомпенсированныезаряды располагаются только на поверхности проводника причем σ=D и

Page 10: Лекции по физике. Электричество

3ndash10

АНОгурцов Лекции по физике

Электрический момент диполя epr mdash вектор совпада-ющий по направлению с плечом диполя и равный произведениюмодуля заряда q на плечо l

r1) Напряженность поля диполя на продолжении

оси диполя в точке Аminus+minus+ +=minus= ϕϕϕEEEA

Пусть r mdash расстояние до точки А от серединыоси диполя Тогда учитывая что lr gtgt

30

30

20

20

24

1

24

1

24

1

24

1

rp

rql

lr

qlr

qE

e

A

πε

πεπεπε

=

==

+

minus

minus

=

20

200 4

14

1224

1rp

rql

lrq

lrq e

A πεπεπεϕ ==

+minus

minus=

2) Напряженность поля в точке B на перпендикуляре восстановленном коси диполя из его середины при lr gtgt

( ) ( ) ( )

41

241

20

220 r

lEE

rq

lrqEE B asympasymp+

==+

minus+ πεπε поэтому

30

30 )(4

1)(4

1

)(rp

rql

rlEE e

B πεπε=== +

0=BϕТочка В равноудалена от зарядов q+ и qminus

диполя поэтому потенциал поля в точке В равеннулю Вектор BE

r направлен противоположно

вектору lr

3) Во внешнем электрическом поле на концы

диполя действует пара сил которая стремитсяповернуть диполь таким образом чтобыэлектрический момент epr диполя развернулся

вдоль направления поля Er

(рис(а))Во внешнем однородном поле момент пары

сил равен αsinqElM = или ][ EpM e

rrr= Во внешнем неоднородном поле

(рис(в)) силы действующие на концы диполя неодинаковы ( )12 FFrr

gt и ихрезультирующая стремится передвинуть диполь в область поля с большейнапряженностью mdash диполь втягивается в область более сильного поля2 Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностьюdSdq=+σ Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой

плоскости и направлены от нее в обе стороны

lqpe

rr =

3ndash23

Электричество

цепи выравниваются и электростатическое поле исчезаетДля существования постоянного тока необходимо наличие в цепи

устройства способного создавать и поддерживать разность потенциаловза счет сил не электростатического происхождения

Такие устройства называются источниками токаСилы не электростатического происхождения действующие на заряды со

стороны источников тока называются стороннимиКоличественная характеристика сторонних сил mdash поле сторонних сил и

его напряженность сторEr

определяемая сторонней силой действующей наединичный положительный заряд

Природа сторонних сил может быть различной Например вгальванических элементах они возникают за счет энергии химических реакциймежду электродами и электролитами в генераторе mdash за счет механическойэнергии вращения ротора генератора в солнечных батареях mdash за счет энергиифотонов и тп Роль источника тока в электрической цепи такая же как рольнасоса который необходим для поддержания тока жидкости в гидравлическойсистеме

Под действием создаваемого поля сторонних сил электрические зарядыдвижутся внутри источника тока против сил электростатического поляблагодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепитечет постоянный электрический ток31 Электродвижущая сила и напряжение

Физическая величина определяемая работой которую совершаютсторонние силы при перемещении единичного положительного заряданазывается электродвижущей силой (ЭДС) действующей в цепи

0qA=Θ

Эта работа совершается за счет энергии затрачиваемой в источнике токапоэтому величину Θ можно назвать электродвижущей силой источника токавключенного в цепь ЭДС как и потенциал выражается в вольтах

Участок цепи на котором не действуют сторонние силы называетсяоднородным Участок на котором на носители тока действуют сторонние силыназывается неоднородным

Работа сторонних сил по перемещению заряда 0q на замкнутом участкецепи

int int== dlEqdlFA стор0стор

rr

Отсюда ЭДС действующая в замкнутой цепи mdash это циркуляция векторанапряженности поля сторонних сил

dlEint=Θ стор

r

Следовательно для поля сторонних сил циркуляция его напряженности позамкнутому контуру не равна нулю Поэтому поле сторонних сил mdashнепотенциально

ЭДС действующая на участке 1ndash2 цепи равна

dlEint=Θ2

1стор12

r

3ndash22

АНОгурцов Лекции по физике

скалярная физическая величина равная отношению заряда dq переносимогосквозь рассматриваемую поверхность за малый промежуток времени квеличине dt этого промежутка

dtdqI =

Электрический ток называется постоянным если сила тока и егонаправление не изменяются с течением времени

Для постоянного тока tqI =

где q mdash электрический заряд проходящий за время t через поперечноесечение проводника

Единица силы тока mdash ампер (А) (см Механика стр 1-2)Для характеристики направления электрического тока в разных точках

рассматриваемой поверхности и распределения силы тока по этой поверхностислужит вектор плотности тока j

r Сила тока сквозь произвольную

поверхность S определяется как поток вектора плотности тока

int=S

dSjIr

где dSndS r= ( nr ndash единичный вектор нормали (орт) к площадке dS )Плотностью электрического тока называется вектор j

r совпа-

дающий с направлением электрического тока в рассматриваемой точке ичисленно равный отношению силы тока dI сквозь малый элемент поверхностиортогональной направлению тока к площади perpdS этого элемента

perp=

dSdIj

Для постоянного тока I текущего перпендикулярно сечению S

проводника SIj =

Если за время dt через поперечное сечение S проводника переноситсязаряд dtSnedq υ= (где n e и υ mdash концентрация заряд и средняя

скорость упорядоченного движения зарядов) то сила тока SneI dtdq υ== а

плотность токаυr

rnej =

Единица плотности тока mdash Ам230 Сторонние силы

Для возникновения и существования электрического тока необходимо1) наличие свободных носителей тока mdash заряженных частиц способ-

ных перемещаться упорядоченно2) наличие электрического поля энергия которого должна каким-то

образом восполнятьсяЕсли в цепи действуют только силы электростатического поля то

происходит перемещение носителей таким образом что потенциалы всех точек

3ndash11

Электричество

В качестве Гауссовой поверхности примемповерхность цилиндра образующие которогоперпендикулярны заряженной плоскости аоснования параллельны заряженной плоскости илежат по разные стороны от нее на одинаковыхрасстояниях

Так как образующие цилиндра параллельнылиниям напряженности то поток векторанапряженности через боковую поверхностьцилиндра равен нулю а полный поток сквозь цилиндр равен суммепотоков сквозь его основания ES2 Заряд заключенный внутрицилиндра равен Sσ По теореме Гаусса 02 εσSES = откуда

E не зависит от длины цилиндра те напряженность поля на любыхрасстояниях одинакова по модулю Такое поле называется однородным

Разность потенциалов между точками лежащими на расстояниях 1x и 2xот плоскости равна

intint minus===minus2

1

2

1

)(22 12

0021

x

x

x

x

xxdxEdxεσ

εσϕϕ

3 Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженныхплоскостей с равными по абсолютному значению поверхностнымиплотностями зарядов 0gtσ и σminus

Из предыдущего примера следует что векторы напряженности 1Er

и 2Er

первой и второй плоскостей равны по модулю и всюду направленыперпендикулярно плоскостям Поэтому в пространстве вне плоскостей оникомпенсируют друг друга а в пространстве между плоскостями суммарнаянапряженность 12EE

rr= Поэтому между плоскостями

0εσ=E (в диэлектрике

0εεσ=E )

Поле между плоскостями однородное Разность потенциалов междуплоскостями

00 0021 ε

σεσϕϕ ddxEdx

dd

===minus intint (в диэлектрике 0εε

σϕ d=∆ )

4 Поле равномерно заряженной сферической поверхностиСферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена

равномерно с поверхностной плотностью 24 Rqπ

σ =

02ε

σ=E

3ndash12

АНОгурцов Лекции по физике

Поскольку система зарядов и следовательносамо поле центрально-симметрично относительноцентра сферы то линии напряженности направленырадиальноВ качестве Гауссовой поверхности выберем сферурадиуса r имеющую общий центр с заряженнойсферой Если Rr gt то внутрь поверхностипопадает весь заряд q По теореме Гаусса

0

24ε

π qEr = откуда ( )Rrr

RrqE ge==

41

20

2

20 ε

σπε

При Rr le замкнутая поверхность не содержитвнутри зарядов поэтому внутри равномернозаряженной сферы 0=E

Разность потенциалов между двумя точкамилежащими на расстояниях 1r и 2r от центра сферы( RrRr gtgt 21 ) равна

int int

minus===minus

2

1

2

1 2102

021

1144

1r

r

r

r rrqdr

rqEdr

πεπεϕϕ

Если принять rr =1 и infin=2r то потенциал поля вне сферической

поверхности rq

041πε

ϕ =

Вне заряженной сферы поле такое же как поле точечного заряда q находящегося в центре сферы Внутри заряженной сферы поля нет поэтомупотенциал всюду одинаков и такой же как на поверхности

004 εσ

πεϕ R

Rq ==

5 Поле объемно заряженного шараЗаряд q равномерно распределен в вакууме по

объему шара радиуса R с объемной плотностью

33

4 Rq

Vq

πρ == Центр шара является центром

симметрии поля1) Для поля вне шара )( Rr gt получаем тот же

результат что и в случае сферической поверхности

204

1rqE

πε=

rq

04πεϕ =

minus=minus

21021

114 rr

qπε

ϕϕ

2) При Rr = 0

2

002

0 34

341

ερ

πεϕ

ερ

πεR

rqR

RqE ====

3) Внутри шара сфера радиусом Rr lt охватывает заряд ρπ 3

34 rq =

3ndash21

Электричество

Интегрирование проводится по всем заряженным поверхностям S и по всемузаряженному объему V тел системы

На примере поля плоского конденсатора выразим энергию поля через егонапряженность Для конденсатора dSC 0εε= и Ed=∆ϕ Отсюда

VESdEW 20

20 2

121 εεεε ==

В однородном поле конденсатора его энергия распределена равномернопо всему объему поля SdV =

Объемная плотность энергии электростатического поля плоскогоконденсатора w

EDEVWw

21

21 2

0 === εε

где ED 0εε= mdash электрическое смещениеЭта формула является отражением того факта что электростатическая

энергия сосредоточена в электростатическом поле Это выражениесправедливо также и для неоднородных полей28 Пондеромоторные силы

Механические силы действующие на заряженные тела помещенные вэлектромагнитное поле называются пондеромоторными силами (от латинскихслов ponderis mdash тяжесть и motor mdash движущий)

Например в плоском конденсаторе сила с которой пластиныконденсатора притягивают друг друга совершает работу за счет уменьшения

потенциальной энергии системы С учетом Sq=σ и

0εεσ=E получаем

SESS

qdx

dWF 20

0

2

0

2

21

22εε

εεσ

εεminus=minus=minus=minus=

где знак минус указывает на то что эта сила является силой притяженияПод действием этой силы обкладки конденсатора сжимают пластинудиэлектрика помещенного между ними и в диэлектрике возникает давление

20

0

2

21

2E

SFp εε

εεσ ===

Постоянный электрический ток

29 Постоянный электрический ток сила и плотность токаЭлектродинамика mdash раздел учения об электричестве в котором

рассматриваются явления и процессы обусловленные движениемэлектрических зарядов

Электрическим током называется упорядоченное движениеэлектрических зарядов

За направление тока принимают направление движения положительныхзарядов

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I mdash

3ndash20

АНОгурцов Лекции по физике

неподвижных точечных зарядов равна

sum=

=n

iiiqW

121 ϕ

где iϕ mdash потенциал создаваемый в той точке где находится заряд iq всеми зарядами кроме i -го25 Энергия заряженного уединенного проводника

Рассмотрим уединенный проводник заряд емкость и потенциал которогоравны ϕCq Элементарная работа dA совершаемая внешними силами попреодолению кулоновских сил отталкивания при перенесении заряда dq избесконечности на проводник равна ϕϕϕ dCdqdA == Чтобы зарядитьпроводник от нулевого потенциала до ϕ необходимо совершить работу

int ==ϕ ϕϕϕ0

2

2CdCA

Энергия заряженного уединенного проводника (используя ϕqC = )

222

22 ϕϕ qC

qCW ===

26 Энергия заряженного конденсатораЭлементарная работа внешних сил по перенесению малого заряда dq с

обкладки 2 конденсатора на обкладку 1

CqdqdqdA =∆= ϕ

Работа внешних сил при увеличении заряда конденсатора от 0 до q

int ==q

Cq

CqdqA

0

2

2

Энергия заряженного конденсатора (используя ϕ∆

= qC )

( )222

221

2 ϕϕϕ ∆=minus== qCC

qW

27 Энергия электростатического поляВ общем случае электрическую энергию любой системы

заряженных неподвижных тел mdash проводников и непроводников mdash можнонайти по формуле

intint +=VS

dVdSW ϕρϕσ21

21

где σ и ρ mdash поверхностная и объемная плотности свободных зарядов ϕ mdashпотенциал результирующего поля всех свободных и связанных зарядов вточках малых элементов dS и dV заряженных поверхностей и объемов

3ndash13

Электричество

По теореме Гаусса 0

3

0

2

344ερπ

επ rqEr ==

Отсюда для точек лежащих внутри шара ( )RrRr ltlt 21 с учетом 33

4 Rqπ

ρ =

03

0 34 ερ

πεr

RqrE == int minus==minus

2

1

)(8

21

223

021

r

r

rrR

qEdrπε

ϕϕ

6 Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен

равномерно с линейной плотностью dldq=τ

Линии напряженности будут направлены порадиусам круговых сечений цилиндра содинаковой густотой во все стороныотносительно оси цилиндра

В качестве Гауссовой поверхностивыберем цилиндр радиуса r и высотой lкоаксиальный с заряженной нитью

Торцы этого цилиндра параллельнылиниям напряженности поэтому поток черезних равен нулю

Поток через боковую поверхность равенrlE π2

По теореме Гаусса (при Rr gt ) 0

2ετπ lrlE = откуда при RrRr gtgt 21

rE τ

πε021=

1

2

0021 ln

22

2

1

2

1rr

rdrEdr

r

r

r

r πετ

πετϕϕ int int ===minus

Если Rr lt то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержитпоэтому 0=E 14 Электростатическое поле в диэлектрической среде

Диэлектриками называются вещества которые при обычных условияхпрактически не проводят электрический ток

Диэлектрик как и всякое другое вещество состоит из атомов или молекулкаждая из которых в целом электрически нейтральна

Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядомq+ находящимся в так сказать центре тяжести положительных зарядов а

заряд всех электронов mdash суммарным отрицательным зарядом qminus находя-щимся в центре тяжести отрицательных зарядов то молекулы можнорассматривать как электрические диполи с электрическим моментом

Различают три типа диэлектриков1) Диэлектрики с неполярными молекулами симметричные молекулы

которых в отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент(например N2 H2 O2 CO2)

3ndash14

АНОгурцов Лекции по физике

2) Диэлектрики с полярными молекулами молекулы которыхвследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (например H2ONH3 SO2 CO)

3) Ионные диэлектрики (например NaCl KCl) Ионные кристаллыпредставляют собой пространственные решетки с правильным чередованиемионов разных знаков

Внесение диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит квозникновению отличного от нуля результирующего электрического моментадиэлектрика

Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей илипоявления под воздействием электрического поля ориентированных по полюдиполей

Соответственно трем видам диэлектриков различают три видаполяризации

1) Электронная или деформационная поляризация диэлектрика снеполярными молекулами mdash за счет деформации электронных орбит возникает

индуцированный дипольный момент у атомов илимолекул диэлектрика

2) Ориентационная или дипольная по-ляризация диэлектрика с полярными молеку-лами mdash ориента-ция имеющихся

дипольных моментов молекул по полю (этаориентация тем сильнее чем больше напря-женность электрического поля и чем нижетемпература)

3) Ионная поляризация диэлектрика сионными кристаллическими решетками mdash смещение подрешеткиположительных ионов вдоль поля а отрицательных ионов против поляприводит к возникновению дипольных моментов15 Поляризованность

Поместим пластину из однородного диэлектрика во внешнееэлектрическое поле созданное двумя бесконечными параллельнымиразноименно заряженными плоскостями

Во внешнем электрическом поле диэлектрик объемом V поляризуетсяте приобретает дипольный момент sum=

iiV pp rr где minusipr дипольный момент

одной молекулыДля количественного описания поляризации диэлектрика используется

векторная величина mdash поляризованность mdash которая определяется какдипольный момент единицы объема диэлектрика

Vp

VpP i iV sum==

rrr

В случае изотропного диэлектрика поляризованность (для большинствадиэлектриков за исключением сегнетоэлектриков) линейно зависит отнапряженности внешнего поля

EPrr

0χε=

3ndash19

Электричество

1 Емкость плоского конденсатора (две параллельные металлическиепластины площадью S каждая расположенные на расстоянии d друг от

друга (Sq=σ ))

dS

dqqC εε

εεσϕ

0

0

==∆

=

2 Емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндрадлиной l с радиусами 1r и 2r )( lq=τ )

1

2

0

1

2

0ln

2

ln2 r

rl

rr

lq

qC επε

επε

==

3 Емкость сферического конденсатора (две концентрических сферы срадиусами 1r и 2r )

12

210

210

411

4rr

rr

rrq

qCminus

=

minus

= επε

επε

23 Соединения конденсаторовУ параллельно соединенных конденсаторов nCCC K21 разность

потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова ϕ∆ Полная емкость

sumsumsum

=

== =∆

∆=

∆=

∆=

n

ii

n

ii

n

ii

CCq

qC1

11

ϕ

ϕ

ϕϕ

У последовательно соединенных кон-денсаторов nCCC K21 заряды q всехобкладок равны по модулю а суммарнаяразность потенциалов

Cq

Cqn

i i

n

ii ==∆=∆ sumsum

== 11ϕϕ

откуда

sum=

=n

i iCC 1

11

24 Энергия системы неподвижных точечных зарядовДля системы двух зарядов 1q и 2q находящихся на расстоянии r друг от

друга каждый из них в поле другого обладает потенциальной энергией

22121

02

2

011211 4

14

1 Wqrqq

rqqqW ===== ϕ

πεπεϕ

Поэтому )( 21212121

212121 ϕϕϕϕ qqqqW +=== Добавляя последова-тельно по одному заряду получим что энергия взаимодействия системы n

3ndash18

АНОгурцов Лекции по физике

εεσ0

=E где σ mdash поверхностная плотность зарядов и ε mdash диэлектрическая

проницаемость среды окружающей проводникНейтральный проводник внесенный в электростатическое поле

разрывает часть линий напряженности они заканчиваются на отрицательныхиндуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных

Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхностипроводника Явление перераспределения поверхностных зарядов напроводнике во внешнем электростатическом поле называетсяэлектростатической индукцией21 Электроемкость

Рассмотрим уединенный проводник mdash проводник удаленный от другихтел и зарядов Из опыта следует что разные проводники будучи одинаковозаряженными имеют разные потенциалы

Физическая величина C равная отношению заряда проводника q к егопотенциалу ϕ называется электрической емкостью этого проводника

ϕqC =

Электроемкость уединенного проводника численно равна зарядукоторый нужно сообщить этому проводнику для того чтобы изменить егопотенциал на единицу

Она зависит от формы и размеров проводника и от диэлектрическихсвойств окружающей среды Емкости геометрически подобных проводниковпропорциональны их линейным размерам

Пример емкость уединенного проводящего шара RqC 04πεϕ==

Единица электроемкости mdash фарад (Ф) 1Ф mdash емкость такогоуединенного проводника потенциал которого изменяется на 1В при сообщенииему заряда 1Кл Емкостью 1Ф обладает шар с радиусом 6109 sdot=R км ЕмкостьЗемли 07мФ22 Конденсаторы

Если к проводнику с зарядом q приблизить другие тела то на ихповерхности возникнут индуцированные (на проводнике) или связанные (надиэлектрике) заряды Эти заряды ослабляют поле создаваемое зарядом q тем самым понижая потенциал проводника и повышая его электроемкость

Конденсатор mdash это система из двух проводников (обкладок) содинаковыми по модулю но противоположными по знаку зарядами форма ирасположение которых таковы что поле сосредоточено в узком зазоре междуобкладками

Емкость конденсатора mdash физическая величина равная отношениюзаряда q накопленного в конденсаторе к разности потенциалов 21 ϕϕ minus междуего обкладками

ϕ∆= qC

3ndash15

Электричество

где minusχ диэлектрическая восприимчивость вещества характеризующаясвойства диэлектрика (положительная безразмерная величина)16 Диэлектрическая проницаемость среды

Вследствие поляризации на поверхностидиэлектрика появляются нескомпенсированныезаряды которые называются связанными (в отличиеот свободных зарядов которые создают внешнееполе)

Поле Er

внутри диэлектрика создаваемоесвязанными зарядами направлено против внешнегополя 0E

r создаваемого свободными зарядами

Результирующее поле внутри диэлектрика0 EEE minus=

В нашем примере поле создаваемое двумябесконечно заряженными плоскостями с поверхностнойплотностью зарядов σ 0 εσ=E Поэтому

00 εσminus= EEПолный дипольный момент диэлектрической

пластинки с толщиной d и площадью грани S PSdPVpV == с другойстороны SdqdpV σ== Отсюда P=σ

EEEEPEEE χε

χεεε

σ minus=minus=minus=minus= 00

00

00

00

Откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

εχ00

1EEE =

+=

Безразмерная величина EE01 =+= χε называется диэлектрической

проницаемостью среды Она характеризует способность диэлектриковполяризоваться в электрическом поле и показывает во сколько раз полеослабляется диэлектриком17 Электрическое смещение

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды(от ε ) Кроме того вектор напряженности E

r переходя через границу

диэлектриков претерпевает скачкообразное изменение поэтому для описания(непрерывного) электрического поля системы зарядов с учетомполяризационных свойств диэлектриков вводится вектор электрическогосмещения (электрической индукции) который для изотропной средызаписывается как

PEEEDrrrrr

+=+== 000 )1( εχεεεЕдиница электрического смещения mdash Клм2Вектор D

r описывает электростатическое поле создаваемое свободными

зарядами (те в вакууме) но при таком их распределении в пространстве какоеимеется при наличии диэлектрика

3ndash16

АНОгурцов Лекции по физике

Аналогично линиям напряженности можно ввести линии электрическогосмещения Через области поля где находятся связанные заряды линиивектора D

r проходят не прерываясь

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Dr

сквозь этуповерхность

int int==ΦS S

nD dSDdSDr

где nD ndash проекция вектора Dr

на нормаль nr к площадке dS Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике поток

вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов

sumint int=

==n

ii

S Sn qdSDdSD

1

r

Для непрерывного распределения заряда в пространстве с объемнойплотностью dVdq=ρ

int int=S V

dVdSD ρr

Другая форма записи этого соотношения с учетом определениядивергенции вектора (стр1-31)

ρ=Dr

div18 Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

При отсутствии на границе двух диэлектриков свободных зарядовциркуляция вектора E

r по контуру int =

ABCDA

dlE 0r

откуда 021 =minus lElE ττ Поэтому

21 ττ EE =Учитывая ED εε0=

2

1

2

1

εε

τ

τ =DD

По теореме Гаусса поток вектора Dr

черезцилиндр ничтожно малой высоты равен нулю (нетсвободных зарядов) 0=∆minus∆ prime SDSD nn поэтому

21 nn DD =

1

2

2

1

εε=

n

n

EE

Таким образом при переходе через границураздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора E

r

(Eτ) и нормальная составляющая вектора Dr

(Dn) изменяются непрерывно (непретерпевают скачка) а нормальная составляющая вектора E

r (En) и

тангенциальная составляющая вектора Dr

(Dτ) претерпевают скачок

3ndash17

Электричество

19 СегнетоэлектрикиСегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики у которых

в отсутствие внешнего электрического поля возникает самопроизвольнаяориентация дипольных электрических моментов составляющих его частиц

Примеры сегнетова соль NaKC4H4O6middot4H2Oтитанат бария BaTiO3

Сегнетоэлектрики состоят из доменов mdashобластей с различными направлениямиполяризованности

Температура выше которой исчезаютсегнетоэлектрические свойства mdash точка Кюри

Для сегнетоэлектриков связь между векторами Er

и Pr

нелинейная инаблюдается явление диэлектрического гистерезиса mdash сохраненияостаточной поляризованности при снятии внешнего поля

Пьезоэлектрики mdash кристаллические диэлектрики в которых при сжатииили растяжении возникает электрическая поляризация mdash прямой пьезоэффект

Обратный пьезоэффект mdash появление механической деформации поддействием электрического поля20 Проводники в электростатическом поле

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или егозарядить то на заряды проводника будет действовать электростатическоеполе в результате чего они начнут перемещаться до тех пор пока неустановится равновесное распределение зарядов при которомэлектростатическое поле внутри проводника обращается в нуль 0=E

r

Иначе если бы поле не было равно нулю то в проводнике возникло быупорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источникачто противоречит закону сохранения энергии

Следствия этого ( constE =rArr=minus= ϕϕ 0gradr

) потенциал во всех точках проводника одинаков поверхность проводника является эквипотенциальной вектор E

r направлен по нормали к каждой точке поверхности

При помещении нейтрального проводника во внешнее поле свободныезаряды (электроны и ионы) начнут перемещаться положительные mdash по полю а

отрицательные mdash против поля(рис(а)) На одном концепроводника будет избытокположительных зарядов надругом mdash отрицательных Этизаряды называютсяиндуцированными Процессбудет продолжаться до техпор пока напряженность поля

внутри проводника не станет равной нулю а линии напряженности внепроводника mdash перпендикулярными его поверхности (рис(б)) если проводнику сообщить некоторый заряд q то нескомпенсированныезаряды располагаются только на поверхности проводника причем σ=D и

Page 11: Лекции по физике. Электричество

3ndash22

АНОгурцов Лекции по физике

скалярная физическая величина равная отношению заряда dq переносимогосквозь рассматриваемую поверхность за малый промежуток времени квеличине dt этого промежутка

dtdqI =

Электрический ток называется постоянным если сила тока и егонаправление не изменяются с течением времени

Для постоянного тока tqI =

где q mdash электрический заряд проходящий за время t через поперечноесечение проводника

Единица силы тока mdash ампер (А) (см Механика стр 1-2)Для характеристики направления электрического тока в разных точках

рассматриваемой поверхности и распределения силы тока по этой поверхностислужит вектор плотности тока j

r Сила тока сквозь произвольную

поверхность S определяется как поток вектора плотности тока

int=S

dSjIr

где dSndS r= ( nr ndash единичный вектор нормали (орт) к площадке dS )Плотностью электрического тока называется вектор j

r совпа-

дающий с направлением электрического тока в рассматриваемой точке ичисленно равный отношению силы тока dI сквозь малый элемент поверхностиортогональной направлению тока к площади perpdS этого элемента

perp=

dSdIj

Для постоянного тока I текущего перпендикулярно сечению S

проводника SIj =

Если за время dt через поперечное сечение S проводника переноситсязаряд dtSnedq υ= (где n e и υ mdash концентрация заряд и средняя

скорость упорядоченного движения зарядов) то сила тока SneI dtdq υ== а

плотность токаυr

rnej =

Единица плотности тока mdash Ам230 Сторонние силы

Для возникновения и существования электрического тока необходимо1) наличие свободных носителей тока mdash заряженных частиц способ-

ных перемещаться упорядоченно2) наличие электрического поля энергия которого должна каким-то

образом восполнятьсяЕсли в цепи действуют только силы электростатического поля то

происходит перемещение носителей таким образом что потенциалы всех точек

3ndash11

Электричество

В качестве Гауссовой поверхности примемповерхность цилиндра образующие которогоперпендикулярны заряженной плоскости аоснования параллельны заряженной плоскости илежат по разные стороны от нее на одинаковыхрасстояниях

Так как образующие цилиндра параллельнылиниям напряженности то поток векторанапряженности через боковую поверхностьцилиндра равен нулю а полный поток сквозь цилиндр равен суммепотоков сквозь его основания ES2 Заряд заключенный внутрицилиндра равен Sσ По теореме Гаусса 02 εσSES = откуда

E не зависит от длины цилиндра те напряженность поля на любыхрасстояниях одинакова по модулю Такое поле называется однородным

Разность потенциалов между точками лежащими на расстояниях 1x и 2xот плоскости равна

intint minus===minus2

1

2

1

)(22 12

0021

x

x

x

x

xxdxEdxεσ

εσϕϕ

3 Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженныхплоскостей с равными по абсолютному значению поверхностнымиплотностями зарядов 0gtσ и σminus

Из предыдущего примера следует что векторы напряженности 1Er

и 2Er

первой и второй плоскостей равны по модулю и всюду направленыперпендикулярно плоскостям Поэтому в пространстве вне плоскостей оникомпенсируют друг друга а в пространстве между плоскостями суммарнаянапряженность 12EE

rr= Поэтому между плоскостями

0εσ=E (в диэлектрике

0εεσ=E )

Поле между плоскостями однородное Разность потенциалов междуплоскостями

00 0021 ε

σεσϕϕ ddxEdx

dd

===minus intint (в диэлектрике 0εε

σϕ d=∆ )

4 Поле равномерно заряженной сферической поверхностиСферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена

равномерно с поверхностной плотностью 24 Rqπ

σ =

02ε

σ=E

3ndash12

АНОгурцов Лекции по физике

Поскольку система зарядов и следовательносамо поле центрально-симметрично относительноцентра сферы то линии напряженности направленырадиальноВ качестве Гауссовой поверхности выберем сферурадиуса r имеющую общий центр с заряженнойсферой Если Rr gt то внутрь поверхностипопадает весь заряд q По теореме Гаусса

0

24ε

π qEr = откуда ( )Rrr

RrqE ge==

41

20

2

20 ε

σπε

При Rr le замкнутая поверхность не содержитвнутри зарядов поэтому внутри равномернозаряженной сферы 0=E

Разность потенциалов между двумя точкамилежащими на расстояниях 1r и 2r от центра сферы( RrRr gtgt 21 ) равна

int int

minus===minus

2

1

2

1 2102

021

1144

1r

r

r

r rrqdr

rqEdr

πεπεϕϕ

Если принять rr =1 и infin=2r то потенциал поля вне сферической

поверхности rq

041πε

ϕ =

Вне заряженной сферы поле такое же как поле точечного заряда q находящегося в центре сферы Внутри заряженной сферы поля нет поэтомупотенциал всюду одинаков и такой же как на поверхности

004 εσ

πεϕ R

Rq ==

5 Поле объемно заряженного шараЗаряд q равномерно распределен в вакууме по

объему шара радиуса R с объемной плотностью

33

4 Rq

Vq

πρ == Центр шара является центром

симметрии поля1) Для поля вне шара )( Rr gt получаем тот же

результат что и в случае сферической поверхности

204

1rqE

πε=

rq

04πεϕ =

minus=minus

21021

114 rr

qπε

ϕϕ

2) При Rr = 0

2

002

0 34

341

ερ

πεϕ

ερ

πεR

rqR

RqE ====

3) Внутри шара сфера радиусом Rr lt охватывает заряд ρπ 3

34 rq =

3ndash21

Электричество

Интегрирование проводится по всем заряженным поверхностям S и по всемузаряженному объему V тел системы

На примере поля плоского конденсатора выразим энергию поля через егонапряженность Для конденсатора dSC 0εε= и Ed=∆ϕ Отсюда

VESdEW 20

20 2

121 εεεε ==

В однородном поле конденсатора его энергия распределена равномернопо всему объему поля SdV =

Объемная плотность энергии электростатического поля плоскогоконденсатора w

EDEVWw

21

21 2

0 === εε

где ED 0εε= mdash электрическое смещениеЭта формула является отражением того факта что электростатическая

энергия сосредоточена в электростатическом поле Это выражениесправедливо также и для неоднородных полей28 Пондеромоторные силы

Механические силы действующие на заряженные тела помещенные вэлектромагнитное поле называются пондеромоторными силами (от латинскихслов ponderis mdash тяжесть и motor mdash движущий)

Например в плоском конденсаторе сила с которой пластиныконденсатора притягивают друг друга совершает работу за счет уменьшения

потенциальной энергии системы С учетом Sq=σ и

0εεσ=E получаем

SESS

qdx

dWF 20

0

2

0

2

21

22εε

εεσ

εεminus=minus=minus=minus=

где знак минус указывает на то что эта сила является силой притяженияПод действием этой силы обкладки конденсатора сжимают пластинудиэлектрика помещенного между ними и в диэлектрике возникает давление

20

0

2

21

2E

SFp εε

εεσ ===

Постоянный электрический ток

29 Постоянный электрический ток сила и плотность токаЭлектродинамика mdash раздел учения об электричестве в котором

рассматриваются явления и процессы обусловленные движениемэлектрических зарядов

Электрическим током называется упорядоченное движениеэлектрических зарядов

За направление тока принимают направление движения положительныхзарядов

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I mdash

3ndash20

АНОгурцов Лекции по физике

неподвижных точечных зарядов равна

sum=

=n

iiiqW

121 ϕ

где iϕ mdash потенциал создаваемый в той точке где находится заряд iq всеми зарядами кроме i -го25 Энергия заряженного уединенного проводника

Рассмотрим уединенный проводник заряд емкость и потенциал которогоравны ϕCq Элементарная работа dA совершаемая внешними силами попреодолению кулоновских сил отталкивания при перенесении заряда dq избесконечности на проводник равна ϕϕϕ dCdqdA == Чтобы зарядитьпроводник от нулевого потенциала до ϕ необходимо совершить работу

int ==ϕ ϕϕϕ0

2

2CdCA

Энергия заряженного уединенного проводника (используя ϕqC = )

222

22 ϕϕ qC

qCW ===

26 Энергия заряженного конденсатораЭлементарная работа внешних сил по перенесению малого заряда dq с

обкладки 2 конденсатора на обкладку 1

CqdqdqdA =∆= ϕ

Работа внешних сил при увеличении заряда конденсатора от 0 до q

int ==q

Cq

CqdqA

0

2

2

Энергия заряженного конденсатора (используя ϕ∆

= qC )

( )222

221

2 ϕϕϕ ∆=minus== qCC

qW

27 Энергия электростатического поляВ общем случае электрическую энергию любой системы

заряженных неподвижных тел mdash проводников и непроводников mdash можнонайти по формуле

intint +=VS

dVdSW ϕρϕσ21

21

где σ и ρ mdash поверхностная и объемная плотности свободных зарядов ϕ mdashпотенциал результирующего поля всех свободных и связанных зарядов вточках малых элементов dS и dV заряженных поверхностей и объемов

3ndash13

Электричество

По теореме Гаусса 0

3

0

2

344ερπ

επ rqEr ==

Отсюда для точек лежащих внутри шара ( )RrRr ltlt 21 с учетом 33

4 Rqπ

ρ =

03

0 34 ερ

πεr

RqrE == int minus==minus

2

1

)(8

21

223

021

r

r

rrR

qEdrπε

ϕϕ

6 Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен

равномерно с линейной плотностью dldq=τ

Линии напряженности будут направлены порадиусам круговых сечений цилиндра содинаковой густотой во все стороныотносительно оси цилиндра

В качестве Гауссовой поверхностивыберем цилиндр радиуса r и высотой lкоаксиальный с заряженной нитью

Торцы этого цилиндра параллельнылиниям напряженности поэтому поток черезних равен нулю

Поток через боковую поверхность равенrlE π2

По теореме Гаусса (при Rr gt ) 0

2ετπ lrlE = откуда при RrRr gtgt 21

rE τ

πε021=

1

2

0021 ln

22

2

1

2

1rr

rdrEdr

r

r

r

r πετ

πετϕϕ int int ===minus

Если Rr lt то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержитпоэтому 0=E 14 Электростатическое поле в диэлектрической среде

Диэлектриками называются вещества которые при обычных условияхпрактически не проводят электрический ток

Диэлектрик как и всякое другое вещество состоит из атомов или молекулкаждая из которых в целом электрически нейтральна

Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядомq+ находящимся в так сказать центре тяжести положительных зарядов а

заряд всех электронов mdash суммарным отрицательным зарядом qminus находя-щимся в центре тяжести отрицательных зарядов то молекулы можнорассматривать как электрические диполи с электрическим моментом

Различают три типа диэлектриков1) Диэлектрики с неполярными молекулами симметричные молекулы

которых в отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент(например N2 H2 O2 CO2)

3ndash14

АНОгурцов Лекции по физике

2) Диэлектрики с полярными молекулами молекулы которыхвследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (например H2ONH3 SO2 CO)

3) Ионные диэлектрики (например NaCl KCl) Ионные кристаллыпредставляют собой пространственные решетки с правильным чередованиемионов разных знаков

Внесение диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит квозникновению отличного от нуля результирующего электрического моментадиэлектрика

Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей илипоявления под воздействием электрического поля ориентированных по полюдиполей

Соответственно трем видам диэлектриков различают три видаполяризации

1) Электронная или деформационная поляризация диэлектрика снеполярными молекулами mdash за счет деформации электронных орбит возникает

индуцированный дипольный момент у атомов илимолекул диэлектрика

2) Ориентационная или дипольная по-ляризация диэлектрика с полярными молеку-лами mdash ориента-ция имеющихся

дипольных моментов молекул по полю (этаориентация тем сильнее чем больше напря-женность электрического поля и чем нижетемпература)

3) Ионная поляризация диэлектрика сионными кристаллическими решетками mdash смещение подрешеткиположительных ионов вдоль поля а отрицательных ионов против поляприводит к возникновению дипольных моментов15 Поляризованность

Поместим пластину из однородного диэлектрика во внешнееэлектрическое поле созданное двумя бесконечными параллельнымиразноименно заряженными плоскостями

Во внешнем электрическом поле диэлектрик объемом V поляризуетсяте приобретает дипольный момент sum=

iiV pp rr где minusipr дипольный момент

одной молекулыДля количественного описания поляризации диэлектрика используется

векторная величина mdash поляризованность mdash которая определяется какдипольный момент единицы объема диэлектрика

Vp

VpP i iV sum==

rrr

В случае изотропного диэлектрика поляризованность (для большинствадиэлектриков за исключением сегнетоэлектриков) линейно зависит отнапряженности внешнего поля

EPrr

0χε=

3ndash19

Электричество

1 Емкость плоского конденсатора (две параллельные металлическиепластины площадью S каждая расположенные на расстоянии d друг от

друга (Sq=σ ))

dS

dqqC εε

εεσϕ

0

0

==∆

=

2 Емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндрадлиной l с радиусами 1r и 2r )( lq=τ )

1

2

0

1

2

0ln

2

ln2 r

rl

rr

lq

qC επε

επε

==

3 Емкость сферического конденсатора (две концентрических сферы срадиусами 1r и 2r )

12

210

210

411

4rr

rr

rrq

qCminus

=

minus

= επε

επε

23 Соединения конденсаторовУ параллельно соединенных конденсаторов nCCC K21 разность

потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова ϕ∆ Полная емкость

sumsumsum

=

== =∆

∆=

∆=

∆=

n

ii

n

ii

n

ii

CCq

qC1

11

ϕ

ϕ

ϕϕ

У последовательно соединенных кон-денсаторов nCCC K21 заряды q всехобкладок равны по модулю а суммарнаяразность потенциалов

Cq

Cqn

i i

n

ii ==∆=∆ sumsum

== 11ϕϕ

откуда

sum=

=n

i iCC 1

11

24 Энергия системы неподвижных точечных зарядовДля системы двух зарядов 1q и 2q находящихся на расстоянии r друг от

друга каждый из них в поле другого обладает потенциальной энергией

22121

02

2

011211 4

14

1 Wqrqq

rqqqW ===== ϕ

πεπεϕ

Поэтому )( 21212121

212121 ϕϕϕϕ qqqqW +=== Добавляя последова-тельно по одному заряду получим что энергия взаимодействия системы n

3ndash18

АНОгурцов Лекции по физике

εεσ0

=E где σ mdash поверхностная плотность зарядов и ε mdash диэлектрическая

проницаемость среды окружающей проводникНейтральный проводник внесенный в электростатическое поле

разрывает часть линий напряженности они заканчиваются на отрицательныхиндуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных

Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхностипроводника Явление перераспределения поверхностных зарядов напроводнике во внешнем электростатическом поле называетсяэлектростатической индукцией21 Электроемкость

Рассмотрим уединенный проводник mdash проводник удаленный от другихтел и зарядов Из опыта следует что разные проводники будучи одинаковозаряженными имеют разные потенциалы

Физическая величина C равная отношению заряда проводника q к егопотенциалу ϕ называется электрической емкостью этого проводника

ϕqC =

Электроемкость уединенного проводника численно равна зарядукоторый нужно сообщить этому проводнику для того чтобы изменить егопотенциал на единицу

Она зависит от формы и размеров проводника и от диэлектрическихсвойств окружающей среды Емкости геометрически подобных проводниковпропорциональны их линейным размерам

Пример емкость уединенного проводящего шара RqC 04πεϕ==

Единица электроемкости mdash фарад (Ф) 1Ф mdash емкость такогоуединенного проводника потенциал которого изменяется на 1В при сообщенииему заряда 1Кл Емкостью 1Ф обладает шар с радиусом 6109 sdot=R км ЕмкостьЗемли 07мФ22 Конденсаторы

Если к проводнику с зарядом q приблизить другие тела то на ихповерхности возникнут индуцированные (на проводнике) или связанные (надиэлектрике) заряды Эти заряды ослабляют поле создаваемое зарядом q тем самым понижая потенциал проводника и повышая его электроемкость

Конденсатор mdash это система из двух проводников (обкладок) содинаковыми по модулю но противоположными по знаку зарядами форма ирасположение которых таковы что поле сосредоточено в узком зазоре междуобкладками

Емкость конденсатора mdash физическая величина равная отношениюзаряда q накопленного в конденсаторе к разности потенциалов 21 ϕϕ minus междуего обкладками

ϕ∆= qC

3ndash15

Электричество

где minusχ диэлектрическая восприимчивость вещества характеризующаясвойства диэлектрика (положительная безразмерная величина)16 Диэлектрическая проницаемость среды

Вследствие поляризации на поверхностидиэлектрика появляются нескомпенсированныезаряды которые называются связанными (в отличиеот свободных зарядов которые создают внешнееполе)

Поле Er

внутри диэлектрика создаваемоесвязанными зарядами направлено против внешнегополя 0E

r создаваемого свободными зарядами

Результирующее поле внутри диэлектрика0 EEE minus=

В нашем примере поле создаваемое двумябесконечно заряженными плоскостями с поверхностнойплотностью зарядов σ 0 εσ=E Поэтому

00 εσminus= EEПолный дипольный момент диэлектрической

пластинки с толщиной d и площадью грани S PSdPVpV == с другойстороны SdqdpV σ== Отсюда P=σ

EEEEPEEE χε

χεεε

σ minus=minus=minus=minus= 00

00

00

00

Откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

εχ00

1EEE =

+=

Безразмерная величина EE01 =+= χε называется диэлектрической

проницаемостью среды Она характеризует способность диэлектриковполяризоваться в электрическом поле и показывает во сколько раз полеослабляется диэлектриком17 Электрическое смещение

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды(от ε ) Кроме того вектор напряженности E

r переходя через границу

диэлектриков претерпевает скачкообразное изменение поэтому для описания(непрерывного) электрического поля системы зарядов с учетомполяризационных свойств диэлектриков вводится вектор электрическогосмещения (электрической индукции) который для изотропной средызаписывается как

PEEEDrrrrr

+=+== 000 )1( εχεεεЕдиница электрического смещения mdash Клм2Вектор D

r описывает электростатическое поле создаваемое свободными

зарядами (те в вакууме) но при таком их распределении в пространстве какоеимеется при наличии диэлектрика

3ndash16

АНОгурцов Лекции по физике

Аналогично линиям напряженности можно ввести линии электрическогосмещения Через области поля где находятся связанные заряды линиивектора D

r проходят не прерываясь

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Dr

сквозь этуповерхность

int int==ΦS S

nD dSDdSDr

где nD ndash проекция вектора Dr

на нормаль nr к площадке dS Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике поток

вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов

sumint int=

==n

ii

S Sn qdSDdSD

1

r

Для непрерывного распределения заряда в пространстве с объемнойплотностью dVdq=ρ

int int=S V

dVdSD ρr

Другая форма записи этого соотношения с учетом определениядивергенции вектора (стр1-31)

ρ=Dr

div18 Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

При отсутствии на границе двух диэлектриков свободных зарядовциркуляция вектора E

r по контуру int =

ABCDA

dlE 0r

откуда 021 =minus lElE ττ Поэтому

21 ττ EE =Учитывая ED εε0=

2

1

2

1

εε

τ

τ =DD

По теореме Гаусса поток вектора Dr

черезцилиндр ничтожно малой высоты равен нулю (нетсвободных зарядов) 0=∆minus∆ prime SDSD nn поэтому

21 nn DD =

1

2

2

1

εε=

n

n

EE

Таким образом при переходе через границураздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора E

r

(Eτ) и нормальная составляющая вектора Dr

(Dn) изменяются непрерывно (непретерпевают скачка) а нормальная составляющая вектора E

r (En) и

тангенциальная составляющая вектора Dr

(Dτ) претерпевают скачок

3ndash17

Электричество

19 СегнетоэлектрикиСегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики у которых

в отсутствие внешнего электрического поля возникает самопроизвольнаяориентация дипольных электрических моментов составляющих его частиц

Примеры сегнетова соль NaKC4H4O6middot4H2Oтитанат бария BaTiO3

Сегнетоэлектрики состоят из доменов mdashобластей с различными направлениямиполяризованности

Температура выше которой исчезаютсегнетоэлектрические свойства mdash точка Кюри

Для сегнетоэлектриков связь между векторами Er

и Pr

нелинейная инаблюдается явление диэлектрического гистерезиса mdash сохраненияостаточной поляризованности при снятии внешнего поля

Пьезоэлектрики mdash кристаллические диэлектрики в которых при сжатииили растяжении возникает электрическая поляризация mdash прямой пьезоэффект

Обратный пьезоэффект mdash появление механической деформации поддействием электрического поля20 Проводники в электростатическом поле

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или егозарядить то на заряды проводника будет действовать электростатическоеполе в результате чего они начнут перемещаться до тех пор пока неустановится равновесное распределение зарядов при которомэлектростатическое поле внутри проводника обращается в нуль 0=E

r

Иначе если бы поле не было равно нулю то в проводнике возникло быупорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источникачто противоречит закону сохранения энергии

Следствия этого ( constE =rArr=minus= ϕϕ 0gradr

) потенциал во всех точках проводника одинаков поверхность проводника является эквипотенциальной вектор E

r направлен по нормали к каждой точке поверхности

При помещении нейтрального проводника во внешнее поле свободныезаряды (электроны и ионы) начнут перемещаться положительные mdash по полю а

отрицательные mdash против поля(рис(а)) На одном концепроводника будет избытокположительных зарядов надругом mdash отрицательных Этизаряды называютсяиндуцированными Процессбудет продолжаться до техпор пока напряженность поля

внутри проводника не станет равной нулю а линии напряженности внепроводника mdash перпендикулярными его поверхности (рис(б)) если проводнику сообщить некоторый заряд q то нескомпенсированныезаряды располагаются только на поверхности проводника причем σ=D и

Page 12: Лекции по физике. Электричество

3ndash12

АНОгурцов Лекции по физике

Поскольку система зарядов и следовательносамо поле центрально-симметрично относительноцентра сферы то линии напряженности направленырадиальноВ качестве Гауссовой поверхности выберем сферурадиуса r имеющую общий центр с заряженнойсферой Если Rr gt то внутрь поверхностипопадает весь заряд q По теореме Гаусса

0

24ε

π qEr = откуда ( )Rrr

RrqE ge==

41

20

2

20 ε

σπε

При Rr le замкнутая поверхность не содержитвнутри зарядов поэтому внутри равномернозаряженной сферы 0=E

Разность потенциалов между двумя точкамилежащими на расстояниях 1r и 2r от центра сферы( RrRr gtgt 21 ) равна

int int

minus===minus

2

1

2

1 2102

021

1144

1r

r

r

r rrqdr

rqEdr

πεπεϕϕ

Если принять rr =1 и infin=2r то потенциал поля вне сферической

поверхности rq

041πε

ϕ =

Вне заряженной сферы поле такое же как поле точечного заряда q находящегося в центре сферы Внутри заряженной сферы поля нет поэтомупотенциал всюду одинаков и такой же как на поверхности

004 εσ

πεϕ R

Rq ==

5 Поле объемно заряженного шараЗаряд q равномерно распределен в вакууме по

объему шара радиуса R с объемной плотностью

33

4 Rq

Vq

πρ == Центр шара является центром

симметрии поля1) Для поля вне шара )( Rr gt получаем тот же

результат что и в случае сферической поверхности

204

1rqE

πε=

rq

04πεϕ =

minus=minus

21021

114 rr

qπε

ϕϕ

2) При Rr = 0

2

002

0 34

341

ερ

πεϕ

ερ

πεR

rqR

RqE ====

3) Внутри шара сфера радиусом Rr lt охватывает заряд ρπ 3

34 rq =

3ndash21

Электричество

Интегрирование проводится по всем заряженным поверхностям S и по всемузаряженному объему V тел системы

На примере поля плоского конденсатора выразим энергию поля через егонапряженность Для конденсатора dSC 0εε= и Ed=∆ϕ Отсюда

VESdEW 20

20 2

121 εεεε ==

В однородном поле конденсатора его энергия распределена равномернопо всему объему поля SdV =

Объемная плотность энергии электростатического поля плоскогоконденсатора w

EDEVWw

21

21 2

0 === εε

где ED 0εε= mdash электрическое смещениеЭта формула является отражением того факта что электростатическая

энергия сосредоточена в электростатическом поле Это выражениесправедливо также и для неоднородных полей28 Пондеромоторные силы

Механические силы действующие на заряженные тела помещенные вэлектромагнитное поле называются пондеромоторными силами (от латинскихслов ponderis mdash тяжесть и motor mdash движущий)

Например в плоском конденсаторе сила с которой пластиныконденсатора притягивают друг друга совершает работу за счет уменьшения

потенциальной энергии системы С учетом Sq=σ и

0εεσ=E получаем

SESS

qdx

dWF 20

0

2

0

2

21

22εε

εεσ

εεminus=minus=minus=minus=

где знак минус указывает на то что эта сила является силой притяженияПод действием этой силы обкладки конденсатора сжимают пластинудиэлектрика помещенного между ними и в диэлектрике возникает давление

20

0

2

21

2E

SFp εε

εεσ ===

Постоянный электрический ток

29 Постоянный электрический ток сила и плотность токаЭлектродинамика mdash раздел учения об электричестве в котором

рассматриваются явления и процессы обусловленные движениемэлектрических зарядов

Электрическим током называется упорядоченное движениеэлектрических зарядов

За направление тока принимают направление движения положительныхзарядов

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I mdash

3ndash20

АНОгурцов Лекции по физике

неподвижных точечных зарядов равна

sum=

=n

iiiqW

121 ϕ

где iϕ mdash потенциал создаваемый в той точке где находится заряд iq всеми зарядами кроме i -го25 Энергия заряженного уединенного проводника

Рассмотрим уединенный проводник заряд емкость и потенциал которогоравны ϕCq Элементарная работа dA совершаемая внешними силами попреодолению кулоновских сил отталкивания при перенесении заряда dq избесконечности на проводник равна ϕϕϕ dCdqdA == Чтобы зарядитьпроводник от нулевого потенциала до ϕ необходимо совершить работу

int ==ϕ ϕϕϕ0

2

2CdCA

Энергия заряженного уединенного проводника (используя ϕqC = )

222

22 ϕϕ qC

qCW ===

26 Энергия заряженного конденсатораЭлементарная работа внешних сил по перенесению малого заряда dq с

обкладки 2 конденсатора на обкладку 1

CqdqdqdA =∆= ϕ

Работа внешних сил при увеличении заряда конденсатора от 0 до q

int ==q

Cq

CqdqA

0

2

2

Энергия заряженного конденсатора (используя ϕ∆

= qC )

( )222

221

2 ϕϕϕ ∆=minus== qCC

qW

27 Энергия электростатического поляВ общем случае электрическую энергию любой системы

заряженных неподвижных тел mdash проводников и непроводников mdash можнонайти по формуле

intint +=VS

dVdSW ϕρϕσ21

21

где σ и ρ mdash поверхностная и объемная плотности свободных зарядов ϕ mdashпотенциал результирующего поля всех свободных и связанных зарядов вточках малых элементов dS и dV заряженных поверхностей и объемов

3ndash13

Электричество

По теореме Гаусса 0

3

0

2

344ερπ

επ rqEr ==

Отсюда для точек лежащих внутри шара ( )RrRr ltlt 21 с учетом 33

4 Rqπ

ρ =

03

0 34 ερ

πεr

RqrE == int minus==minus

2

1

)(8

21

223

021

r

r

rrR

qEdrπε

ϕϕ

6 Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен

равномерно с линейной плотностью dldq=τ

Линии напряженности будут направлены порадиусам круговых сечений цилиндра содинаковой густотой во все стороныотносительно оси цилиндра

В качестве Гауссовой поверхностивыберем цилиндр радиуса r и высотой lкоаксиальный с заряженной нитью

Торцы этого цилиндра параллельнылиниям напряженности поэтому поток черезних равен нулю

Поток через боковую поверхность равенrlE π2

По теореме Гаусса (при Rr gt ) 0

2ετπ lrlE = откуда при RrRr gtgt 21

rE τ

πε021=

1

2

0021 ln

22

2

1

2

1rr

rdrEdr

r

r

r

r πετ

πετϕϕ int int ===minus

Если Rr lt то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержитпоэтому 0=E 14 Электростатическое поле в диэлектрической среде

Диэлектриками называются вещества которые при обычных условияхпрактически не проводят электрический ток

Диэлектрик как и всякое другое вещество состоит из атомов или молекулкаждая из которых в целом электрически нейтральна

Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядомq+ находящимся в так сказать центре тяжести положительных зарядов а

заряд всех электронов mdash суммарным отрицательным зарядом qminus находя-щимся в центре тяжести отрицательных зарядов то молекулы можнорассматривать как электрические диполи с электрическим моментом

Различают три типа диэлектриков1) Диэлектрики с неполярными молекулами симметричные молекулы

которых в отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент(например N2 H2 O2 CO2)

3ndash14

АНОгурцов Лекции по физике

2) Диэлектрики с полярными молекулами молекулы которыхвследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (например H2ONH3 SO2 CO)

3) Ионные диэлектрики (например NaCl KCl) Ионные кристаллыпредставляют собой пространственные решетки с правильным чередованиемионов разных знаков

Внесение диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит квозникновению отличного от нуля результирующего электрического моментадиэлектрика

Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей илипоявления под воздействием электрического поля ориентированных по полюдиполей

Соответственно трем видам диэлектриков различают три видаполяризации

1) Электронная или деформационная поляризация диэлектрика снеполярными молекулами mdash за счет деформации электронных орбит возникает

индуцированный дипольный момент у атомов илимолекул диэлектрика

2) Ориентационная или дипольная по-ляризация диэлектрика с полярными молеку-лами mdash ориента-ция имеющихся

дипольных моментов молекул по полю (этаориентация тем сильнее чем больше напря-женность электрического поля и чем нижетемпература)

3) Ионная поляризация диэлектрика сионными кристаллическими решетками mdash смещение подрешеткиположительных ионов вдоль поля а отрицательных ионов против поляприводит к возникновению дипольных моментов15 Поляризованность

Поместим пластину из однородного диэлектрика во внешнееэлектрическое поле созданное двумя бесконечными параллельнымиразноименно заряженными плоскостями

Во внешнем электрическом поле диэлектрик объемом V поляризуетсяте приобретает дипольный момент sum=

iiV pp rr где minusipr дипольный момент

одной молекулыДля количественного описания поляризации диэлектрика используется

векторная величина mdash поляризованность mdash которая определяется какдипольный момент единицы объема диэлектрика

Vp

VpP i iV sum==

rrr

В случае изотропного диэлектрика поляризованность (для большинствадиэлектриков за исключением сегнетоэлектриков) линейно зависит отнапряженности внешнего поля

EPrr

0χε=

3ndash19

Электричество

1 Емкость плоского конденсатора (две параллельные металлическиепластины площадью S каждая расположенные на расстоянии d друг от

друга (Sq=σ ))

dS

dqqC εε

εεσϕ

0

0

==∆

=

2 Емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндрадлиной l с радиусами 1r и 2r )( lq=τ )

1

2

0

1

2

0ln

2

ln2 r

rl

rr

lq

qC επε

επε

==

3 Емкость сферического конденсатора (две концентрических сферы срадиусами 1r и 2r )

12

210

210

411

4rr

rr

rrq

qCminus

=

minus

= επε

επε

23 Соединения конденсаторовУ параллельно соединенных конденсаторов nCCC K21 разность

потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова ϕ∆ Полная емкость

sumsumsum

=

== =∆

∆=

∆=

∆=

n

ii

n

ii

n

ii

CCq

qC1

11

ϕ

ϕ

ϕϕ

У последовательно соединенных кон-денсаторов nCCC K21 заряды q всехобкладок равны по модулю а суммарнаяразность потенциалов

Cq

Cqn

i i

n

ii ==∆=∆ sumsum

== 11ϕϕ

откуда

sum=

=n

i iCC 1

11

24 Энергия системы неподвижных точечных зарядовДля системы двух зарядов 1q и 2q находящихся на расстоянии r друг от

друга каждый из них в поле другого обладает потенциальной энергией

22121

02

2

011211 4

14

1 Wqrqq

rqqqW ===== ϕ

πεπεϕ

Поэтому )( 21212121

212121 ϕϕϕϕ qqqqW +=== Добавляя последова-тельно по одному заряду получим что энергия взаимодействия системы n

3ndash18

АНОгурцов Лекции по физике

εεσ0

=E где σ mdash поверхностная плотность зарядов и ε mdash диэлектрическая

проницаемость среды окружающей проводникНейтральный проводник внесенный в электростатическое поле

разрывает часть линий напряженности они заканчиваются на отрицательныхиндуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных

Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхностипроводника Явление перераспределения поверхностных зарядов напроводнике во внешнем электростатическом поле называетсяэлектростатической индукцией21 Электроемкость

Рассмотрим уединенный проводник mdash проводник удаленный от другихтел и зарядов Из опыта следует что разные проводники будучи одинаковозаряженными имеют разные потенциалы

Физическая величина C равная отношению заряда проводника q к егопотенциалу ϕ называется электрической емкостью этого проводника

ϕqC =

Электроемкость уединенного проводника численно равна зарядукоторый нужно сообщить этому проводнику для того чтобы изменить егопотенциал на единицу

Она зависит от формы и размеров проводника и от диэлектрическихсвойств окружающей среды Емкости геометрически подобных проводниковпропорциональны их линейным размерам

Пример емкость уединенного проводящего шара RqC 04πεϕ==

Единица электроемкости mdash фарад (Ф) 1Ф mdash емкость такогоуединенного проводника потенциал которого изменяется на 1В при сообщенииему заряда 1Кл Емкостью 1Ф обладает шар с радиусом 6109 sdot=R км ЕмкостьЗемли 07мФ22 Конденсаторы

Если к проводнику с зарядом q приблизить другие тела то на ихповерхности возникнут индуцированные (на проводнике) или связанные (надиэлектрике) заряды Эти заряды ослабляют поле создаваемое зарядом q тем самым понижая потенциал проводника и повышая его электроемкость

Конденсатор mdash это система из двух проводников (обкладок) содинаковыми по модулю но противоположными по знаку зарядами форма ирасположение которых таковы что поле сосредоточено в узком зазоре междуобкладками

Емкость конденсатора mdash физическая величина равная отношениюзаряда q накопленного в конденсаторе к разности потенциалов 21 ϕϕ minus междуего обкладками

ϕ∆= qC

3ndash15

Электричество

где minusχ диэлектрическая восприимчивость вещества характеризующаясвойства диэлектрика (положительная безразмерная величина)16 Диэлектрическая проницаемость среды

Вследствие поляризации на поверхностидиэлектрика появляются нескомпенсированныезаряды которые называются связанными (в отличиеот свободных зарядов которые создают внешнееполе)

Поле Er

внутри диэлектрика создаваемоесвязанными зарядами направлено против внешнегополя 0E

r создаваемого свободными зарядами

Результирующее поле внутри диэлектрика0 EEE minus=

В нашем примере поле создаваемое двумябесконечно заряженными плоскостями с поверхностнойплотностью зарядов σ 0 εσ=E Поэтому

00 εσminus= EEПолный дипольный момент диэлектрической

пластинки с толщиной d и площадью грани S PSdPVpV == с другойстороны SdqdpV σ== Отсюда P=σ

EEEEPEEE χε

χεεε

σ minus=minus=minus=minus= 00

00

00

00

Откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

εχ00

1EEE =

+=

Безразмерная величина EE01 =+= χε называется диэлектрической

проницаемостью среды Она характеризует способность диэлектриковполяризоваться в электрическом поле и показывает во сколько раз полеослабляется диэлектриком17 Электрическое смещение

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды(от ε ) Кроме того вектор напряженности E

r переходя через границу

диэлектриков претерпевает скачкообразное изменение поэтому для описания(непрерывного) электрического поля системы зарядов с учетомполяризационных свойств диэлектриков вводится вектор электрическогосмещения (электрической индукции) который для изотропной средызаписывается как

PEEEDrrrrr

+=+== 000 )1( εχεεεЕдиница электрического смещения mdash Клм2Вектор D

r описывает электростатическое поле создаваемое свободными

зарядами (те в вакууме) но при таком их распределении в пространстве какоеимеется при наличии диэлектрика

3ndash16

АНОгурцов Лекции по физике

Аналогично линиям напряженности можно ввести линии электрическогосмещения Через области поля где находятся связанные заряды линиивектора D

r проходят не прерываясь

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Dr

сквозь этуповерхность

int int==ΦS S

nD dSDdSDr

где nD ndash проекция вектора Dr

на нормаль nr к площадке dS Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике поток

вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов

sumint int=

==n

ii

S Sn qdSDdSD

1

r

Для непрерывного распределения заряда в пространстве с объемнойплотностью dVdq=ρ

int int=S V

dVdSD ρr

Другая форма записи этого соотношения с учетом определениядивергенции вектора (стр1-31)

ρ=Dr

div18 Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

При отсутствии на границе двух диэлектриков свободных зарядовциркуляция вектора E

r по контуру int =

ABCDA

dlE 0r

откуда 021 =minus lElE ττ Поэтому

21 ττ EE =Учитывая ED εε0=

2

1

2

1

εε

τ

τ =DD

По теореме Гаусса поток вектора Dr

черезцилиндр ничтожно малой высоты равен нулю (нетсвободных зарядов) 0=∆minus∆ prime SDSD nn поэтому

21 nn DD =

1

2

2

1

εε=

n

n

EE

Таким образом при переходе через границураздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора E

r

(Eτ) и нормальная составляющая вектора Dr

(Dn) изменяются непрерывно (непретерпевают скачка) а нормальная составляющая вектора E

r (En) и

тангенциальная составляющая вектора Dr

(Dτ) претерпевают скачок

3ndash17

Электричество

19 СегнетоэлектрикиСегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики у которых

в отсутствие внешнего электрического поля возникает самопроизвольнаяориентация дипольных электрических моментов составляющих его частиц

Примеры сегнетова соль NaKC4H4O6middot4H2Oтитанат бария BaTiO3

Сегнетоэлектрики состоят из доменов mdashобластей с различными направлениямиполяризованности

Температура выше которой исчезаютсегнетоэлектрические свойства mdash точка Кюри

Для сегнетоэлектриков связь между векторами Er

и Pr

нелинейная инаблюдается явление диэлектрического гистерезиса mdash сохраненияостаточной поляризованности при снятии внешнего поля

Пьезоэлектрики mdash кристаллические диэлектрики в которых при сжатииили растяжении возникает электрическая поляризация mdash прямой пьезоэффект

Обратный пьезоэффект mdash появление механической деформации поддействием электрического поля20 Проводники в электростатическом поле

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или егозарядить то на заряды проводника будет действовать электростатическоеполе в результате чего они начнут перемещаться до тех пор пока неустановится равновесное распределение зарядов при которомэлектростатическое поле внутри проводника обращается в нуль 0=E

r

Иначе если бы поле не было равно нулю то в проводнике возникло быупорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источникачто противоречит закону сохранения энергии

Следствия этого ( constE =rArr=minus= ϕϕ 0gradr

) потенциал во всех точках проводника одинаков поверхность проводника является эквипотенциальной вектор E

r направлен по нормали к каждой точке поверхности

При помещении нейтрального проводника во внешнее поле свободныезаряды (электроны и ионы) начнут перемещаться положительные mdash по полю а

отрицательные mdash против поля(рис(а)) На одном концепроводника будет избытокположительных зарядов надругом mdash отрицательных Этизаряды называютсяиндуцированными Процессбудет продолжаться до техпор пока напряженность поля

внутри проводника не станет равной нулю а линии напряженности внепроводника mdash перпендикулярными его поверхности (рис(б)) если проводнику сообщить некоторый заряд q то нескомпенсированныезаряды располагаются только на поверхности проводника причем σ=D и

Page 13: Лекции по физике. Электричество

3ndash20

АНОгурцов Лекции по физике

неподвижных точечных зарядов равна

sum=

=n

iiiqW

121 ϕ

где iϕ mdash потенциал создаваемый в той точке где находится заряд iq всеми зарядами кроме i -го25 Энергия заряженного уединенного проводника

Рассмотрим уединенный проводник заряд емкость и потенциал которогоравны ϕCq Элементарная работа dA совершаемая внешними силами попреодолению кулоновских сил отталкивания при перенесении заряда dq избесконечности на проводник равна ϕϕϕ dCdqdA == Чтобы зарядитьпроводник от нулевого потенциала до ϕ необходимо совершить работу

int ==ϕ ϕϕϕ0

2

2CdCA

Энергия заряженного уединенного проводника (используя ϕqC = )

222

22 ϕϕ qC

qCW ===

26 Энергия заряженного конденсатораЭлементарная работа внешних сил по перенесению малого заряда dq с

обкладки 2 конденсатора на обкладку 1

CqdqdqdA =∆= ϕ

Работа внешних сил при увеличении заряда конденсатора от 0 до q

int ==q

Cq

CqdqA

0

2

2

Энергия заряженного конденсатора (используя ϕ∆

= qC )

( )222

221

2 ϕϕϕ ∆=minus== qCC

qW

27 Энергия электростатического поляВ общем случае электрическую энергию любой системы

заряженных неподвижных тел mdash проводников и непроводников mdash можнонайти по формуле

intint +=VS

dVdSW ϕρϕσ21

21

где σ и ρ mdash поверхностная и объемная плотности свободных зарядов ϕ mdashпотенциал результирующего поля всех свободных и связанных зарядов вточках малых элементов dS и dV заряженных поверхностей и объемов

3ndash13

Электричество

По теореме Гаусса 0

3

0

2

344ερπ

επ rqEr ==

Отсюда для точек лежащих внутри шара ( )RrRr ltlt 21 с учетом 33

4 Rqπ

ρ =

03

0 34 ερ

πεr

RqrE == int minus==minus

2

1

)(8

21

223

021

r

r

rrR

qEdrπε

ϕϕ

6 Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен

равномерно с линейной плотностью dldq=τ

Линии напряженности будут направлены порадиусам круговых сечений цилиндра содинаковой густотой во все стороныотносительно оси цилиндра

В качестве Гауссовой поверхностивыберем цилиндр радиуса r и высотой lкоаксиальный с заряженной нитью

Торцы этого цилиндра параллельнылиниям напряженности поэтому поток черезних равен нулю

Поток через боковую поверхность равенrlE π2

По теореме Гаусса (при Rr gt ) 0

2ετπ lrlE = откуда при RrRr gtgt 21

rE τ

πε021=

1

2

0021 ln

22

2

1

2

1rr

rdrEdr

r

r

r

r πετ

πετϕϕ int int ===minus

Если Rr lt то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержитпоэтому 0=E 14 Электростатическое поле в диэлектрической среде

Диэлектриками называются вещества которые при обычных условияхпрактически не проводят электрический ток

Диэлектрик как и всякое другое вещество состоит из атомов или молекулкаждая из которых в целом электрически нейтральна

Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядомq+ находящимся в так сказать центре тяжести положительных зарядов а

заряд всех электронов mdash суммарным отрицательным зарядом qminus находя-щимся в центре тяжести отрицательных зарядов то молекулы можнорассматривать как электрические диполи с электрическим моментом

Различают три типа диэлектриков1) Диэлектрики с неполярными молекулами симметричные молекулы

которых в отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент(например N2 H2 O2 CO2)

3ndash14

АНОгурцов Лекции по физике

2) Диэлектрики с полярными молекулами молекулы которыхвследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (например H2ONH3 SO2 CO)

3) Ионные диэлектрики (например NaCl KCl) Ионные кристаллыпредставляют собой пространственные решетки с правильным чередованиемионов разных знаков

Внесение диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит квозникновению отличного от нуля результирующего электрического моментадиэлектрика

Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей илипоявления под воздействием электрического поля ориентированных по полюдиполей

Соответственно трем видам диэлектриков различают три видаполяризации

1) Электронная или деформационная поляризация диэлектрика снеполярными молекулами mdash за счет деформации электронных орбит возникает

индуцированный дипольный момент у атомов илимолекул диэлектрика

2) Ориентационная или дипольная по-ляризация диэлектрика с полярными молеку-лами mdash ориента-ция имеющихся

дипольных моментов молекул по полю (этаориентация тем сильнее чем больше напря-женность электрического поля и чем нижетемпература)

3) Ионная поляризация диэлектрика сионными кристаллическими решетками mdash смещение подрешеткиположительных ионов вдоль поля а отрицательных ионов против поляприводит к возникновению дипольных моментов15 Поляризованность

Поместим пластину из однородного диэлектрика во внешнееэлектрическое поле созданное двумя бесконечными параллельнымиразноименно заряженными плоскостями

Во внешнем электрическом поле диэлектрик объемом V поляризуетсяте приобретает дипольный момент sum=

iiV pp rr где minusipr дипольный момент

одной молекулыДля количественного описания поляризации диэлектрика используется

векторная величина mdash поляризованность mdash которая определяется какдипольный момент единицы объема диэлектрика

Vp

VpP i iV sum==

rrr

В случае изотропного диэлектрика поляризованность (для большинствадиэлектриков за исключением сегнетоэлектриков) линейно зависит отнапряженности внешнего поля

EPrr

0χε=

3ndash19

Электричество

1 Емкость плоского конденсатора (две параллельные металлическиепластины площадью S каждая расположенные на расстоянии d друг от

друга (Sq=σ ))

dS

dqqC εε

εεσϕ

0

0

==∆

=

2 Емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндрадлиной l с радиусами 1r и 2r )( lq=τ )

1

2

0

1

2

0ln

2

ln2 r

rl

rr

lq

qC επε

επε

==

3 Емкость сферического конденсатора (две концентрических сферы срадиусами 1r и 2r )

12

210

210

411

4rr

rr

rrq

qCminus

=

minus

= επε

επε

23 Соединения конденсаторовУ параллельно соединенных конденсаторов nCCC K21 разность

потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова ϕ∆ Полная емкость

sumsumsum

=

== =∆

∆=

∆=

∆=

n

ii

n

ii

n

ii

CCq

qC1

11

ϕ

ϕ

ϕϕ

У последовательно соединенных кон-денсаторов nCCC K21 заряды q всехобкладок равны по модулю а суммарнаяразность потенциалов

Cq

Cqn

i i

n

ii ==∆=∆ sumsum

== 11ϕϕ

откуда

sum=

=n

i iCC 1

11

24 Энергия системы неподвижных точечных зарядовДля системы двух зарядов 1q и 2q находящихся на расстоянии r друг от

друга каждый из них в поле другого обладает потенциальной энергией

22121

02

2

011211 4

14

1 Wqrqq

rqqqW ===== ϕ

πεπεϕ

Поэтому )( 21212121

212121 ϕϕϕϕ qqqqW +=== Добавляя последова-тельно по одному заряду получим что энергия взаимодействия системы n

3ndash18

АНОгурцов Лекции по физике

εεσ0

=E где σ mdash поверхностная плотность зарядов и ε mdash диэлектрическая

проницаемость среды окружающей проводникНейтральный проводник внесенный в электростатическое поле

разрывает часть линий напряженности они заканчиваются на отрицательныхиндуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных

Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхностипроводника Явление перераспределения поверхностных зарядов напроводнике во внешнем электростатическом поле называетсяэлектростатической индукцией21 Электроемкость

Рассмотрим уединенный проводник mdash проводник удаленный от другихтел и зарядов Из опыта следует что разные проводники будучи одинаковозаряженными имеют разные потенциалы

Физическая величина C равная отношению заряда проводника q к егопотенциалу ϕ называется электрической емкостью этого проводника

ϕqC =

Электроемкость уединенного проводника численно равна зарядукоторый нужно сообщить этому проводнику для того чтобы изменить егопотенциал на единицу

Она зависит от формы и размеров проводника и от диэлектрическихсвойств окружающей среды Емкости геометрически подобных проводниковпропорциональны их линейным размерам

Пример емкость уединенного проводящего шара RqC 04πεϕ==

Единица электроемкости mdash фарад (Ф) 1Ф mdash емкость такогоуединенного проводника потенциал которого изменяется на 1В при сообщенииему заряда 1Кл Емкостью 1Ф обладает шар с радиусом 6109 sdot=R км ЕмкостьЗемли 07мФ22 Конденсаторы

Если к проводнику с зарядом q приблизить другие тела то на ихповерхности возникнут индуцированные (на проводнике) или связанные (надиэлектрике) заряды Эти заряды ослабляют поле создаваемое зарядом q тем самым понижая потенциал проводника и повышая его электроемкость

Конденсатор mdash это система из двух проводников (обкладок) содинаковыми по модулю но противоположными по знаку зарядами форма ирасположение которых таковы что поле сосредоточено в узком зазоре междуобкладками

Емкость конденсатора mdash физическая величина равная отношениюзаряда q накопленного в конденсаторе к разности потенциалов 21 ϕϕ minus междуего обкладками

ϕ∆= qC

3ndash15

Электричество

где minusχ диэлектрическая восприимчивость вещества характеризующаясвойства диэлектрика (положительная безразмерная величина)16 Диэлектрическая проницаемость среды

Вследствие поляризации на поверхностидиэлектрика появляются нескомпенсированныезаряды которые называются связанными (в отличиеот свободных зарядов которые создают внешнееполе)

Поле Er

внутри диэлектрика создаваемоесвязанными зарядами направлено против внешнегополя 0E

r создаваемого свободными зарядами

Результирующее поле внутри диэлектрика0 EEE minus=

В нашем примере поле создаваемое двумябесконечно заряженными плоскостями с поверхностнойплотностью зарядов σ 0 εσ=E Поэтому

00 εσminus= EEПолный дипольный момент диэлектрической

пластинки с толщиной d и площадью грани S PSdPVpV == с другойстороны SdqdpV σ== Отсюда P=σ

EEEEPEEE χε

χεεε

σ minus=minus=minus=minus= 00

00

00

00

Откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

εχ00

1EEE =

+=

Безразмерная величина EE01 =+= χε называется диэлектрической

проницаемостью среды Она характеризует способность диэлектриковполяризоваться в электрическом поле и показывает во сколько раз полеослабляется диэлектриком17 Электрическое смещение

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды(от ε ) Кроме того вектор напряженности E

r переходя через границу

диэлектриков претерпевает скачкообразное изменение поэтому для описания(непрерывного) электрического поля системы зарядов с учетомполяризационных свойств диэлектриков вводится вектор электрическогосмещения (электрической индукции) который для изотропной средызаписывается как

PEEEDrrrrr

+=+== 000 )1( εχεεεЕдиница электрического смещения mdash Клм2Вектор D

r описывает электростатическое поле создаваемое свободными

зарядами (те в вакууме) но при таком их распределении в пространстве какоеимеется при наличии диэлектрика

3ndash16

АНОгурцов Лекции по физике

Аналогично линиям напряженности можно ввести линии электрическогосмещения Через области поля где находятся связанные заряды линиивектора D

r проходят не прерываясь

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Dr

сквозь этуповерхность

int int==ΦS S

nD dSDdSDr

где nD ndash проекция вектора Dr

на нормаль nr к площадке dS Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике поток

вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов

sumint int=

==n

ii

S Sn qdSDdSD

1

r

Для непрерывного распределения заряда в пространстве с объемнойплотностью dVdq=ρ

int int=S V

dVdSD ρr

Другая форма записи этого соотношения с учетом определениядивергенции вектора (стр1-31)

ρ=Dr

div18 Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

При отсутствии на границе двух диэлектриков свободных зарядовциркуляция вектора E

r по контуру int =

ABCDA

dlE 0r

откуда 021 =minus lElE ττ Поэтому

21 ττ EE =Учитывая ED εε0=

2

1

2

1

εε

τ

τ =DD

По теореме Гаусса поток вектора Dr

черезцилиндр ничтожно малой высоты равен нулю (нетсвободных зарядов) 0=∆minus∆ prime SDSD nn поэтому

21 nn DD =

1

2

2

1

εε=

n

n

EE

Таким образом при переходе через границураздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора E

r

(Eτ) и нормальная составляющая вектора Dr

(Dn) изменяются непрерывно (непретерпевают скачка) а нормальная составляющая вектора E

r (En) и

тангенциальная составляющая вектора Dr

(Dτ) претерпевают скачок

3ndash17

Электричество

19 СегнетоэлектрикиСегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики у которых

в отсутствие внешнего электрического поля возникает самопроизвольнаяориентация дипольных электрических моментов составляющих его частиц

Примеры сегнетова соль NaKC4H4O6middot4H2Oтитанат бария BaTiO3

Сегнетоэлектрики состоят из доменов mdashобластей с различными направлениямиполяризованности

Температура выше которой исчезаютсегнетоэлектрические свойства mdash точка Кюри

Для сегнетоэлектриков связь между векторами Er

и Pr

нелинейная инаблюдается явление диэлектрического гистерезиса mdash сохраненияостаточной поляризованности при снятии внешнего поля

Пьезоэлектрики mdash кристаллические диэлектрики в которых при сжатииили растяжении возникает электрическая поляризация mdash прямой пьезоэффект

Обратный пьезоэффект mdash появление механической деформации поддействием электрического поля20 Проводники в электростатическом поле

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или егозарядить то на заряды проводника будет действовать электростатическоеполе в результате чего они начнут перемещаться до тех пор пока неустановится равновесное распределение зарядов при которомэлектростатическое поле внутри проводника обращается в нуль 0=E

r

Иначе если бы поле не было равно нулю то в проводнике возникло быупорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источникачто противоречит закону сохранения энергии

Следствия этого ( constE =rArr=minus= ϕϕ 0gradr

) потенциал во всех точках проводника одинаков поверхность проводника является эквипотенциальной вектор E

r направлен по нормали к каждой точке поверхности

При помещении нейтрального проводника во внешнее поле свободныезаряды (электроны и ионы) начнут перемещаться положительные mdash по полю а

отрицательные mdash против поля(рис(а)) На одном концепроводника будет избытокположительных зарядов надругом mdash отрицательных Этизаряды называютсяиндуцированными Процессбудет продолжаться до техпор пока напряженность поля

внутри проводника не станет равной нулю а линии напряженности внепроводника mdash перпендикулярными его поверхности (рис(б)) если проводнику сообщить некоторый заряд q то нескомпенсированныезаряды располагаются только на поверхности проводника причем σ=D и

Page 14: Лекции по физике. Электричество

3ndash14

АНОгурцов Лекции по физике

2) Диэлектрики с полярными молекулами молекулы которыхвследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (например H2ONH3 SO2 CO)

3) Ионные диэлектрики (например NaCl KCl) Ионные кристаллыпредставляют собой пространственные решетки с правильным чередованиемионов разных знаков

Внесение диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит квозникновению отличного от нуля результирующего электрического моментадиэлектрика

Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей илипоявления под воздействием электрического поля ориентированных по полюдиполей

Соответственно трем видам диэлектриков различают три видаполяризации

1) Электронная или деформационная поляризация диэлектрика снеполярными молекулами mdash за счет деформации электронных орбит возникает

индуцированный дипольный момент у атомов илимолекул диэлектрика

2) Ориентационная или дипольная по-ляризация диэлектрика с полярными молеку-лами mdash ориента-ция имеющихся

дипольных моментов молекул по полю (этаориентация тем сильнее чем больше напря-женность электрического поля и чем нижетемпература)

3) Ионная поляризация диэлектрика сионными кристаллическими решетками mdash смещение подрешеткиположительных ионов вдоль поля а отрицательных ионов против поляприводит к возникновению дипольных моментов15 Поляризованность

Поместим пластину из однородного диэлектрика во внешнееэлектрическое поле созданное двумя бесконечными параллельнымиразноименно заряженными плоскостями

Во внешнем электрическом поле диэлектрик объемом V поляризуетсяте приобретает дипольный момент sum=

iiV pp rr где minusipr дипольный момент

одной молекулыДля количественного описания поляризации диэлектрика используется

векторная величина mdash поляризованность mdash которая определяется какдипольный момент единицы объема диэлектрика

Vp

VpP i iV sum==

rrr

В случае изотропного диэлектрика поляризованность (для большинствадиэлектриков за исключением сегнетоэлектриков) линейно зависит отнапряженности внешнего поля

EPrr

0χε=

3ndash19

Электричество

1 Емкость плоского конденсатора (две параллельные металлическиепластины площадью S каждая расположенные на расстоянии d друг от

друга (Sq=σ ))

dS

dqqC εε

εεσϕ

0

0

==∆

=

2 Емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндрадлиной l с радиусами 1r и 2r )( lq=τ )

1

2

0

1

2

0ln

2

ln2 r

rl

rr

lq

qC επε

επε

==

3 Емкость сферического конденсатора (две концентрических сферы срадиусами 1r и 2r )

12

210

210

411

4rr

rr

rrq

qCminus

=

minus

= επε

επε

23 Соединения конденсаторовУ параллельно соединенных конденсаторов nCCC K21 разность

потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова ϕ∆ Полная емкость

sumsumsum

=

== =∆

∆=

∆=

∆=

n

ii

n

ii

n

ii

CCq

qC1

11

ϕ

ϕ

ϕϕ

У последовательно соединенных кон-денсаторов nCCC K21 заряды q всехобкладок равны по модулю а суммарнаяразность потенциалов

Cq

Cqn

i i

n

ii ==∆=∆ sumsum

== 11ϕϕ

откуда

sum=

=n

i iCC 1

11

24 Энергия системы неподвижных точечных зарядовДля системы двух зарядов 1q и 2q находящихся на расстоянии r друг от

друга каждый из них в поле другого обладает потенциальной энергией

22121

02

2

011211 4

14

1 Wqrqq

rqqqW ===== ϕ

πεπεϕ

Поэтому )( 21212121

212121 ϕϕϕϕ qqqqW +=== Добавляя последова-тельно по одному заряду получим что энергия взаимодействия системы n

3ndash18

АНОгурцов Лекции по физике

εεσ0

=E где σ mdash поверхностная плотность зарядов и ε mdash диэлектрическая

проницаемость среды окружающей проводникНейтральный проводник внесенный в электростатическое поле

разрывает часть линий напряженности они заканчиваются на отрицательныхиндуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных

Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхностипроводника Явление перераспределения поверхностных зарядов напроводнике во внешнем электростатическом поле называетсяэлектростатической индукцией21 Электроемкость

Рассмотрим уединенный проводник mdash проводник удаленный от другихтел и зарядов Из опыта следует что разные проводники будучи одинаковозаряженными имеют разные потенциалы

Физическая величина C равная отношению заряда проводника q к егопотенциалу ϕ называется электрической емкостью этого проводника

ϕqC =

Электроемкость уединенного проводника численно равна зарядукоторый нужно сообщить этому проводнику для того чтобы изменить егопотенциал на единицу

Она зависит от формы и размеров проводника и от диэлектрическихсвойств окружающей среды Емкости геометрически подобных проводниковпропорциональны их линейным размерам

Пример емкость уединенного проводящего шара RqC 04πεϕ==

Единица электроемкости mdash фарад (Ф) 1Ф mdash емкость такогоуединенного проводника потенциал которого изменяется на 1В при сообщенииему заряда 1Кл Емкостью 1Ф обладает шар с радиусом 6109 sdot=R км ЕмкостьЗемли 07мФ22 Конденсаторы

Если к проводнику с зарядом q приблизить другие тела то на ихповерхности возникнут индуцированные (на проводнике) или связанные (надиэлектрике) заряды Эти заряды ослабляют поле создаваемое зарядом q тем самым понижая потенциал проводника и повышая его электроемкость

Конденсатор mdash это система из двух проводников (обкладок) содинаковыми по модулю но противоположными по знаку зарядами форма ирасположение которых таковы что поле сосредоточено в узком зазоре междуобкладками

Емкость конденсатора mdash физическая величина равная отношениюзаряда q накопленного в конденсаторе к разности потенциалов 21 ϕϕ minus междуего обкладками

ϕ∆= qC

3ndash15

Электричество

где minusχ диэлектрическая восприимчивость вещества характеризующаясвойства диэлектрика (положительная безразмерная величина)16 Диэлектрическая проницаемость среды

Вследствие поляризации на поверхностидиэлектрика появляются нескомпенсированныезаряды которые называются связанными (в отличиеот свободных зарядов которые создают внешнееполе)

Поле Er

внутри диэлектрика создаваемоесвязанными зарядами направлено против внешнегополя 0E

r создаваемого свободными зарядами

Результирующее поле внутри диэлектрика0 EEE minus=

В нашем примере поле создаваемое двумябесконечно заряженными плоскостями с поверхностнойплотностью зарядов σ 0 εσ=E Поэтому

00 εσminus= EEПолный дипольный момент диэлектрической

пластинки с толщиной d и площадью грани S PSdPVpV == с другойстороны SdqdpV σ== Отсюда P=σ

EEEEPEEE χε

χεεε

σ minus=minus=minus=minus= 00

00

00

00

Откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

εχ00

1EEE =

+=

Безразмерная величина EE01 =+= χε называется диэлектрической

проницаемостью среды Она характеризует способность диэлектриковполяризоваться в электрическом поле и показывает во сколько раз полеослабляется диэлектриком17 Электрическое смещение

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды(от ε ) Кроме того вектор напряженности E

r переходя через границу

диэлектриков претерпевает скачкообразное изменение поэтому для описания(непрерывного) электрического поля системы зарядов с учетомполяризационных свойств диэлектриков вводится вектор электрическогосмещения (электрической индукции) который для изотропной средызаписывается как

PEEEDrrrrr

+=+== 000 )1( εχεεεЕдиница электрического смещения mdash Клм2Вектор D

r описывает электростатическое поле создаваемое свободными

зарядами (те в вакууме) но при таком их распределении в пространстве какоеимеется при наличии диэлектрика

3ndash16

АНОгурцов Лекции по физике

Аналогично линиям напряженности можно ввести линии электрическогосмещения Через области поля где находятся связанные заряды линиивектора D

r проходят не прерываясь

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Dr

сквозь этуповерхность

int int==ΦS S

nD dSDdSDr

где nD ndash проекция вектора Dr

на нормаль nr к площадке dS Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике поток

вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов

sumint int=

==n

ii

S Sn qdSDdSD

1

r

Для непрерывного распределения заряда в пространстве с объемнойплотностью dVdq=ρ

int int=S V

dVdSD ρr

Другая форма записи этого соотношения с учетом определениядивергенции вектора (стр1-31)

ρ=Dr

div18 Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

При отсутствии на границе двух диэлектриков свободных зарядовциркуляция вектора E

r по контуру int =

ABCDA

dlE 0r

откуда 021 =minus lElE ττ Поэтому

21 ττ EE =Учитывая ED εε0=

2

1

2

1

εε

τ

τ =DD

По теореме Гаусса поток вектора Dr

черезцилиндр ничтожно малой высоты равен нулю (нетсвободных зарядов) 0=∆minus∆ prime SDSD nn поэтому

21 nn DD =

1

2

2

1

εε=

n

n

EE

Таким образом при переходе через границураздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора E

r

(Eτ) и нормальная составляющая вектора Dr

(Dn) изменяются непрерывно (непретерпевают скачка) а нормальная составляющая вектора E

r (En) и

тангенциальная составляющая вектора Dr

(Dτ) претерпевают скачок

3ndash17

Электричество

19 СегнетоэлектрикиСегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики у которых

в отсутствие внешнего электрического поля возникает самопроизвольнаяориентация дипольных электрических моментов составляющих его частиц

Примеры сегнетова соль NaKC4H4O6middot4H2Oтитанат бария BaTiO3

Сегнетоэлектрики состоят из доменов mdashобластей с различными направлениямиполяризованности

Температура выше которой исчезаютсегнетоэлектрические свойства mdash точка Кюри

Для сегнетоэлектриков связь между векторами Er

и Pr

нелинейная инаблюдается явление диэлектрического гистерезиса mdash сохраненияостаточной поляризованности при снятии внешнего поля

Пьезоэлектрики mdash кристаллические диэлектрики в которых при сжатииили растяжении возникает электрическая поляризация mdash прямой пьезоэффект

Обратный пьезоэффект mdash появление механической деформации поддействием электрического поля20 Проводники в электростатическом поле

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или егозарядить то на заряды проводника будет действовать электростатическоеполе в результате чего они начнут перемещаться до тех пор пока неустановится равновесное распределение зарядов при которомэлектростатическое поле внутри проводника обращается в нуль 0=E

r

Иначе если бы поле не было равно нулю то в проводнике возникло быупорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источникачто противоречит закону сохранения энергии

Следствия этого ( constE =rArr=minus= ϕϕ 0gradr

) потенциал во всех точках проводника одинаков поверхность проводника является эквипотенциальной вектор E

r направлен по нормали к каждой точке поверхности

При помещении нейтрального проводника во внешнее поле свободныезаряды (электроны и ионы) начнут перемещаться положительные mdash по полю а

отрицательные mdash против поля(рис(а)) На одном концепроводника будет избытокположительных зарядов надругом mdash отрицательных Этизаряды называютсяиндуцированными Процессбудет продолжаться до техпор пока напряженность поля

внутри проводника не станет равной нулю а линии напряженности внепроводника mdash перпендикулярными его поверхности (рис(б)) если проводнику сообщить некоторый заряд q то нескомпенсированныезаряды располагаются только на поверхности проводника причем σ=D и

Page 15: Лекции по физике. Электричество

3ndash18

АНОгурцов Лекции по физике

εεσ0

=E где σ mdash поверхностная плотность зарядов и ε mdash диэлектрическая

проницаемость среды окружающей проводникНейтральный проводник внесенный в электростатическое поле

разрывает часть линий напряженности они заканчиваются на отрицательныхиндуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных

Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхностипроводника Явление перераспределения поверхностных зарядов напроводнике во внешнем электростатическом поле называетсяэлектростатической индукцией21 Электроемкость

Рассмотрим уединенный проводник mdash проводник удаленный от другихтел и зарядов Из опыта следует что разные проводники будучи одинаковозаряженными имеют разные потенциалы

Физическая величина C равная отношению заряда проводника q к егопотенциалу ϕ называется электрической емкостью этого проводника

ϕqC =

Электроемкость уединенного проводника численно равна зарядукоторый нужно сообщить этому проводнику для того чтобы изменить егопотенциал на единицу

Она зависит от формы и размеров проводника и от диэлектрическихсвойств окружающей среды Емкости геометрически подобных проводниковпропорциональны их линейным размерам

Пример емкость уединенного проводящего шара RqC 04πεϕ==

Единица электроемкости mdash фарад (Ф) 1Ф mdash емкость такогоуединенного проводника потенциал которого изменяется на 1В при сообщенииему заряда 1Кл Емкостью 1Ф обладает шар с радиусом 6109 sdot=R км ЕмкостьЗемли 07мФ22 Конденсаторы

Если к проводнику с зарядом q приблизить другие тела то на ихповерхности возникнут индуцированные (на проводнике) или связанные (надиэлектрике) заряды Эти заряды ослабляют поле создаваемое зарядом q тем самым понижая потенциал проводника и повышая его электроемкость

Конденсатор mdash это система из двух проводников (обкладок) содинаковыми по модулю но противоположными по знаку зарядами форма ирасположение которых таковы что поле сосредоточено в узком зазоре междуобкладками

Емкость конденсатора mdash физическая величина равная отношениюзаряда q накопленного в конденсаторе к разности потенциалов 21 ϕϕ minus междуего обкладками

ϕ∆= qC

3ndash15

Электричество

где minusχ диэлектрическая восприимчивость вещества характеризующаясвойства диэлектрика (положительная безразмерная величина)16 Диэлектрическая проницаемость среды

Вследствие поляризации на поверхностидиэлектрика появляются нескомпенсированныезаряды которые называются связанными (в отличиеот свободных зарядов которые создают внешнееполе)

Поле Er

внутри диэлектрика создаваемоесвязанными зарядами направлено против внешнегополя 0E

r создаваемого свободными зарядами

Результирующее поле внутри диэлектрика0 EEE minus=

В нашем примере поле создаваемое двумябесконечно заряженными плоскостями с поверхностнойплотностью зарядов σ 0 εσ=E Поэтому

00 εσminus= EEПолный дипольный момент диэлектрической

пластинки с толщиной d и площадью грани S PSdPVpV == с другойстороны SdqdpV σ== Отсюда P=σ

EEEEPEEE χε

χεεε

σ minus=minus=minus=minus= 00

00

00

00

Откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

εχ00

1EEE =

+=

Безразмерная величина EE01 =+= χε называется диэлектрической

проницаемостью среды Она характеризует способность диэлектриковполяризоваться в электрическом поле и показывает во сколько раз полеослабляется диэлектриком17 Электрическое смещение

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды(от ε ) Кроме того вектор напряженности E

r переходя через границу

диэлектриков претерпевает скачкообразное изменение поэтому для описания(непрерывного) электрического поля системы зарядов с учетомполяризационных свойств диэлектриков вводится вектор электрическогосмещения (электрической индукции) который для изотропной средызаписывается как

PEEEDrrrrr

+=+== 000 )1( εχεεεЕдиница электрического смещения mdash Клм2Вектор D

r описывает электростатическое поле создаваемое свободными

зарядами (те в вакууме) но при таком их распределении в пространстве какоеимеется при наличии диэлектрика

3ndash16

АНОгурцов Лекции по физике

Аналогично линиям напряженности можно ввести линии электрическогосмещения Через области поля где находятся связанные заряды линиивектора D

r проходят не прерываясь

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Dr

сквозь этуповерхность

int int==ΦS S

nD dSDdSDr

где nD ndash проекция вектора Dr

на нормаль nr к площадке dS Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике поток

вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов

sumint int=

==n

ii

S Sn qdSDdSD

1

r

Для непрерывного распределения заряда в пространстве с объемнойплотностью dVdq=ρ

int int=S V

dVdSD ρr

Другая форма записи этого соотношения с учетом определениядивергенции вектора (стр1-31)

ρ=Dr

div18 Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

При отсутствии на границе двух диэлектриков свободных зарядовциркуляция вектора E

r по контуру int =

ABCDA

dlE 0r

откуда 021 =minus lElE ττ Поэтому

21 ττ EE =Учитывая ED εε0=

2

1

2

1

εε

τ

τ =DD

По теореме Гаусса поток вектора Dr

черезцилиндр ничтожно малой высоты равен нулю (нетсвободных зарядов) 0=∆minus∆ prime SDSD nn поэтому

21 nn DD =

1

2

2

1

εε=

n

n

EE

Таким образом при переходе через границураздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора E

r

(Eτ) и нормальная составляющая вектора Dr

(Dn) изменяются непрерывно (непретерпевают скачка) а нормальная составляющая вектора E

r (En) и

тангенциальная составляющая вектора Dr

(Dτ) претерпевают скачок

3ndash17

Электричество

19 СегнетоэлектрикиСегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики у которых

в отсутствие внешнего электрического поля возникает самопроизвольнаяориентация дипольных электрических моментов составляющих его частиц

Примеры сегнетова соль NaKC4H4O6middot4H2Oтитанат бария BaTiO3

Сегнетоэлектрики состоят из доменов mdashобластей с различными направлениямиполяризованности

Температура выше которой исчезаютсегнетоэлектрические свойства mdash точка Кюри

Для сегнетоэлектриков связь между векторами Er

и Pr

нелинейная инаблюдается явление диэлектрического гистерезиса mdash сохраненияостаточной поляризованности при снятии внешнего поля

Пьезоэлектрики mdash кристаллические диэлектрики в которых при сжатииили растяжении возникает электрическая поляризация mdash прямой пьезоэффект

Обратный пьезоэффект mdash появление механической деформации поддействием электрического поля20 Проводники в электростатическом поле

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или егозарядить то на заряды проводника будет действовать электростатическоеполе в результате чего они начнут перемещаться до тех пор пока неустановится равновесное распределение зарядов при которомэлектростатическое поле внутри проводника обращается в нуль 0=E

r

Иначе если бы поле не было равно нулю то в проводнике возникло быупорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источникачто противоречит закону сохранения энергии

Следствия этого ( constE =rArr=minus= ϕϕ 0gradr

) потенциал во всех точках проводника одинаков поверхность проводника является эквипотенциальной вектор E

r направлен по нормали к каждой точке поверхности

При помещении нейтрального проводника во внешнее поле свободныезаряды (электроны и ионы) начнут перемещаться положительные mdash по полю а

отрицательные mdash против поля(рис(а)) На одном концепроводника будет избытокположительных зарядов надругом mdash отрицательных Этизаряды называютсяиндуцированными Процессбудет продолжаться до техпор пока напряженность поля

внутри проводника не станет равной нулю а линии напряженности внепроводника mdash перпендикулярными его поверхности (рис(б)) если проводнику сообщить некоторый заряд q то нескомпенсированныезаряды располагаются только на поверхности проводника причем σ=D и

Page 16: Лекции по физике. Электричество

3ndash16

АНОгурцов Лекции по физике

Аналогично линиям напряженности можно ввести линии электрическогосмещения Через области поля где находятся связанные заряды линиивектора D

r проходят не прерываясь

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Dr

сквозь этуповерхность

int int==ΦS S

nD dSDdSDr

где nD ndash проекция вектора Dr

на нормаль nr к площадке dS Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике поток

вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов

sumint int=

==n

ii

S Sn qdSDdSD

1

r

Для непрерывного распределения заряда в пространстве с объемнойплотностью dVdq=ρ

int int=S V

dVdSD ρr

Другая форма записи этого соотношения с учетом определениядивергенции вектора (стр1-31)

ρ=Dr

div18 Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

При отсутствии на границе двух диэлектриков свободных зарядовциркуляция вектора E

r по контуру int =

ABCDA

dlE 0r

откуда 021 =minus lElE ττ Поэтому

21 ττ EE =Учитывая ED εε0=

2

1

2

1

εε

τ

τ =DD

По теореме Гаусса поток вектора Dr

черезцилиндр ничтожно малой высоты равен нулю (нетсвободных зарядов) 0=∆minus∆ prime SDSD nn поэтому

21 nn DD =

1

2

2

1

εε=

n

n

EE

Таким образом при переходе через границураздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора E

r

(Eτ) и нормальная составляющая вектора Dr

(Dn) изменяются непрерывно (непретерпевают скачка) а нормальная составляющая вектора E

r (En) и

тангенциальная составляющая вектора Dr

(Dτ) претерпевают скачок

3ndash17

Электричество

19 СегнетоэлектрикиСегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики у которых

в отсутствие внешнего электрического поля возникает самопроизвольнаяориентация дипольных электрических моментов составляющих его частиц

Примеры сегнетова соль NaKC4H4O6middot4H2Oтитанат бария BaTiO3

Сегнетоэлектрики состоят из доменов mdashобластей с различными направлениямиполяризованности

Температура выше которой исчезаютсегнетоэлектрические свойства mdash точка Кюри

Для сегнетоэлектриков связь между векторами Er

и Pr

нелинейная инаблюдается явление диэлектрического гистерезиса mdash сохраненияостаточной поляризованности при снятии внешнего поля

Пьезоэлектрики mdash кристаллические диэлектрики в которых при сжатииили растяжении возникает электрическая поляризация mdash прямой пьезоэффект

Обратный пьезоэффект mdash появление механической деформации поддействием электрического поля20 Проводники в электростатическом поле

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или егозарядить то на заряды проводника будет действовать электростатическоеполе в результате чего они начнут перемещаться до тех пор пока неустановится равновесное распределение зарядов при которомэлектростатическое поле внутри проводника обращается в нуль 0=E

r

Иначе если бы поле не было равно нулю то в проводнике возникло быупорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источникачто противоречит закону сохранения энергии

Следствия этого ( constE =rArr=minus= ϕϕ 0gradr

) потенциал во всех точках проводника одинаков поверхность проводника является эквипотенциальной вектор E

r направлен по нормали к каждой точке поверхности

При помещении нейтрального проводника во внешнее поле свободныезаряды (электроны и ионы) начнут перемещаться положительные mdash по полю а

отрицательные mdash против поля(рис(а)) На одном концепроводника будет избытокположительных зарядов надругом mdash отрицательных Этизаряды называютсяиндуцированными Процессбудет продолжаться до техпор пока напряженность поля

внутри проводника не станет равной нулю а линии напряженности внепроводника mdash перпендикулярными его поверхности (рис(б)) если проводнику сообщить некоторый заряд q то нескомпенсированныезаряды располагаются только на поверхности проводника причем σ=D и