ルート５をつくる #日曜数学会
TRANSCRIPT
をつくる
⽇曜数学者 @tsujimotter こと 辻順平 http://tsujimotter.info
p5 = e
2⇡i5 - e
4⇡i5 - e
6⇡i5 + e
8⇡i5
p5 = e
2⇡i5 - e
4⇡i5 - e
6⇡i5 + e
8⇡i5
1
じつぶ
きょぶ
じつぶ
きょぶ
2⇡
5
円の 5-分点
じつぶ
きょぶ
2⇡
5
円の 5-分点
⇣5 = cos
2⇡
5+ i sin
2⇡
5
じつぶ
きょぶ
⾼校で習うよ！
2⇡
5
cos ✓+ i sin ✓ = ei✓
オイラーの公式⼤学で習うよ！
じつぶ
きょぶ ⇣5 = e2⇡i5
2⇡
5
じつぶ
きょぶ
⇣25 = e4⇡i5
⇣35 = e6⇡i5
⇣55 = 1
⇣45 = e8⇡i5
⇣5 = e2⇡i5
2⇡
5
e2⇡i5 + e
4⇡i5 + e
6⇡i5 + e
8⇡i5 + 1 = 0
の作り⽅p5 = e
2⇡i5 - e
4⇡i5 - e
6⇡i5 + e
8⇡i5
・・・でしたね
じつぶ
きょぶ
⇣45 = e8⇡i5
↵ = ⇣15 + ⇣45
⇣5 = e2⇡i5
じつぶ
きょぶ
↵ = ⇣15 + ⇣45� = ⇣25 + ⇣35
⇣25 = e4⇡i5
⇣35 = e6⇡i5
じつぶ
きょぶ
↵ = ⇣15 + ⇣45� = ⇣25 + ⇣35
じつぶ
きょぶ
↵ = ⇣15 + ⇣45� = ⇣25 + ⇣35
p5 = ↵- � = (⇣15 + ⇣45)- (⇣25 + ⇣35)
じつぶ
きょぶ
↵ = ⇣15 + ⇣45� = ⇣25 + ⇣35
p5 = e
2⇡i5 - e
4⇡i5 - e
6⇡i5 + e
8⇡i5
？？？なひとへ• Q. ⾚⾊の点と⻘⾊の点はどうやって決まるの？
• Q. なんでこんなことが起こるの？
• Q. 何が⾯⽩いの？
Q. ⾚⾊の点と⻘⾊の点はどうやって決まるの？
A. 平⽅剰余と関係があります
12
34
12 ≡ 1 mod 5
22 ≡ 4 mod 5
(5 の)
平⽅剰余
x2 ≡ 2 mod 5
x2 ≡ 3 mod 5
(5 の)
平⽅⾮剰余
数学科の⼈は習うかも
Σ円の 5 分点「５の平⽅剰余」になる数
ー Σ円の 5 分点「５の平⽅⾮剰余」になる数
＝ √５
ガウス和
Σ円の p 分点「 p の平⽅剰余」になる数
ー Σ円の p 分点「 p の平⽅⾮剰余」になる数
＝ √ p*
ガウス和⼀般に素数 p に対して
ただし， p ≡ 1 mod 4 のとき p* = p
p ≡ 3 mod 4 のとき p* = p
Q. なんでそんなことが起こるの？ A. 不思議だね
Q. 何が⾯⽩いの？ A. 良い質問です！！！
レベルが上がります
3+ 2p5 = 3+ 2
�⇣5 - ⇣25 - ⇣35 + ⇣45
�
3+ 2p5 = 3+ 2⇣5 - 2⇣25 - 2⇣35 + 2⇣45
Q(p5) ⇢ Q(⇣5)
は でかけるa0 + a1⇣5 + a2⇣25 + a3⇣
35 + a4⇣
45a+ b
p5
意訳：
Q上の⼆次拡⼤体は円分体に含まれる
Q(⇣5)
Q(p5)
Q
[
[
Q上の⼆次拡⼤体は円分体に含まれる
円分体
クロネッカー・ウェーバーの定理
Q上の任意のアーベル拡⼤は円分体に含まれる
see “類対論”
二次拡大体
の世界の世界Q Q(p-1)
4 で割って 1 あまる素数 29 = (5+ 2p-1)(5- 2
p-1)
4 で割って 3 あまる素数 31 = 31 =
29 は で完全分解するQ(p-1)
see “類対論”
Q[ [
Q(p-1)
{1, 3}
{1}
完全分解する素数体の拡⼤
see “類対論”
Q
[
[
Q(p-7)
Q(⇣7)
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
{1, 2, 4}
{1}
[
[
完全分解する素数体の拡⼤
see “類対論”
Q
[
[
Q(p-7)
Q(⇣7)
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
{1, 2, 4}
{1}
[
[
完全分解する素数体の拡⼤ ガロア群
{�1,�2,�3,�4,�5,�6}
{�1,�2,�4}
{�1}
[
[
see “類対論”
Q(p-7)
p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7)
素数 は で完全分解するp
であるような
29 = (1+ 2p-7)(1- 2
p-7)
Q Q(p-7) の世界の世界
53 = (5+ 2p-7)(5- 2
p-7)
7 で割って 1 あまる素数
7 で割って 4 あまる素数
see “類対論”
はつくれる！
（ガウス和で）
p5 = e
2⇡i5 - e
4⇡i5 - e
6⇡i5 + e
8⇡i5
結論
このあたりの分野は超楽しいので
⼀緒に勉強しましょう！（わかりやすい教科書ちょうほしい）
参考
e2⇡i5 = sin
2⇡
5+ i sin
2⇡
5=
-1+p5
4+ i
p10+ 2
p5
4
e8⇡i5 = sin
8⇡
5+ i sin
8⇡
5=
-1+p5
4- i
p10+ 2
p5
4