ベルヌーイ数を割る素数 - 第４回 #日曜数学会
TRANSCRIPT
Bp-3 ⌘ 0 (m
o
d p) =) p | h(Q(⇣p))=) p | hQ(⇣p)
Wolstenholme prime ベルヌーイ数を割る素数
日曜数学者 辻順平＠tsujimotter
2016/01/30 第４回日曜数学会
ベルヌーイ数 2
13 + 23 + 33 + · · ·+ n3
12 + 22 + 32 + · · ·+ n2
=1
2n2 +
1
2n12 + 22 + 32 + · · ·+ n2
=1
3n3 +
1
2n2 +
1
6n
=1
4n4 +
1
2n3 +
1
4n2 + 0 · n
14 + 24 + 34 + · · ·+ n4 =1
5n5 +
1
2n4 +
1
3n3 + 0 · n2 -
1
30n
べき乗和の公式
n1の項に
登場する数
3
4
B0 = 1, B1 =1
2, B2 =
1
6, B3 = 0, B4 = -
1
30, · · ·
B0 = 1, B1 =1
2, B2 =
1
6, B3 = 0, B4 = -
1
30, · · ·
B0 = 1, B1 =1
2, B2 =
1
6, B3 = 0, B4 = -
1
30, · · ·
B0 = 1, B1 =1
2, B2 =
1
6, B3 = 0, B4 = -
1
30, · · ·
B0 = 1, B1 =1
2, B2 =
1
6, B3 = 0, B4 = -
1
30, · · ·
ベルヌーイ数
• 辻の日曜数学のきっかけ （tsujimotterのノートブック（旧版）最初のネタ）
• 整数論において超重要な数
5
非正則素数
の分子に現れる数の素因数のこと
B2
2,B4
4,B6
6, · · ·
6
B2
2= 1
の分子 B4
4
B6
6
B8
8
B10
10
B12
12
B14
14
B16
16
B18
18
B20
20
の分子
= 1
の分子
の分子
の分子
の分子
の分子
の分子
= 1の分子
の分子 = -283⇥ 617
= 43867
= -3617
= -1
= -691
= 1
= -1
7
B2
2= 1
の分子 B4
4
B6
6
B8
8
B10
10
B12
12
B14
14
B16
16
B18
18
B20
20
の分子
= 1
の分子
の分子
の分子
の分子
の分子
の分子
= 1の分子
の分子 = -283⇥ 617
= 43867
= -3617
= -1
= -691
= 1
= -1
8
非正則素数
ただし、右辺の合同記号は注意が必要
m ⌘ n (mod (p- 1)) =) Bm
m⌘ Bn
n(mod p)
クンマーの合同式
m ⌘ n (mod (p- 1)) =) Bm
m⌘ Bn
n(mod p)
9
非正則素数の言い換え
の分子のうち、
いずれか１つを割り切る素数 のこと
=)
p
B2
2,B4
4,B6
6, · · · , Bp-3
p- 3
10
B2
2,B4
4,B6
6, · · · , Bp-3
p- 3
非正則素数の言い換え =)Wolstenholme prime
の分子のうち、
いずれか１つを割り切る素数 のこと p11
Wolstenholmeprime(byMathWorld)
• The only known Wolstenholme primes are 16843 and 2124679 (OEIS A088164).
• There are no others up to 109 (McIntosh 2004).
３つめを見つけたらすごい！ 12
13
見つけたい！
ベルヌーイ数の分子を計算する２つの方法
• ゼータとベルヌーイ数の関係を用いる方法 [1]
• パスカルの逆三角形を用いる方法 [2]
14
Dm =Y
(p-1)|m
p
フォン・シュタウト＝クラウゼンの定理
Bmの分母 分母ならまかせろ！ 15
2⇣(2m) =(-1)m+1(2⇡)2m
(2m)!B2m
ベルヌーイ数の分子の桁数分の精度を保証しつつ計算する必要
ゼータとベルヌーイ数の関係
16
ベルヌーイ数
の
分子の桁数
Bm
m
桁数のオーダーは 線形っぽい
17
（精度の保証が）
けっこう大変 18
パスカルの逆三角形
11
2
1
3
1
4
1
2
1
3
1
4
1
6
1
6 19
メモリ 食い過ぎ
20
まとめ • どちらの方法も m = 109 にはほど遠い
（Ruby により 103 から 104 程度までは計算できた）
• まだ改良の余地はありそう
・・・先週知ったんや（言い訳）21
日曜が 足りない
22
参考文献 [1] Kevin J. McGown “Computing Bernoulli Numbers Quickly”, (2005).
[2] 荒川，金子，伊吹山『ベルヌーイ数とゼータ関数』，牧野書店 (2001)．
23
おまけ 24
ヤコブ・ベルヌーイ 関孝和 25
（ヤコブ・ベルヌーイ『推測術』より）
26
関孝和『括要算法』（1712年）より 27
素数Tシャツ売ってます
非正則素数 （irregular prime）
が青く塗られている 28
37 59 67 101 103 131 149 157 233 257 263 271 283 293 307 311 347 353 379 389 401 409 421 433 461 463 467 491 523 541 547 557 577 587 593 607 613 617 619 631 647 653 659 673 677 683 691 727 751 757 761 773 797 809 811 821 827 839 877 881 887 929 953 971 1061 1091 1117 1129 1151 1153 1193 1201
非正則素数の例（最初から７２番目まで）
29
フェルマーの最終定理との関連
x
37 + y
37 = z
37
x
691 + y
691 = z
691
非正則素数・・・「クンマーの方法」における例外
参考：http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/flt-kummer-ideal-class-group 30
sage を使った実験
31
Wolstenholmeprimeの同値な定義
32
を満たす素数 を Wolstenholmeprimeという p
✓2pp
◆⌘ 2 (mod p4)