Приближенное решение задач комбинаторной...
TRANSCRIPT
![Page 1: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/1.jpg)
Приближенное решениезадач комбинаторной оптимизации:
алгоритмы и трудностьЛекция 9: Теорема Хостада
М. Вялый
Вычислительный центрим. А.А.Дородницына
ФИЦ ИУ РАН
Санкт-Петербург, Computer Science Club, 2016
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 1 / 26
![Page 2: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/2.jpg)
Теорема Хостада: формулировка
Задача MAX-3LINДано: система линейных уравнений над полем F2, в каждое
уравнение входит три неизвестных.Найти: максимальное количество уравнений, которые
обращаются в равенство при некоторых значенияхпеременных.
НаблюдениеВероятность обращения в 0 линейной функции на случайном наборепеременных 1/2.Отсюда приближённый алгоритм для MAX-3LIN с точностью 1/2.
Теорема ХостадаДля любого ε > 0 задача со щелью MAX-3LIN(1− ε, 1/2 + ε) являетсяNP-трудной.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 2 / 26
![Page 3: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/3.jpg)
Теорема Хостада: формулировка
Задача MAX-3LINДано: система линейных уравнений над полем F2, в каждое
уравнение входит три неизвестных.Найти: максимальное количество уравнений, которые
обращаются в равенство при некоторых значенияхпеременных.
НаблюдениеВероятность обращения в 0 линейной функции на случайном наборепеременных 1/2.Отсюда приближённый алгоритм для MAX-3LIN с точностью 1/2.
Теорема ХостадаДля любого ε > 0 задача со щелью MAX-3LIN(1− ε, 1/2 + ε) являетсяNP-трудной.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 2 / 26
![Page 4: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/4.jpg)
Теорема Хостада: формулировка
Задача MAX-3LINДано: система линейных уравнений над полем F2, в каждое
уравнение входит три неизвестных.Найти: максимальное количество уравнений, которые
обращаются в равенство при некоторых значенияхпеременных.
НаблюдениеВероятность обращения в 0 линейной функции на случайном наборепеременных 1/2.Отсюда приближённый алгоритм для MAX-3LIN с точностью 1/2.
Теорема ХостадаДля любого ε > 0 задача со щелью MAX-3LIN(1− ε, 1/2 + ε) являетсяNP-трудной.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 2 / 26
![Page 5: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/5.jpg)
Теорема Хостада: формулировка
Задача MAX-3LINДано: система линейных уравнений над полем F2, в каждое
уравнение входит три неизвестных.Найти: максимальное количество уравнений, которые
обращаются в равенство при некоторых значенияхпеременных.
НаблюдениеВероятность обращения в 0 линейной функции на случайном наборепеременных 1/2.Отсюда приближённый алгоритм для MAX-3LIN с точностью 1/2.
Теорема ХостадаДля любого ε > 0 задача со щелью MAX-3LIN(1− ε, 1/2 + ε) являетсяNP-трудной.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 2 / 26
ЗамечаниеMAX-3LIN(1, δ) ∈ P.
![Page 6: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/6.jpg)
Напоминание: тест Хостада
Тест Хостада с параметром δ: чтение 3 битов1 Выбрать независимо x , y ∈ Fn
2 по равномерному распределению.2 Выбрать z по распределению Nρ(y), ρ = 1− 2δ.3 Запросить значения функции f в точках x , y , x + z .4 Ответить «да», если f (x) + f (y) = f (x + z). В противном случае
ответить «нет».
НаблюдениеВ тесте проверяются линейные условия на три переменные. Поэтомуего можно конвертировать в сводимостьMAX-LCk(1, η) 6p MAX-3LIN(1− α, 1/2 + α).
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 3 / 26
![Page 7: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/7.jpg)
Напоминание: тест Хостада
Тест Хостада с параметром δ: чтение 3 битов1 Выбрать независимо x , y ∈ Fn
2 по равномерному распределению.2 Выбрать z по распределению Nρ(y), ρ = 1− 2δ.3 Запросить значения функции f в точках x , y , x + z .4 Ответить «да», если f (x) + f (y) = f (x + z). В противном случае
ответить «нет».
НаблюдениеВ тесте проверяются линейные условия на три переменные. Поэтомуего можно конвертировать в сводимостьMAX-LCk(1, η) 6p MAX-3LIN(1− α, 1/2 + α).
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 3 / 26
![Page 8: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/8.jpg)
PCP алгоритм для MAX-LCk(1, η): формат данных
Пусть есть граф G (V ,E , [k], f ) с функциональными ограничениями.Кодируем σ(v) ∈ [k] длинным кодом с одним уточнением.Диктатор Xi : (x1, . . . , xk) 7→ xi — самодвойственная функция:
¬Xi (x1, . . . , xk) = Xi (¬x1, . . . ,¬xk).
Поэтому достаточно задать лишь половину таблицы значенийфункции, значения второй половины восстанавливаются посамодвойственности. При этом используются линейные выражения:
1 + Xi (x1, . . . , xk) = Xi (1 + x1, . . . , 1 + xk)
по модулю 2.
Вид «доказательства» для PCP алгоритмаНабор половинных таблиц самодвойственных булевых функцийTv : {0, 1}Σ → {0, 1}, v ∈ V .
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 4 / 26
![Page 9: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/9.jpg)
PCP алгоритм A для MAX-LCk(1, η)
Действия Проверяющего1 Выбирает случайное ребро (u, v) ∈ E (G ).2 Запрашивает три значения булевых функций Tu и Tv .3 Проверяет линейное условие на эти значения.
Если таблицы— длинные коды присваиваний и f (σ(u)) = σ(v), то
Tv (x) = Tu(f (x)), где f (x)j = xf (j), j ∈ [k].
Проверка в тесте Хостада заменяется на
Tu(x) + Tv (y) = Tu(x + z), x , y ← U; z ← Nρ(f (y))
(если значений нет в таблице, они восстанавливаются посамодвойственности, всё равно получается линейное уравнение на трипеременные).
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 5 / 26
![Page 10: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/10.jpg)
PCP алгоритм A для MAX-LCk(1, η)
Действия Проверяющего1 Выбирает случайное ребро (u, v) ∈ E (G ).2 Запрашивает три значения булевых функций Tu и Tv .3 Проверяет линейное условие на эти значения.
Если таблицы— длинные коды присваиваний и f (σ(u)) = σ(v), то
Tv (x) = Tu(f (x)), где f (x)j = xf (j), j ∈ [k].
Проверка в тесте Хостада заменяется на
Tu(x) + Tv (y) = Tu(x + z), x , y ← U; z ← Nρ(f (y))
(если значений нет в таблице, они восстанавливаются посамодвойственности, всё равно получается линейное уравнение на трипеременные).
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 5 / 26
![Page 11: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/11.jpg)
PCP алгоритм A для MAX-LCk(1, η)
Действия Проверяющего1 Выбирает случайное ребро (u, v) ∈ E (G ).2 Запрашивает три значения булевых функций Tu и Tv .3 Проверяет линейное условие на эти значения.
Если таблицы— длинные коды присваиваний и f (σ(u)) = σ(v), то
Tv (x) = Tu(f (x)), где f (x)j = xf (j), j ∈ [k].
Проверка в тесте Хостада заменяется на
Tu(x) + Tv (y) = Tu(x + z), x , y ← U; z ← Nρ(f (y))
(если значений нет в таблице, они восстанавливаются посамодвойственности, всё равно получается линейное уравнение на трипеременные).
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 5 / 26
![Page 12: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/12.jpg)
Лёгкий случай
УтверждениеЕсли unsatG = 0, существует такой набор таблиц, что алгоритм A наэтом сертификате даёт ответ «да» с вероятностью 1− δ.
Аналогично тесту Хостада для диктаторов. Используем таблицыдлинных кодов присваивания π : Σ→ V , которое выполняет всеограничения.Для таких таблиц выполнено
Tu(x) = xπ(u), π(v) = f (π(u)) для всех (uv) ∈ E .
Для переменных теста имеем
Tu(x) = xπ(u), Tv (y) = yπ(v), π(v) = f (π(u)).
Условие теста принимает вид
xπ(u) + yf (π(u)) = xπ(u) + zπ(u) ⇔ yf (π(u)) = zπ(u),
что по построению выполняется с вероятностью 12(1 + ρ) = 1− δ.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 6 / 26
![Page 13: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/13.jpg)
Лёгкий случай
УтверждениеЕсли unsatG = 0, существует такой набор таблиц, что алгоритм A наэтом сертификате даёт ответ «да» с вероятностью 1− δ.
Аналогично тесту Хостада для диктаторов. Используем таблицыдлинных кодов присваивания π : Σ→ V , которое выполняет всеограничения.Для таких таблиц выполнено
Tu(x) = xπ(u), π(v) = f (π(u)) для всех (uv) ∈ E .
Для переменных теста имеем
Tu(x) = xπ(u), Tv (y) = yπ(v), π(v) = f (π(u)).
Условие теста принимает вид
xπ(u) + yf (π(u)) = xπ(u) + zπ(u) ⇔ yf (π(u)) = zπ(u),
что по построению выполняется с вероятностью 12(1 + ρ) = 1− δ.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 6 / 26
![Page 14: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/14.jpg)
Лёгкий случай
УтверждениеЕсли unsatG = 0, существует такой набор таблиц, что алгоритм A наэтом сертификате даёт ответ «да» с вероятностью 1− δ.
Аналогично тесту Хостада для диктаторов. Используем таблицыдлинных кодов присваивания π : Σ→ V , которое выполняет всеограничения.Для таких таблиц выполнено
Tu(x) = xπ(u), π(v) = f (π(u)) для всех (uv) ∈ E .
Для переменных теста имеем
Tu(x) = xπ(u), Tv (y) = yπ(v), π(v) = f (π(u)).
Условие теста принимает вид
xπ(u) + yf (π(u)) = xπ(u) + zπ(u) ⇔ yf (π(u)) = zπ(u),
что по построению выполняется с вероятностью 12(1 + ρ) = 1− δ.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 6 / 26
![Page 15: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/15.jpg)
Лёгкий случай
УтверждениеЕсли unsatG = 0, существует такой набор таблиц, что алгоритм A наэтом сертификате даёт ответ «да» с вероятностью 1− δ.
Аналогично тесту Хостада для диктаторов. Используем таблицыдлинных кодов присваивания π : Σ→ V , которое выполняет всеограничения.Для таких таблиц выполнено
Tu(x) = xπ(u), π(v) = f (π(u)) для всех (uv) ∈ E .
Для переменных теста имеем
Tu(x) = xπ(u), Tv (y) = yπ(v), π(v) = f (π(u)).
Условие теста принимает вид
xπ(u) + yf (π(u)) = xπ(u) + zπ(u) ⇔ yf (π(u)) = zπ(u),
что по построению выполняется с вероятностью 12(1 + ρ) = 1− δ.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 6 / 26
![Page 16: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/16.jpg)
Лёгкий случай
УтверждениеЕсли unsatG = 0, существует такой набор таблиц, что алгоритм A наэтом сертификате даёт ответ «да» с вероятностью 1− δ.
Аналогично тесту Хостада для диктаторов. Используем таблицыдлинных кодов присваивания π : Σ→ V , которое выполняет всеограничения.Для таких таблиц выполнено
Tu(x) = xπ(u), π(v) = f (π(u)) для всех (uv) ∈ E .
Для переменных теста имеем
Tu(x) = xπ(u), Tv (y) = yπ(v), π(v) = f (π(u)).
Условие теста принимает вид
xπ(u) + yf (π(u)) = xπ(u) + zπ(u) ⇔ yf (π(u)) = zπ(u),
что по построению выполняется с вероятностью 12(1 + ρ) = 1− δ.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 6 / 26
![Page 17: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/17.jpg)
Трудный случай
Лемма о трудном случаеПусть алгоритм A с параметром δ < 1/2 дает ответ «да» свероятностью больше 1/2 + ε на каком-то наборе таблиц.Тогда для исходного графа ограничений существует присваивание,которое выполняет не менее δε2 долю ограничений.
Выбор присваивания1 выбираем непустое подмножество ∅ ⊂ S ⊆ Σ с вероятностью
Tv (S)2
(в силу равенства Парсеваля коэффициенты Фурье задаютвероятностное распределение;поскольку таблица задаёт самодвойственную функцию,Tv (∅) = 0);
2 выбираем j ∈ S случайно и равновероятно;3 полагаем π(v) = j .
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 7 / 26
![Page 18: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/18.jpg)
Трудный случай
Лемма о трудном случаеПусть алгоритм A с параметром δ < 1/2 дает ответ «да» свероятностью больше 1/2 + ε на каком-то наборе таблиц.Тогда для исходного графа ограничений существует присваивание,которое выполняет не менее δε2 долю ограничений.
Выбор присваивания1 выбираем непустое подмножество ∅ ⊂ S ⊆ Σ с вероятностью
Tv (S)2
(в силу равенства Парсеваля коэффициенты Фурье задаютвероятностное распределение;поскольку таблица задаёт самодвойственную функцию,Tv (∅) = 0);
2 выбираем j ∈ S случайно и равновероятно;3 полагаем π(v) = j .
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 7 / 26
![Page 19: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/19.jpg)
Трудный случай
Лемма о трудном случаеПусть алгоритм A с параметром δ < 1/2 дает ответ «да» свероятностью больше 1/2 + ε на каком-то наборе таблиц.Тогда для исходного графа ограничений существует присваивание,которое выполняет не менее δε2 долю ограничений.
Выбор присваивания1 выбираем непустое подмножество ∅ ⊂ S ⊆ Σ с вероятностью
Tv (S)2
(в силу равенства Парсеваля коэффициенты Фурье задаютвероятностное распределение;поскольку таблица задаёт самодвойственную функцию,Tv (∅) = 0);
2 выбираем j ∈ S случайно и равновероятно;3 полагаем π(v) = j .
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 7 / 26
![Page 20: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/20.jpg)
Трудный случай
Лемма о трудном случаеПусть алгоритм A с параметром δ < 1/2 дает ответ «да» свероятностью больше 1/2 + ε на каком-то наборе таблиц.Тогда для исходного графа ограничений существует присваивание,которое выполняет не менее δε2 долю ограничений.
Выбор присваивания1 выбираем непустое подмножество ∅ ⊂ S ⊆ Σ с вероятностью
Tv (S)2
(в силу равенства Парсеваля коэффициенты Фурье задаютвероятностное распределение;поскольку таблица задаёт самодвойственную функцию,Tv (∅) = 0);
2 выбираем j ∈ S случайно и равновероятно;3 полагаем π(v) = j .
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 7 / 26
![Page 21: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/21.jpg)
Трудный случай
Лемма о трудном случаеПусть алгоритм A с параметром δ < 1/2 дает ответ «да» свероятностью больше 1/2 + ε на каком-то наборе таблиц.Тогда для исходного графа ограничений существует присваивание,которое выполняет не менее δε2 долю ограничений.
Выбор присваивания1 выбираем непустое подмножество ∅ ⊂ S ⊆ Σ с вероятностью
Tv (S)2
(в силу равенства Парсеваля коэффициенты Фурье задаютвероятностное распределение;поскольку таблица задаёт самодвойственную функцию,Tv (∅) = 0);
2 выбираем j ∈ S случайно и равновероятно;3 полагаем π(v) = j .
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 7 / 26
![Page 22: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/22.jpg)
План доказательства леммы о трудном случае
Оценка вероятности выполнения ограничения на ребреПусть алгоритм A даёт ответ «да» на таблицах A = Tu, B = Tv свероятностью 1/2 + εuv . Тогда вероятность выполнения ограничения fпри указанном выборе присваивания π не меньше δε2uv .
Доказательство этой оценки в духе доказательства теоремы о хунтах итесте Хостада.
Завершение доказательства леммы о трудном случаеИз оценки вероятности выполнения ограничения на ребре инеравенства между средним квадратичным и среднимарифметическим получаем, что матожидание доли выполненныхограничений не меньше
E(uv)∈E
[δε2uv ] > δ
(E
(uv)∈E[εuv ]
)2
= δε2.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 8 / 26
![Page 23: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/23.jpg)
План доказательства леммы о трудном случае
Оценка вероятности выполнения ограничения на ребреПусть алгоритм A даёт ответ «да» на таблицах A = Tu, B = Tv свероятностью 1/2 + εuv . Тогда вероятность выполнения ограничения fпри указанном выборе присваивания π не меньше δε2uv .
Доказательство этой оценки в духе доказательства теоремы о хунтах итесте Хостада.
Завершение доказательства леммы о трудном случаеИз оценки вероятности выполнения ограничения на ребре инеравенства между средним квадратичным и среднимарифметическим получаем, что матожидание доли выполненныхограничений не меньше
E(uv)∈E
[δε2uv ] > δ
(E
(uv)∈E[εuv ]
)2
= δε2.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 8 / 26
![Page 24: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/24.jpg)
Вероятность выполнения ограничения на ребре
S
f
i ∈ fodd(S)
fodd(S)
«Нечётный образ» множества
f odd(S) ={i :∣∣f −1(i) ∩ S
∣∣ нечетно},S ⊆ Σ.
Оценка вероятности в терминах нечётного образа
Pr[f (π(u)) = π(v)] >∑S 6=∅
1|S |
A(S)2B(f odd(S))2
(Обозначения A = Tu, B = Tv .)
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 9 / 26
![Page 25: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/25.jpg)
Вероятность выполнения ограничения на ребре
S
f
i ∈ fodd(S)
fodd(S)
«Нечётный образ» множества
f odd(S) ={i :∣∣f −1(i) ∩ S
∣∣ нечетно},S ⊆ Σ.
Оценка вероятности в терминах нечётного образа
Pr[f (π(u)) = π(v)] >∑S 6=∅
1|S |
A(S)2B(f odd(S))2
(Обозначения A = Tu, B = Tv .)
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 9 / 26
![Page 26: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/26.jpg)
Оценка в терминах нечётного образа
Утверждение
Pr[f (π(u)) = π(v)] >∑S 6=∅
1|S |
A(S)2B(f odd(S))2
1 S выбирается с вероятностью A(S)2.2 Вероятность выбрать множество f odd(S) для таблицы B
равна B(f odd(S))2.3 При таком выборе вероятность выполнения ограничения не
меньше 1/|S |.Для любого i ∈ f odd(S) по определению найдется хотя бы одноj ∈ S такое, что f (j) = i . Значит, вероятность при условии выбораS для таблицы A и f odd(S) для таблицы B не меньше∑
j∈S
1|S |
∑i∈f odd(S)
1|f odd(S)|
=1|S |
.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 10 / 26
![Page 27: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/27.jpg)
Оценка в терминах нечётного образа
Утверждение
Pr[f (π(u)) = π(v)] >∑S 6=∅
1|S |
A(S)2B(f odd(S))2
1 S выбирается с вероятностью A(S)2.2 Вероятность выбрать множество f odd(S) для таблицы B
равна B(f odd(S))2.3 При таком выборе вероятность выполнения ограничения не
меньше 1/|S |.Для любого i ∈ f odd(S) по определению найдется хотя бы одноj ∈ S такое, что f (j) = i . Значит, вероятность при условии выбораS для таблицы A и f odd(S) для таблицы B не меньше∑
j∈S
1|S |
∑i∈f odd(S)
1|f odd(S)|
=1|S |
.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 10 / 26
![Page 28: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/28.jpg)
Оценка в терминах нечётного образа
Утверждение
Pr[f (π(u)) = π(v)] >∑S 6=∅
1|S |
A(S)2B(f odd(S))2
1 S выбирается с вероятностью A(S)2.2 Вероятность выбрать множество f odd(S) для таблицы B
равна B(f odd(S))2.3 При таком выборе вероятность выполнения ограничения не
меньше 1/|S |.Для любого i ∈ f odd(S) по определению найдется хотя бы одноj ∈ S такое, что f (j) = i . Значит, вероятность при условии выбораS для таблицы A и f odd(S) для таблицы B не меньше∑
j∈S
1|S |
∑i∈f odd(S)
1|f odd(S)|
=1|S |
.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 10 / 26
![Page 29: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/29.jpg)
Оценка в терминах нечётного образа
Утверждение
Pr[f (π(u)) = π(v)] >∑S 6=∅
1|S |
A(S)2B(f odd(S))2
1 S выбирается с вероятностью A(S)2.2 Вероятность выбрать множество f odd(S) для таблицы B
равна B(f odd(S))2.3 При таком выборе вероятность выполнения ограничения не
меньше 1/|S |.Для любого i ∈ f odd(S) по определению найдется хотя бы одноj ∈ S такое, что f (j) = i . Значит, вероятность при условии выбораS для таблицы A и f odd(S) для таблицы B не меньше∑
j∈S
1|S |
∑i∈f odd(S)
1|f odd(S)|
=1|S |
.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 10 / 26
![Page 30: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/30.jpg)
«Нечётный образ» множества и характеры
Лемма
χS(f (x)) = χf odd(S)(x) (напоминание: f (x)j = xf (j)).
Проверка
χS(f (x)) =∏j∈S
f (x)j =∏j∈S
xf (j) =∏
i∈f odd(S)
xi = χf odd(S)(x),
Третье равенство: в силу x2 = 1 вклад в произведение тех xi , длякоторых |f −1(i) ∩ S | чётно, равен 1.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 11 / 26
![Page 31: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/31.jpg)
«Нечётный образ» множества и характеры
Лемма
χS(f (x)) = χf odd(S)(x) (напоминание: f (x)j = xf (j)).
Проверка
χS(f (x)) =∏j∈S
f (x)j =∏j∈S
xf (j) =∏
i∈f odd(S)
xi = χf odd(S)(x),
Третье равенство: в силу x2 = 1 вклад в произведение тех xi , длякоторых |f −1(i) ∩ S | чётно, равен 1.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 11 / 26
![Page 32: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/32.jpg)
«Нечётный образ» множества и характеры
Лемма
χS(f (x)) = χf odd(S)(x) (напоминание: f (x)j = xf (j)).
Проверка
χS(f (x)) =∏j∈S
f (x)j =∏j∈S
xf (j) =∏
i∈f odd(S)
xi = χf odd(S)(x),
Третье равенство: в силу x2 = 1 вклад в произведение тех xi , длякоторых |f −1(i) ∩ S | чётно, равен 1.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 11 / 26
![Page 33: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/33.jpg)
Оценка положительного ответа в тесте
ЛеммаПусть A, B проходят тест с вероятностью > 1/2 + ξ. Тогда∑
S 6=∅
A(S)2B(f odd(S))(1− 2δ)|S | > 2ξ.
Доказательство аналогично анализу теста Хостада для хунт.Начало стандартное. Вероятность ответа «да»
Pr[A(x)B(y) = A(x + z)] > 1/2 + ξ,
что равносильноE[A(x)B(y)A(x + z)] > 2ξ.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 12 / 26
![Page 34: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/34.jpg)
Оценка положительного ответа в тесте
ЛеммаПусть A, B проходят тест с вероятностью > 1/2 + ξ. Тогда∑
S 6=∅
A(S)2B(f odd(S))(1− 2δ)|S | > 2ξ.
Доказательство аналогично анализу теста Хостада для хунт.Начало стандартное. Вероятность ответа «да»
Pr[A(x)B(y) = A(x + z)] > 1/2 + ξ,
что равносильноE[A(x)B(y)A(x + z)] > 2ξ.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 12 / 26
![Page 35: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/35.jpg)
Доказательство оценки для теста
z = f (y) + w , где w ← Bδ (распределение Бернулли с параметром δ)Подставим и разложим по характерам:
Ex ,y ,w
[A(x)B(y)A(x + f (y) + w)] =
= Ex ,y ,w
[(∑S
A(S)χS(x))(∑
U
B(U)χU(y))×
×(∑
T
A(T )χT (x + f (y) + w)))]
=
=∑S ,U,T
A(S)B(U)A(T ) Ex
[χS(x)χT (x)] Ey
[χU(y)χT (f (y))] Ew
[χT (w)] =
=∑S,U
A(S)2B(U) Ey
[χU(y)χS(f (y))] Ew
[χS(w)] > 2ξ.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 13 / 26
![Page 36: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/36.jpg)
Доказательство оценки для теста
z = f (y) + w , где w ← Bδ (распределение Бернулли с параметром δ)Подставим и разложим по характерам:
Ex ,y ,w
[A(x)B(y)A(x + f (y) + w)] =
= Ex ,y ,w
[(∑S
A(S)χS(x))(∑
U
B(U)χU(y))×
×(∑
T
A(T )χT (x + f (y) + w)))]
=
=∑S,U,T
A(S)B(U)A(T ) Ex
[χS(x)χT (x)] Ey
[χU(y)χT (f (y))] Ew
[χT (w)] =
=∑S,U
A(S)2B(U) Ey
[χU(y)χS(f (y))] Ew
[χS(w)] > 2ξ.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 13 / 26
ПреобразованиеПерестановка слагаемых и мультипликативность характеровξS(x + y) = χS(x) · χS(y).
![Page 37: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/37.jpg)
Доказательство оценки для теста
z = f (y) + w , где w ← Bδ (распределение Бернулли с параметром δ)Подставим и разложим по характерам:
Ex ,y ,w
[A(x)B(y)A(x + f (y) + w)] =
= Ex ,y ,w
[(∑S
A(S)χS(x))(∑
U
B(U)χU(y))×
×(∑
T
A(T )χT (x + f (y) + w)))]
=
=∑S,U,T
A(S)B(U)A(T ) Ex
[χS(x)χT (x)] Ey
[χU(y)χT (f (y))] Ew
[χT (w)] =
=∑S,U
A(S)2B(U) Ey
[χU(y)χS(f (y))] Ew
[χS(w)] > 2ξ.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 13 / 26
Ортогональность характеров
![Page 38: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/38.jpg)
Доказательство оценки для теста (окончание)
=∑S ,U
A(S)2B(U) Ey
[χU(y)χS(f (y))] Ew
[χS(w)] =
=∑S ,U
A(S)2B(U) Ey
[χU(y)χf odd(S)(y)] Ew
[χS(w)] =
=∑S
A(S)2B(f odd(S)) Ew
[χS(w)] =
=∑S
A(S)2B(f odd(S))(1− 2δ)|S| > 2ξ
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 14 / 26
![Page 39: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/39.jpg)
Доказательство оценки для теста (окончание)
=∑S ,U
A(S)2B(U) Ey
[χU(y)χS(f (y))] Ew
[χS(w)] =
=∑S ,U
A(S)2B(U) Ey
[χU(y)χf odd(S)(y)] Ew
[χS(w)] =
=∑S
A(S)2B(f odd(S)) Ew
[χS(w)] =
=∑S
A(S)2B(f odd(S))(1− 2δ)|S| > 2ξ
Характеры и «нечётный образ»: перестановочность
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 14 / 26
![Page 40: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/40.jpg)
Доказательство оценки для теста (окончание)
=∑S ,U
A(S)2B(U) Ey
[χU(y)χS(f (y))] Ew
[χS(w)] =
=∑S ,U
A(S)2B(U) Ey
[χU(y)χf odd(S)(y)] Ew
[χS(w)] =
=∑S
A(S)2B(f odd(S)) Ew
[χS(w)] =
=∑S
A(S)2B(f odd(S))(1− 2δ)|S| > 2ξ
Ортогональность характеров
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 14 / 26
![Page 41: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/41.jpg)
Доказательство оценки для теста (окончание)
=∑S ,U
A(S)2B(U) Ey
[χU(y)χS(f (y))] Ew
[χS(w)] =
=∑S ,U
A(S)2B(U) Ey
[χU(y)χf odd(S)(y)] Ew
[χS(w)] =
=∑S
A(S)2B(f odd(S)) Ew
[χS(w)] =
=∑S
A(S)2B(f odd(S))(1− 2δ)|S| > 2ξ
Усреднение характера по распределению БернуллиE[wi ] = (1− δ) · 1 + δ · (−1) = 1− 2δ для каждой из |S | переменных.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 14 / 26
![Page 42: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/42.jpg)
Собираем вместе оценки
Оценка вероятности
Pr[f (π(u)) = π(v)] >∑S 6=∅
1|S |
A(S)2B(f odd(S))2
Оценка для тестаПусть A, B проходят тест с вероятностью > 1/2 + ξ. Тогда∑
S 6=∅
A(S)2B(f odd(S))(1− 2δ)|S | > 2ξ.
Хотим вывести:
Pr[f (π(u)) = π(v)] >∑S 6=∅
1|S |
A(S)2B(f odd(S))2 > δξ2
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 15 / 26
![Page 43: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/43.jpg)
Вывод неравенства
Используем неравенство
(1− 2δ)|S| 62√δ|S |
при δ < 1/2
(доказательство элементарное и техническое)в оценке для теста
2ξ 6∑S 6=∅
A(S)2B(f odd(S))(1− 2δ)|S | 6∑S 6=∅
A(S)2B(f odd(S))2√δ|S |
Теперь Коши – Буняковский – Шварц к правой части
ξ 6(∑
S 6=∅
A(S)2)1/2(∑
S 6=∅
A(S)2B(f odd(S))2 1δ|S |
)1/2.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 16 / 26
![Page 44: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/44.jpg)
Вывод неравенства
Используем неравенство
(1− 2δ)|S| 62√δ|S |
при δ < 1/2
(доказательство элементарное и техническое)в оценке для теста
2ξ 6∑S 6=∅
A(S)2B(f odd(S))(1− 2δ)|S | 6∑S 6=∅
A(S)2B(f odd(S))2√δ|S |
Теперь Коши – Буняковский – Шварц к правой части
ξ 6(∑
S 6=∅
A(S)2)1/2(∑
S 6=∅
A(S)2B(f odd(S))2 1δ|S |
)1/2.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 16 / 26
![Page 45: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/45.jpg)
Вывод неравенства
Используем неравенство
(1− 2δ)|S| 62√δ|S |
при δ < 1/2
(доказательство элементарное и техническое)в оценке для теста
2ξ 6∑S 6=∅
A(S)2B(f odd(S))(1− 2δ)|S | 6∑S 6=∅
A(S)2B(f odd(S))2√δ|S |
Теперь Коши – Буняковский – Шварц к правой части
ξ 6(∑
S 6=∅
A(S)2)1/2(∑
S 6=∅
A(S)2B(f odd(S))2 1δ|S |
)1/2.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 16 / 26
![Page 46: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/46.jpg)
Вывод неравенства (окончание)
Получили
ξ 6(∑
S 6=∅
A(S)2)1/2(∑
S 6=∅
A(S)2B(f odd(S))2 1δ|S |
)1/2.
Осталось возвести в квадрат и воспользоваться неравенствомПарсеваля, а также самодвойственностью функции, задаваемойтаблицей A:
δξ2 6∑S 6=∅
A(S)2B(f odd(S))2 1|S |
6 Pr[f (π(u)) = π(v)],
что и требовалось.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 17 / 26
![Page 47: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/47.jpg)
Сводимость к взвешенной MAX-3LIN
Выберем η < ε3. Пусть G (V ,E , [k], f ) — граф ограничений в задачеMAX-LCk(1, η).По PCP алгоритму A с параметром теста δ = ε строим взвешеннуюсистему линейных уравнений. Вес — вероятность появления уравненияв проверке теста.Из анализа теста получаем:
(лёгкий случай) Если все ограничения в G выполнены нанекотором присваивании, то для некоторого набора значенийпеременных (таблицы длинных кодов) обращается в равенстводоля > 1− ε уравнений (с учётом весов).(трудный случай) Если на любом присваивании долявыполненных ограничений 6 η, то доля выполненных уравнений(вероятность ответа «да») не выше 1/2 + ε.
Построили сводимость MAX-LCk(1, η) 6p MAX-3-LIN(1− ε, 1/2 + ε).Но задача взвешенная: вероятности разных проверок могутразличаться.М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 18 / 26
![Page 48: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/48.jpg)
Сводимость к взвешенной MAX-3LIN
Выберем η < ε3. Пусть G (V ,E , [k], f ) — граф ограничений в задачеMAX-LCk(1, η).По PCP алгоритму A с параметром теста δ = ε строим взвешеннуюсистему линейных уравнений. Вес — вероятность появления уравненияв проверке теста.Из анализа теста получаем:
(лёгкий случай) Если все ограничения в G выполнены нанекотором присваивании, то для некоторого набора значенийпеременных (таблицы длинных кодов) обращается в равенстводоля > 1− ε уравнений (с учётом весов).(трудный случай) Если на любом присваивании долявыполненных ограничений 6 η, то доля выполненных уравнений(вероятность ответа «да») не выше 1/2 + ε.
Построили сводимость MAX-LCk(1, η) 6p MAX-3-LIN(1− ε, 1/2 + ε).Но задача взвешенная: вероятности разных проверок могутразличаться.М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 18 / 26
![Page 49: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/49.jpg)
Сводимость к взвешенной MAX-3LIN
Выберем η < ε3. Пусть G (V ,E , [k], f ) — граф ограничений в задачеMAX-LCk(1, η).По PCP алгоритму A с параметром теста δ = ε строим взвешеннуюсистему линейных уравнений. Вес — вероятность появления уравненияв проверке теста.Из анализа теста получаем:
(лёгкий случай) Если все ограничения в G выполнены нанекотором присваивании, то для некоторого набора значенийпеременных (таблицы длинных кодов) обращается в равенстводоля > 1− ε уравнений (с учётом весов).(трудный случай) Если на любом присваивании долявыполненных ограничений 6 η, то доля выполненных уравнений(вероятность ответа «да») не выше 1/2 + ε.
Построили сводимость MAX-LCk(1, η) 6p MAX-3-LIN(1− ε, 1/2 + ε).Но задача взвешенная: вероятности разных проверок могутразличаться.М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 18 / 26
![Page 50: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/50.jpg)
Сводимость к взвешенной MAX-3LIN
Выберем η < ε3. Пусть G (V ,E , [k], f ) — граф ограничений в задачеMAX-LCk(1, η).По PCP алгоритму A с параметром теста δ = ε строим взвешеннуюсистему линейных уравнений. Вес — вероятность появления уравненияв проверке теста.Из анализа теста получаем:
(лёгкий случай) Если все ограничения в G выполнены нанекотором присваивании, то для некоторого набора значенийпеременных (таблицы длинных кодов) обращается в равенстводоля > 1− ε уравнений (с учётом весов).(трудный случай) Если на любом присваивании долявыполненных ограничений 6 η, то доля выполненных уравнений(вероятность ответа «да») не выше 1/2 + ε.
Построили сводимость MAX-LCk(1, η) 6p MAX-3-LIN(1− ε, 1/2 + ε).Но задача взвешенная: вероятности разных проверок могутразличаться.М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 18 / 26
![Page 51: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/51.jpg)
Сводимость к обычной MAX-3LIN (идея)
Усилим параметры: η < ε3/8, δ = ε/2.Запас в щели используем, чтобы приблизить вероятностирациональными числами и записать систему уравнений, в которойкаждое уравнение повторяется пропорционально вероятности егопоявления в тесте.
ЗадачаРеализовать эту идею и построить сводимость
MAX-LCk(1, η) 6p MAX-3-LIN(1− ε, 1/2 + ε)
при η < ε3/8 (задача справа невзвешенная).
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 19 / 26
![Page 52: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/52.jpg)
Сводимость к обычной MAX-3LIN (идея)
Усилим параметры: η < ε3/8, δ = ε/2.Запас в щели используем, чтобы приблизить вероятностирациональными числами и записать систему уравнений, в которойкаждое уравнение повторяется пропорционально вероятности егопоявления в тесте.
ЗадачаРеализовать эту идею и построить сводимость
MAX-LCk(1, η) 6p MAX-3-LIN(1− ε, 1/2 + ε)
при η < ε3/8 (задача справа невзвешенная).
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 19 / 26
![Page 53: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/53.jpg)
Оптимальная точность приближения для MAX-3SAT
ТеоремаДля любого ε > 0 задача MAX-3SAT(1− 4ε, 7/8 + ε) является NP-трудной.
ДоказательствоУравнение x + y + z = a равносильно 3КНФ с 4 дизъюнктами.Сводимость MAX-3LIN(1− 4ε, 1/2 + 4ε) 6p MAX-3SAT(1− 4ε, 7/8 + ε).Каждое уравнение заменим на 3КНФ с 4 дизъюнктами, пусть C —конъюнкция этих КНФ.Если в системе уравнений выполнено > 1− 4ε доли уравнений, то в Cтакже выполнено > 1− 4ε доли дизъюнктов.Если в системе нельзя выполнить долю 1/2 + 4ε уравнений, то в КНФC доля выполненных дизъюнктов не более
1− (12− 4ε) · 1
4=
78
+ ε.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 20 / 26
![Page 54: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/54.jpg)
Оптимальная точность приближения для MAX-3SAT
ТеоремаДля любого ε > 0 задача MAX-3SAT(1− 4ε, 7/8 + ε) является NP-трудной.
ДоказательствоУравнение x + y + z = a равносильно 3КНФ с 4 дизъюнктами.Сводимость MAX-3LIN(1− 4ε, 1/2 + 4ε) 6p MAX-3SAT(1− 4ε, 7/8 + ε).Каждое уравнение заменим на 3КНФ с 4 дизъюнктами, пусть C —конъюнкция этих КНФ.Если в системе уравнений выполнено > 1− 4ε доли уравнений, то в Cтакже выполнено > 1− 4ε доли дизъюнктов.Если в системе нельзя выполнить долю 1/2 + 4ε уравнений, то в КНФC доля выполненных дизъюнктов не более
1− (12− 4ε) · 1
4=
78
+ ε.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 20 / 26
![Page 55: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/55.jpg)
Оптимальная точность приближения для MAX-3SAT
ТеоремаДля любого ε > 0 задача MAX-3SAT(1− 4ε, 7/8 + ε) является NP-трудной.
ДоказательствоУравнение x + y + z = a равносильно 3КНФ с 4 дизъюнктами.Сводимость MAX-3LIN(1− 4ε, 1/2 + 4ε) 6p MAX-3SAT(1− 4ε, 7/8 + ε).Каждое уравнение заменим на 3КНФ с 4 дизъюнктами, пусть C —конъюнкция этих КНФ.Если в системе уравнений выполнено > 1− 4ε доли уравнений, то в Cтакже выполнено > 1− 4ε доли дизъюнктов.Если в системе нельзя выполнить долю 1/2 + 4ε уравнений, то в КНФC доля выполненных дизъюнктов не более
1− (12− 4ε) · 1
4=
78
+ ε.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 20 / 26
![Page 56: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/56.jpg)
Оптимальная точность приближения для MAX-3SAT
ТеоремаДля любого ε > 0 задача MAX-3SAT(1− 4ε, 7/8 + ε) является NP-трудной.
ДоказательствоУравнение x + y + z = a равносильно 3КНФ с 4 дизъюнктами.Сводимость MAX-3LIN(1− 4ε, 1/2 + 4ε) 6p MAX-3SAT(1− 4ε, 7/8 + ε).Каждое уравнение заменим на 3КНФ с 4 дизъюнктами, пусть C —конъюнкция этих КНФ.Если в системе уравнений выполнено > 1− 4ε доли уравнений, то в Cтакже выполнено > 1− 4ε доли дизъюнктов.Если в системе нельзя выполнить долю 1/2 + 4ε уравнений, то в КНФC доля выполненных дизъюнктов не более
1− (12− 4ε) · 1
4=
78
+ ε.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 20 / 26
![Page 57: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/57.jpg)
Оптимальная точность приближения для MAX-3SAT
ТеоремаДля любого ε > 0 задача MAX-3SAT(1− 4ε, 7/8 + ε) является NP-трудной.
ДоказательствоУравнение x + y + z = a равносильно 3КНФ с 4 дизъюнктами.Сводимость MAX-3LIN(1− 4ε, 1/2 + 4ε) 6p MAX-3SAT(1− 4ε, 7/8 + ε).Каждое уравнение заменим на 3КНФ с 4 дизъюнктами, пусть C —конъюнкция этих КНФ.Если в системе уравнений выполнено > 1− 4ε доли уравнений, то в Cтакже выполнено > 1− 4ε доли дизъюнктов.Если в системе нельзя выполнить долю 1/2 + 4ε уравнений, то в КНФC доля выполненных дизъюнктов не более
1− (12− 4ε) · 1
4=
78
+ ε.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 20 / 26
![Page 58: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/58.jpg)
Трудность приближения для MAX-CUT
ТеоремаПри любом ε > 0 существование приближенного полиномиальногоалгоритма решения задачи MAX-CUT (взвешенной) с точностью16/17 + ε влечет P = NP.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 21 / 26
![Page 59: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/59.jpg)
Трудность приближения для MAX-CUT
ТеоремаПри любом ε > 0 существование приближенного полиномиальногоалгоритма решения задачи MAX-CUT (взвешенной) с точностью16/17 + ε влечет P = NP.
0
x1
x2
x3
Гаджет G8 для x1 + x2 + x3 = 0
x1
x2
x3
02
Гаджет G9 для x1 + x2 + x3 = 1
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 21 / 26
![Page 60: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/60.jpg)
Свойства 8-гаджета
Разрез в графе— булевы значения для вершин. У вершин в одной долесо специальной вершиной 0 значение 0. У остальных значение 1.
0
x1
x2
x3
Гаджет G8 для x1 + x2 + x3 = 0
УтверждениеЗафиксируем значения длявершин x1, x2, x3 графа G8 так,что x1 + x2 + x3 = 0. Тогдамаксимальный вес разрезовграфа G8 с предписаннымизначениями вершин равенα0 = 16.Если зафиксировать значениятак, что x1 + x2 + x3 = 1, томаксимальный вес согласованныхразрезов равен 14 = α0 − 2.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 22 / 26
![Page 61: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/61.jpg)
Свойства 9-гаджета
Разрез в графе— булевы значения для вершин. У вершин в одной долесо специальной вершиной 0 значение 0. У остальных значение 1.
x1
x2
x3
02
Гаджет G9 для x1 + x2 + x3 = 1
УтверждениеЗафиксируем значения длявершин x1, x2, x3 графа G9 так,что x1 + x2 + x3 = 1. Тогдамаксимальный вес согласованныхс этими значениями разрезовграфа G9 равен α1 = 18.Если зафиксировать значениятак, что x1 + x2 + x3 = 0, томаксимальный вес согласованныхразрезов равен 16 = α1 − 2.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 23 / 26
![Page 62: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/62.jpg)
Сводимость
Рассмотрим систему уравнений по модулю 2, в каждое входит ровнотри переменные.Если в правых частях уравнений больше половины единиц,инвертируем переменные. Это не изменит размера максимальнойсовместной подсистемы, но доля единиц в правых частях уравненийстанет не больше 1/2.Построим граф G : каждому уравнению отвечает свой гаджет G8 илиG9, в зависимости от бита правой части. Склеим специальныевершины 0 во всех гаджетах и все вершины, отвечающие одной и тойже переменной.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 24 / 26
![Page 63: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/63.jpg)
Сводимость
Рассмотрим систему уравнений по модулю 2, в каждое входит ровнотри переменные.Если в правых частях уравнений больше половины единиц,инвертируем переменные. Это не изменит размера максимальнойсовместной подсистемы, но доля единиц в правых частях уравненийстанет не больше 1/2.Построим граф G : каждому уравнению отвечает свой гаджет G8 илиG9, в зависимости от бита правой части. Склеим специальныевершины 0 во всех гаджетах и все вершины, отвечающие одной и тойже переменной.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 24 / 26
![Page 64: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/64.jpg)
Сводимость
Рассмотрим систему уравнений по модулю 2, в каждое входит ровнотри переменные.Если в правых частях уравнений больше половины единиц,инвертируем переменные. Это не изменит размера максимальнойсовместной подсистемы, но доля единиц в правых частях уравненийстанет не больше 1/2.Построим граф G : каждому уравнению отвечает свой гаджет G8 илиG9, в зависимости от бита правой части. Склеим специальныевершины 0 во всех гаджетах и все вершины, отвечающие одной и тойже переменной.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 24 / 26
![Page 65: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/65.jpg)
Анализ сводимости
Обозначим p0 > 1/2 долю уравнений, правая часть которых равна 0;p1 = 1− p0; α = α0p0 + α1p1 = 16p0 + 18p1.Пусть можно выполнить долю w0 уравнений с правой частью 0 и долюw1 уравнений с правой частью 1, причём w0 + w1 > 1− ν. Из свойствгаджетов получаем в графе G разрез веса
α0w0 + (α0 − 2)(p0 − w0) + α1w1 + (α1 − 2)(p1 − w1) =
=α0p0 + α1p1 − 2 + 2(w0 + w1) > α− 2ν.
Если всегда w0 + w1 6 1/2 + ν, то вес любого разреза не больше
α0p0 + α1p1 − 2 + 2(w0 + w1) = α− 1 + 2ν.
НаблюдениеПоскольку α = α0p0 + α1p1 и p0 > 1/2, то
1− 1α
6 1− 1(α0 + α1)/2
= 1− 216 + 18
=1617
.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 25 / 26
![Page 66: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/66.jpg)
Анализ сводимости
Обозначим p0 > 1/2 долю уравнений, правая часть которых равна 0;p1 = 1− p0; α = α0p0 + α1p1 = 16p0 + 18p1.Пусть можно выполнить долю w0 уравнений с правой частью 0 и долюw1 уравнений с правой частью 1, причём w0 + w1 > 1− ν. Из свойствгаджетов получаем в графе G разрез веса
α0w0 + (α0 − 2)(p0 − w0) + α1w1 + (α1 − 2)(p1 − w1) =
=α0p0 + α1p1 − 2 + 2(w0 + w1) > α− 2ν.
Если всегда w0 + w1 6 1/2 + ν, то вес любого разреза не больше
α0p0 + α1p1 − 2 + 2(w0 + w1) = α− 1 + 2ν.
НаблюдениеПоскольку α = α0p0 + α1p1 и p0 > 1/2, то
1− 1α
6 1− 1(α0 + α1)/2
= 1− 216 + 18
=1617
.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 25 / 26
![Page 67: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/67.jpg)
Анализ сводимости
Обозначим p0 > 1/2 долю уравнений, правая часть которых равна 0;p1 = 1− p0; α = α0p0 + α1p1 = 16p0 + 18p1.Пусть можно выполнить долю w0 уравнений с правой частью 0 и долюw1 уравнений с правой частью 1, причём w0 + w1 > 1− ν. Из свойствгаджетов получаем в графе G разрез веса
α0w0 + (α0 − 2)(p0 − w0) + α1w1 + (α1 − 2)(p1 − w1) =
=α0p0 + α1p1 − 2 + 2(w0 + w1) > α− 2ν.
Если всегда w0 + w1 6 1/2 + ν, то вес любого разреза не больше
α0p0 + α1p1 − 2 + 2(w0 + w1) = α− 1 + 2ν.
НаблюдениеПоскольку α = α0p0 + α1p1 и p0 > 1/2, то
1− 1α
6 1− 1(α0 + α1)/2
= 1− 216 + 18
=1617
.
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 25 / 26
![Page 68: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/68.jpg)
Трудность приближения MAX-CUT
Пусть есть полиномиальный алгоритм для MAX-CUT с точностью16/17 + ε.Подберем по ε такое ν > 0, что
α− 1 + 2να− 2ν
<1617
+ ε
(возможно, так как 1− 1/α 6 16/17).Тогда приближенный алгоритм для MAX-CUT на графе гаджетовразличает случаи w0 + w1 > 1− ν и w0 + w1 6 1/2 + ν.Получаем полиномиальный алгоритм для NP-трудной задачиMAX-3LIN(1− ν, 1/2 + ν).
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 26 / 26
![Page 69: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/69.jpg)
Трудность приближения MAX-CUT
Пусть есть полиномиальный алгоритм для MAX-CUT с точностью16/17 + ε.Подберем по ε такое ν > 0, что
α− 1 + 2να− 2ν
<1617
+ ε
(возможно, так как 1− 1/α 6 16/17).Тогда приближенный алгоритм для MAX-CUT на графе гаджетовразличает случаи w0 + w1 > 1− ν и w0 + w1 6 1/2 + ν.Получаем полиномиальный алгоритм для NP-трудной задачиMAX-3LIN(1− ν, 1/2 + ν).
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 26 / 26
![Page 70: Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Теорема Хостада](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102720/58ac65b81a28abd7488b4f71/html5/thumbnails/70.jpg)
Трудность приближения MAX-CUT
Пусть есть полиномиальный алгоритм для MAX-CUT с точностью16/17 + ε.Подберем по ε такое ν > 0, что
α− 1 + 2να− 2ν
<1617
+ ε
(возможно, так как 1− 1/α 6 16/17).Тогда приближенный алгоритм для MAX-CUT на графе гаджетовразличает случаи w0 + w1 > 1− ν и w0 + w1 6 1/2 + ν.Получаем полиномиальный алгоритм для NP-трудной задачиMAX-3LIN(1− ν, 1/2 + ν).
М. Вялый (ВЦ ФИЦ ИУ РАН) Лекция 9: теорема Хостада СПб, CSclub, 2016 26 / 26